材料工程基礎(chǔ)第一章答案

1、拉格朗日描述拉格朗日描述歐拉描述歐拉描述f=f (a,b,c,t)說(shuō)明：說(shuō)明： f f 為流體質(zhì)點(diǎn)的某一物為流體質(zhì)點(diǎn)的某一物理量，上式表示在運(yùn)動(dòng)理量，上式表示在運(yùn)動(dòng)初始時(shí)刻坐標(biāo)為初始時(shí)刻坐標(biāo)為( (a,b,ca,b,c) )的流體質(zhì)點(diǎn)在的流體質(zhì)點(diǎn)在t t時(shí)刻該物時(shí)刻該物理量的值或表達(dá)式。理量的值或表達(dá)式。),(),(),(zyxFf 說(shuō)明：說(shuō)明： 用其表示流體質(zhì)點(diǎn)在用其表示流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻運(yùn)動(dòng)到空間某不同時(shí)刻運(yùn)動(dòng)到空間某一點(diǎn)的位置一點(diǎn)的位置在直角坐標(biāo)系中，歐在直角坐標(biāo)系中，歐拉坐標(biāo)可以直接用直角拉坐標(biāo)可以直接用直角坐標(biāo)坐標(biāo)(x,y,z)表示。表示。位位 置置),(cbarr或或),(),()

2、,(cbazzcbayycbaxx速速 度度),(cbauu或或),(),(),(),(),(),(cbazcbaucbaycbaucbaxcbauzyx加速度加速度22),(),(),(cbaxcbaucbaaxx22),(),(),(cbaycbaucbaayy22),(),(),(cbazcbaucbaazz拉格朗日描述拉格朗日描述位位 置置),(),(),(zyxrr或或)()()(zzyyxx速速 度度),(),(),(),(zyxurudrdu或或ddzzyxuuddyzyxuuddxzyxuuzzyyxx),(),(),(歐拉描述歐拉描述ddzzuddyyuddxxuududzy

3、xa),(加速度加速度uuuzuuyuuxuuuzyx)(哈密頓算子；哈密頓算子；zkyjxi1-1流體質(zhì)點(diǎn)的位置用 表示，求其速度的拉格朗日描述與歐拉描述。,22,22,cbecbezcbecbeyax;22;22; 0cbecbezcbecbeyxuuuzyx解：速度的拉格朗日描述由已知條件得：ezycbezycbxa ; ;代入上式得速度的歐拉描述：0;2222;2222xyzyzyzyzyzeezeeyzyzyzyzeeyeeuuu1-2設(shè)流體運(yùn)動(dòng)的歐拉描述為 試求流體運(yùn)動(dòng)加速度的歐拉描述和拉格朗日描述（a+b=0） , 0,22zyxubyuaxu解：加速度的歐拉描述為：222200

4、2axaaxazuuyuuxuuudduxzxyxxxxxa222bybzuuyuuxuuudduyzyyyxyyya0zuuyuuxuuudduzzzyzxzzza0ddz,ddy,ddx 22zyxubyuaxu由積分得：;223221aaaecxa;223222bbbecyb3cz 0 2 2c , 033231baccbbcaaczbyax又因：代入上式得：時(shí)刻，當(dāng)czaaaeaayaaaeaaxaa;222;22232233223）（）（所以：流體運(yùn)動(dòng)加速度的拉格朗日描述為; 0;22;22322322aaazayaxaeaayaeaax1-3 流體運(yùn)動(dòng)的速度由 給出，當(dāng)=1時(shí)，求質(zhì)

5、點(diǎn)p(1,3,2)的速度及加速度（即求速度和加速度的拉格朗日描述）xzyxu,22解：由題意，流體運(yùn)動(dòng)的速度的歐拉描述為xzyxuuuzyx ; ;22xzuddzyuddyxuddxzyx ; ;22233212c ;e ;23ezcycx積分得：代入已知條件=1時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)p的坐標(biāo)為（1，3，2）;2 ;3e ; 3223-121eccc求得：11233122ez) 1(3 32eyx求得：所以，流體運(yùn)動(dòng)的速度的拉格朗日描述為)11(2)1(31234 ;e3 ;43ezyxuuuzyx所以，流體運(yùn)動(dòng)加速度的拉格朗日描述為) 11(8 );(2e3 ;12)11(233)1(3143euuu

