微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、返回返回上頁上頁下頁下頁第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理一、一、 羅爾定理羅爾定理定理定理1 (羅爾羅爾(Rolle)定理定理) 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)滿足：滿足： (1) 在在a,b上連續(xù)上連續(xù), (2) 在在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), (3) f(a)=f(b),則至少存在一點(diǎn)則至少存在一點(diǎn) (a,b),使得使得f ( )=0 返回返回上頁上頁下頁下頁證證 因?yàn)橐驗(yàn)閒(x)在在a,b上連續(xù)上連續(xù),f(x)在在a,b上必取得最大值上必取得最大值M和和最小值最小值m (1) 如果如果M=m, 則則f(x)在在a,b上恒等于常數(shù)上恒等于常數(shù)M, 因此因此,對(duì)一切對(duì)一切x(a,b),都有都有

2、 f (x)=0.于是定理自然成立于是定理自然成立. (2) 若若Mm,由于由于f(a)=f(b),因此因此M和和m中至少有一個(gè)不等中至少有一個(gè)不等于于f(a).設(shè)設(shè)Mf(a),則則f(x)應(yīng)在應(yīng)在(a,b)內(nèi)的某一點(diǎn)內(nèi)的某一點(diǎn) 處達(dá)到最大處達(dá)到最大值值,即即f( )=M,下面證明下面證明f ( )=0 xfxfxfxffxx )()(lim)()(lim )(00 返回返回上頁上頁下頁下頁因因f(x)在在 達(dá)到最大值達(dá)到最大值,所以不論所以不論 x是正的還是負(fù)的是正的還是負(fù)的, 總有總有 f( + x)-f( )0 當(dāng)當(dāng) x0時(shí)時(shí), 0)()( xfxf 0)()(lim )(0 xfxff

3、x 當(dāng)當(dāng) x0時(shí)時(shí), 0)()( xfxf 0)()(lim )(0 xfxffx 從而必須有從而必須有f ( )=0.返回返回上頁上頁下頁下頁例例1 驗(yàn)證羅爾定理對(duì)函數(shù)驗(yàn)證羅爾定理對(duì)函數(shù)f(x)= x2-2x+3在區(qū)間在區(qū)間-1,3上的正上的正確性確性注注 羅爾定理的三個(gè)條件缺少其中任何一個(gè)羅爾定理的三個(gè)條件缺少其中任何一個(gè),定理的結(jié)定理的結(jié)論將不一定成立論將不一定成立. 顯然函數(shù)顯然函數(shù)f(x)= -2x+3在在-1,3上滿足羅爾定理的三上滿足羅爾定理的三個(gè)條件個(gè)條件,解解由由f (x)=2x-2=2(x-1),可知可知f (1)=0,因此存在因此存在 =1(-1,3),使使f (1) =

4、0 返回返回上頁上頁下頁下頁例例2 2.10155的的正正實(shí)實(shí)根根有有且且僅僅有有一一個(gè)個(gè)小小于于證證明明方方程程 xx證證, 15)(5 xxxf設(shè)設(shè),1 ,0)(連連續(xù)續(xù)在在則則xf. 3)1(, 1)0( ff且且由介值定理由介值定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即為方程的小于即為方程的小于1的正實(shí)根的正實(shí)根.,),1 ,0(011xxx 設(shè)設(shè)另另有有. 0)(1 xf使使,)(10件件之之間間滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條在在xxxf使使得得之之間間在在至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 ,0(,0 x矛盾矛盾,.為為唯

5、唯一一實(shí)實(shí)根根返回返回上頁上頁下頁下頁0 x0 x0 x)由連續(xù)函數(shù)介值定理知至少存在一點(diǎn)由連續(xù)函數(shù)介值定理知至少存在一點(diǎn) 在在0,1上有且僅有一個(gè)上有且僅有一個(gè)0f(x)1,且對(duì)于且對(duì)于(0,1)內(nèi)所有內(nèi)所有x，有有f(x)1，求證，求證例例 設(shè)設(shè)f(x)在在0,1上可導(dǎo)，當(dāng)上可導(dǎo)，當(dāng)0 x1時(shí)，時(shí)，使，使f(證證 令令F(x)=f(x)-x,則F(1)=f(1)-10,F(0)=f(0)0 0 x0 x0,1,使得使得F(0 x0 x0 x，下面證明在，下面證明在0，1上上) 即即f(僅有一點(diǎn)僅有一點(diǎn)，使，使F(0 x) 0 1x1x假設(shè)另有一點(diǎn)假設(shè)另有一點(diǎn))0 0 x1x，則由羅爾定理可

6、知，則由羅爾定理可知,在在 , 上至少有上至少有0 x1x一點(diǎn)一點(diǎn) ，使，使這與原題設(shè)矛盾這就證明了在這與原題設(shè)矛盾這就證明了在0，1 0 x0 x0 x內(nèi)有且僅有內(nèi)有且僅有) 一個(gè)一個(gè)，使，使f()0， 0,1,使得使得F(不妨設(shè)不妨設(shè)F()=0,即f()=1,返回返回上頁上頁下頁下頁二、二、 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理定理定理2 若函數(shù)若函數(shù)y=f(x)滿足下列條件滿足下列條件: (1) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；上連續(xù)； (2) 在開區(qū)間在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)則至少存在一點(diǎn)則至少存在一點(diǎn) (a,b),使得使得abafbff )()( )( 證證 作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)xa

7、bafbfxfxF )()( )()(F(x)在在a,b上連續(xù)上連續(xù),在在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),且且 返回返回上頁上頁下頁下頁aabafbfafaF )()( )()(babafbfbfbF )()( )()()()(, 0)()(aFbFaFbF所以因?yàn)楣使?F(x)滿足羅爾定理的條件滿足羅爾定理的條件,從而至少存在一點(diǎn)從而至少存在一點(diǎn) (a,b),使得使得F ( )=0,即即 0)()( )()( abafbffF abafbff )()( )( 因此得因此得返回返回上頁上頁下頁下頁 拉格朗日中值定理中的公式稱為拉格朗日中值公式拉格朗日中值定理中的公式稱為拉格朗日中值公式,此公式也可以寫

