高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)23函數(shù)的奇偶性與周期性學(xué)案

1、2013版高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案：函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用2.3函數(shù)的奇偶性與周期性【高考新動(dòng)向】一、考綱點(diǎn)擊1、結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義；2、會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性；3、了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性。二、熱點(diǎn)難點(diǎn)提示1 .函數(shù)的奇偶性、周期性的應(yīng)用是高考的重要考點(diǎn)；2 .常與函數(shù)的圖象、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性、零點(diǎn)等綜合命題；3 .多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，屬中低檔題目【考綱全景透析】一、函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)任意一個(gè)，都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)。奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)

2、f(x)的定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)任意一個(gè)，都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)。-x在定注：1、奇偶函數(shù)的定義域的特點(diǎn)：由于定義中對(duì)任意一個(gè)x都有一個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的義域中，即說(shuō)明奇偶函數(shù)的定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；2、存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)，它們的特點(diǎn)是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且解析式化簡(jiǎn)后寺于今。二、奇偶函數(shù)的性質(zhì)1、奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的單調(diào)性相反(填“相同”、“相反”)。2、在公共定義域內(nèi)，奇函數(shù)與奇函數(shù)奇函數(shù)與偈函數(shù)偶函勤與偶函數(shù)和奇困數(shù)儡?chē)?guó)數(shù)差奇的數(shù)偶治數(shù)積偶國(guó)數(shù)奇國(guó)數(shù)偶國(guó)鍬商偶函數(shù)奇畫(huà)數(shù)儡困數(shù)亦即：(1)兩個(gè)奇函數(shù)的

3、和函數(shù)是奇函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的積函數(shù)是偶函數(shù)；(1) 兩個(gè)偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)是偶函數(shù)；(3) 一個(gè)奇函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)的積函數(shù)是奇函數(shù)。注：以上結(jié)論是在兩函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成立；并且只能在選擇題、填空題中直接應(yīng)用,解答題需先證明再利用。3、若是奇函數(shù)f(x)且在x=0處有定義，則f(0)=0.4、對(duì)稱(chēng)性：奇(偶)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件;5、整體性：奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x都必須成立；6、可逆性：f(x)f(x)f(x)是偶函數(shù)；f(x)f(x)f(x)奇函數(shù)；7、等價(jià)性：f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)f(x)f(x)f(

4、x)08、奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);9、可分性：根據(jù)函數(shù)奇偶性可將函數(shù)分類(lèi)為四類(lèi)：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)。三、周期性1、周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使彳導(dǎo)當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí),都有f(x+T尸f(x),那么就稱(chēng)函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)，T為這個(gè)函數(shù)的周期。2、最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做它的最小正周期。熱熱點(diǎn)難點(diǎn)全析】一、函數(shù)奇偶性的判定<1>利用定義判斷函數(shù)奇偶性的一般步驟1、相關(guān)鏈接既不是奇函款、也不是,是總毋D硝定£妙

5、，9)的關(guān)利(1)首先確定函數(shù)的定義域，看它是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。若不對(duì)稱(chēng)，則既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)。(2)若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，再判定f(-x)與f(x)之間的關(guān)系若f(-x)=-f(x)(或f(-x)+f(x)=0),則為奇函數(shù)；若f(-x)=f(x)(或f(-x)-f(x)=0),則f(x)為偶函數(shù);若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),則f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；若f(-x)Wf(x)且f(-x)w-f(x),則f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。<2>圖象法:奇函數(shù)與奇函數(shù)奇函顆與偶函赳偶防射與偶函教和奇困數(shù)差奇的數(shù)偶困數(shù)積偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)高偶的判奇明數(shù)偶函數(shù)

