2019年北大物理科學(xué)營(yíng)資格賽試題及參考解答(附答題紙)

1、?3. （10分）如圖所示，半徑為？硒球面均勻帶電，總量? 0。 其外有半徑為2?的同心球面也均勻帶電，總量也為 ？?。試求 全空間的電場(chǎng)能？?1。解答過(guò)程中不可出現(xiàn)積分式，下同。設(shè)想令外力緩慢地將 ？求面上電荷?, 一起移動(dòng)到2?球 面上，使2?電荷均勻分布在 2?求面上，再求全空間電場(chǎng)能 ?2和外力做功?,并對(duì)所得？直作一定性解釋。4. （8分）如圖所示，平凸透鏡 ？尚右側(cè)放置一塊與 ？柱 光軸垂直的平面鏡 ?,在？勺左側(cè)主光軸上放置一個(gè)小發(fā) 光物？2將？?替主光軸平動(dòng)，？除三個(gè)位置上均可出現(xiàn)一 個(gè)重合在？社的實(shí)像，試說(shuō)明每一個(gè)實(shí)像出現(xiàn)的原因。二、計(jì)算題（5-9小題，共110分）?5. （

2、20分）在焦距為15 cm的會(huì)聚透鏡左方 30 cm處放一物體，在透鏡右側(cè)放一垂直于主 光軸的平面鏡。試求平面鏡的的位置與透鏡的間距？取何值，方能使物體通過(guò)此系統(tǒng)（經(jīng)一次平面鏡反射、兩次透鏡透射）所成的像與透鏡相距30 cm ?6. （20分）試證：任意正循環(huán)過(guò)程的效率，不可能大于工作在它所經(jīng)歷的最高熱源溫度與 最低熱源溫度之間的可逆卡諾循環(huán)過(guò)程的效率。2017年北京大學(xué)物理科學(xué)營(yíng)資格賽試題總分：140分2017年8月8日時(shí)間：2.5小時(shí)一、簡(jiǎn)答題（1-4小題，共30分）1. （6分）如圖所示，將勁度系數(shù)為？?，質(zhì)量為？的均勻彈性體豎直朝下懸掛著，靜止平衡后，彈性體伸長(zhǎng)量為？?？=?（2?。將

3、此彈性體平放在光滑水平面上，用沿彈性體方向的恒力？?拉其一端，最終達(dá)到無(wú)內(nèi)部相對(duì)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，試求彈性體伸長(zhǎng)量？?。2. （6分）某理想氣體的一條等溫線？?，與一條絕熱線？?，如圖1所示地相交于兩點(diǎn)，試問(wèn)這將會(huì)違反哪些熱力學(xué)定律？若該理想氣體的一條等溫線？?，與一條絕熱線？?，如圖2所示地相交于兩點(diǎn)，再問(wèn)這將會(huì)違反哪些熱力學(xué)定律？7. (24分)如圖所示，豎直固定、內(nèi)壁光滑的兩條平行細(xì)長(zhǎng)直軌道相距l(xiāng)。左側(cè)軌道內(nèi)懸掛著自由長(zhǎng)度為l、勁度系數(shù)為k的均勻輕彈簧，彈簧下端連接質(zhì)量為m的小球1,開始時(shí)靜止在其平衡位置，此時(shí)彈簧伸長(zhǎng)l。右側(cè)軌道內(nèi)在等高處懸掛著自由長(zhǎng)度為21、勁度系數(shù)為2k的均勻輕彈簧，彈簧

4、下端連接質(zhì)量為2m的小球2,開始時(shí)彈簧無(wú)形變，球2靜止。兩個(gè)小球間連接著一根長(zhǎng)為J21的細(xì)輕繩。今將球2從靜止自由釋放，小球便會(huì)在軌道內(nèi)無(wú)摩擦地上、下運(yùn)動(dòng)。過(guò)程中，若輕繩被拉直到J21的長(zhǎng)度，輕繩便會(huì)在極短時(shí)間內(nèi)為球1、2提供沖量，使它們改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，假設(shè)過(guò)程中輕繩不會(huì)損耗機(jī)械能。(1)試求在以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，球1、2各自所能達(dá)到的最低位置和最高位置之間的高度差幾、h2(答案中不可出現(xiàn)參量k和m)；(2)再求從開始到球2第一次達(dá)到其最高位置所經(jīng)過(guò)的時(shí)間間隔k和m)。t (答案中不可出現(xiàn)參量8. (22分)如圖所示，慣性系？神的？?-?面上，有一根與？作由夾角為?,整體沿？嘴由方向以勻速度？?高