8、成此公式也可以寫成f(b)-f(a)= f ( )(b-a) (a b) 另外，由于另外，由于 是是(a,b)中的一個(gè)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn),它還可以表示成它還可以表示成 =a+ (b-a)(0 1),于是，拉格朗日中值公式又可寫成于是，拉格朗日中值公式又可寫成 f(b)-f(a)=(b-a)f a+ (b-a) (0 1) 要注意的是，在公式中，無論要注意的是，在公式中，無論ab或或ab，公式總是成，公式總是成立的，其中立的，其中是介于是介于a與與b之間的某個(gè)數(shù)之間的某個(gè)數(shù)注意注意:拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的與函數(shù)在這區(qū)

9、間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)之間之間的關(guān)系的關(guān)系.返回返回上頁上頁下頁下頁例例4)(arctanarctan211212xxxxxx 其其中中證證明明不不等等式式證證)()(11arctanarctan,.arctan)(211221221xxxxxxxxxxf 有有在在設(shè)設(shè).arctanarctan, 11112122xxxx 所所以以 返回返回上頁上頁下頁下頁1xx例例5 證明不等式證明不等式對(duì)一切對(duì)一切x0成立成立.ln(1+x)x1 ),證證 由于由于f(x)=ln(1+x)在，在，）上連續(xù)、可導(dǎo)，）上連續(xù)、可導(dǎo)，對(duì)任何對(duì)任何x0，在，在0, x上運(yùn)用微分中值公式上運(yùn)用微分中值公式,得得 1x

10、x(0 1)即 ln(1+x)=1xx1xx 由于由于 x,因此當(dāng)因此當(dāng)x0時(shí)，有時(shí)，有1xxf(x)-f(0)=f(x)x, (0ln(1+x)x 返回返回上頁上頁下頁下頁推論推論1 如果如果f(x)在開區(qū)間在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),且且f (x)0,則在則在(a,b)內(nèi)內(nèi),f(x)恒為一個(gè)常數(shù)恒為一個(gè)常數(shù)證證 在在(a,b)內(nèi)任取兩點(diǎn)內(nèi)任取兩點(diǎn)x1, x2, 設(shè)設(shè)x1 x2 ,顯然顯然f(x)在在x1,x2上滿上滿足拉格朗日中值定理的條件足拉格朗日中值定理的條件)()( )()()(211212xxxxfxfxf因?yàn)橐驗(yàn)?f (x)0,所以所以 f ( )=0 .從而從而 f(x2)

11、=f(x1) .返回返回上頁上頁下頁下頁例例4).1(2arccosarcsinxxx試證)1 , 1(, 01111)( ,arccosarcsin)(22 xxxxfxxxf則則令令證證1 , 1,2arccosarcsin)( ,2)1(,2)0()1 , 1(,)( xxxxfffxCxf 故故且且又因又因得得返回返回上頁上頁下頁下頁推論推論2 若若f(x)及及g(x)在在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),且對(duì)任意且對(duì)任意x(a,b),有有f (x)=g (x),則在則在(a,b)內(nèi)內(nèi),f(x)=g(x)+C(C為常數(shù)為常數(shù)). 證證 因因f(x)-g(x) =f (x)-g (x)=0, 由推

12、論由推論1,有有f(x)-g(x)=C,即即f(x)=g(x)+C,x(a,b)返回返回上頁上頁下頁下頁三、三、 柯西中值定理柯西中值定理定理定理3 (柯西中值定理柯西中值定理) 若函數(shù)若函數(shù)f(x)和和g(x)滿足以下條件滿足以下條件: (1) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,b上連續(xù)上連續(xù), (2) 在開區(qū)間在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),且且g (x)0,那么在那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ,使得使得)()()()()()( gfagbgafbf 證證 若若g(a)=g(b),則由羅爾定理則由羅爾定理,至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn) 1(a,b),使使g ( 1)=0,這與定理的假設(shè)矛盾這

13、與定理的假設(shè)矛盾.故故g(a)g(b).返回返回上頁上頁下頁下頁作輔助函數(shù)作輔助函數(shù))()()()()( )()(xgagbgafbfxfxF F(x)滿足羅爾定理的三個(gè)條件滿足羅爾定理的三個(gè)條件,于是在于是在(a,b)內(nèi)至少存在內(nèi)至少存在一點(diǎn)一點(diǎn) ,使得使得 0)()()()()( )()( gagbgafbffF從而有從而有)()()()()()( gfagbgafbf 返回返回上頁上頁下頁下頁例例5.)()()(- )( ),(:,),(,)(,0 abbafabfffbababaxfba使得至少存在一點(diǎn)試證內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在函數(shù)設(shè),1)(,)()(.11)()(柯柯西西中中值值定定理理的

14、的條條件件上上滿滿足足它它們們?cè)谠诹盍钤绞接矣疫呥吙煽蓪憣懗沙蒪axxGxxfxFabaafbbf 證證返回返回上頁上頁下頁下頁abaafbbfaGbGaFbFGF )()()()()()()( )( 且且有有abbafabfffxGxxfxfxF )()()(- )(1)( ,)()()( 22 代代入入得得將將返回返回上頁上頁下頁下頁四、小結(jié)四、小結(jié)Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xxg)()()(bfaf 羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；的關(guān)系；注意定理成立的條件；注意定理成

15、立的條件；注意利用中值定理證明等式與不等式注意利用中值定理證明等式與不等式.返回返回上頁上頁下頁下頁練練 習(xí)習(xí) 題題34153 (1,2),(2,3),(3,4) 前者是后者的特殊情形前者是后者的特殊情形,加加)()(bfaf 即可即可 增量增量 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 恒為零恒為零 返回返回上頁上頁下頁下頁練習(xí)題答案練習(xí)題答案返回返回上頁上頁下頁下頁第二節(jié)第二節(jié) 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則 一、一、 型未定式型未定式 00定理定理1 設(shè)設(shè)f(x),g(x)滿足下列條件：滿足下列條件： (1) f(x)=0, g(x)=0； (2) f(x),g(x)在在 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),且且g (x)0； (3) 存在存在 (或