6、zzyyxxaaa1-4 流體運(yùn)動(dòng)的速度由 描述（1）求其加速度的歐拉描述（2）求矢徑r=r(a,b,c,)的表達(dá)式和加速度的拉格朗日描述（3）求流線和跡線23,111xyzxyzuuu解：（1）加速度的歐拉描述為222121412xxxzuuyuuxuuudduxzxyxxxxxa216yzuuyuuxuuudduyzyyyxyyya0zuuyuuxuuudduzzzyzxzzza分別對(duì)速度的歐拉描述進(jìn)行積分得：1 ;13 ;12 zuddzyuddyxuddxzyx因：1 1 ;1 33221czcycx所以：（2）由題意得： =0時(shí)，x=a, y=b z=c ;代入上式有：1 1 1 b

7、; ; 32321czbyaxcccac所以：cczubbyuaaxuzyx1 ;131 ;121 232所以：0 ;16 ;2 ,zabuaauazyyxx：拉格朗日描述的加速度所以（3）由流線方程得：; 1131233122113121czyczxcyxzdzydyxdx即質(zhì)點(diǎn)的跡線方程為：1 ;13 ;12 zuddzyuddyxuddxzyx因：分別積分得：1 1 ;1 33221czcycx所以：=0時(shí)，x=a, y=b z=c ;代入上式有： 1 1 1 b; ; 32321czbyaxcccac質(zhì)點(diǎn)的跡線方程為所以：12 處流體質(zhì)點(diǎn)的跡線。時(shí)在時(shí)刻的流線方程；求為常數(shù)，與其中為設(shè)

8、流體運(yùn)動(dòng)的歐拉描述cbaakaxkky,0 2 1 , 0u,u,u 61zyx解：解：（1） 由流線方程由流線方程axkdykydxkydydxaxkCkyxkakx22212112221Cxayx（2） 由跡線方程定義可寫(xiě)出由跡線方程定義可寫(xiě)出 3 02 ;1 ;zyxuddzaxkuddykyuddx對(duì)（對(duì)（2）式求二階導(dǎo)數(shù)）式求二階導(dǎo)數(shù)addxkdyd22又又 因因kyddxkaykdyd222二階線性非齊次二階線性非齊次常微分方程常微分方程所以，求得其通解為kakCkCysincos21代入（1）式得：akCkCdakkCkkCxakkCkkCakkCkkCkyuddxxcossin

9、 sincossincossincos43212121所以：則歐拉描述的跡線為：52143sincoscossinCzkakCkCyakCkCxkabCa14,C czb,ya,x0：的已知條件可求的時(shí)，代入所以，在（a,b,c）處流體質(zhì)點(diǎn)的跡線為523sincoscossinCzkakCkkabyakakCx的跡線。通過(guò)時(shí)的流線及試求通過(guò)設(shè)流體的速度為1, 10, 1, 1, 0,u 71xyxyxuyuxzy解：解： （1） 由流線方程對(duì)此積分可得,ydyxdx211111 CCCeyxCynxnc得：，代入過(guò)空間點(diǎn)2111yx的流線為：，則通過(guò)空間點(diǎn)（2） 由跡線方程1Cy , 1 0,

10、21eeCxddzyddyxddx對(duì)此積分可得, 0, 011021CC得：，時(shí)過(guò)空間點(diǎn)代入已知條件，當(dāng)?shù)嫩E線方程為：，時(shí)過(guò)空間點(diǎn)所以當(dāng)11011yx動(dòng)是否有旋。流體是否可壓，流體運(yùn)求散度和旋度，并判斷中的流體，描述流體速度用同樣還是習(xí)題1,13,12u4 81xzuyuxzy解：（1） 根據(jù)散度和旋度的定義，可得：16111312zuyuxuuudivzyx0 kyuxujxuzuizuyuuuuzyxkjiuurotxyzxyzzyx（2） 由連續(xù)性方程得，當(dāng)流體不可壓時(shí)應(yīng)滿足：0 u016u又因所以流體可壓縮0 urot又因由上面得所以流體無(wú)旋解：解： 根據(jù)牛頓粘性定律：根據(jù)牛頓粘性定律

11、： duFAdy 20.4 0.450.18Am30 11000 1/1 100dusdy 5sin5 9.818.8413FmgN 18.840.10/0.18 ( 1000)FPa sduAdy 1-101-11 圖示為一水平方向運(yùn)動(dòng)的木板，其速度為1m/s。平板如在油面上， ，油的 。求作用在平板單位面積上的阻力。 10mm0.09807Pa s解：解：1-12 試確定下列各流場(chǎng)是否滿足不可壓縮流體的連續(xù)條件：解：由流體的連續(xù)性方程 得，當(dāng)流體不可壓縮時(shí)，0 divudd0 0zuyuxudivuzyx即：（1）0022 0 2 22xxzuyuxudivuuxyuyxuzyxzyx所以

