第4章 飛行器運(yùn)動方程組

1、第4章 飛行器運(yùn)動方程組 4.1 常用坐標(biāo)系及坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系 4.2 作用在導(dǎo)彈上的力和力矩 4.3 導(dǎo)彈運(yùn)動方程組 4.4 線性化模型的建立 4.5 小結(jié) 飛行力學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系4.1 坐標(biāo)系-1 地面坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，平移到彈體質(zhì)心Oxyz 彈體坐標(biāo)系Ox1y1z1 速度坐標(biāo)系Ox3y3z3 彈道坐標(biāo)系Ox2y2z24.1 坐標(biāo)系-2地面坐標(biāo)系4.1 坐標(biāo)系-3速度坐標(biāo)系與彈體坐標(biāo)系4.1 坐標(biāo)系-4彈道坐標(biāo)系4.1 坐標(biāo)系-5 地面系與彈體系之間的關(guān)系，231轉(zhuǎn)序 偏航角：導(dǎo)彈縱軸在水平面的投影與地面系）Ox軸之間的夾角；繞Oy正向旋轉(zhuǎn)出來的角度為正。4.1 坐標(biāo)系-6 俯仰角 ：

2、導(dǎo)彈縱軸與水平面之間的夾角；繞z軸正向旋轉(zhuǎn)出來的角度為正。4.1 坐標(biāo)系-7 滾轉(zhuǎn)角：彈體系Oy1軸與包含導(dǎo)彈縱軸的鉛垂平面之間的夾角；繞Ox1正向旋轉(zhuǎn)出來的角度為正。4.1 坐標(biāo)系-8 地面系與彈體系之間三個角度的關(guān)系和方向余弦陣。4.1 坐標(biāo)系-9 地面系與彈體系之間的總方向余弦陣4.1 坐標(biāo)系-10 地面系與彈道系：彈道偏角v：速度矢量在水平面的投影與地面系Ox軸之間的夾角；彈道傾角：導(dǎo)彈速度矢量與水平面之間的夾角。4.1 坐標(biāo)系-11 地面系與彈道系之間的方向余弦矩陣：4.1 坐標(biāo)系-12 速度系與彈體系：側(cè)滑角：速度矢量與彈體縱向?qū)ΨQ平面之間的夾角；攻角：速度矢量在彈體縱向?qū)ΨQ平面O

3、x1y1內(nèi)的投影與Ox1之間夾角。4.1 坐標(biāo)系-13 速度系與彈體系之間的方向余弦矩陣：4.1 坐標(biāo)系-14 彈道系與速度系：速度傾斜角v：位于縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的Oy3軸與包含速度矢量的鉛垂面Ox2y2之間的夾角。4.1 坐標(biāo)系-15 彈道系與速度系之間的方向余弦矩陣：4.1 坐標(biāo)系-16 4個坐標(biāo)系之間，共有8個角度。 坐標(biāo)系之間的關(guān)系非常重要。4.2.1 作用在導(dǎo)彈上的力-1 氣動外形：有翼、無翼。4.2.1 作用在導(dǎo)彈上的力-2 作用在彈體上的總空氣動力沿速度系分解為三個分量：阻力、升力和側(cè)向力。 其中q為動壓頭 ； S為導(dǎo)彈的特征面積； cx,cy,cz為無量綱阻力、升力、側(cè)向力系數(shù)4

4、.2.1 作用在導(dǎo)彈上的力-3 習(xí)慣上，把阻力的正方向定義為速度的負(fù)向，升力和側(cè)向力的正向分別與速度系的Oy3、Oz3軸的正向一致。 彈翼、彈身、舵面、以及各部件之間的干擾都會產(chǎn)生空氣動力，但總空氣動力不等于單獨(dú)各部件的空氣動力之和。 這個現(xiàn)象的物理本質(zhì)在于部件組合在一起時，繞流情況發(fā)生了變化。4.2.1 作用在導(dǎo)彈上的力-4 當(dāng)導(dǎo)彈的氣動外形和尺寸確定后，空氣動力還受馬赫數(shù)、攻角和舵偏角的影響。 當(dāng)攻角和舵偏角較小時，升力系數(shù)： 對軸對稱導(dǎo)彈，有 。 當(dāng)攻角上升到一定程度，升力系數(shù)達(dá)到最大值，稱為臨界攻角；攻角繼續(xù)增大，升力系數(shù)急劇下降，這種現(xiàn)象稱為“失速”。4.2.1 作用在導(dǎo)彈上的力-5