16、為或?yàn)?則則0limxx)(0oxU)()(lim0 xgxfxx )()(lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx 0limxx返回返回上頁上頁下頁下頁證證 由條件由條件(1),設(shè)設(shè)f(x0)=0,g(x0)=0.由條件由條件(1)和和(2)知知f(x)與與g(x)在在U(x0)內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù) 設(shè)設(shè)x ,則則f(x)與與g(x)在在x0,x或或x, x0 上滿足柯西上滿足柯西定理的條件定理的條件, )(0oxU)()()()()()()()()(000之之間間與與在在xxgfxgxgxfxfxgxf 當(dāng)當(dāng)xx0時(shí)時(shí),顯然有顯然有 x0,由條件由條件(3)得得)()(lim)()(li

17、m)()(lim000 xgxfgfxgxfxxxxxx 返回返回上頁上頁下頁下頁例例23466lim443123lim8421612lim22222332 xxxxxxxxxxxxx.8421612lim2332 xxxxxx求求解解如果如果 仍為仍為 型未定式型未定式,且且f (x),g (x)滿足滿足)()(lim0 xgxfxx 00定理?xiàng)l件，則可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則定理?xiàng)l件，則可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則.注意注意:返回返回上頁上頁下頁下頁例例2.cossinsinlim420 xxxxxx求解解313sinlim3sincoscoslimcossinlimsinlimcossinlimcos

18、sinsinlim 02030030420 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx返回返回上頁上頁下頁下頁推論推論1 設(shè)設(shè)f(x)與與g(x)滿足滿足 (1) f(x)=0, g(x)=0; (2) 存在存在X0,當(dāng)當(dāng)xX時(shí)時(shí),f(x)和和g(x)可導(dǎo)可導(dǎo),且且g (x)0; (3) 存在存在(或?yàn)榛驗(yàn)?則則 xlim xlim)()(limxgxfx )()(lim)()(limxgxfxgxfxx 證證 令令x=1/t,則則x時(shí)時(shí),t0 )()(lim1)1(1)1(lim)1()1(lim)()(lim2200 xgxfttgttftgtfxgxfxttx 返回返回上頁

19、上頁下頁下頁例例3.1)1ln(limxxax 求求解解axaaxxaxaxxaxxx 1lim 1)()1(lim1)1ln(lim21返回返回上頁上頁下頁下頁二、二、 型未定式型未定式 定理定理2 設(shè)設(shè)f(x),g(x)滿足下列條件：滿足下列條件： (1) f(x)=, g(x)=； (2) f(x)和和g(x)在在 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),且且g (x)0； (3) 存在存在(或?yàn)榛驗(yàn)?則則 0limxx0limxx)(0oxU)()(lim0 xgxfxx )()(lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx 返回返回上頁上頁下頁下頁推論推論2 設(shè)設(shè)f(x)與與g(x)滿足滿足 (1) f

20、(x)= , g(x)= ; (2) 存在存在X0,當(dāng)當(dāng)xX時(shí)時(shí),f(x)和和g(x)可導(dǎo)可導(dǎo),且且g (x)0; (3) 存在存在(或?yàn)榛驗(yàn)?則則 xlim xlim)()(limxgxfx )()(lim)()(limxgxfxgxfxx 返回返回上頁上頁下頁下頁例例401lim 1limlnlim1 axaxaxaxaxxxx .0lnlim axxax求求解解返回返回上頁上頁下頁下頁3262cos26cos6lim sincos63sin3cos6lim cos33coslim3cos3cos1lim3tantanlim222222222 xxxxxxxxxxxxxxxxx .3tan

21、tanlim2xxx 解解例例5返回返回上頁上頁下頁下頁三、三、 其它未定式其它未定式 若對(duì)某極限過程有若對(duì)某極限過程有f(x)0且且g(x),則稱則稱limf(x)g(x)為為0型未定式型未定式若對(duì)某極限過程有若對(duì)某極限過程有f(x)且且g(x),則稱則稱limf(x)-g(x)為為-型未定式型未定式若對(duì)某極限過程有若對(duì)某極限過程有f(x)且且g(x),則稱則稱limf(x)g(x)為為00型型未定式未定式若對(duì)某極限過程有若對(duì)某極限過程有f(x)1且且g(x),則稱則稱limf(x)g(x)為為1 型型未定式未定式若對(duì)某極限過程有若對(duì)某極限過程有f(x)且且g(x)0,則稱則稱limf(x)

22、g(x)為為 0型未定式型未定式 返回返回上頁上頁下頁下頁型未定式解法00,1 ,0 ,0例例6 6解解.lim2xxex 求求)0( xexx2lim 原原式式2limxxe 2limxxe . 關(guān)鍵關(guān)鍵: :將其化為洛必達(dá)法則可解決的類型將其化為洛必達(dá)法則可解決的類型 . 型0. 1步驟步驟:,10 .0100 或或返回返回上頁上頁下頁下頁例例70lim21 21limlnlimlnlim20302020 xxxxxxxxxxx.lnlim20 xxx 求求解解返回返回上頁上頁下頁下頁例例8 8解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000 xxxxxsinsinli

23、m0 原原式式xxxxxcossincos1lim0 . 0 型型 . 2步驟步驟:返回返回上頁上頁下頁下頁步驟步驟:型型00,1 ,0. 3 ln01ln0ln01000取取對(duì)對(duì)數(shù)數(shù).0 例例9 9解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原原式式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 返回返回上頁上頁下頁下頁例例1010解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原原式式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1111解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(co

