第2章 能量守恒定律

1、2- -4 基本教學(xué)要求基本教學(xué)要求 一、掌握一、掌握功的概念功的概念, , 能計(jì)算變力的功，能計(jì)算變力的功，理解理解保守力作功的特點(diǎn)及勢(shì)能的概念，會(huì)計(jì)保守力作功的特點(diǎn)及勢(shì)能的概念，會(huì)計(jì)算萬(wàn)有引力、重力和彈性力的勢(shì)能算萬(wàn)有引力、重力和彈性力的勢(shì)能 二、掌握二、掌握動(dòng)能定理、功能原理和機(jī)械動(dòng)能定理、功能原理和機(jī)械能守恒定律，能守恒定律，掌握掌握運(yùn)用動(dòng)量和能量守恒定運(yùn)用動(dòng)量和能量守恒定律分析力學(xué)問(wèn)題的思想和方法律分析力學(xué)問(wèn)題的思想和方法 三、了解三、了解完全彈性碰撞和完全非彈性完全彈性碰撞和完全非彈性碰撞的特點(diǎn)，并能處理較簡(jiǎn)單的碰撞的特點(diǎn)，并能處理較簡(jiǎn)單的完全彈性完全彈性碰撞和完全非彈性碰撞的問(wèn)題

2、碰撞和完全非彈性碰撞的問(wèn)題2-4-4 基本教學(xué)要求基本教學(xué)要求2-4-1 功和功率功和功率 功是度量能量轉(zhuǎn)換的基本物理量，它描功是度量能量轉(zhuǎn)換的基本物理量，它描寫了力對(duì)空間積累作用。寫了力對(duì)空間積累作用。功的定義： 在力在力 的作用下，的作用下，物體發(fā)生了位移物體發(fā)生了位移 ，則，則把力在位移方向的分力與把力在位移方向的分力與位移位移 的乘積稱為功。的乘積稱為功。FrrxyzO1rrFFrFrFcosW國(guó)際單位：國(guó)際單位：焦耳焦耳（J ）NmabFrd 質(zhì)點(diǎn)由質(zhì)點(diǎn)由a點(diǎn)沿曲線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)沿曲線運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)的過(guò)程中，變力點(diǎn)的過(guò)程中，變力 所所作的功作的功 。F元功：rFWddcosbbaaWFrFrd

3、d合力的功：合力的功：rFFFrFWbanbadd21banbabarFrFrFddd21結(jié)論：合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功等于每個(gè)分力對(duì)合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功等于每個(gè)分力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作功之代數(shù)和質(zhì)點(diǎn)作功之代數(shù)和 。在直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系Oxyz中中 kFjFiFFzyxk zj yi xr zFyFxFkzj yi xkFjFiFrFWzybaxbazyxbaxxddddddd在自然坐標(biāo)系中，力在自然坐標(biāo)系中，力 和和 可寫成如下可寫成如下形式：形式：Fdrt tn nFFeF etdrdsetdWF drFds質(zhì)點(diǎn)沿曲線從質(zhì)點(diǎn)沿曲線從s0運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到s1過(guò)程中，力所做過(guò)程中，力所做的功為：的功為：10sts

4、WFds功率是反映作功快慢程度的物理量。功率是反映作功快慢程度的物理量。功率：功率：平均功率：平均功率：tWP瞬時(shí)功率：瞬時(shí)功率：tWtWPtddlim0瓦特瓦特（W）=（J/s）vFtrFtWPdddd設(shè)作用在質(zhì)量為設(shè)作用在質(zhì)量為2kg的物體上的力的物體上的力F = 6t N。如。如果物體由靜止出發(fā)沿直線運(yùn)動(dòng)，在頭果物體由靜止出發(fā)沿直線運(yùn)動(dòng)，在頭2（s）內(nèi)這力）內(nèi)這力作了多少功？作了多少功？ttmFa326taddvtttad3ddv兩邊積分：兩邊積分：ttt00d3dvv223tvtxddvtttxd23dd2 v20420249d236dttttxFWJ362-4-2 動(dòng)能和動(dòng)能定理 質(zhì)