12、：滿足不可壓縮的條件（2）0000 222222zuyuxudivuyxuxzuzyuzyxzyx所以：滿足不可壓縮的條件1-13 試確定下列各流場(chǎng)是否滿足不可壓縮流體的連續(xù)條件：（3） 由題有由題有 (2),2,0yxzuuukxykyxyz(2)20(23 )0yxzuuukxykykxyxyz該流場(chǎng)不滿足不可壓連續(xù)性方程該流場(chǎng)不滿足不可壓連續(xù)性方程 （4） 由題有由題有 cos,cos,0yxzuuukyxykxxyxyz cos(cos)0()cos0yxzuuukyxykxxyk yxxyxyz 該流場(chǎng)不滿足不可壓連續(xù)性方程該流場(chǎng)不滿足不可壓連續(xù)性方程 201.2 在封閉端完全真空的

13、情況下，水銀柱差250Zmm，求盛水容器液面絕對(duì)壓強(qiáng)1p 和液柱高度1Z 。 解：由流體靜壓強(qiáng)分布規(guī)律：解：由流體靜壓強(qiáng)分布規(guī)律： 0ppgh和等壓面的關(guān)系得：和等壓面的關(guān)系得： 222111pgZpgZ而左端為真空，即而左端為真空，即 2=0p所以：所以： 312213.6 109.8 0.056664PapgZ3221113.6 109.8 0.050.68m1000 9.8gZZg1-1521習(xí)題習(xí)題1.3 水管上安裝一復(fù)式水銀測(cè)壓計(jì)，如圖 1.3 所示。問(wèn)1234,p ppp 哪個(gè)最大？哪個(gè)最小？那些相等？為什么？ 解： 題中，1p 最小，2p 和3p 相等，而4p 最大。 由流體靜壓

14、強(qiáng)分布規(guī)律及等壓面的關(guān)系得 ： 1222Bppghpgh汞水對(duì)與等壓面B-B，232 3 pp、 斷面符合等壓面的條件 靜止、連續(xù)的同種流體，又在同一水平面上所以，3343433343,0 AAAppghpghppghghpp汞水汞水對(duì)于等壓面，AABB1-161h2h3h4h21222210 ppghghghpp汞汞水水所以，所以： 22習(xí)題習(xí)題1.4 封閉水箱各測(cè)壓管的液面高程為：124100,20,60cmcmcm ，問(wèn)3 為多少？ 解： 由流體靜壓強(qiáng)分布規(guī)律及等壓面的關(guān)系得 ： 0ppgh3013() ppg水3023() ppg水銀得： 2313()()gg 水銀水332133313

15、.6 109.8 0.2 1 109.8 10.13613.6 109.8 1 109.8 ggmgg水銀水水銀水1-17。，求，稱為復(fù)式測(cè)壓計(jì)中各液面高554321P5m. 30m. 15m. 26m. 00m. 31-18解： 由流體靜壓強(qiáng)分布規(guī)律及等壓面的關(guān)系得 ： 503.94.4101.325476.672578ppggkPa汞水2321032332102gg gg22水汞水汞所以，斷面，對(duì)于PPPPP4543232104543354554334gggg gg gg44水汞水汞水汞水汞所以，斷面，對(duì)于PPPPPP241.10 設(shè)兩平板之間的距離為 2h， 平板長(zhǎng)寬皆為無(wú)限大， 忽略質(zhì)

16、量力， 如圖所示。 試用NS方程推導(dǎo)不可壓恒定流體的流速分布。 解：由NS方程：21()3bduFpuudt 由連續(xù)性方程：由連續(xù)性方程： ()0divut因?yàn)闉楹愣鳎驗(yàn)闉楹愣鳎?且因?yàn)椴豢蓧?，且因?yàn)椴豢蓧海?粘性不變粘性不變 ，且平板長(zhǎng)寬皆為無(wú)限大，且平板長(zhǎng)寬皆為無(wú)限大， 0,0 xyuu忽略質(zhì)量力忽略質(zhì)量力 根據(jù)以上條件，根據(jù)以上條件，NS方程與連續(xù)性方程可化為：方程與連續(xù)性方程可化為： 0( )zuaz220( )zupbzx 0()pdx 0( )pcy 0zuz常數(shù)1-19由由(c)，(d)兩式可知，兩式可知， ( )pp z由由(b)式，有：式，有： 22zupzx由于式（由