5、速運(yùn)動(dòng)的細(xì)桿？?？已知？?=30時(shí)，？源測(cè)得桿？?勺長(zhǎng)度為軍。(1)改?。?=45,保持加變，試求？源測(cè)得的桿長(zhǎng)?o(2)仍取？?=45,保持？?不變。設(shè)？0時(shí)，桿的?端位于坐標(biāo)原點(diǎn)?,此時(shí)有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)？?恰好位于？湍，沿著桿？?朝著？噂運(yùn)動(dòng)，？源測(cè)得？冰目對(duì)桿？?的運(yùn)動(dòng)速度大小也恰好為？2(設(shè)？?0.54?(2.(1) ？劑達(dá)？端的時(shí)刻相；(2.(2) 在？?=0到？?時(shí)間段內(nèi)，？紙?-?面上運(yùn)動(dòng)跡線的數(shù)學(xué)方程？?=?。(3)設(shè)？?0,另有一粒子加速槍，可用同一加速電壓加速各靜止粒子。現(xiàn)有兩種帶負(fù)電粒子？、？，經(jīng)該槍加速后進(jìn)入？?的電場(chǎng)區(qū)域，槍口發(fā)射方向垂直于？?BJ槍口連線。(1)若粒子？、

6、?進(jìn)入？須區(qū)域后能作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知加速電壓為?,求圓半徑?；(2)現(xiàn)用兩支相同的槍，槍口與點(diǎn)電荷？?相距召且在同一位置，調(diào)整發(fā)射角，使兩槍發(fā)射角都偏？?處切向一個(gè)小角度。兩槍分別同時(shí)發(fā)射？、？9，當(dāng)？、?進(jìn)入？骸區(qū)域后，分別繞？?作某種運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻？、？同時(shí)回到原出發(fā)點(diǎn)，？繞？維3圈，？繞?轉(zhuǎn)2圈，求兩者荷質(zhì)比之比？?:？。忽略粒子間的相互作用及相互碰撞的可能性。2017年北京大學(xué)物理科學(xué)營(yíng)資格賽參考解答與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、簡(jiǎn)答題（1-4小題，共30分）1. （6分）答：取彈性體質(zhì)心參考系，其中體分布的平移慣性力丑？?-?,?=卻?？（3分）取代了重力？?，其間標(biāo)量關(guān)系為？?,即得?=?（?）?

7、2?=?/2?（3分）2. （6分）答：圖1中出現(xiàn)的一個(gè)正循環(huán)過(guò)程，會(huì)從單一熱源吸熱，全部用來(lái)對(duì)外作機(jī)械功，違反熱力學(xué)第二定律。圖2中出現(xiàn)的一個(gè)正循環(huán)過(guò)程，一則應(yīng)從單一熱源吸熱，全部用來(lái)對(duì)外作機(jī)械功，違反熱力學(xué)第二定律，再則事實(shí)上是向熱源放熱，同時(shí)又對(duì)外作機(jī)械功，故違反熱力學(xué)第一定律。（3分）+（3分）3. （10分）答：初態(tài)、末態(tài)均可取為由無(wú)窮小面元電荷？?？?為基元（點(diǎn)電荷）構(gòu)成的面分布電荷系統(tǒng),其全空間電場(chǎng)能即為系統(tǒng)電勢(shì)能。初態(tài)：2?掘面電勢(shì)：2?球心電勢(shì)一?+?4?2?7J七力.4?2?4?球面所圍空間為零場(chǎng)強(qiáng)區(qū)：即為等勢(shì)區(qū)，故？?球面電勢(shì)同于球心電勢(shì)，即為?+4?2?4?初態(tài)系統(tǒng)電勢(shì)

8、能：？?1=1?二+1?（一?+上）124?2?2（4?2?4?/5?夕全空間電場(chǎng)能：？?產(chǎn)?1=-9（4分）16?末態(tài)：2?博面電勢(shì)：4?短？系統(tǒng)電勢(shì)能：？?2=1（2?潟?2?.、一.，一八一?-王仝間電場(chǎng)目匕：?2=?2=4?4?0?Q?外力作功：？?=?2-?劣?產(chǎn)-而?？（3分）?直的定性解釋：（定量?jī)?nèi)容供參考）2?球面外的電場(chǎng)結(jié)構(gòu)與能量，和初態(tài)完全相同。？?球面到2?球面間區(qū)域的電場(chǎng)從？?？=?（4?）減至U?=0,其場(chǎng)能從？?=/?2?2（?4?，？（16?0?減至U?=0。過(guò)程中作用在?電荷上徑向朝里的外力幾乎抵消徑向朝外的電場(chǎng)力，過(guò)程中外力作負(fù)功，使？?-2?間電場(chǎng)能隨電場(chǎng)歸