5、點(diǎn)因有速度而具有的作功本領(lǐng)。質(zhì)點(diǎn)因有速度而具有的作功本領(lǐng)。221vmEk單位：?jiǎn)挝唬海↗）設(shè)質(zhì)點(diǎn)設(shè)質(zhì)點(diǎn)m在力的作用下沿在力的作用下沿曲線從曲線從a點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)點(diǎn)sFrFWdcosddrdFab1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理)(21dd212221vvvvvvmmWW質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。1221222121kkEEmmWvvvvvdddddcosdmstmsFWtmmaFddcosv解解d5dxxtvddyyttv2225tv2221113J22Wmmvv例例 質(zhì)量為質(zhì)量為 的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn), 在平面內(nèi)在

6、平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng), 方程為方程為 ，求，求從從 到到 這段時(shí)間內(nèi)，外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)這段時(shí)間內(nèi)，外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作的功作的功.25 (m)0.5 (m)tyt，x0.5kgm 4st 2st 2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理 iFif一個(gè)由一個(gè)由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，考察第個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，考察第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)。個(gè)質(zhì)點(diǎn)。 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理： iiEE1k2k內(nèi)外iiWW對(duì)系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)求和對(duì)系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)求和 niiniiEE11k12kniniiiWW11外內(nèi)12kkEE外內(nèi)WW 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量等于作用于系統(tǒng)的所有外力和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量等于作用于系統(tǒng)的所有外力和內(nèi)力作功之代數(shù)和。內(nèi)力作功之代數(shù)

7、和。 內(nèi)力做功可以改變系統(tǒng)內(nèi)力做功可以改變系統(tǒng)的總動(dòng)能。的總動(dòng)能。 例例2 如圖所示，用質(zhì)量為如圖所示，用質(zhì)量為M的鐵錘把質(zhì)量為的鐵錘把質(zhì)量為m 的釘子的釘子敲入木板。設(shè)木板對(duì)釘子的阻力與釘子進(jìn)入木板的深敲入木板。設(shè)木板對(duì)釘子的阻力與釘子進(jìn)入木板的深度成正比。在鐵錘敲打第一次時(shí)，能夠把釘子敲入度成正比。在鐵錘敲打第一次時(shí)，能夠把釘子敲入1cm深，若鐵錘第二次敲釘子的速度情況與第一次完深，若鐵錘第二次敲釘子的速度情況與第一次完全相同，問(wèn)第二次能把釘子敲入多深？全相同，問(wèn)第二次能把釘子敲入多深？1S2SxO設(shè)鐵錘敲打釘子前的設(shè)鐵錘敲打釘子前的速度為速度為v0，敲打后兩者的共同速敲打后兩者的共同速度

8、為度為v。 vv)(0mMMmMM0vv鐵錘第一次敲打時(shí)，克服阻力做功，設(shè)釘子所受阻鐵錘第一次敲打時(shí)，克服阻力做功，設(shè)釘子所受阻力大小為：力大小為： kxf由動(dòng)能定理，由動(dòng)能定理， 有：有：2102021d2101kSxkxmSv0vv ,mMSSSxkxm11d21020v設(shè)鐵錘第二次敲打時(shí)能敲入的深度為設(shè)鐵錘第二次敲打時(shí)能敲入的深度為S ，則有，則有212121)(21kSSSk21212)(SSS112SSS化簡(jiǎn)后化簡(jiǎn)后第二次能敲入的深度為：第二次能敲入的深度為： cm41. 0cm1) 12(211SSS2-4-3 保守力與非保守力 勢(shì)能（1）重力的功）重力的功bzazxyzOabrg

9、m),(aaazyxa初始位置初始位置),(bbbzyxb末了位置末了位置baabrFWdkzj yi xkmgbadddbabazzmgzmgd 重力做功僅取決于質(zhì)點(diǎn)的始、末位置重力做功僅取決于質(zhì)點(diǎn)的始、末位置z za a和和z zb b，與質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的具體路徑無(wú)關(guān)。與質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的具體路徑無(wú)關(guān)。 （2） 萬(wàn)有引力作功萬(wàn)有引力作功 設(shè)質(zhì)量為設(shè)質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn)固的質(zhì)點(diǎn)固定，另一質(zhì)量為定，另一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)在在M 的引力場(chǎng)中從的引力場(chǎng)中從a a點(diǎn)運(yùn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到動(dòng)到b b點(diǎn)。點(diǎn)。rerMmGF20barrrrerMmGWd20rrrerdcosddrrdrrd crdMabarbrbarrrrMmGrr