6、<4>一些重要類(lèi)型的奇偶函數(shù)函數(shù)f(x)=ax+a-x為偶函數(shù)；函數(shù)f(x)=ax-a-x為奇函數(shù)；函數(shù)f(x)=(ax-a-x)/(ax+a-x)=(ax-1)/(ax+1)其中(a>0且aw1)為奇函數(shù);1x函數(shù)f(x)=loga(1x)為奇函數(shù)(a>0且aw1)aw 1)函數(shù)f(x)=loga(xJx1)為奇函數(shù)(a>0且2、例題解析R例13討論下述函數(shù)的奇偶性: f(x)16x 1 2x.2x ；(2)f (x)(3)f(x)1og2( 1 x2.x2 1 1)；1n( ,x 1, x)(x 0)01n(.1 x(x 0)；x)(x 0)22(4)f(x)

7、L(常數(shù)a0);|xa|a解：(1)函數(shù)定義域?yàn)镽,f(x),16x12x2x116x12x?116x4x16x12x一、2f(x)，f(x)為偶函數(shù);(另解)先化簡(jiǎn):f(x)也1.4、4、1-4，顯然f(x)為偶函數(shù)；從這可以看出,化簡(jiǎn)后再解決要容易得多。(2)須要分兩段討論：設(shè)x0,x0,f(x)1n(7ixVx)1n.11n(<x1xx)f(x);,x1x設(shè)x0,x0,1f(x)1n(.x1,x)1n1n(1xx)f(x),1xx當(dāng)x=0時(shí)f(x)=0,也滿(mǎn)足f(x)=f(x);由、知，對(duì)xCR有f(x)=f(x),，f(x)為奇函數(shù)；(3)1 x20x21 0x21，函數(shù)的定義域

8、為 x2、例題解析0)組成，這兩點(diǎn)既關(guān).f(x)=log21=0(x=±1),即f(x)的圖象由兩個(gè)點(diǎn)A(1,0)與R(1于y軸對(duì)稱(chēng)，又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù);(4) x2<a2,要分a>0與a<0兩類(lèi)討論，a x當(dāng)a >0時(shí)，|x a | x a | 0, f (x)|x a | 0, f(x)函數(shù)的定義域?yàn)?a,0) (0,a),x ，當(dāng)a >0時(shí)，f(x)為奇函數(shù);a2 x22a，取定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)x12,x2aa.3.3tz一f(-)f(-)0,當(dāng)a0Bt,f(x)2253既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)R例23 f (

9、x)是定義在( 8,5 5,+8)上的奇函數(shù)，且f(x)在5,+8)上單調(diào)遞減，試判斷f(x)在(8,5上的單調(diào)性，并用定義給予證明.解析：任取x1<x2<-5,則x1>x2>5.因f(x)在5,+8上單調(diào)遞減，所以f(一x1)vf(x2)f(x1)vf(x2)f(x1)>f(x2),即f(x)在(一8,5上單調(diào)減函數(shù).二、分段函數(shù)的奇偶性1、分段函數(shù)奇偶性的判定步驟分析定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；對(duì)x的值進(jìn)行分段討論，尋求f(x)與f(-x)在各段上的關(guān)系；綜合(2)在定義域內(nèi)f(x)與f(-x)的關(guān)系，從而判斷f(x)的奇偶性。注：奇偶性是函數(shù)的一個(gè)整體性質(zhì)，不能

10、說(shuō)函數(shù)在定義域的某一段上是奇函數(shù)或偶函數(shù)。R例13已知函數(shù)f(x)2x x 4x2x x 4x(x 0)(x 0)。試判斷f (x)的奇偶性分析：確定定義域判斷每一段上f(x)與f(x)的關(guān)系判斷整個(gè)定義域上f(x)與f(x)的關(guān)系結(jié)論。解答：由題設(shè)可知函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。當(dāng)x0時(shí)，x0則f (x)f( x)f(x) 當(dāng)x 0,則f (x)f( x)f(x)2xx4,x2(x)(x)4xf(x).x0,x2x4,x(x)2(x)4xf(x).綜上所述，對(duì)于x0都有f(x)f(x)成立,f(x)為偶函數(shù)。注：分段函數(shù)奇偶性的判斷，要注意定義域內(nèi)x取值的任意性，應(yīng)分段討論，討論時(shí)可依據(jù)x的范