9、零，故必有？?+?=0,即？?=-?=-?吊？16?）?。（3分）4. （8分）答：其中一個(gè)實(shí)像是因?yàn)椋克乖谖恢们『檬?？羽方空間的焦點(diǎn)？?,?及出的物光透過(guò)？城平行光，經(jīng)？發(fā)射后又在？?處會(huì)聚成實(shí)像。（4分）第二個(gè)實(shí)像是因?yàn)閺?？折在位置發(fā)出的物光經(jīng)？城實(shí)像在的？左側(cè)平表面上，由光路可逆，其反射光又成實(shí)像在？社。（3分）第三個(gè)實(shí)像是因?yàn)?？以所在位置發(fā)出的物光經(jīng)？處側(cè)平表面折射，又經(jīng)？?&側(cè)凹球面反射,最后再經(jīng)？處側(cè)平表面折射后成實(shí)像在？社。（3分）二、計(jì)算題（5-9小題，共110分）5. （20分）解：先討論會(huì)聚透鏡的第一次成像：？=15cm,？=30cm,？=？=30cm像是倒立的實(shí)像。第二步

10、是平面鏡成像：？=？-？,？=-？2=？-？：平面鏡與透鏡的間距所成的像，相對(duì)第一次成像的像為正立的。再看會(huì)聚透鏡的第二次成像：？=？-？=？-（？-？=2？-？（2？-？）？（2？?30）X15（？?15）X30？=？-？2？-？-？2？-30-152？?45凸透鏡的這次成像，有兩種情形都會(huì)符合題文要求，即像可在透鏡的兩側(cè)。（1）若為實(shí)像，？=30cm，代入上式得？=30cm（10分）（2）若為虛像，？=-30cm，代入上式得？=20cm（10分）6. （20分）證：先設(shè)討論的循環(huán)過(guò)程為可逆過(guò)程，它可分解為一系列無(wú)窮小的可逆卡諾循環(huán)（用密集的？環(huán)口最低溫度？與全循絕熱線加以分解）。對(duì)每一無(wú)窮

11、小可逆卡諾循環(huán)過(guò)程，其最高溫度環(huán)過(guò)程最高溫度？和最低溫度？私間有下述關(guān)系：？1-w1-？即得？加？1-竺1-至二？?-？=？1？/？1？）？M匯？?？E？_=用-E?）?匯？?w?（12分）再設(shè)討論的循環(huán)過(guò)程為不可逆過(guò)程，則每一無(wú)窮小卡諾循環(huán)或?yàn)榭赡?，或?yàn)椴豢赡?，?尸?1-1-=?1?其中等號(hào)僅可能對(duì)應(yīng)于可逆的無(wú)窮小卡諾循環(huán)同理，有？=匯？?？5？?？匯？?緡匯？?=？?,繩又將處于松弛狀態(tài)。而后球1、2經(jīng)時(shí)間間隔?=?/4分別降落高度41?下=?=3?下=?=3?速度同降為零。因？-?=?故此時(shí)兩球等高。而后球1、2又經(jīng)時(shí)間間隔?=?/441返回到題解圖所不位置，速度向上，大小分別恢復(fù)為？

12、=g?0和？=3?0。此時(shí)，細(xì)繩33第二次達(dá)到長(zhǎng)度為3?？勺伸長(zhǎng)狀態(tài)。短時(shí)間內(nèi)，因過(guò)程逆向進(jìn)行，細(xì)繩作用效果使球1靜止在該位置，球2獲得向上速度，大小為？?0。而后球1靜止在原位，球2又經(jīng)過(guò)時(shí)間間隔?=?/4上升到題文位置，速度降為零。綜上所述，得44（1）問(wèn)答案：？1=?下=3?,?1=?上+?鄉(xiāng)下=3?（12分）?一（2）問(wèn)答案：？?=?+?+?+?=?=2?vA?（12分）8. （22分）?=一?解：（1）?=30時(shí)，將桿？?在？2?彷向的靜長(zhǎng)分別記為笠?：1）、猊?（1）,則有?0?41)=?os307V1-?,猊?(1)=給in30將桿的靜長(zhǎng)記為即，則有*二痣41)+70?(1)=(