10、MmGWba11d020 萬(wàn)有引力作功只與質(zhì)點(diǎn)的始、末位置有關(guān)，而萬(wàn)有引力作功只與質(zhì)點(diǎn)的始、末位置有關(guān)，而與具體路徑無(wú)關(guān)。與具體路徑無(wú)關(guān)。 （3）彈性力的功）彈性力的功x2box1mxamFx由虎克定律：由虎克定律：ikxF2121dddxxxxxkxi xikxxFW22212121kxkxW 彈性力作功只與彈簧的起始和終了位置有關(guān)，彈性力作功只與彈簧的起始和終了位置有關(guān)，而與彈性變形的過(guò)程無(wú)關(guān)。而與彈性變形的過(guò)程無(wú)關(guān)。作功與路徑無(wú)關(guān)，只與始末位置有關(guān)的力。作功與路徑無(wú)關(guān)，只與始末位置有關(guān)的力。保守力沿任何閉合路徑作功等于零。保守力沿任何閉合路徑作功等于零。0drF設(shè)保守力沿閉合路徑設(shè)保守力

11、沿閉合路徑acbda作功作功abcd按保守力的特點(diǎn)：按保守力的特點(diǎn)：因?yàn)椋阂驗(yàn)椋核裕核裕篴dbacbWWbdaacbWW0acbacbbdaacbWWWWW物體在保守力場(chǎng)中物體在保守力場(chǎng)中a、b兩點(diǎn)的勢(shì)能兩點(diǎn)的勢(shì)能Epa與與 Epb之差，等之差，等于質(zhì)點(diǎn)由于質(zhì)點(diǎn)由a點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)過(guò)程中保守力所做的功點(diǎn)過(guò)程中保守力所做的功Wab。abbapbpaWrFEEdppapbabEEEW)(由物體的相對(duì)位置所確定的系統(tǒng)能量稱為由物體的相對(duì)位置所確定的系統(tǒng)能量稱為勢(shì)能勢(shì)能（E Ep p）（1）勢(shì)能是一個(gè)系統(tǒng)的屬性。）勢(shì)能是一個(gè)系統(tǒng)的屬性。（2）（3）勢(shì)能的零點(diǎn)可以任意選取。）勢(shì)能的零點(diǎn)可以任意選

12、取。 設(shè)空間設(shè)空間r0點(diǎn)為勢(shì)能的零點(diǎn)，則空間任意一點(diǎn)點(diǎn)為勢(shì)能的零點(diǎn)，則空間任意一點(diǎn) r的勢(shì)能為：的勢(shì)能為：orropprFrErErEd)()()( 空間某點(diǎn)的勢(shì)能空間某點(diǎn)的勢(shì)能Ep在數(shù)值上等于質(zhì)點(diǎn)從該在數(shù)值上等于質(zhì)點(diǎn)從該點(diǎn)移動(dòng)到勢(shì)能零點(diǎn)時(shí)保守力做的功。點(diǎn)移動(dòng)到勢(shì)能零點(diǎn)時(shí)保守力做的功。mghEp（地面（地面（h = 0= 0）為勢(shì)能零點(diǎn)）為勢(shì)能零點(diǎn)）221kxEp（彈簧自由端為勢(shì)能零點(diǎn)）（彈簧自由端為勢(shì)能零點(diǎn)）rMmGEp0（無(wú)限遠(yuǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)）（無(wú)限遠(yuǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)）保守力與勢(shì)能的積分關(guān)系：pEW保守力與勢(shì)能的微分關(guān)系：pEWddzFyFxFrFWzyxdddddzzEyyExxEEzyppd

13、ddd所以：所以：xEFpxyEFpyzEFpzkzEjyEixEFppp保守力的矢量式： 保守力沿各坐標(biāo)方向的分量，在數(shù)值上等于系保守力沿各坐標(biāo)方向的分量，在數(shù)值上等于系統(tǒng)的勢(shì)能沿相應(yīng)方向的空間變化率的負(fù)值，其方向統(tǒng)的勢(shì)能沿相應(yīng)方向的空間變化率的負(fù)值，其方向指向勢(shì)能降低的方向。指向勢(shì)能降低的方向。 結(jié)論：2-4-4 機(jī)械能守恒定律21ppWEE 保內(nèi)12kkEE外內(nèi)WW質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：非保內(nèi)保內(nèi)內(nèi)WWW其中其中12kkEEWWW非保內(nèi)保內(nèi)外 1p1k2p2kEEEEWW非保內(nèi)外pkEEE機(jī)械能12EEWW非保內(nèi)外 質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能的增量等于所有外力和所有非保質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能的增量