11、圍取相應(yīng)的解析式化簡(jiǎn)，判斷f(x)與f(-x)的關(guān)系，得出結(jié)論，也可以利用圖象作判斷.r7+.了/'h，=*21例23判斷函數(shù)，八:的奇偶性解析：顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?-8,0)U(0,+8),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，:當(dāng)x<0時(shí),-x>0,則f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);當(dāng)x>0時(shí),-x<0,貝Uf(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x);綜上可知：對(duì)于定義域內(nèi)的任意x,總有f(-x)=-f(x)成立，函數(shù)f(x)為奇函數(shù);三、抽象函數(shù)的奇偶性1、相關(guān)鏈接判斷(或證明)抽象函數(shù)的奇偶性的步驟利用函數(shù)奇偶性的定義，找準(zhǔn)方向(想辦法出現(xiàn)

12、f(x),f(-x);巧妙賦值，合理、靈活變形配湊；找出f(x)與f(-x)關(guān)系，得出結(jié)論。R例管已知函數(shù)f(x)對(duì)一切x、yCR,都有f(x+y尸f(x)+f(y),(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；若f(-3)=a,用a表示f(12).分析：判斷函數(shù)奇偶性的一般思路是利用定義，看f(-x)與f(x)的關(guān)系，進(jìn)而得出函數(shù)的奇偶性；解決本題的關(guān)鍵是在f(x+y尸f(x)+f(y)中如何出現(xiàn)f(-x);用a表示f(12)實(shí)際上是如何用f(-3)表示f(12),解決該問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找f(12)與f(-3)的關(guān)系.解答：1顯然f(x)的定義域是R,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。又Q函數(shù)對(duì)一切x、y都有f(xy)f(x

13、)f(y),令xy0,得f(0)2f(0),f(0)0.再令yx,得f(0)f(x)f(x),f(x)f(x),f(x)為奇函數(shù)。Qf(3)a且f(x)為奇函數(shù)，f(3)f(3)a.又Qf(xy)f(x)f(y),x、yR,f(12)f(66)f(6)f(6)2f(6)3f(33)4f(3)4a.R例2設(shè)函數(shù)f(x)在(，)上滿(mǎn)足f(2x)f(2x),f(7x)f(7x),且在閉區(qū)間0，7上，只有f(1)f(3)0。(1)試判斷函數(shù)yf(x)的奇偶性；(2)試求方程f(x)0在閉區(qū)間2005,2005上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論。解析：(1)由f(2x)f(2x)，得函數(shù)yf(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x

14、2f(1)f(5)而f(5)0f(1)f(1),即f(x)不是偶函數(shù)又,f(x)在0,7上只有f(1)f(3)0.f(0)0從而知函數(shù)yf(x)不是奇函數(shù)故函數(shù)yf(x)是非奇非偶函數(shù)f(x) f (4 x)f(x) f(14 x)f (4 x) f (14 x)f(2x)f(2x)2)f(7x)f(7x)f(x)f(x10)又f(3)f0f(11)f(13)f(7)f(9)0故f(x)在0,10和10，0上均有2個(gè)根，從而可知函數(shù)yf(x)在0,2000上有400個(gè)根,在2000,2005上有2個(gè)根，在2000，0上有400個(gè)根，在2005，2000上沒(méi)有根。函數(shù)yf(x)在2005,200

15、5上有802個(gè)根。注：抽象函數(shù)奇偶性的判斷，關(guān)鍵是要充分理解題意，靈活選取變量的值。四、函數(shù)奇偶性應(yīng)用1、相關(guān)鏈接應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的問(wèn)題及方法(1)已知函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)值將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解(2)已知函數(shù)的奇偶性求解析式將待求區(qū)間上的自變量，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式.已知函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)解析式中參數(shù)的值常常利用待定系數(shù)法：利用f(x)±f(-x)=0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的值或方程求解.應(yīng)用奇偶性畫(huà)圖象和判斷單調(diào)性利用奇偶性可畫(huà)出另一對(duì)稱(chēng)區(qū)間

