2021年全國(guó)乙卷高考文數(shù)真題試卷含答案和解析(教師版)

1、2021年高考文數(shù)真題試卷（全國(guó)乙卷）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，總共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（共12題；共51分）1.已知全集U=1,2,3,4,5,集合M=1,2,N=3,4,則Cu（MUN）=（   ） A. 5                         &#

2、160;         B. 1,2                                   C. 3,4 

3、0;                                 D. 1,2,3,4【答案】 A 【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算，補(bǔ)集及其運(yùn)算 【解析】【解答】因?yàn)?U=1,2,3,4,5,集合M=1,2,N=3,4 則 MUN 1，2，3，4， 于是 Cu（MU

4、N）= 5 。 故答案為：A 【分析】先求 MUN，再求 Cu（MUN） 。2.設(shè)iz=4+3i，則z等于（   ） A. -3-4i                                    B.

5、 -3+4i                                    C. 3-4i          &

6、#160;                         D. 3+4i【答案】 C 【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算 【解析】【解答】因?yàn)?iz=4+3i ，所以Z4+3ii=4i31=34i。 故答案為：C 【分析】直接解方程，由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，得到結(jié)果。3.已知命題p： xR，sinx1；命題q： xR， e|x|1，則下列命題

7、中為真命題的是（ ） A. p q                            B. ¬ p q               &#

8、160;            C. p ¬ q                            D. ¬ (pVq)【答案】 A 【考點(diǎn)】全稱量詞命題，

9、存在量詞命題，命題的否定，命題的真假判斷與應(yīng)用 【解析】【解答】因?yàn)槊}P是真命題，命題 q也是真命題， 故答案為：A 【分析】先判斷命題p，q的真假，然后判斷選項(xiàng)的真假。4.函數(shù)f（x）=sin x3 +cos x3 的最小正周期和最大值分別是（   ） A. 3 和 2                        

10、0;   B. 3 和2                            C. 6 和 2              

11、60;             D. 6 和2【答案】 C 【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象，y=Asin（x+）中參數(shù)的物理意義，正弦函數(shù)的周期性，正弦函數(shù)的零點(diǎn)與最值 【解析】【解答】因?yàn)?f（x）=sin x3 +cos x322sin(x3+4) ,所以周期T2136 ，值域2，2。 即最大值是2， 故答案為：C。 【分析】先將 f（x） 解析式化成Asin(x+)的形式，再由正弦函數(shù)的周期公式計(jì)算周期，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)，得到它的最大與最小值。5.若x，y

12、滿足約束條件 x+y4xy2y3 ,則z=3x+y的最小值為（   ） A. 18                                        

13、0; B. 10                                          C. 6   

14、60;                                      D. 4【答案】 C 【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃 【解析】【解答】作出線性約束的可行域（如圖陰影部分所示區(qū)域）， 當(dāng)直線 z=3x+y

15、經(jīng)過點(diǎn)（1，3）時(shí)，z取得最小值。此時(shí)zmin=3x1+3=6.  故答案為：C 【分析】先作出可行域，再通過目標(biāo)函數(shù)以及可行域，確定最優(yōu)解，進(jìn)一步得到答案。6.cos212cos2512=  （   ） A. 12                            

16、;           B. 33                                     &

17、#160; C. 22                                       D. 32【答案】 D 【考點(diǎn)】二倍角的余弦公式 【解析】【解答】因?yàn)閏os21

18、2cos2512=  1+cos(2×12)21+cos(2×512)2=12(cos6cos56)=32 故選D。   【分析】由降冪公式，可以化成特殊角的三角函數(shù)求值。7.在區(qū)間(0, 12 )隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)小于 13 的概率為（   ） A. 34                      &

19、#160;                   B. 23                            

20、60;             C. 13                                   

21、;       D. 16【答案】 B 【考點(diǎn)】幾何概型 【解析】【解答】由幾何概型得：P13012023. 故答案為：B 【分析】由幾何概型概率公式即可得到結(jié)果。8.下列函數(shù)中最小值為4的是（   ） A. y=x2+2x+4                B. y=|sinx|+4|sinx|  

22、;              C. y=2x+22x                D. y=lnx+4lnx【答案】 C 【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義，指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，基本不等式 【解析】【解答】對(duì)于A：因?yàn)閥=(x+1)2+3,則