14、等于所有外力和所有非保守內(nèi)力所作功的代數(shù)和。守內(nèi)力所作功的代數(shù)和。 質(zhì)點(diǎn)系的功能原理0外W如果如果0非保內(nèi)W，pkEEE恒量 當(dāng)系統(tǒng)只受保守內(nèi)力作功時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的總機(jī)當(dāng)系統(tǒng)只受保守內(nèi)力作功時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的總機(jī)械能保持不變。械能保持不變。機(jī)械能守恒定律 注意：（1 1）機(jī)械能守恒定律只適用于慣性系，不適合于）機(jī)械能守恒定律只適用于慣性系，不適合于非慣性系。這是因?yàn)閼T性力可能作功。非慣性系。這是因?yàn)閼T性力可能作功。（2 2）在某一慣性系中機(jī)械能守恒，但在另一慣性）在某一慣性系中機(jī)械能守恒，但在另一慣性系中機(jī)械能不一定守恒。這是因?yàn)橥饬Φ墓εc參系中機(jī)械能不一定守恒。這是因?yàn)橥饬Φ墓εc參考系的選擇有關(guān)。對(duì)一

15、個(gè)參考系外力功為零，但考系的選擇有關(guān)。對(duì)一個(gè)參考系外力功為零，但在另一參考系中外力功也許不為零。在另一參考系中外力功也許不為零。例例3. 傳送帶沿斜面向上運(yùn)行速度為傳送帶沿斜面向上運(yùn)行速度為v = 1m/s，設(shè)物料無(wú)，設(shè)物料無(wú)初速地每秒鐘落到傳送帶下端的質(zhì)量為初速地每秒鐘落到傳送帶下端的質(zhì)量為M = 50kg/s，并，并被輸送到高度被輸送到高度h = 5m處，求配置的電動(dòng)機(jī)所需功率。處，求配置的電動(dòng)機(jī)所需功率。（忽略一切由于摩擦和碰撞造成的能量損失）（忽略一切由于摩擦和碰撞造成的能量損失）hv解：解： 在在t 時(shí)間內(nèi)，質(zhì)量為時(shí)間內(nèi)，質(zhì)量為Mt 的物料落到皮帶的物料落到皮帶上，并獲得速度上，并獲

16、得速度v 。t內(nèi)內(nèi)系統(tǒng)動(dòng)能的增量：系統(tǒng)動(dòng)能的增量：0212vtMEki重力做功：重力做功：ghtMW電動(dòng)機(jī)對(duì)系統(tǒng)做的功：電動(dòng)機(jī)對(duì)系統(tǒng)做的功：tP由動(dòng)能定理：由動(dòng)能定理：221vtMghtMtPW247558 . 92150222ghMPv例例4. 一長(zhǎng)度為一長(zhǎng)度為2l的均質(zhì)鏈條，平衡地懸掛在一光滑的均質(zhì)鏈條，平衡地懸掛在一光滑圓柱形木釘上。若從靜止開始而滑動(dòng)，求當(dāng)鏈條離圓柱形木釘上。若從靜止開始而滑動(dòng)，求當(dāng)鏈條離開木釘時(shí)的速率（木釘?shù)闹睆娇梢院雎裕╅_木釘時(shí)的速率（木釘?shù)闹睆娇梢院雎裕┙饨庠O(shè)單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為設(shè)單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為l 2lOOcc始末兩態(tài)的中心分別為始末兩態(tài)的中心分別為c和和c機(jī)械能守

17、恒：機(jī)械能守恒： 2221222vlglllg l解得解得lgv例例5. 5. 計(jì)算第一，第二宇宙速度計(jì)算第一，第二宇宙速度已知：地球半徑為已知：地球半徑為R，質(zhì)量，質(zhì)量為為M，衛(wèi)星質(zhì)量為，衛(wèi)星質(zhì)量為m。要使。要使衛(wèi)星在距地面衛(wèi)星在距地面h高度繞地球高度繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求其發(fā)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求其發(fā)射速度。射速度。解：解：設(shè)發(fā)射速度為設(shè)發(fā)射速度為v1，繞地球的運(yùn)動(dòng)速度為，繞地球的運(yùn)動(dòng)速度為v。機(jī)械能守恒：機(jī)械能守恒：hRMmGmRMmGm2212121vvRMm由萬(wàn)有引力定律和牛頓定律：由萬(wàn)有引力定律和牛頓定律：hRmhRMmG22v解方程組，得：解方程組，得：hRGMRGM21v2RmM

