2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.5空間向量及其運(yùn)算 理 蘇教版ppt課件

1、8.5空間向量及其運(yùn)算第八章立體幾何數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 蘇理）蘇理） 基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí) 題型分類題型分類深度剖析深度剖析 思想方法思想方法感悟提高感悟提高 練出高分練出高分1.空間向量的有關(guān)概念名稱概念表示零向量模為 的向量0單位向量長(zhǎng)度(模)為 的向量 相等向量方向 且模 的向量ab相反向量方向 且模 的向量a的相反向量為a01一樣相等相反相等共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相 的向量ab共面向量平行于同一個(gè)的向量 平行或重合平面2.空間向量中的有關(guān)定理(1)共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(a0)，a與b共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得 .其中a叫直線l的方向向量，tR，

2、ba(1t)t 1 xa+yb(3)空間向量基本定理如果三個(gè)向量e1，e2，e3不共面，那么對(duì)空間任一向量p存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使p ，空間中不共面的三個(gè)向量e1，e2，e3叫作這個(gè)空間的一個(gè)基底.xe1ye2ze33.兩個(gè)向量的數(shù)量積(1)非零向量a，b的數(shù)量積ab|a|b|cosa，b.(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合律：(a)b.交換律：abba.分配律：a(bc)abac.(ab)4.空間向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積ab共線ab(b0)垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b3a1b1，a2b2，a3b3a1b1a2b2a3b30模|a|夾角a，b(

3、a0，b0)cosa，bu 思考辨析判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)空間中任意兩非零向量a，b共面.()(2)在向量的數(shù)量積運(yùn)算中(ab)ca(bc).()(3)對(duì)于非零向量b，由abbc，則ac.()(4)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同.()(6)|a|b|ab|是a、b共線的充要條件.()題號(hào)答案解析1234 解析解析思維升華思維點(diǎn)撥題型一空間向量的線性運(yùn)算題型一空間向量的線性運(yùn)算利用空間向量的加減法和數(shù)乘運(yùn)算表示即可.題型一空間向量的線性運(yùn)算題型一空間向量的線性運(yùn)算解析思維升華思維點(diǎn)撥題型一空間向量的線性運(yùn)算題型一空間向量的線性運(yùn)算解析思維升華思維點(diǎn)撥題

4、型一空間向量的線性運(yùn)算題型一空間向量的線性運(yùn)算解析思維升華思維點(diǎn)撥用已知向量來(lái)表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，我們把這個(gè)法則稱為向量加法的多邊形法則.題型一空間向量的線性運(yùn)算題型一空間向量的線性運(yùn)算解析思維升華思維點(diǎn)撥題型二共線定理、共面定題型二共線定理、共面定理的應(yīng)用理的應(yīng)用例2已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，(1)求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；解析思維升華思維點(diǎn)撥題型二共線定理、共面定題型二共線定理、共面定理

5、的應(yīng)用理的應(yīng)用例2已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，(1)求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；解析思維升華思維點(diǎn)撥題型二共線定理、共面定題型二共線定理、共面定理的應(yīng)用理的應(yīng)用例2已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，(1)求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；證明連結(jié)BG，解析思維升華思維點(diǎn)撥題型二共線定理、共面定題型二共線定理、共面定理的應(yīng)用理的應(yīng)用例2已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，(1)求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點(diǎn)共面.解析思維升華思維

6、點(diǎn)撥題型二共線定理、共面定題型二共線定理、共面定理的應(yīng)用理的應(yīng)用例2已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，(1)求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；解析思維升華思維點(diǎn)撥題型二共線定理、共面定題型二共線定理、共面定理的應(yīng)用理的應(yīng)用例2已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，(1)求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；解析思維升華思維點(diǎn)撥題型二共線定理、共面定題型二共線定理、共面定理的應(yīng)用理的應(yīng)用例2已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，(1)求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；解析思維升華思維點(diǎn)撥解析思維

7、升華例 2 ( 2 ) 求 證 ： B D 平 面EFGH；思維點(diǎn)撥例 2 ( 2 ) 求 證 ： B D 平 面EFGH；解析思維升華思維點(diǎn)撥例 2 ( 2 ) 求 證 ： B D 平 面EFGH；所以EHBD.又EH平面EFGH，BD 平面EFGH，所以BD平面EFGH.解析思維升華思維點(diǎn)撥例 2 ( 2 ) 求 證 ： B D 平 面EFGH；解析思維升華思維點(diǎn)撥例 2 ( 2 ) 求 證 ： B D 平 面EFGH；解析思維升華思維點(diǎn)撥例 2 ( 2 ) 求 證 ： B D 平 面EFGH；解析思維升華思維點(diǎn)撥解析思維升華思維點(diǎn)撥解析思維升華思維點(diǎn)撥證明找一點(diǎn)O，并連結(jié)OM，OA，OB