24、tln1ln1xxxex因?yàn)?ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原原式式返回返回上頁上頁下頁下頁例例1212解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原原式式).sin1(limxx 極限不存在極限不存在洛必達(dá)法則失效。洛必達(dá)法則失效。)cos11(limxxx 原原式式. 1 注意：注意：洛必達(dá)法則的使用條件洛必達(dá)法則的使用條件返回返回上頁上頁下頁下頁例例13解解31tanlim31tanlimcos1lim316tansec2lim3sec1limtanlimsintanlim),0(sin,

25、0020202203020 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx則則有有由由換換先先進(jìn)進(jìn)行行等等價(jià)價(jià)無無窮窮小小的的代代.sintanlim20 xxxxx 求求返回返回上頁上頁下頁下頁一一、 填填空空題題：1 1、 洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則除除了了可可用用于于求求“00” ，及及“ ”兩兩種種類類 型型 的的未未 定定 式式的的 極極限限 外外 ，也也 可可 通通 過過 變變 換換 解解 決決_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，_ _ _ _ _ _

26、_ _ _ _ _ _ _ _，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，等等型型的的未未定定式式的的求求極極限限的的問問題題. .2 2、 xxx)1ln(lim0 = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .3 3、 xxx2tanln7tanlnlim0= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .練練 習(xí)習(xí) 題題返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁三三、 討討論論函函數(shù)數(shù) 0,0,)1()(2111xexexxfxx當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng), , 在在處處點(diǎn)點(diǎn)0 x的的連連續(xù)續(xù)性性. .返回返回上頁上頁下頁下頁練習(xí)題答案練習(xí)題答案返回返回上頁上頁

27、下頁下頁)(0 xy)()(000 xxxxxf第三節(jié)第三節(jié) 泰勒公式泰勒公式 回顧微分概念回顧微分概念: 若若 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則有的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則有f(x)=f(x)0 xf+)()(000 xxxxxff(x)即即從而在點(diǎn)從而在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)，的某鄰域內(nèi)，0 xf)(0 x+)(00 xxxf上式表明，如果我們用關(guān)于上式表明，如果我們用關(guān)于 的一次多項(xiàng)式作為的一次多項(xiàng)式作為 的函數(shù)值，則其誤差是關(guān)于的函數(shù)值，則其誤差是關(guān)于 的一個(gè)高階無窮小的一個(gè)高階無窮小.0 xx0 xxf(x)近似公式有兩點(diǎn)不足近似公式有兩點(diǎn)不足:(1) 精度不高；精度不高； (2) 沒有誤差估計(jì)式?jīng)]有誤

28、差估計(jì)式.返回返回上頁上頁下頁下頁于是，設(shè)想用一個(gè)關(guān)于于是，設(shè)想用一個(gè)關(guān)于 的的n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式與一個(gè)關(guān)于與一個(gè)關(guān)于 的高階無窮小來表達(dá)函數(shù)的高階無窮小來表達(dá)函數(shù) ，即使，即使0 xxnnnxxaxxaxxaaxp)()()()(0202010 nxx)(0f(x)f(x)=nnnxxxxaxxaxxaa)()()()(00202010英國數(shù)學(xué)家泰勒提出并證明了上述設(shè)想的正確性英國數(shù)學(xué)家泰勒提出并證明了上述設(shè)想的正確性.顯然顯然)(00 xfa )(,01xfa! 2)(,02xfa 如此下去，有如此下去，有, 2 , 1 , 0!)(0)( kkxfakk返回返回上頁上頁下頁下頁nnnxx

29、nxfxxxfxxxfxfxp)(!)( )(!2)()(! 1)()()(00)(200000 從而有從而有返回返回上頁上頁下頁下頁)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 返回返回上頁上頁下頁下頁)()(!)()(! 2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 為函數(shù)為函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的處的n階泰勒公式階泰勒公式.f(x)0 xx 10(1)!nMxxn 00( )lim()nnxxR xxx0 xnR0()nxxnR0()nxx而且而且從而當(dāng)從而當(dāng)x時(shí)，時(shí)，(x)是關(guān)于是關(guān)于的高階

30、無窮小，的高階無窮小， (x)o( ）,稱這種形式的余項(xiàng)為稱這種形式的余項(xiàng)為皮亞諾余項(xiàng)皮亞諾余項(xiàng)np( )作為作為 的近似值，的近似值，由此可見，如果我們用由此可見，如果我們用x則其誤差有估計(jì)式則其誤差有估計(jì)式f(x)( )nRx稱稱=0，于是余項(xiàng)又可以表示為于是余項(xiàng)又可以表示為返回返回上頁上頁下頁下頁稱為稱為拉格朗日型余項(xiàng)拉格朗日型余項(xiàng))()(!1)()(010)1(之間與在余項(xiàng)xxxxnfxRnnn特別地，當(dāng)0 x0時(shí)的泰勒公式，又稱為馬克勞林公式：(0)2!f2x( )(0)!nnfxn(1)1( )(1)!nnfxn + (在0與 之間)，+ xxx(0)2!f2x( )(0)!nnf

31、xnnx+o()xxf( )=f(0)+f(0) +或 f( )=f(0)+f(0) +返回返回上頁上頁下頁下頁0()2!fx2x( )(0)!nnfxn(1)1()(1)!nnfxxn具有拉格朗日型余項(xiàng)的馬克勞林公式也可寫成： + (01) f(x)= f(0)+f(0)x+二、二、 函數(shù)的泰勒展開式舉例函數(shù)的泰勒展開式舉例返回返回上頁上頁下頁下頁exe例例1 寫出函數(shù)寫出函數(shù)的的n階馬克勞林公式，并利用階馬克勞林公式，并利用的近似值，并估計(jì)誤差的近似值，并估計(jì)誤差f(x)=三階馬克勞林多項(xiàng)式計(jì)算三階馬克勞林多項(xiàng)式計(jì)算ex( )nfex(1)( )nfxex解解 由由,， ， ,得得f（x)