18、Gmg gRRGM代入上式，得：代入上式，得：)2(1hRRgRvRh 131109 . 7smgRv2. 第二宇宙速度第二宇宙速度宇宙飛船脫離地球引力而必須具有的發(fā)射速度宇宙飛船脫離地球引力而必須具有的發(fā)射速度（1）脫離地球引力時(shí)，飛船的動(dòng)能必須大于或至少）脫離地球引力時(shí)，飛船的動(dòng)能必須大于或至少 等于零。等于零。由機(jī)械能守恒定律：由機(jī)械能守恒定律：02122pkEERMmGmv解得：解得：1312sm102 .11222vvgRRGM（2）脫離地球引力處，飛船的引力勢(shì)能為零。）脫離地球引力處，飛船的引力勢(shì)能為零。 一輕彈簧一輕彈簧, 其一端系在其一端系在鉛直放置的圓環(huán)的頂點(diǎn)鉛直放置的圓環(huán)的

19、頂點(diǎn)P，另一端系一質(zhì)量為另一端系一質(zhì)量為m 的小的小球球, 小球穿過(guò)圓環(huán)并在環(huán)上小球穿過(guò)圓環(huán)并在環(huán)上運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)( (=0) )開始球靜止開始球靜止于點(diǎn)于點(diǎn) A, 彈簧處于自然狀態(tài)，彈簧處于自然狀態(tài)，其長(zhǎng)為環(huán)半徑其長(zhǎng)為環(huán)半徑R; 30oPBRA當(dāng)球運(yùn)動(dòng)到環(huán)的底端點(diǎn)當(dāng)球運(yùn)動(dòng)到環(huán)的底端點(diǎn)B時(shí)，球?qū)Νh(huán)沒有壓時(shí)，球?qū)Νh(huán)沒有壓力求彈簧的勁度系數(shù)力求彈簧的勁度系數(shù) 解解 以彈簧、小球和以彈簧、小球和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)地球?yàn)橐幌到y(tǒng)BA只有保守內(nèi)力做功只有保守內(nèi)力做功系統(tǒng)系統(tǒng)ABEE 即即)30sin2(2121022mgRkRmBvRmmgkRB2v又又Rmgk2所以所以取點(diǎn)取點(diǎn)B為重力勢(shì)能零點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)0pE3

20、0oPBRA2-4-5 碰撞 兩個(gè)或兩個(gè)以上的物體在運(yùn)動(dòng)中兩個(gè)或兩個(gè)以上的物體在運(yùn)動(dòng)中發(fā)生極其短暫的相互作用，使物體的發(fā)生極其短暫的相互作用，使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生急劇變化，這一過(guò)程稱運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生急劇變化，這一過(guò)程稱為為碰撞碰撞。 1m1m2m2m1m10v20v1v2vxO動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒2211202101vvvvmmmm完全彈性完全彈性碰撞：碰撞：碰撞碰撞后物體后物體系統(tǒng)系統(tǒng)的的動(dòng)動(dòng)能沒有損失能沒有損失。 非彈性碰撞非彈性碰撞：碰撞碰撞后物體后物體系統(tǒng)系統(tǒng)的的動(dòng)動(dòng)能有損失能有損失。 完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞：碰撞碰撞后物體后物體系統(tǒng)系統(tǒng)的的動(dòng)動(dòng)能有損失能有損失，且且碰撞后碰撞后物體物體

21、以同一速度運(yùn)動(dòng)以同一速度運(yùn)動(dòng)。 1. 完全彈性碰撞完全彈性碰撞 2222112202210121212121vvvvmmmm2211202101vvvvmmmm210110212221202102112)(2)(mmmmmmmmmmvvvvvv(1) 如果如果m1= m2 ，則，則v1 = v20 ，v2 = v10，即兩物體即兩物體在碰撞時(shí)速度在碰撞時(shí)速度發(fā)生了發(fā)生了交換交換。 (2) 如果如果v20 =0 , 且且 m2 m1, 則則v1 = - v10, v2 = 02完全完全非非彈性碰撞彈性碰撞 21202101mmmmvvv由動(dòng)量守恒定律由動(dòng)量守恒定律完全非彈性碰撞中完全非彈性碰撞中