23、ymin=3; 故A不符合題意； 對(duì)于B：因?yàn)閥=|sinx|+4|sinx| ， 設(shè)t=|sinx|(  t(01 ),則y=g(t)=t+4t(0<t1)由雙溝函數(shù)知， 函數(shù)yg(t)=t+4t(0<t1)是減函數(shù)，所以ymin=g(1)=5，所以B選項(xiàng)不符合； 對(duì)于C：因?yàn)?y=2x+22x2x+42x22x·42x=4,當(dāng)且僅當(dāng)2x42xx=1時(shí)“”成立， 即ymin=4，故C選項(xiàng)正確； 對(duì)于D：當(dāng)x(0,1)時(shí)，y=lnx+4lnx<0，故D選項(xiàng)不符合， 故答案為：C. 【分析】A,用配方法求出干凈函數(shù)的最小值，判斷不符合；B.換元利用

24、雙溝函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值，判斷不適合；C.變形后用基本不等式計(jì)算出最小值，判斷符合；D 舉反列說明其不符合。9.設(shè)函數(shù) f(x)=1x1+x ，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（   ） A. f(x1)1                       B. f(x1)+1     &

25、#160;                 C. f(x+1)1                       D. f(x+1)+1【答案】 B 【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷，奇偶函數(shù)

26、圖象的對(duì)稱性 【解析】【解答】對(duì)于A：因?yàn)閔(x)= f(x-1)-1,=1(x1）1+(x1）1=2x2, (x)=2x2,則h(-X)h(X),所以h(X)不是奇函數(shù)，故A不符合； 對(duì)于B：因?yàn)閔(x)= f(x-1)+1,=1(x1）1+(x1）+1=2x, (x)=2x,則h(-X)h(X),所以h(X)是奇函數(shù)，故B符合； 對(duì)于C：h(x)= f(x+1)1,=1(x+1）1+(x+1）1=2x+22, (x)=2x+22,則h(-X)h(X)，所以C不符合；  對(duì)于D：h(x)= f(x+1)+1,=1(x+1）1+(x+1）+1=2x+2, (x)=2x+2,則h(-X

27、)h(X)，故D不符合. 故答案為：B. 【分析】設(shè)選項(xiàng)的各個(gè)函數(shù)是h(x),分別計(jì)算h(-x)，與h(x)比較，就可以得到正確選項(xiàng)是B。10.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為B1D1的中點(diǎn)，則直線PB與AD1所成的角為（ ） A. 2                            

28、0;            B. 3                                    &

29、#160;    C. 4                                         D. 6【答案】 D

30、【考點(diǎn)】直線與平面所成的角 【解析】【解答】如圖，連接AC，設(shè)AC與BD交于O，連接OD1,AD1,BP,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x， 因?yàn)镈1P|OB|BD,且D1P=BO=12BD,所以四邊形OD1PB是平行四邊形，所以BP|OD1,所以AD1O 即為所求的角，易證AO平面BDD1B1,故AOOD1, 又AO=12AC=12AD1,所以AD1O6. 故答案為：D 【分析】在正方體中，作輔助線，通過平移線，作出所要求的角。11.設(shè)B是橢圓C： x25+y2=1 的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，則|PB|的最大值為（   ） A. 52    

31、;                                     B. 6           &#

32、160;                             C. 5                   

33、;                      D. 2【答案】 A 【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【解析】【解答】由題意知B(0,1),設(shè)P(x,y)則|PB|2=(x-0)2+(y-1)2=x2+y2-2y+1=5(1-y2)+y2-2y+1 =-4y2-2y+6=-4(y+4)2+254,因?yàn)?y1,所以當(dāng)y=14時(shí)，|PB|2max=254,此時(shí)，|PB|max 52

34、 ， 故答案為：A 【分析】先寫出B的坐標(biāo)，然后設(shè)任意點(diǎn)P(x,y),再用兩點(diǎn)間的距離公式，表示出|PB|，再用本文法計(jì)算|PB|的最大值即可。12.設(shè)a0，若x=a為函數(shù) f(x)=a(xa)2(xb) 的極大值點(diǎn)，則（ ） A. ab                             &#