8、，OC，OD，OE，OG.解析思維升華思維點(diǎn)撥即EH綊FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形.所以EG，F(xiàn)H交于一點(diǎn)M且被M平分.解析思維升華思維點(diǎn)撥解析思維升華思維點(diǎn)撥解析思維升華思維點(diǎn)撥解析思維升華思維點(diǎn)撥解析思維升華思維點(diǎn)撥跟蹤訓(xùn)練2如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E是A1B上的點(diǎn)，F(xiàn)是AC上的點(diǎn)，且A1E2EB，CF2AF，則EF與平面A1B1CD的位置關(guān)系為 .跟蹤訓(xùn)練2如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E是A1B上的點(diǎn)，F(xiàn)是AC上的點(diǎn)，且A1E2EB，CF2AF，則EF與平面A1B1CD的位置關(guān)系為 .且EF 平面A1B1CD，DB1平面A1B1CD，所以EF平面A1B

9、1CD.平行題型三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用題型三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用解析思維升華題型三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用題型三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用解a(1,1,0)，b(1,0,2)，ab(1,1,0)(1,0,2) 1，解析思維升華題型三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用題型三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用即向量a與向量b的夾角的余弦值為 .解析思維升華題型三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用題型三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用(1)利用向量的數(shù)量積可證明直線的垂直關(guān)系；也可以利用垂直關(guān)系，通過(guò)向量共線確定點(diǎn)在線段上的位置；(2)利用夾角公式，可以求異面直線所成的角，也可以求二面角；解析思維升華題型三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用題型三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用(3)可以

10、通過(guò)|a| ，將向量的長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的問(wèn)題求解.解析思維升華解析思維升華例3 (2)若kab與ka2b互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值.例3 (2)若kab與ka2b互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值.解方法一kab(k1，k,2).ka2b(k2，k，4)，且kab與ka2b互相垂直，(k1，k,2)(k2，k，4)(k1)(k2)k280，解析思維升華例3 (2)若kab與ka2b互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值.當(dāng)kab與ka2b互相垂直時(shí)，解析思維升華例3 (2)若kab與ka2b互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值.(kab)(ka2b)k2a2kab2b22k2k100，解析思維升華例3 (2)若kab與ka2b互相

11、垂直，求實(shí)數(shù)k的值.(1)利用向量的數(shù)量積可證明直線的垂直關(guān)系；也可以利用垂直關(guān)系，通過(guò)向量共線確定點(diǎn)在線段上的位置；(2)利用夾角公式，可以求異面直線所成的角，也可以求二面角；解析思維升華例3 (2)若kab與ka2b互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值.(3)可以通過(guò)|a| ，將向量的長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的問(wèn)題求解.解析思維升華跟蹤訓(xùn)練3如下圖，已知空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)M、N分別是AB、CD的中點(diǎn).(1)求證：MNAB，MNCD；由題意可知，|p|q|r|a，且p、q、r三向量?jī)蓛蓨A角均為60.跟蹤訓(xùn)練3如下圖，已知空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)M、N分

12、別是AB、CD的中點(diǎn).(1)求證：MNAB，MNCD；跟蹤訓(xùn)練3如下圖，已知空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)M、N分別是AB、CD的中點(diǎn).(1)求證：MNAB，MNCD；同理可證MNCD.(2)求MN的長(zhǎng)；(2)求MN的長(zhǎng)；(3)求異面直線AN與CM所成角的余弦值.(3)求異面直線AN與CM所成角的余弦值.(3)求異面直線AN與CM所成角的余弦值.易錯(cuò)警示系列易錯(cuò)警示系列11 “兩向量同向意義不清致誤兩向量同向意義不清致誤解 析易 錯(cuò) 分 析 溫 馨 提 醒典例：已知向量a(1,2,3)，b(x，x2y2，y)，并且a，b同向，則x，y的值分別為 .將a，b同向和ab混淆，沒(méi)有