22、動(dòng)動(dòng)能的損失能的損失 22122022101(21)2121()vvvmmmmE)(2)(212201021mmmmvv牛頓的牛頓的碰撞定律碰撞定律：在一維對(duì)心碰撞在一維對(duì)心碰撞中，中，碰撞碰撞后兩物后兩物體的分離速度體的分離速度 v2 2- - v1 1 與與碰撞碰撞前兩物體的接近速度前兩物體的接近速度 v1010- - v2020 成正比成正比，比值由兩物體的材料比值由兩物體的材料性質(zhì)性質(zhì)決定決定。 3非非彈性碰撞彈性碰撞201012vvvve e 為恢復(fù)系數(shù)為恢復(fù)系數(shù) e = 0，則則v2 = v1，為，為完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞。 e =1，則分離速度等于接近速度則分離速度等于接近

23、速度，為，為完全彈性碰撞完全彈性碰撞。 一般一般非彈性碰撞非彈性碰撞碰撞碰撞：0 e 1 如果系統(tǒng)的狀態(tài)在某種操作下保持不變，則稱如果系統(tǒng)的狀態(tài)在某種操作下保持不變，則稱該系統(tǒng)對(duì)于這一操作具有該系統(tǒng)對(duì)于這一操作具有對(duì)稱性對(duì)稱性。 如果某一物理現(xiàn)象或規(guī)律在某一變換下保持不變，則稱該現(xiàn)象或規(guī)律具有該變換所對(duì)應(yīng)的對(duì)稱性。 物理學(xué)中最常見的對(duì)稱操作：物理學(xué)中最常見的對(duì)稱操作： 時(shí)間操作：時(shí)間操作：時(shí)間平移、時(shí)間反演等；時(shí)間平移、時(shí)間反演等； 空間操作：空間操作：空間平移、旋轉(zhuǎn)、鏡像反射、空間反演等?？臻g平移、旋轉(zhuǎn)、鏡像反射、空間反演等。 時(shí)空操作：時(shí)空操作：伽利略變換、洛侖茲變換等。伽利略變換、洛侖茲

24、變換等。 zxyO1空間的對(duì)稱性及其操作（1）空間平移操作）空間平移操作zzyyxx,系統(tǒng)具有空間平移對(duì)稱性。系統(tǒng)具有空間平移對(duì)稱性。 x（2）空間反演操作）空間反演操作zzzyyyxxx,空間反演操作下空間反演操作下不變的系統(tǒng)具有不變的系統(tǒng)具有對(duì)對(duì)O O點(diǎn)的對(duì)稱性。點(diǎn)的對(duì)稱性。 xyz（ 3）鏡像反射操作）鏡像反射操作 xx不變zy,zxyyzx（4）空間旋轉(zhuǎn)）空間旋轉(zhuǎn)（球?qū)ΨQ球?qū)ΨQ）操作操作 zyxO在此操作下系統(tǒng)稱具有球在此操作下系統(tǒng)稱具有球?qū)ΨQ性。對(duì)稱性。 rr保持不變保持不變（5）空間旋轉(zhuǎn)）空間旋轉(zhuǎn)（軸對(duì)稱軸對(duì)稱）操作操作r保持不變,對(duì)繞對(duì)繞 z 軸作任意旋轉(zhuǎn)都不變的系統(tǒng)具有軸對(duì)稱性。軸作任意旋轉(zhuǎn)都不變的系統(tǒng)具有軸對(duì)稱性。 2時(shí)間的對(duì)稱性及其操作（1）時(shí)間平移操作）時(shí)間平移操作ttt，系統(tǒng)不變，系統(tǒng)不變例如例如,系統(tǒng)作周期性變化系統(tǒng)作周期性變化（2）時(shí)間反演操作）時(shí)間反演操作tt系統(tǒng)具有時(shí)間反演對(duì)稱性。系統(tǒng)具有時(shí)間反演對(duì)稱性。 3時(shí)空的對(duì)稱性操作 物理規(guī)律對(duì)對(duì)于某一變換（也是一個(gè)時(shí)