17、于式（e）左方只是）左方只是Z的函數(shù)，右方只是的函數(shù)，右方只是X的函數(shù)，雙方要的函數(shù)，雙方要相等必須同時(shí)為常數(shù)，于是：相等必須同時(shí)為常數(shù)，于是： cppz即即p只隨只隨z線性變化，如果線性變化，如果Z方向，方向，l長(zhǎng)度上的壓降為長(zhǎng)度上的壓降為 P，即：，即： dppdzl式（式（b）可改寫(xiě)為：）可改寫(xiě)為：22zuplx積分得：積分得：2122zpuxC xCl代入邊界條件：代入邊界條件：,0zxhu 2120,pCChl 得得所以所以 221()2zpuxhl（e）斷面間的水頭損失。方向。并計(jì)算水流經(jīng)兩試判斷水在管中的流動(dòng)。點(diǎn)流速，點(diǎn)壓強(qiáng)點(diǎn)壓強(qiáng)水在管中流動(dòng)時(shí)，。，大管直徑直徑前后相連所組成，小

18、管管路由不同直徑的兩管smuBmkNPBmkNPAmdmdBBABA/1/40,/704 . 02 . 0221-20解：假設(shè)水由A流向B,且為紊流，根據(jù)伯努力方程有：221222AABBAB1A BpupuZZhgggg121由連續(xù)性方程有：AABBu Au A由題：270/APkN m240/BPkN m1/Bum s1mB取A點(diǎn)所在的面為基準(zhǔn)面，則有Z，將值代入以上兩式中：2210.44/0.2BBAAu Aum sA22()2ABAB1A BABppuuhZZgg332270 1040 1041(0 1)3.8201000 9.82 9.8m564 0.13.05 1020001.31

19、 10AAAu DRe此時(shí)，為紊流，與假設(shè)相符561 0.21.53 1020001.31 10BBBu DRe，為紊流，也與假設(shè)相符。所以，假設(shè)成立，水在管中是從A點(diǎn)流向B點(diǎn)，且兩斷面間的水頭損失為3.82m281.6 水由圖中噴嘴流出，管嘴出口75dmm，補(bǔ)考慮損失，其它數(shù)據(jù)見(jiàn)圖，計(jì)算 H 值（以m 計(jì)） ，p 值（以2/kN m計(jì)） 。 解：由伯努利方程，忽略阻力損失解：由伯努利方程，忽略阻力損失: 對(duì)對(duì)0-0面與面與3-3面，取面，取3-3面中心線為面中心線為基準(zhǔn)面有：基準(zhǔn)面有： 2200330322PvPvHHgggg其中：0HH，30H ,030PP，00v ，得： 232vHg對(duì)

20、對(duì)1-1面與面與2-2面，取面，取2-2面中心線為基準(zhǔn)面有：面中心線為基準(zhǔn)面有： 2211221222PvPvHHgggg121HHZ2211221()2gZPPvv1-21對(duì)對(duì)p-p面與面與3-3面，取面，取3-3面中心線面中心線為基準(zhǔn)面有：為基準(zhǔn)面有： 2233322pppPvPvHHgggg式中：30pHH,pPP，30P ，2pvv，得： 22322vvP由連續(xù)性方程有：由連續(xù)性方程有： 112233v Av Av A222112233111444dvdvdv帶入數(shù)據(jù)得：帶入數(shù)據(jù)得： 120.64vv3216/9vv由靜力學(xué)定律可得：由靜力學(xué)定律可得： 11222g(0.175)g0.

21、175gPZZPZ水銀即：即：112g0.175gg0.175ZPP水銀28.64/vm s222331611.79229vvHmgg222222243216()98.06 1022vvvvPPa301.7 油沿管線流動(dòng)，A 斷面流速為2/m s，不計(jì)損失，求開(kāi)口 C 管中的液面高度（其它數(shù)據(jù)見(jiàn)圖） 。 解：由題，根據(jù)連續(xù)性方程：解：由題，根據(jù)連續(xù)性方程： AABBu Au A2220.154.5/0.1AABBu Aum sA取取B點(diǎn)為基準(zhǔn)點(diǎn)，由題，滿足伯努利方程，忽略阻力損失，有：點(diǎn)為基準(zhǔn)點(diǎn)，由題，滿足伯努利方程，忽略阻力損失，有： 221222AABBABpupuZZgggg取題取題1所