16、上的圖象及判斷另一區(qū)間上的單調(diào)性2、例題解析【例】(1)(2011安徽高考)設(shè)心)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=2x2-x,則f(1)=()(")-3(B)-1)1()3f x(2)(2011 遼寧高考)若函數(shù)x2x 1 (x a)為奇函數(shù)，則a=()A1B2C3D1f(2)的x的取值范圍234f2x2已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0,+8)上單調(diào)遞增，則滿(mǎn)足是()A,0B0,2C0,22D(-2,)【方法詮釋】(1)將求f(1)的值轉(zhuǎn)化為求f(-1)的值的問(wèn)題求解；(2)由題意可知f(-x)+f(x)=0,從而得到關(guān)于x的恒等式，再構(gòu)建a的方程求解；f2x.2f|2x

17、.2|,f|2x,2|f,2(3)根據(jù)奇偶性得到將原不等式轉(zhuǎn)化為從而求解.【解析】(1)選A.由奇函數(shù)的定義有f(-x)=-f(x),所以f(1)=-f(-1)=-2X(-1)2+1=-3.2x(2)選A；,函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，. f(x)+f(-x)=0恒成立，即x 02x 1 x a恒成立.可化為(2x+1)(x-a)=(2x-1)(x+a)恒成立.整理得1a .2選B:f(x)為偶函數(shù)，f 2xJ2f |2x ',2|2(1-2a)x=0恒成立，則必有1-2a=0,又 f(x)在0,+8)上單調(diào)遞增，由f12x歷f(揚(yáng)得:2x、.22,解得：0x,2.作圖象、判定單調(diào)性問(wèn)題轉(zhuǎn)注

18、：利用函數(shù)的奇偶性可將未知區(qū)間上的求函數(shù)值、求解析式、化為已知區(qū)間上的函數(shù)值、解析式、圖象、單調(diào)性問(wèn)題求解，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與化歸思想.五、函數(shù)的周期性及其應(yīng)用1、相關(guān)鏈接關(guān)于周期函數(shù)的常用結(jié)論：(1)若對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x都有:則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a|是它的一個(gè)周期;1f(x+a)= f(x),則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2回 是它的一個(gè)周期;0,則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a|是它的一個(gè)周期;(2)如果T是函數(shù)y=f(x)的周期，則kT(kCZ,kw0)也是函數(shù)y=f(x)的周期，即f(x+kT尸f(x);若已知區(qū)間m,n(m<n)上的圖象，則可畫(huà)

19、出區(qū)間m+kT,n+kT(kCZ,kw0)上的圖象.1f x ,且2、例題解析fx1R例11(2011新課標(biāo)全國(guó)卷改編)已知函數(shù)f(x)對(duì)任意白實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足：當(dāng)xC-1,1時(shí)，f(x)=x2.求f(2012);(2)確定函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=|lgx|的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).fx1探究出函數(shù)f(x)的周期，進(jìn)而【方法詮釋】解答(1)題需先由f(x)利用周期性，求f(2012);(2)作出y=f(x)及y=|lgx|的圖象，從而使問(wèn)題得解fx1【解析】(1)二對(duì)任意xCR,都有.f(x)是以2為周期的函數(shù)，f(2012)=f(2X1006+0)=f(0)=02=0.(2)根據(jù)f(x)的周期性及

20、f(x)在-1,1上的解析式可作圖如下2/v-laI23456789idi可驗(yàn)證當(dāng)x=10時(shí)，y=|lg10|=1;x>10時(shí)，|lgx|>1,因此結(jié)合圖象及數(shù)據(jù)特點(diǎn)y=f(x)與y=|lgx|的圖象交點(diǎn)共有10個(gè).R例2設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x+2)=-f(x).當(dāng)xC0,2時(shí)，f(x)=2x-x2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)xC2,4時(shí)，求f(x)的解析式；(3)計(jì)算f(0)+f(1)+f(2)+f(2013).【解析】(1)=f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x).，f(x)是周期為4的周期函數(shù).(2)