35、160;   B. ab                                 C. aba2         

36、0;                       D. aba2【答案】 D 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的性質(zhì) 【解析】【解答】當(dāng)a>0時(shí)，若a為極大值點(diǎn)，則(如圖1)，必有a<b,ab<a2.故B,C項(xiàng)錯(cuò)； 當(dāng)a<0時(shí)，若a為極大值點(diǎn)，則(如圖2)，必有a>b>a2,故A錯(cuò)。 故答案為：D. 【分析】對(duì)a的正負(fù)進(jìn)行

37、討論，根據(jù)極值點(diǎn)的意義，作圖分析，得到正確選項(xiàng)。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分（共4題；共17分）13.已知向量a=(2,5),b=(,4)，若 a/b ，則=_. 【答案】85【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示 【解析】【解答】因?yàn)閍=(2,5),b=(,4)，且 a/b ， 則2×450 ， 則 85。 【分析】根據(jù)向量平行的條件即可得到結(jié)果。14.雙曲線 x24y25=1 的右焦點(diǎn)到直線x+2y-8=0的距離為_. 【答案】5【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系 【解析】【解答】由題意得，a2=4,b2=5,所以c2=a2+b2=9,所以c=3(

38、c>0),所以橢圓的右焦點(diǎn)是(3,0)，則右焦點(diǎn)(3,0)到直線x+2y-8的距離為d=|3+2×08|12+22=5. 【分析】先求出橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后用點(diǎn)到直線的距離公式求焦點(diǎn)到直線的距離即可。15.記ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為 3 ，B=60°，a2+c2=3ac，則b=_. 【答案】22【考點(diǎn)】余弦定理，三角形中的幾何計(jì)算 【解析】【解答】SABC=12acsinB=12acsin600=34ac=3ac=4, 于是b=a2+c22accosB=a2+c2ac=2ac=22 【分析】根據(jù)面積的值，計(jì)算出ac，再由余弦定理求解。16

39、.以圖為正視圖，在圖中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為_（寫出符合要求的一組答案即可）. 【答案】 或 【考點(diǎn)】由三視圖還原實(shí)物圖 【解析】【解答】當(dāng)俯視圖為 時(shí)，右側(cè)棱在左側(cè)，不可觀測(cè)到，所以為虛線，故選擇為側(cè)視圖； 當(dāng)俯視圖為時(shí)，左側(cè)棱在左側(cè)可觀測(cè)到，所以為實(shí)線，故選擇為側(cè)視圖， 故答案為： 或 【分析】分情況討論各種視圖的位置關(guān)系。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（共5題；共50分）17.某廠研究了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的

40、設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下： 舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為 x 和 y ，樣本方差分別記為s12和s22（1）求 x ， y ， s12 ， s22； （2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果 y - x 2s12+s222 ，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)

41、為有顯著提高）. 【答案】 （1）解：各項(xiàng)所求值如下所示 x = 110 (9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0y = 110 (10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3s12 = 110 x(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2=0.36，s22 = 110 x(10.0-10.3)2+3x(10.1-10.3)

42、2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2=0.4.（2）由(1)中數(shù)據(jù)得 y - x =0.3，2 s12+s2210 0.34 顯然 y - x 2 s12+s2210 ，所以不認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高?！究键c(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差 【解析】【分析】（1）先計(jì)算新舊樣本平均數(shù)x,y ， 再直接用公式計(jì)算 s12 ， s22； (2)由 (1)中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得： y - x =0.3，2 s12+s2210 0.34 ， 顯然 y - x 2 s12+s2210 ，可得到答

43、案。18.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，M為BC的中點(diǎn)，且PB AM. （1）證明：平面PAM 平面PBD； （2）若PD=DC=1，求四棱錐P-ADCD的體積. 【答案】 （1）因?yàn)?PD 底面 ABCD ， AM 平面 ABCD ， 所以 PDAM ， 又 PBAM ， PBPD=P ， 所以 AM 平面 PBD ， 而 AM 平面 PAM ， 所以平面 PAM 平面 PBD （2）由（1）可知， AM 平面 PBD ，所以 AMBD ， 從而 DABABM ， 設(shè) BM=x ， AD=2x ，則 BMAB=ABAD ， 即 2x2=1 ， 解得 x=22 ，所