13、Cos3；+sin230。僚?=45時(shí)，桿？?在？2?彷向靜長(zhǎng)分別為?0?42) = ?sin45?彳2)=?Cos45?，1-?,?=痣42)+ ?2?(2)=sin245 )?cos245(+-+1-?2聯(lián)立兩個(gè)?表達(dá)式，解得?=(cos2301-?+sin230cos245?(1-?+sin245?(10 分)(2)(2.1)4-?2?= ?= 卒淳?(2分)4-?2?=？?7?,?=?v2? sin45 = ?2(2.2)?你測(cè)得？?在?-?面上沿？2?彷向的速度分量分別為?=?COS45+。?=(1+1)?,?=?在?-?面上的運(yùn)動(dòng)方程為?=?=?的運(yùn)動(dòng)跡線方程便為?= ?=?v2

14、=? 2+/或?=(v2- 1)?(3) ?源中？?的速度記為？?，則有(4分)O O O- o)?2?= ?2?+ ?= (2 + V2)?2?, 1 - ?= 1 -.=1 -?3- o(2 + /2)9= 1 - (2 + V2)?你可據(jù)動(dòng)鐘變慢公式，算得?仍?=娟-?= V1 - (2 + 法)？?2 ?宴?1? 4-2?(6分)9. (24 分)解：(1)設(shè)加速電壓為?,發(fā)射后粒子速度為？?，則?= 2? , ?：粒子電荷量，？：粒子質(zhì)量則有?= ? ? ?= ?(2?)?=14?(8分)刎電粒子作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)故? = ?(2)討論一般情況，略去下標(biāo)。當(dāng)發(fā)射時(shí)偏離切向一個(gè)小角度？?

15、,如題解圖1所示，粒子軌跡將偏離切向一個(gè)小角度？?，參見(jiàn)題解圖1,粒子軌道將偏離圓軌道。初始時(shí)粒子繞？?的面積速度為1?=2?cos?設(shè)粒子某時(shí)刻偏離圓軌道？?，參見(jiàn)題解圖2,此時(shí)粒子切向速度分量記為？1則有1?=2(?0?+?/由？?守恒可得?!=?cos?7(?+?以？?為中心，粒子相對(duì)？?的角向運(yùn)動(dòng)構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)參考系中，粒子受？裂引力雁與旋轉(zhuǎn)參考系中的慣性離心力？?5如題解圖2所示，已略去科里奧利力。有?=?+?2?德=?(?+?=?cos2?/(?+?3?/(?+?3在徑向？俗由方向上受力為?=?(1-3?-?-2?=-?是線性恢復(fù)力，在旋轉(zhuǎn)系中粒子會(huì)以？?為平衡位置作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，角頻率和

16、周期為一:一;一?= 2?= 2?另一方面在？?附近振動(dòng)，而每作一個(gè)完?=，？?？(?(?)=1=?變換到原參考系中，粒子一方面作近似的圓周運(yùn)動(dòng),整的圓周運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間為?=2?=2?即?=?在？、？同時(shí)回到原出發(fā)點(diǎn)時(shí)，依題意有?23?=2?-=-?3又?3?=(2?)/(2?)?=-1oo-?=?3=2?=2?2?:?=?=9:4(16分)即為所求。(2)問(wèn)另解：對(duì)于單個(gè)粒子(-?,?)將庫(kù)侖引力類比于萬(wàn)有引力?-?,?故此時(shí)粒子將作橢圓軌道運(yùn)動(dòng)。利用萬(wàn)有引力橢圓軌道能量公式?=-2?可得此情形能量公式?=2?其中？的粒子橢圓軌道半長(zhǎng)軸。另一方面，12?=2?-萬(wàn)市.?=?是與出射角度無(wú)關(guān)的常量。類比萬(wàn)有引力情形，此時(shí)有“開普勒第三定律”：3?=?與出射角度無(wú)關(guān)。（？*出射角度無(wú)關(guān)）因？次常量，故與（1）問(wèn)中圓軌道周期相同，即2?2?2?=:=?炎？/?v2?229?=?2=4附注：萬(wàn)有引力橢圓軌道“開普勒第三定律？?=摟?V?庫(kù)侖引力橢圓軌道“開普勒第三定律？?=不?、/?/?北京大學(xué)物理科學(xué)營(yíng)入營(yíng)資格考試答題紙2017年8月8日9:0011:30學(xué)校:姓名:所答試題的題號(hào)必須