21、當(dāng)xC-2,0時(shí)，-xC0,2,由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是奇函數(shù)，f(-x)=-f(x)=-2x-x2,f(x)=x2+2x.又當(dāng)xC2,4時(shí)，x-4C-2,0,f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期為4的周期函數(shù)， .f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.從而求得xC2,4時(shí)，f(x)=x2-6x+8.(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù)， .f(0)+f(1)+f(2)+K3)=f(4)+f(5)+f(6)+f=-=f(2008)+f(20

22、09)+f(2010)+f(2011)=0. f(0)+f(1)+f(2)+f(2013)=f(0)+f(1)=0+1=1.五、函數(shù)奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用R例已知函數(shù)f(x)在R上滿(mǎn)足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)且在閉區(qū)間0,7上，只有f(1)=f(3)=0,試判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性；(2)試求方程f(x)=0在閉區(qū)間-2011,2011上根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論思路分析：(1)判斷函數(shù)奇偶性的一般思路是利用定義，看f(-x)與f(x)的關(guān)系，但本題不易出現(xiàn)f(-x)與f(x),但可先假設(shè)該函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，看能否得出不正確的結(jié)論，進(jìn)而得出結(jié)論(即舉反例來(lái)

23、判斷函數(shù)的奇偶性).(2)先求函數(shù)的周期，然后在它的一個(gè)周期內(nèi)求解，再由其周期性求出定義域內(nèi)的全部解解析：(1)若y=f(x)為偶函數(shù)，則f(-x)=f(2-(x+2)=f(2+(x+2)=f(4+x)=f(x)，.f(7)=f(3)=0,這與f(x)在閉區(qū)間0,7上，只有f(1)=f(3)=0矛盾；因此f(x)不是偶函數(shù).若y=f(x)為奇函數(shù)，則f(0)=f(-0)=-f(0),.(0)=0，這與f(x)在閉區(qū)間0,7上，只有f(1)=f(3)=0矛盾；因此f(x)不是奇函數(shù).綜上可知：函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).f(x)=f(2+(x-2)=f(2-(x-2)=f(4-x),f

24、(x)=f(7+(x-7)=f(7-(x-7)=f(14-x)，.f(14-x)=f(4-x)，即f(10+(4-x)=f(4-x)f(x+10)=f(x),即函數(shù)f(x)的周期為10.又.f(1)=f(3)=0,.f(1)=f(1+10n)=0(nCZ),f(3)=f(3+10n)=0(n6Z),即x=1+10n和x=3+10n(nCZ)均是方程f(x)=0的根.由-201K1+10n<2011及nCZ可得n=0,±1,±2,±3,，±201,共403個(gè)；由-2011<3+10n<2011及nCZ可得n=0,±1,±

25、;2,±3,±200,-201,共402個(gè)；所以方程f(x)=0在閉區(qū)間-2011,2011上的根共有805個(gè).【方法提示】(1)如何判斷函數(shù)不具有某性質(zhì)判斷函數(shù)不具有某性質(zhì)只需舉出一個(gè)反例即可；(2)奇偶函數(shù)根的個(gè)數(shù)問(wèn)題由于奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)，所以，除去根為零外，如果有解，則解的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè).注:方程f(x)=A(其中A為非零常數(shù))的解的個(gè)數(shù)，如果函數(shù)f(x)為偶函數(shù)時(shí)解的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)，如果函數(shù)f(x)為奇函數(shù)時(shí)解的個(gè)數(shù)不一定為偶數(shù)個(gè).六、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用R例F定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足對(duì)任意x、y