44、以 AD=2 因?yàn)?PD 底面 ABCD ， 故四棱錐 PABCD 的體積為 V=13×(1×2)×1=23 【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，直線與平面垂直的判定 【解析】【分析】（1）由PD垂直平面ABCD，及PB垂直AM，可以證明 AM 平面 PBD ， 從而可能證明 平面 PAM 平面 PBD ；（2）由連接BD（1）可得 AMBD ， 證明  DABABM通過計(jì)算，求出高 AD=2 ，再用棱錐體積公式直接得到答案。19.設(shè) an 是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列 bn 滿足 bn=nan3 ，已知 a1 ，3 a2 ，9 a3 成等差數(shù)列. （1）求

45、an 和 bn 的通項(xiàng)公式； （2）記 Sn 和 Tn 分別為 an 和 bn 的前n項(xiàng)和.證明： Tn < Sn2 . 【答案】 （1）因?yàn)?an 是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列且 a1 ， 3a2 ， 9a3 成等差數(shù)列， 所以 6a2=a1+9a3 ，所以 6a1q=a1+9a1q2 ，即 9q26q+1=0 ，解得 q=13 ，所以 an=(13)n1 ，所以 bn=nan3=n3n .（2）證明：由（1）可得 Sn=1×(113n)113=32(113n) ， Tn=13+232+n13n1+n3n ，13Tn=132+233+n13n+n3n+1 ， 得 23Tn=13+13

46、2+133+13nn3n+1=13(113n)113n3n+1=12(113n)n3n+1 ，所以 Tn=34(113n)n23n ，所以 TnSn2=34(113n)n23n34(113n)=n23n<0 ，所以 Tn<Sn2 .【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的求和 【解析】【分析】由 a1 ， 3a2 ， 9a3 成等差數(shù)列，列關(guān)系式等比數(shù)列 an的公比q，進(jìn)而得到 an ，再由bn與an的關(guān)系求得bn； （2）先根據(jù)條件求得Sn ，再由錯(cuò)項(xiàng)相減的方法求得Tn的表達(dá)式，最后用求差比較法，證明 Tn < Sn2 .20.已知拋物線C： y2=2px (

47、p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2. （1）求C的方程. （2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足 PQ=9QF ，求直線OQ斜率的最大值. 【答案】 （1）拋物線 C:y2=2px(p>0) 的焦點(diǎn) F(p2,0) ，準(zhǔn)線方程為 x=p2 ， 由題意，該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 p2(p2)=p=2 ，所以該拋物線的方程為 y2=4x ；（2）設(shè) Q(x0,y0) ，則 PQ=9QF=(99x0,9y0) ， 所以 P(10x09,10y0) ，由 P 在拋物線上可得 (10y0)2=4(10x09) ，即 x0=25y02+910 ，所以直線 OQ 的斜率 kOQ=y0x0=

48、y025y02+910=10y025y02+9 ，當(dāng) y0=0 時(shí)， kOQ=0 ；當(dāng) y00 時(shí)， kOQ=1025y0+9y0 ，當(dāng) y0>0 時(shí)，因?yàn)?25y0+9y0225y09y0=30 ，此時(shí) 0<kOQ13 ，當(dāng)且僅當(dāng) 25y0=9y0 ，即 y0=35 時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng) y0<0 時(shí)， kOQ<0 ；綜上，直線 OQ 的斜率的最大值為 13 .【考點(diǎn)】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的關(guān)系 【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，可求得P的值，就可以寫出拋物線的方程； （2）先設(shè)出Q的坐標(biāo)M(x0,y0),在代入已知等式 PQ=9QF ，用(x0,yO)表示出 P(10x09,10y0) ，再 代入拋物線方程，推導(dǎo)出x0 ， y0的關(guān)系，再表示出OQ的斜率。再利用基本不等式，求出斜率最大值即可。21.已知函數(shù) f(x)=x3x2+ax+1 . （1）討論 f(x) 的單調(diào)性； （2）求曲線 y=f(x) 過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線 y=f(x) 的公共點(diǎn)的坐標(biāo). 【答案】 （1）由函數(shù)的解析式可得： f(x)=3x22x+a ， 導(dǎo)函數(shù)的判別式 =412a ，當(dāng) =412a0,a13 時(shí)， f(x)0,f(x) 在R上單調(diào)遞增，當(dāng) =412a>0,a<13 時(shí)， f(x)=0 的解為： x1=2412a6,x