5、 軸對稱導(dǎo)彈，側(cè)向力和升向力的產(chǎn)生機(jī)理相同，所不同的是個別地方有符號差別： 導(dǎo)彈受到的總阻力通常分為兩部分進(jìn)行研究，零升阻力和誘導(dǎo)阻力，前者與升力無關(guān)，后者取決于升力的大小。 零升阻力又可分為摩擦阻力和壓差阻力兩部分，在低速流動中，都由空氣粘性產(chǎn)生。4.2.1 作用在導(dǎo)彈上的力-6 誘導(dǎo)阻力隨著攻角的增大，其值迅速上升，在總阻力中的比重也隨之增大，逐漸成為主要部分。 另外，阻力還受到飛行 馬赫數(shù)以及飛行高度等 因素的影響，右圖是馬 赫數(shù)對阻力系數(shù)的影響。4.2.1 作用在導(dǎo)彈上的力-7 導(dǎo)彈發(fā)動機(jī)推力： 還有作用在導(dǎo)彈彈體上的重力。4.2.2 作用在導(dǎo)彈上的力矩-1 作用在彈體上的空氣動力矩沿

6、彈體系分解為三個分量：滾轉(zhuǎn)力矩、偏航力矩和俯仰力矩。 正方向的定義。4.2.2 作用在導(dǎo)彈上的力矩-2 壓力中心：總空氣動力的作用線與彈體縱軸的交點(diǎn)。 焦點(diǎn)：由攻角所引起的那部分升力在彈體縱軸上的作用點(diǎn)。 焦點(diǎn)一般不與壓力中心重合，除了導(dǎo)彈軸對稱而且俯仰舵偏角為零時。4.2.2 作用在導(dǎo)彈上的力矩-3 當(dāng)氣動布局和幾何外形給定時，俯仰力矩可以寫成如下函數(shù)的形式： 嚴(yán)格地說，俯仰力矩還取決于側(cè)滑角、副翼偏轉(zhuǎn)角、導(dǎo)彈繞縱軸滾轉(zhuǎn)角速率等因素的影響，但數(shù)值不大時，可以忽略。4.2.2 作用在導(dǎo)彈上的力矩-4 俯仰力矩系數(shù)寫成無量綱形式： 其中， 導(dǎo)彈做定態(tài)直線飛行時，俯仰力矩系數(shù) 軸對稱導(dǎo)彈有4.2.

7、2 作用在導(dǎo)彈上的力矩-5 導(dǎo)彈的縱向靜穩(wěn)定性：4.2.2 作用在導(dǎo)彈上的力矩-6 操縱力矩：4.2.2 作用在導(dǎo)彈上的力矩-7 俯仰阻尼力矩：4.2.2 作用在導(dǎo)彈上的力矩-8 軸對稱導(dǎo)彈偏航力矩產(chǎn)生的物理原因與俯仰力矩是類似的。 偏航力矩系數(shù)： 偏航通道 代表航向靜穩(wěn)定性，當(dāng) 時，導(dǎo)彈是航向靜穩(wěn)定的。0ym4.2.2 作用在導(dǎo)彈上的力矩-9 滾動力矩系數(shù)：4.2.2 作用在導(dǎo)彈上的力矩-10 橫向靜穩(wěn)定性： 當(dāng)氣流以某個側(cè)滑角流過導(dǎo)彈平置水平彈翼和尾翼時，由于左、右翼的繞流條件不同，壓力分布也就不同，左、右翼升力不對稱則產(chǎn)生繞導(dǎo)彈縱軸的滾動力矩。 偏導(dǎo)數(shù) 表征導(dǎo)彈的橫向靜穩(wěn)定性，對于BTT