26、R恒有f(xy)f(x)f(y)，且f(x)不恒為0。(1)求f(1)和f(1)的值；(2)試判斷f(x)的奇偶性，并加以證明；(3)若x0時(shí)f(x)為增函數(shù)，求滿(mǎn)足不等式f(x1)f(2x)0的x的取值集合。解析：(1)令xy1,得f(1)f(1)f(1).f(1)0令xy1，得f(1)f(1)f(1)f(1)0(2)令y1,由f(xy)f(x)f(y),得f(x)f(x)f(1)又f(1)0.f(x)f(x)又f(x)不恒為0f(x)為偶函數(shù)(3)由f(x1)f(2x)0知f(x1)f(2x)又由(2)知f(x)f(|x|)f(x1)f(2x)又f(x)在0,)上為增函數(shù),x12xx| x

27、故x的取值集合為12f ”脫掉，轉(zhuǎn)化為我們注：(1)對(duì)抽象函數(shù)解不等式問(wèn)題，應(yīng)充分利用函數(shù)的單調(diào)性，將“會(huì)求的不等式；(2)奇偶函數(shù)的不等式求解時(shí)，要注意到：奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的單調(diào)區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的單調(diào)區(qū)間上有相反的單調(diào)性。【高考零距離】1、(2012浙江高考文科T16)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)xC0,1時(shí)，f(x)=x+1,則專(zhuān)昔誤！不能通過(guò)編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。=?！窘忸}指南】考查函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的周期性和奇偶性的性質(zhì)把所求函數(shù)值化到已知的區(qū)間里面.【解析】f(3)=f(2°f(2)=3.3答案：2.2、(2012湖南高考文科T9)設(shè)定義在

28、R上的函數(shù)f(x)是最小正周期2兀的偶函數(shù)，f(x)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)XC0,兀時(shí)，0vf(x)v1;當(dāng)xC(0,兀)且xw2時(shí)，(x-2)f(x)>0,則函數(shù)y=f(x)-sinx在-2兀，2兀上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為二.2140.5口.8【解題指南】有偶函數(shù)得出值域，由導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)區(qū)間及相應(yīng)的單調(diào)性，根據(jù)曲線(xiàn)的交點(diǎn)判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。【解析】選6.由當(dāng)xC(0,兀)且xw錯(cuò)誤！不能通過(guò)編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。時(shí)(x-)f(x)02,知0,2時(shí)，f(x)0,f(x)為減函數(shù)；x,時(shí)，f(x)0,f(x)為增函數(shù)2又x0,時(shí)，0vf(x)v1,在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2兀的偶函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出y

29、sinx和yf(x)草圖像如下，由圖知y=f(x)-sinx在-2兀，2兀上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4故選B。3、(2012陜西高考數(shù)學(xué)文科T2)相同下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為()1('.)yx1(I)yx3(：)yx()yx|x|【解題指南】根據(jù)奇函數(shù)和增函數(shù)的定義進(jìn)行判斷；或根據(jù)已知函數(shù)的性質(zhì)和圖象直接判斷，也可以用排除法求解.【解析】選D選項(xiàng)A為一次函數(shù)，不是奇函數(shù)，是增函數(shù)；選項(xiàng)R是奇函數(shù)，不是增函數(shù)；選項(xiàng)C是反比例函數(shù)，為奇函數(shù)，不是增函數(shù)；選項(xiàng)D,取絕對(duì)值號(hào)，變?yōu)榉侄魏瘮?shù)符合題意.4、(2011廣東高考理科4)設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成

30、立的是A.f(x)+1g叫是偶函數(shù)Rf(x)-1g(x)|是奇函數(shù)C.|f(x)|+g(x)是偶函數(shù)D.|f(x)卜g(x)是奇函數(shù)【思路點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的奇偶性，可由奇偶性的概念進(jìn)行判斷【精講精析】選A.由題意f(x)f(x),g(x)g(x).令F(x)f(x)1g(x)|,則F(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|F(x).F(x)是偶函數(shù).故選A.5.(2011安徽高考文科T11)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x4時(shí)，f(x)=2x2X,則ND【思路點(diǎn)撥】由奇函數(shù)的定義有f(x)f(x),所以f1f(1).【精講精析】答案：-3.由奇函數(shù)的定義有f(x)f(x)，所以