13、搞清ab的意義：a、b方向相同或相反.解 析易 錯(cuò) 分 析 溫 馨 提 醒解 析易 錯(cuò) 分 析 溫 馨 提 醒把代入得x2x20，(x2)(x1)0，解得x2，或x1當(dāng)x2時(shí)，y6；當(dāng)x1時(shí)，y3.解 析易 錯(cuò) 分 析 溫 馨 提 醒兩向量a，b反向，不符合題意，所以舍去.答案1,3(1)兩向量平行和兩向量同向不是等價(jià)的，同向是平行的一種情況.兩向量同向能推出兩向量平行，但反過(guò)來(lái)不成立，也就是說(shuō)，“兩向量同向是“兩向量平行的充分不必要條件；(2)若兩向量a，b滿足ab(b0)且0則a，b同向；在a，b的坐標(biāo)都是非零的條件下，a，b的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例.解 析易 錯(cuò) 分 析 溫 馨 提 醒方 法 與

14、 技 巧1.利用向量的線性運(yùn)算和空間向量基本定理表示向量是向量應(yīng)用的基礎(chǔ).2.利用共線向量定理、共面向量定理可以證明一些平行、共面問(wèn)題；利用數(shù)量積運(yùn)算可以解決一些距離、夾角問(wèn)題.3.利用向量解立體幾何題目的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通過(guò)向量的運(yùn)算或證明去解決問(wèn)題.失 誤 與 防 范1.向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律，即abba，a(bc)abac成立，但(ab)ca(bc)不一定成立.2.求異面直線所成的角，一般可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，但要注意兩種角的范圍不同，最后應(yīng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.2345678910123456789101解析取BD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF， 2

15、34567891012.如果三點(diǎn)A(1,5，2)，B(2,4,1)，C(a,3，b2)在同一條直線上，則a，b的值分別為 .3,2234567891013.已知a，b是異面直線，A，Ba，C，Db，ACb，BDb且AB2，CD1，則異面直線a，b所成的角等于 .所以異面直線a，b所成的角等于60.60234567891014.空間四點(diǎn)A(2,3,6)、B(4,3,2)、C(0,0,1)、D(2,0,2) (填“在或“不在”)同一平面內(nèi).假設(shè)四點(diǎn)共面，由共面向量定理得，存在實(shí)數(shù)x，y，23456789101由得xy1，代入式不成立，矛盾.假設(shè)不成立，故四點(diǎn)不共面.答案不在23456789101那

16、么|a|b|c|a，且a，b，c三向量?jī)蓛蓨A角為60.23456789101345678910126.已知2ab(0，5,10)，c(1，2，2)，ac4，|b|12，則以b，c為方向向量的兩直線的夾角為 .解析由題意得，(2ab)c0102010.即2acbc10，又ac4，bc18，b，c120，兩直線的夾角為60.60345678910127.如圖，在空間四邊形OABC中，若OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，則OA與BC所成角的余弦值為 .345678910123456789101234567891012a(cb)b(ac)c(ba)acabbabccbca0.方法

17、二如圖，在三棱錐ABCD中，不妨令其各棱長(zhǎng)都相等，則正四面體的對(duì)棱互相垂直.答案0345678910129.已知向量a(1，3,2)，b(2,1,1)，點(diǎn)A(3，1,4)，B(2，2,2).(1)求|2ab|；解a(1，3,2)，b(2,1,1)，2ab(0，5,5)，34567891012解假設(shè)存在點(diǎn)E，其坐標(biāo)為E(x，y，z)，即(x3，y1，z4)(1，1，2)，34567891012590，10.如下圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且兩兩夾角為60.(1)求AC1的長(zhǎng)；34567891012那么|a|b|c|1，a，bb，cc，a

18、60，34567891012a2b2c22(abbcca)(2)求BD1與AC夾角的余弦值.34567891012b2a2acbc1.34567891012234511.設(shè)向量a、b、c不共面，則下列集合可作為空間的一個(gè)基底的是 .ab，ba，a; ab，ba，b；ab，ba，c; abc，ab，c.23451答案234512.以下命題中，正確的命題個(gè)數(shù)為 .若a，b共線，則a與b所在直線平行；假設(shè)a，b，c為空間一個(gè)基底，那么ab，bc，ca構(gòu)成空間的另一個(gè)基底；若空間向量m、n、p滿足mn，np，則mp；23451解析由共線向量知a與b所在直線可能重合知錯(cuò)；若ab，bc，ca共面，則存在實(shí)數(shù)x，y，使abx(bc)y(ca)yaxb(xy)c，a，b，c不共面，y1，x1，xy0，x，y無(wú)解，ab，bc，ca能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，正確；由向量相等的定義知正確；23451由共面向量定理的推論知，當(dāng)xyz1時(shí)，P，A，B，C四點(diǎn)共面，錯(cuò).答案2234513.已知e1、e2是夾角為60