8、型導(dǎo)彈具有重要意義。4.2.2 作用在導(dǎo)彈上的力矩-11由傾斜引起的側(cè)滑飛行4.2.2 作用在導(dǎo)彈上的力矩-12 橫向靜穩(wěn)定性： BTT導(dǎo)彈的橫向靜穩(wěn)定性，主要由彈翼和垂直尾翼產(chǎn)生，影響彈翼 的主要因素有兩點(diǎn)：彈翼后掠角和彈翼上反角。4.2.2 作用在導(dǎo)彈上的力矩-13 本圖為側(cè)滑時，左、右翼的實際后掠角； 左、右翼前緣的垂直速度分量； 左、右翼的有效展弦比； 前、后緣。 因此有后掠翼，可 增加橫向靜穩(wěn)定性。4.2.2 作用在導(dǎo)彈上的力矩-14側(cè)滑時，上反角導(dǎo)致的有效攻角的變化4.2.2 作用在導(dǎo)彈上的力矩-15 滾轉(zhuǎn)操縱力矩：由副翼或差動舵產(chǎn)生的繞彈體縱軸旋轉(zhuǎn)的力矩，下圖為后視圖。 滾轉(zhuǎn)阻尼

9、力矩，總是與滾轉(zhuǎn)方向相反。4.2.2 作用在導(dǎo)彈上的力矩-16 鉸鏈力矩：導(dǎo)彈操縱時，在操縱面上產(chǎn)生空氣動力，除了產(chǎn)生相對于導(dǎo)彈質(zhì)心的力矩之外，還產(chǎn)生相對于操縱面轉(zhuǎn)軸的力矩。4.2.2 作用在導(dǎo)彈上的力矩-17 馬格努斯力和力矩：當(dāng)導(dǎo)彈以某一攻角飛行，且繞自身縱軸旋轉(zhuǎn)時，由于旋轉(zhuǎn)和來流橫向分速的聯(lián)合作用，在垂直于攻角平面的方向上產(chǎn)生的側(cè)向力，稱為馬格努斯力，該力對質(zhì)心的力矩稱為馬格努斯力矩。 馬格努斯力和力矩與多種因素有關(guān)。 在旋轉(zhuǎn)彈的動穩(wěn)定分析中必須考慮馬格努斯力矩的影響。4.2.2 作用在導(dǎo)彈上的力矩-18 單獨(dú)彈身的馬格努斯力和力矩。4.3 導(dǎo)彈運(yùn)動方程組-1 導(dǎo)彈運(yùn)動方程是表征導(dǎo)彈運(yùn)動

10、規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，也是分析、計算或模擬導(dǎo)彈運(yùn)動的基礎(chǔ)。 幾個假設(shè)： 1) 軸對稱導(dǎo)彈，視為剛體，彈體系的坐標(biāo)軸為慣性主軸； 2) 固化原理； 3) 忽略地球自轉(zhuǎn)的影響(哥氏，慣性系) 。4.3 導(dǎo)彈運(yùn)動方程組-2 主要方程有四組，分別是： 1) 動力學(xué)方程： a) 質(zhì)心運(yùn)動； b) 繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動。 2) 運(yùn)動學(xué)方程： a) 質(zhì)心運(yùn)動； b) 繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動。4.3 導(dǎo)彈運(yùn)動方程組-3 導(dǎo)彈質(zhì)心運(yùn)動動力學(xué)方程推導(dǎo)。 矢量絕對導(dǎo)數(shù)與相對導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系： 在彈道系建立質(zhì)心運(yùn)動動力學(xué)方程： 各個量往彈道系上投影：4.3 導(dǎo)彈運(yùn)動方程組-4 那么 代入到動力學(xué)方程的矢量形式，得到： 總空氣動力在速度系中的分量X