31、-一2一f1f(1)2(1)13.6. (2011廣東高考文科T12)設(shè)函數(shù)f(x)=x3cosx+1,若f(a)=11，則f(-a)=.【思路點(diǎn)撥】令g(x)=x3cosx,利用g(x)是奇函數(shù)，求出g(a)=10,從而f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1,可得結(jié)論.【精講精析】答案-9令g(x)=x3cosx則f(x)=g(x)+1且g(x)為奇函數(shù)，所以g(-a)=-g(a).由f(a)=11得g(a)+1=11，所以g(a)=10f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-10+1=-97. (2011浙江高考理科T11)若函數(shù)f(x)xxa為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a【思路點(diǎn)撥】?jī)蓚€(gè)偶

32、函數(shù)的和函數(shù)亦是偶函數(shù)，偶函數(shù)與其它函數(shù)的和函數(shù)為非奇非偶函數(shù).【精講精析】解法一：二f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(X),即X2|xa|(x)2|xa|xaxa恒成立，.a0.解法二：函數(shù)yx2為偶函數(shù)，函數(shù)yxa是由偶函數(shù)yx向左或向右平移了a個(gè)單位，要使整個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)，則需a0.【考點(diǎn)提升訓(xùn)練】一、選擇題(每小題6分，共36分)1 .下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是()(；Z)y=-x3,xCR(£i)y=sinx,xCR1(詞y=x,x£R(D)y=(2)x,xCR2 .(2012宿州模擬)已知f(x)滿(mǎn)足f(x+4)=f(x)和f(-x)=-f(x

33、),當(dāng)xC(0,2)時(shí)，f(x)=2x2,貝Uf(7)=()(")-2(居)2()-98(D)983 .(預(yù)測(cè)題)f(x),g(x)都是定義在R上的奇函數(shù)，且F(x)=3f(x)+5g(x)+2若F(a尸b,則F(-a)=()(")-b+4鬲b+2('、)b-4()b+224 .函數(shù)y=lg(1x-1)的圖象關(guān)于()(A)x軸成軸對(duì)稱(chēng)圖形(B)y軸成軸對(duì)稱(chēng)圖形(C)直線(xiàn)y=x成軸對(duì)稱(chēng)圖形(D)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形5 .(2012臨沂模擬)若函數(shù)f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0,aw1)在R上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，則g(x)=loga(x+k)的圖象是(

34、)6. (2012 莆田模擬)(川2)<f(3)<g(0) (：)f(2)<g(0)<f(3)二、填空題(每小題6分,(A>(B(C)ID)f(x),g(x)分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且f(x)-g(x)=ex,則有()(二)g(0)<f(3)<f(2)()g(0)<f(2)<f(3)共18分)x2xk7 .設(shè)函數(shù)f(x)=tanx為奇函數(shù)，則k=.8 .(2011廣東高考)設(shè)函數(shù)f(x)=x3cosx+1,若f(a)=11，貝Uf(-a)=.9 .(2012泉州模擬)若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)=f(1-x),則f(201

35、2)=.三、解答題(每小題15分，共30分)10 .(易錯(cuò)題)設(shè)定義在-2,2上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上單調(diào)遞減，若f(m)+f(m-1)>0,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.11 .(2012珠海模擬)已知函數(shù)f(x)=a2xb是偶函數(shù)，a為實(shí)常數(shù).(1)求b的值；(2)當(dāng)a=1時(shí)，是否存在n>m>0,使得函數(shù)y=f(x)在區(qū)間m,n上的函數(shù)值組成的集合也是m,n,若存在，求出m,n的值，否則，說(shuō)明理由.若在函數(shù)定義域內(nèi)總存在區(qū)間m,n(m<n),使得y=f(x)在區(qū)間m,n上的函數(shù)值組成的集合也是m,n,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【探究創(chuàng)新】(16分)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈

36、,若存在非零實(shí)數(shù)l使得對(duì)于任意xCM(M?口)，有x+leD,且f(x+l)>f(x),則稱(chēng)f(x)為M上的l高調(diào)函數(shù).(1)如果定義域?yàn)?1,+8)的函數(shù)f(x)=x2為-1,+8)上的m高調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.(2)如果定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=|x-a2|-a2,且f(x)為R上的4高調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.答案解析1 .【解析】選A.在定義域內(nèi)為奇函數(shù)的為A,B,C,又y=sinx在R上不單調(diào)，y=x在R上為增函數(shù)，故選七2 .【解析】選A.由已知得f(x)為以4為周期的奇函數(shù)，.f(7)=f(7-8)=f(-1)=-f(1),又xC

37、(0,2)時(shí)，f(x)=2x2,f(7)=-2X12=-2.3 .【解析】選A;函數(shù)f(x),g(x)均為奇函數(shù)，f(a)+f(-a)=0,g(a)+g(-a)=0,F(a)+F(-a)=3f(a)+5g(a)+2+3f(-a)+5g(-a)+2=4,F(-a)=4-F(a)=4-b.4.【解題指南】先確定函數(shù)的定義域，再判斷函數(shù)的奇偶性，從而利用奇偶性判斷其圖象的對(duì)稱(chēng)性.21x【解析】選；.函數(shù)y=f(x)=lg(1x-1)=lg1x,函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?-1,1),1 x又.f(-x)=lg1x1x=-lg1x=-f(x),21-y=ig(1x-1)為奇函數(shù).其圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)

38、稱(chēng)圖形.5 .【解析】選A.因?yàn)閒(x)=(k-1)ax-a-x(a>0,aw1)為R上的奇函數(shù)，.f(0)=(k-1)-1=0，得k=2,f(x)=ax-a-x.又f(x)為R上的減函數(shù)，.0<a<1.故g(x)=loga(x+k)=loga(x+2)的圖象是由y=logax(0<a<1)的圖象向左平移兩個(gè)單位而得到，故選A.6 .【解析】選口f(x)-g(x)=ex,又f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，.f(-x)-g(-x)=e-x,即-f(x)-g(x)=e-x,xxxxeeee,fx22可知f(x)是R上的增函數(shù),.0<f(2)<f(3),

39、g(0)=-1<0,g(0)<f(2)<f(3).7 .【解析】f(x)=tanx為奇函數(shù),f(-x)=-f(x),即:tan xtanx得：(2+k)x=0,又xwk兀+2(keZ)時(shí)恒成立.2+k=0,得k=-2.答案：-28 .【解析】令g(x)=x3cosx則f(x)=g(x)+1且g(x)為奇函數(shù)，所以g(-a)=-g(a).由f(a)=11得g(a)+1=11，所以g(a)=10,f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-10+1=-9.答案：-99 .【解析】f(x)是R上的奇函數(shù)， .f(0)=0，又f(x)=f(1-x), .f(1)=f(0)=0,.f

40、(-1)=0,令x=2，得f(2)=f(-1)=0,f(-2)=0，同理可得f(2012)=0.答案：010.【解析】由f(m)+f(m-1)>0,得f(m)>-f(m-1),即f(1-m)<f(m).又f(x)在0,2上單調(diào)遞減且f(x)在-2,2上為奇函數(shù)f(x)在-2,2上為減函數(shù)，21m22m2,1mm1 m32 m2,11m即2解得-1wm<2.【誤區(qū)警示】本題易忽視m,1-mC-2,2而致誤.1bb11.【解析】由已知，可得f(x)=a2x”的定義域?yàn)镈=(-8,2)u(2,+oo).又y=f(x)是偶函數(shù)，故定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).于是，b=0.又對(duì)任意xCD,有f(x)=f(-x)，可得b=0.因此所求實(shí)