22、得油的粘性系數(shù)：所得油的粘性系數(shù)： 2 0.15320000.1AAAu DRe4.5 0.156.7520000.1BBBu DRe所以均為層流：所以均為層流： 2AB1-221.8 如果管道的長(zhǎng)度不變，通過(guò)的流量不變，欲使沿程水頭損失減少一半，直徑需增大百分之幾？試分別討論下列三種情況： （1）管內(nèi)流動(dòng)為層流64Re； （2）管內(nèi)流動(dòng)為光滑區(qū)0.250.3164Re； （3）管內(nèi)流動(dòng)為粗糙區(qū)0.250.11()Kd； 解：由題，要保持流量不變，即：解：由題，要保持流量不變，即： ()uAC常數(shù)對(duì)于改變的前后兩種情況，由連續(xù)性方程有：對(duì)于改變的前后兩種情況，由連續(xù)性方程有： 21112222

23、u Au duAd要使水頭損失減半，即：要使水頭損失減半，即： 122llhh對(duì)問(wèn)（對(duì)問(wèn)（1）將：）將： （a）64Re21112222u Au duAd和代入式代入式a有：有： 242111411222646412Re2Re2udlludgdgd2421114112212264641222udlluu du ddgdgd即：即： 1-23421121.189ddd管徑增大百分率為：管徑增大百分率為： 1111.189100%18.9%ddd對(duì)問(wèn)（對(duì)問(wèn)（2）將：）將： 0.250.3164Re21112222u Au duAd和代入式代入式a有：有： 2421110.250.254112220

24、.31640.316412Re2Re2udlludgdgd0.25521512Re2Redd0.25225151122u ddu dd即：即： 0.255115222dddd19211161.157ddd1111.157100%15.7%ddd管徑增大百分率為：管徑增大百分率為： 對(duì)問(wèn)（對(duì)問(wèn)（3）將：）將： 21112222u Au duAd和0.250.11Kd0.250.252241114112220.112 0.1122uudKlKlddgddg d即：即： 0.255215122dddd21211161.141ddd1111.141100%14.1%ddd管徑增大百分率為：管徑增大百分

25、率為： 21052.510/cmcmcmm sd1231水從水箱流經(jīng)直徑為d、d、d的管道流入大氣中。當(dāng)出口流速為時(shí)，求（1）容積流量及質(zhì)量流量；（2）d 及管段的流速。1-242223333333.142.5 10104.9 10/44VdQu Aums331.0 104.9 104.9/mVQQkg s解：（1）（2）有連續(xù)性方程：112233u Au Au A222312123444ddduuu222112233u du du d2223132212.5 10100.625/10 10duum sd2223232222.5 10102.5/5 10duum sd0水沿管線下流，若壓力計(jì)的

26、讀書(shū)相同，求需要的小管直徑d ，不計(jì)損失。1-27解：1122u Au A根據(jù)連續(xù)性方程2121122220000.040.123/ADuuum sAddd 621.0 10/ms水的粘性系數(shù)53163 0.2Re6 102 101.0 10u D221122122112024022910.1230220.129/ 30.12122upupHHggggppgggdgdmgg1.0所以，水沿管線的流動(dòng)為紊流，動(dòng)能修正系數(shù)，根據(jù)總流伯努力方程，不計(jì)阻力損失：1.8 如果管道的長(zhǎng)度不變，通過(guò)的流量不變，欲使沿程水頭損失減少一半，直徑需增大百分之幾？試分別討論下列三種情況： （1）管內(nèi)流動(dòng)為層流64R

27、e； （2）管內(nèi)流動(dòng)為光滑區(qū)0.250.3164Re； （3）管內(nèi)流動(dòng)為粗糙區(qū)0.250.11()Kd； 解：由題，要保持流量不變，即：解：由題，要保持流量不變，即： ()uAC常數(shù)對(duì)于改變的前后兩種情況，由連續(xù)性方程有：對(duì)于改變的前后兩種情況，由連續(xù)性方程有： 21112222u Au duAd要使水頭損失減半，即：要使水頭損失減半，即： 122llhh對(duì)問(wèn)（對(duì)問(wèn)（1）將：）將： （a）64Re21112222u Au duAd和代入式代入式a有：有： 242111411222646412Re2Re2udlludgdgd2421114112212264641222udlluu du ddgdgd即：即： 1-3037421121.189ddd管徑增大百分率為：管徑增大百分率為： 1111.189100%18.9%dd