11、、Y、Z，將其投影到彈道系，有4.3 導(dǎo)彈運(yùn)動方程組-5 重力在地面系的投影：4.3 導(dǎo)彈運(yùn)動方程組-6 將重力投影到彈道系： 設(shè)主發(fā)動機(jī)推力與彈體縱軸重合，則推力在彈體系中的投影：4.3 導(dǎo)彈運(yùn)動方程組-7 將主發(fā)動機(jī)推力先投影到速度系，再投影到彈道系，有 將總空氣動力、重力、主發(fā)動機(jī)推力在彈道系的投影代入，得到導(dǎo)彈質(zhì)心運(yùn)動的動力學(xué)方程。4.3 導(dǎo)彈運(yùn)動方程組-8 導(dǎo)彈質(zhì)心運(yùn)動的動力學(xué)方程，物理意義明顯。4.3 導(dǎo)彈運(yùn)動方程組-9 導(dǎo)彈繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動力學(xué)方程推導(dǎo)。 在動坐標(biāo)系上建立導(dǎo)彈繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動動力學(xué)方程的矢量形式： 在彈體系上建立該方程。 動量矩在彈體系各軸上的分量：4.3 導(dǎo)彈運(yùn)動方程組

12、-10 根據(jù)軸對稱導(dǎo)彈，彈體系就是慣性主軸系的假設(shè)，有 那么4.3 導(dǎo)彈運(yùn)動方程組-11 而 得到繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動動力學(xué)方程的標(biāo)量形式：4.3 導(dǎo)彈運(yùn)動方程組-12 導(dǎo)彈質(zhì)心運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)方程推導(dǎo)。 建立質(zhì)心相對慣性系的位置方程： 把彈道系的速度投影到地面系，有4.3 導(dǎo)彈運(yùn)動方程組-13 代入即得到質(zhì)心運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)方程：4.3 導(dǎo)彈運(yùn)動方程組-14 導(dǎo)彈繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動運(yùn)動學(xué)方程推導(dǎo)。 導(dǎo)彈旋轉(zhuǎn)角速率投影到彈體系：4.3 導(dǎo)彈運(yùn)動方程組-15 整理得到： 至此我們得到了共12個方程。 此外，還有質(zhì)量變化方程：4.3 導(dǎo)彈運(yùn)動方程組-16 以及三個幾何關(guān)系方程： 共16個方程，16個未知數(shù)，封閉。4.3 導(dǎo)

13、彈運(yùn)動方程組-17 值得指出的是，上述16個方程中，并未直接體現(xiàn)出導(dǎo)彈的控制量輸入。 動力學(xué)方程中的導(dǎo)彈所受的發(fā)動機(jī)推力、總空氣動力在速度系三個軸上的分量以及空氣動力產(chǎn)生的力矩在彈體系三個軸上的分量，分別受發(fā)動機(jī)油門以及三個舵偏角的控制； 這4個控制量都由控制律給出(自動駕駛儀)。4.4 線性化模型的建立-1 將導(dǎo)彈所受的力和力矩代入上述16個方程中，再利用小擾動假設(shè)，將微分方程線性化。將擾動方程在平衡點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)做臺勞展開，并忽略高階小量，即可得到線性化的擾動運(yùn)動方程組； 經(jīng)小擾動法線性化之后，導(dǎo)彈運(yùn)動方程組可以分解為兩個獨(dú)立的方程組，分別是縱向運(yùn)動和側(cè)向運(yùn)動：4.4 線性化模型的建立-24.4 線性化模型的建立-34.4 線性化模型的建立-4 再利用系數(shù)凍結(jié)法，變系數(shù)方程組就變?yōu)槌Ｏ禂?shù)方程組。 下面以縱向擾動運(yùn)動為例進(jìn)行研究。 把描述位置小量變化的兩個方程獨(dú)立出來，原方程組變?yōu)椋?.4 線性化模型的建立-54.4 線性化模型的建立-6 再用動力系數(shù)來簡化方程的書寫，得到4.4 線性化模型的建立-7 只研究舵面偏轉(zhuǎn)后，短時間內(nèi)