32、=(x)=( )nf(1)nf ()f(0)=1,f（0)=1,，e于是得于是得ex的馬克勞林公式為的馬克勞林公式為ex22!x!nxn1e(1)!nxn + （0)=1, =1+x+(在在0與與x之間之間)，ex22!x!nxn+，1+x+誤差為因此1e( )(1)!xnnR xxn返回返回上頁上頁下頁下頁12,n 3,則則取取x=e1213!21( )213!31( )2 1+16458，其誤差其誤差1122444341e1e1311.8 1( )( )( )( )24! 24! 24! 24! 2R0.00470.0055310返回返回上頁上頁下頁下頁 例例2 寫出函數(shù)寫出函數(shù)f(x)=

33、sinx的的n階馬克勞林公式階馬克勞林公式返回返回上頁上頁下頁下頁(1) x2(1)ax( )nf ( ( -1)，（x） ，例例3 求函數(shù)求函數(shù)f(x)= 為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù))在在x=0點(diǎn)的泰勒公式點(diǎn)的泰勒公式1)1)(1() 1(xn于是有于是有 ( (1)(n+1),，f(0)=1, f(0)= ,f(0)=(0)= (1) x從而得從而得f(x)= 在在x=0點(diǎn)的泰勒公式為點(diǎn)的泰勒公式為(1) x(1)2! 2x(1)(1)!nn nx 1+o()x+nx(1)nx2(1)2!n nx1nnxnx特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)n(正整數(shù)正整數(shù))時(shí)，有時(shí)，有+. =1+nx+1(1) x解解 由

34、于由于f(x)= ，f(x)= -1),，( )nf返回返回上頁上頁下頁下頁 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式)()!12()1(!5!3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx )(!)1()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 返回返回上頁上頁下頁下頁xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xf定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上上單單調(diào)調(diào)減

35、減少少在在那那末末函函數(shù)數(shù)，內(nèi)內(nèi)如如果果在在上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在在，那那末末函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)如如果果在在）（導(dǎo)導(dǎo)內(nèi)內(nèi)可可上上連連續(xù)續(xù)，在在在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abBA一、單調(diào)性的判別法一、單調(diào)性的判別法第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與極值函數(shù)的單調(diào)性與極值 返回返回上頁上頁下頁下頁證證 對(duì)任意對(duì)任意x1 , x2 a,b, 設(shè)設(shè)x10, x(- /2, /2),所以所以y=sinx在在- /2, /2上嚴(yán)格單調(diào)增加上嚴(yán)格單調(diào)增加.例例1 證明證明y=sinx 在在- /2, /2上嚴(yán)格單調(diào)增加上嚴(yán)格單調(diào)增加.返回返回上頁上頁下頁下頁例例2 2解解.1

36、的的單單調(diào)調(diào)性性討討論論函函數(shù)數(shù) xeyx. 1 xey,)0 ,(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)減減少少；,), 0(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y.函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)增增加加).,(: D又又返回返回上頁上頁下頁下頁上例中，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各上例中，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)定義定義: :若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分分界點(diǎn)界點(diǎn)方法方法: :.,)()(0)

37、(數(shù)數(shù)的的符符號(hào)號(hào)然然后后判判斷斷區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)導(dǎo)導(dǎo)的的定定義義區(qū)區(qū)間間來來劃劃分分函函數(shù)數(shù)不不存存在在的的點(diǎn)點(diǎn)的的根根及及用用方方程程xfxfxf 二、單調(diào)區(qū)間求法二、單調(diào)區(qū)間求法返回返回上頁上頁下頁下頁例例3 3解解.31292)(23的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間確確定定函函數(shù)數(shù) xxxxf).,(: D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2, 121 xx時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 x, 0)( xf上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在在1 ,( 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)21 x, 0)( xf上上單單調(diào)調(diào)減減少少；在在2 , 1時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) x2, 0)( xf上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在在),

38、2 單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為，1 ,( ，2 , 1)., 2 單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為返回返回上頁上頁下頁下頁例例4 4解解.)(32的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間確確定定函函數(shù)數(shù)xxf ).,(: D)0(,32)(3 xxxf.,0導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0)( xf上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在在), 0 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) x0, 0)( xf上上單單調(diào)調(diào)減減少少；在在0 ,( 單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為，0 ,( )., 0 32xy 單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為返回返回上頁上頁下頁下頁例例5 5證證.)1ln(,0成成立立試試證證時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxx ),1ln()(xx

39、xf 設(shè)設(shè).1)(xxxf 則則, 0)(), 0(,), 0)( xfxf可可導(dǎo)導(dǎo)，且且上上連連續(xù)續(xù)在在上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在在), 0 , 0)0( f時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即注意注意:區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如例如,3xy , 00 xy.),(上上單單調(diào)調(diào)增增加加但但在在 返回返回上頁上頁下頁下頁單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理定理的重單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理定理的重要應(yīng)用要應(yīng)用.應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式根的個(gè)數(shù)

40、和證明不等式.三、小結(jié)三、小結(jié)返回返回上頁上頁下頁下頁二、二、 函數(shù)的極值函數(shù)的極值 定義定義1 設(shè)設(shè)f(x)在在x0的某鄰域的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義內(nèi)有定義.若對(duì)任意若對(duì)任意x (x0), 有有 f(x)f(x0)f(x)f(x0),則稱則稱f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處取得處取得極大值極大值(極小值極小值)f(x0),稱為稱為極大值點(diǎn)極大值點(diǎn)(極小值點(diǎn)極小值點(diǎn)) U極大值和極小值統(tǒng)稱為極極大值和極小值統(tǒng)稱為極值值,極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn) 返回返回上頁上頁下頁下頁. 0)( ,)( ,)( 000 xfxfxIxf則則必必有有存存在在且且處處取取極極值值在在該

41、該區(qū)區(qū)間間的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在某某區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(2定定理理費(fèi)費(fèi)馬馬定定理理Fermat0)()(lim)( 0)()( ,),(,)(0000000000 xxxfxfxfxxxfxfxxxUxxfxx故有時(shí)當(dāng)對(duì)任意則由定義為極大值不妨設(shè)證返回返回上頁上頁下頁下頁0)( 0)()(lim)(0)()(,00000000 xfxxxfxfxfxxxfxfxxxx從從而而得得到到有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)通常稱通常稱f (x)=0的根為的根為函數(shù)函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)的駐點(diǎn).可見，可見，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)但要注意的是但要注意的是:駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)駐點(diǎn)不一定是

42、極值點(diǎn).返回返回上頁上頁下頁下頁3定理定理.)(, 0)( ),(, 0)( ),()2(;)(, 0)( ),(, 0)( ),()1 (,)(,)( 0000000000000取得極小值在則對(duì)任意若對(duì)任意取得極大值在則對(duì)任意若對(duì)任意內(nèi)可導(dǎo)在處連續(xù)在設(shè)xxfxfxUxxfxUxxxfxfxUxxfxUxxUxxf從幾何直觀看，定理的結(jié)論很明顯從幾何直觀看，定理的結(jié)論很明顯: 返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁.)(),()(, 0)( , 0)( .),)( )()( ),(,),()(, 0)( , 0)( .),)( )()( ),(,),1(002200200001010

43、1000取取極極大大值值在在從從而而故故得得由由有有對(duì)對(duì)任任意意同同理理故故得得由由有有對(duì)對(duì)任任意意由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理只只證證證證xxfxfxffxfxxxxfxfxfxUxxfxffxfxxxxfxfxfxUx 返回返回上頁上頁下頁下頁例例1.22)3(,10)1()(;0)( ,),3(;0)( ,)3, 1(;0)( ,)1,(,3, 1,0)( )3)(1(3963)( 212 ffxfxfxxfxxfxxxxfxxxxxf極極小小值值為為的的極極大大值值為為故故得得時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)?shù)玫民v駐點(diǎn)點(diǎn)令令.593)(23的的極極值值求求 xxxxf解解返回返回上頁上

44、頁下頁下頁4定定理理.)(,0)()2( ;)(,0)()1( ,0)(,0)(,)()( 0000000取取極極小小值值在在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)取取極極大大值值在在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)則則且且內(nèi)內(nèi)具具有有二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在設(shè)設(shè)xxfxfxxfxfxfxfxUxf ).)()(!2)()()(,0)( )(20200000 xxoxxxfxfxfxfxxf 得得并并注注意意到到處處展展開開為為二二階階泰泰勒勒公公式式在在將將證證返回返回上頁上頁下頁下頁,),(),(),(,)()(,0000020200第第一一項(xiàng)項(xiàng)上上式式右右端端的的正正負(fù)負(fù)取取決決于于時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)所所以以的的無無窮窮小小量量高高階階是是比比時(shí)時(shí)因

45、因?yàn)闉?xUxxUxUxxxxoxx ;)(),()(),(,0)(;)(),()(),(,0)(0000000000為為極極大大值值即即有有對(duì)對(duì)任任意意時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)為為極極小小值值即即有有對(duì)對(duì)任任意意時(shí)時(shí)故故當(dāng)當(dāng)xfxfxfxUxxfxfxfxfxUxxf 返回返回上頁上頁下頁下頁.2)1(,06)1( ;2)1(,06)1( , 10)( 6)( )1)(1(333)( 2為為極極小小值值所所以以為為極極大大值值所所以以由由于于得得令令 ffffxxfxxfxxxxf.3)(3的的極極值值求求xxxf 例例2解解返回返回上頁上頁下頁下頁一一、 填填空空題題：1 1、 函函數(shù)數(shù)7186223 x

46、xxy單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 函函數(shù)數(shù)212xxy 在在區(qū)區(qū)間間 - -1 1, ,1 1 上上單單調(diào)調(diào)_ _ _ _ _ _ _ _ _， 在在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _上上單單調(diào)調(diào)減減. .3 3、函函數(shù)數(shù)22ln xxy 的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _， 單單減減區(qū)區(qū)間間為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .練練 習(xí)習(xí) 題題返回返回上頁上頁下頁下頁練習(xí)題答案練習(xí)題答案返回返回上頁上頁下頁下頁而如果而如果 在

47、在(a,b)內(nèi)只有有限個(gè)駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)，內(nèi)只有有限個(gè)駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)，不妨設(shè)為不妨設(shè)為 ，)(),(),(),()(max )(),(),(, )(max)(max ,)(, 1,1,bfxfxfafmixxfbfxfxfafxfbaxfnbaxnbax上的最值為在于是第五節(jié)第五節(jié) 最優(yōu)化問題最優(yōu)化問題求一個(gè)函數(shù)求一個(gè)函數(shù)(稱為目標(biāo)函數(shù)稱為目標(biāo)函數(shù))的最大值或最小值問題的最大值或最小值問題 稱為最優(yōu)化問題稱為最優(yōu)化問題.nxxx, 21)( xf)( xf)( xf我們已經(jīng)知道，若我們已經(jīng)知道，若 在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,b上連續(xù)上連續(xù), 則則 在在a,b上必取得最大值與最小值上必取得最

48、大值與最小值.如果最值在如果最值在(a,b)內(nèi)取得，則它一定是極值；內(nèi)取得，則它一定是極值；最值也可能在區(qū)間端點(diǎn)最值也可能在區(qū)間端點(diǎn)x=a或或x=b取得；取得；返回返回上頁上頁下頁下頁.3 , 128)( 24最最小小值值上上的的最最大大值值和和在在求求 xxxf.14)2()(min ,11)3()(max,3, 1.11)3(,14)2( ,2)0(,5)1().3, 1( ,2,0,0)2)(2(4)( 3,13,1321 fxffxfffffxxxxxxxfxx上上故故在在計(jì)計(jì)算算出出舍舍去去得得駐駐點(diǎn)點(diǎn)由由例例1解解返回返回上頁上頁下頁下頁.)(,)(,)(;)(,)(,)()2(.

49、)(,)(,)()(,),(),()()1(0為為最最小小值值為為最最大大值值則則上上單單調(diào)調(diào)減減少少在在若若為為最最大大值值為為最最小小值值則則上上單單調(diào)調(diào)增增加加在在若若值值小小上上的的最最大大在在它它就就是是值值時(shí)時(shí)小小為為極極大大則則當(dāng)當(dāng)一一個(gè)個(gè)極極值值點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)也也只只有有唯唯一一且且在在若若bfafbaxfbfafbaxfbaxfxfbabaCxf 注注:返回返回上頁上頁下頁下頁ex，求它在定義域上的最大值和最小值，求它在定義域上的最大值和最小值例例2 設(shè)設(shè)f(x)=x解解 ex(x+1)f (x)=令令 0,得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)x=-1 f (x)=當(dāng)當(dāng)x(-，-1)時(shí)，時(shí)， 0；當(dāng)；當(dāng)x

50、(-1，+)時(shí)時(shí),故故x=-1為極小值點(diǎn)為極小值點(diǎn) f (x)0，f (x)從而從而f( 1) 1e為為f(x)的最小值的最小值.limxlimxf(x)=+， 又又 f(x)=0, 所以所以 f(x)無最大值無最大值 返回返回上頁上頁下頁下頁一、一、 最大利潤與最小成本問題最大利潤與最小成本問題 設(shè)某種產(chǎn)品的總成本函數(shù)為設(shè)某種產(chǎn)品的總成本函數(shù)為C(Q),總收益函數(shù)為總收益函數(shù)為R(Q) (Q為產(chǎn)量為產(chǎn)量),則總利潤則總利潤L可表示為可表示為 L(Q) R(Q)- C(Q)要使利潤最大要使利潤最大,必須使產(chǎn)量必須使產(chǎn)量Q滿足條件滿足條件L (Q)=0,即即 R (Q)=C (Q) (1)此式表

51、明當(dāng)產(chǎn)出的此式表明當(dāng)產(chǎn)出的邊際收益等于邊際成本邊際收益等于邊際成本 時(shí)，利潤最大時(shí)，利潤最大.L (Q)=R (Q)-C (Q)0,即即 R (Q) C (Q) (2)經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱(1)和和(2)為為“最大利潤原則最大利潤原則”或或“虧損最小原則虧損最小原則” 假如假如L(Q)在在(0,+)內(nèi)二階可導(dǎo)，則還要求內(nèi)二階可導(dǎo)，則還要求返回返回上頁上頁下頁下頁單位成本單位成本(即平均成本即平均成本)最小的問題最小的問題 設(shè)某種產(chǎn)品的總成本為設(shè)某種產(chǎn)品的總成本為C(Q),則生產(chǎn)的平均成本為則生產(chǎn)的平均成本為 QQCQC)()( 最小最小,必須使產(chǎn)量必須使產(chǎn)量Q滿足條件滿足條件 )(QC0 )(

52、 QC)()(QCQC 此式表明當(dāng)此式表明當(dāng)產(chǎn)出的邊際成本等于平均成本產(chǎn)出的邊際成本等于平均成本 時(shí)，平均時(shí)，平均成本最小成本最小.返回返回上頁上頁下頁下頁?,60001. 030601000 32獲獲最最大大利利潤潤問問每每日日產(chǎn)產(chǎn)量量為為多多少少時(shí)時(shí)可可元元產(chǎn)產(chǎn)品品單單價(jià)價(jià)為為成成本本函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)每每日日生生產(chǎn)產(chǎn)某某產(chǎn)產(chǎn)品品的的總總QQ.Q-C(Q) 例例3解解總收益總收益 R(Q)=PQ=60Q, 總利潤總利潤 L(Q) R(Q) C(Q)0(001. 030100032 QQQ.令令L (Q)=0,得唯一駐點(diǎn)得唯一駐點(diǎn)Q0=200,又又L (Q0)=L (200)=-0.60，所以

53、當(dāng)日產(chǎn)量為所以當(dāng)日產(chǎn)量為Q0 =200單位時(shí)可獲最大利潤單位時(shí)可獲最大利潤. 最大利潤為最大利潤為 L(200) =3000(元元) 返回返回上頁上頁下頁下頁例例4 設(shè)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為設(shè)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為2Q試求平均成本最小時(shí)的產(chǎn)量水平試求平均成本最小時(shí)的產(chǎn)量水平. C(Q)=54+18Q+6 ，解解 因因C(Q)=18+12Q，( )C Q54Q+18+6Q， ( )C Q令令C(Q)=得得Q=3 (Q已舍已舍)，所以當(dāng)產(chǎn)量，所以當(dāng)產(chǎn)量Q=3時(shí)可使平均時(shí)可使平均成本最小成本最小.返回返回上頁上頁下頁下頁例例5 5某房地產(chǎn)公司有某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為套公寓要出租，當(dāng)租

54、金定為每月每月180元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去當(dāng)租金每月元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去當(dāng)租金每月增加增加10元時(shí)，就有一套公寓租不出去，而租出元時(shí)，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)去的房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)費(fèi)試問元的整修維護(hù)費(fèi)試問房租定為多少可獲得最大收入？房租定為多少可獲得最大收入？解解 設(shè)房租為每月設(shè)房租為每月 元，元，x租出去的房子有租出去的房子有 套，套， 1018050 x每月總收入為每月總收入為)(xR)20( x 1018050 x返回返回上頁上頁下頁下頁 1068)20()(xxxR 101)20(1068)(xxxR570 x 0)( xR350 x（唯一駐點(diǎn)）（唯

55、一駐點(diǎn)）故每月每套租金為故每月每套租金為350元時(shí)收入最高。元時(shí)收入最高。最大收入為最大收入為 1035068)20350()(xR)(10890 元元 返回返回上頁上頁下頁下頁點(diǎn)擊圖片任意處播放點(diǎn)擊圖片任意處播放暫停暫停例例6 6形面積最大所圍成的三角及線處的切線與直使曲線在該點(diǎn)上求一點(diǎn)，曲邊成一個(gè)曲邊三角形，在圍及拋物線，由直線808022xyxyxyxy返回返回上頁上頁下頁下頁解解如圖如圖,),(00yxP設(shè)設(shè)所所求求切切點(diǎn)點(diǎn)為為為為則則切切線線 PT),(2000 xxxyy ,200 xy ),0,21(0 xA)16,8(200 xxB ),0,8(CTxyoPABC)16)(21

56、8(212000 xxxSABC )80(0 x返回返回上頁上頁下頁下頁, 0)1616643(41020 xxS令令解得解得).(16,31600舍舍去去 xx8)316( s. 0 .2174096)316(為為極極大大值值 s.274096)316(最最大大者者為為所所有有三三角角形形中中面面積積的的故故 s返回返回上頁上頁下頁下頁二、二、 庫存問題庫存問題 假定計(jì)劃期內(nèi)貨物的總需求為假定計(jì)劃期內(nèi)貨物的總需求為R,考慮分考慮分n次均勻進(jìn)貨次均勻進(jìn)貨且不允許缺貨的進(jìn)貨模型且不允許缺貨的進(jìn)貨模型. 設(shè)計(jì)劃期為設(shè)計(jì)劃期為T天天,待求的進(jìn)貨次數(shù)為待求的進(jìn)貨次數(shù)為n,那么每次進(jìn)貨的那么每次進(jìn)貨的批

57、量為批量為q= ,進(jìn)貨周期為進(jìn)貨周期為t= ,再設(shè)每件物品貯存一天再設(shè)每件物品貯存一天的費(fèi)用為的費(fèi)用為c1,每次進(jìn)貨的費(fèi)用為每次進(jìn)貨的費(fèi)用為c2,在計(jì)劃期在計(jì)劃期(T天天)內(nèi)總費(fèi)用內(nèi)總費(fèi)用E由兩部分組成由兩部分組成 nRnT返回返回上頁上頁下頁下頁(1) 進(jìn)貨費(fèi)進(jìn)貨費(fèi) (2) 貯存費(fèi)貯存費(fèi) qRcncE221 TcqE122 于是總費(fèi)用于是總費(fèi)用E可表示為批量可表示為批量q的函數(shù)的函數(shù)qTcqRcEEE122121 最優(yōu)批量最優(yōu)批量q*應(yīng)使一元函數(shù)應(yīng)使一元函數(shù)E=f(q)達(dá)到最小值達(dá)到最小值,021dd122 TcqRcqETcRcq122* 返回返回上頁上頁下頁下頁最優(yōu)進(jìn)貨次數(shù)為最優(yōu)進(jìn)貨次數(shù)

58、為 212*cTRcqRn 最優(yōu)進(jìn)貨周期最優(yōu)進(jìn)貨周期 RcTcnTt122* 最小總費(fèi)用最小總費(fèi)用 TRccTcRcTcRcTcRcE2112121222212* 返回返回上頁上頁下頁下頁三、三、 復(fù)利問題復(fù)利問題例例7 設(shè)林場(chǎng)的林木價(jià)值是時(shí)間設(shè)林場(chǎng)的林木價(jià)值是時(shí)間t的增函數(shù)的增函數(shù)V= ,又設(shè)在又設(shè)在樹木生長期間保養(yǎng)費(fèi)用為零樹木生長期間保養(yǎng)費(fèi)用為零,試求最佳伐木出售的時(shí)間試求最佳伐木出售的時(shí)間 t2解解 考慮到資金的時(shí)間因素考慮到資金的時(shí)間因素, 晚砍伐所得收益與早砍伐晚砍伐所得收益與早砍伐所得收益不能簡單相比所得收益不能簡單相比,而應(yīng)折成現(xiàn)值而應(yīng)折成現(xiàn)值 設(shè)年利率為設(shè)年利率為r,則在時(shí)刻則

59、在時(shí)刻t伐木所得收益伐木所得收益V(t)= 的的現(xiàn)值現(xiàn)值,按連續(xù)復(fù)利計(jì)算應(yīng)為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算應(yīng)為t2-rte2e)()(trttVtA返回返回上頁上頁下頁下頁)22ln)(e22eln22)(rttArttArttrtt2)22ln(, 0)(rttA 得得駐駐點(diǎn)點(diǎn)令令)22ln)()22ln)( )22ln)()( rttArttArttAtA0)( tA.,)22ln(2將將樹樹木木砍砍伐伐出出售售最最有有利利時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)rt -rte2e)()(trttVtA返回返回上頁上頁下頁下頁四、四、 其他優(yōu)化問題其他優(yōu)化問題例例8 巴巴拉小姐得到紐約市隧道管理局一份工作巴巴拉小姐得到紐約市隧道管理局一

60、份工作,她的第她的第一項(xiàng)任務(wù)是決定每輛汽車以多大速度通過隧道一項(xiàng)任務(wù)是決定每輛汽車以多大速度通過隧道,可使車流可使車流量最大量最大.經(jīng)觀測(cè)經(jīng)觀測(cè),她找到了一個(gè)很好的描述平均車速她找到了一個(gè)很好的描述平均車速v(kmh)與車流量與車流量f(v)(輛輛/秒秒)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型關(guān)系的數(shù)學(xué)模型 試問試問:平均車速多大時(shí)平均車速多大時(shí),車流量最大車流量最大?最大車流量是多少最大車流量是多少?1 .31226 . 135)(2 vvvvf返回返回上頁上頁下頁下頁1 .31226 . 135)(2 vvvvf解解0)1 .31226 . 1(32351 .3135)(222 vvvvf令令得唯一駐點(diǎn)得唯一駐點(diǎn)