帶電粒子在磁場(chǎng)中軌跡和兩種方式

1、-一、帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的分析方法1圓心確實(shí)定因?yàn)槁鍌惼澚指向圓心，根據(jù)Fv，畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡中任意兩點(diǎn)一般是射入和射出磁場(chǎng)兩點(diǎn)，先作出切線找出v的方向再確定F的方向，沿兩個(gè)洛倫茲力F的方向畫(huà)其延長(zhǎng)線，兩延長(zhǎng)線的交點(diǎn)即為圓心，或利用圓心位置必定在圓中一根弦的中垂線上，作出圓心位置，如圖1所示。2半徑確實(shí)定和計(jì)算利用平面幾何關(guān)系，求出該圓的可能半徑或圓心角，并注意以下兩個(gè)重要的幾何特點(diǎn)：粒子速度的偏向角等于轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角，并等于AB弦與切線的夾角弦切角的2倍，如圖2所示，即=2。相對(duì)的弦切角相等，與相鄰的弦切角互補(bǔ)，即+=180。3粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間確實(shí)定假設(shè)要計(jì)算轉(zhuǎn)過(guò)任一段圓弧所用的時(shí)

2、間，則必須確定粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓弧所對(duì)的圓心角，利用圓心角與弦切角的關(guān)系，或者利用四邊形角和等于360計(jì)算出圓心角的大小，并由表達(dá)式，確定通過(guò)該段圓弧所用的時(shí)間，其中T即為該粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期，轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角越大，所用時(shí)間t越長(zhǎng)，注意t與運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)。4帶電粒子在兩種典型有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)情況的分析穿過(guò)矩形磁場(chǎng)區(qū)：如圖3所示，一定要先畫(huà)好輔助線半徑、速度及延長(zhǎng)線。a、帶電粒子在穿過(guò)磁場(chǎng)時(shí)的偏向角由sin=L/R求出；、L和R見(jiàn)圖標(biāo)b、帶電粒子的側(cè)移由R2=L2-R-y2解出；y見(jiàn)所圖標(biāo)c、帶電粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間由得出。穿過(guò)圓形磁場(chǎng)區(qū)：如圖4所示，畫(huà)好輔助線半徑、速度、軌跡圓的圓心、連心線。a、

3、帶電粒子在穿過(guò)磁場(chǎng)時(shí)的偏向角可由求出；、r和R見(jiàn)圖標(biāo)b、帶電粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間由得出。解決帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題的兩種方法此類問(wèn)題的解題關(guān)鍵是尋找臨界點(diǎn)，尋找臨界點(diǎn)的有效方法是： 軌跡圓的縮放：當(dāng)入射粒子的入射方向不變而速度大小可變時(shí)，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心一定在入射點(diǎn)所受洛倫茲力所表示的射線上，但位置半徑R不確定，用圓規(guī)作出一系列大小不同的軌跡圖，從圓的動(dòng)態(tài)變化中即可發(fā)現(xiàn)“臨界點(diǎn).例1一個(gè)質(zhì)量為m，帶電量為+q的粒子不計(jì)重力，從O點(diǎn)處沿+y方向以初速度射入一個(gè)邊界為矩形的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于*y平面向里，它的邊界分別是y=0,y=a,*=-1.5a,如下列圖，則當(dāng)B滿足條

4、件_時(shí)，粒子將從上邊界射出：當(dāng)B滿足條件_時(shí)，粒子將從左邊界射出：當(dāng)B滿足條件_時(shí)，粒子將從下邊界射出：例2 如圖9-8所示真空中寬為d的區(qū)域有強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向如圖，質(zhì)量m帶電-q的粒子以與CD成角的速度V0垂直射入磁場(chǎng)中。要使粒子必能從EF射出，則初速度V0應(yīng)滿足什么條件.EF上有粒子射出的區(qū)域.【審題】如圖9-9所示，當(dāng)入射速度很小時(shí)電子會(huì)在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)一段圓弧后又從同一側(cè)射出，速率越大，軌道半徑越大，當(dāng)軌道與邊界相切時(shí)，電子恰好不能從另一側(cè)射出，當(dāng)速率大于這個(gè)臨界值時(shí)便從右邊界射出，依此畫(huà)出臨界軌跡，借助幾何知識(shí)即可求解速度的臨界值；對(duì)于射出區(qū)域，只要找出上下邊界即可。圖9-8 圖9

5、-9 圖9-10【解析】粒子從A點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后受洛倫茲力作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要使粒子必能從EF射出，則相應(yīng)的臨界軌跡必為過(guò)點(diǎn)A并與EF相切的軌跡如圖9-10所示，作出A、P點(diǎn)速度的垂線相交于O/即為該臨界軌跡的圓心。臨界半徑R0由有: ；故粒子必能穿出EF的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡半徑RR0即: 有:。由圖知粒子不可能從P點(diǎn)下方向射出EF，即只能從P點(diǎn)上方*一區(qū)域射出；又由于粒子從點(diǎn)A進(jìn)入磁場(chǎng)后受洛侖茲力必使其向右下方偏轉(zhuǎn)，故粒子不可能從AG直線上方射出；由此可見(jiàn)EF中有粒子射出的區(qū)域?yàn)镻G，且由圖知: 。abcdOv0例3如下列圖，一足夠長(zhǎng)的矩形區(qū)域abcd充滿方向垂直紙面向里的、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在

6、ad邊中點(diǎn)O，方向垂直磁場(chǎng)向里射入一速度方向跟ad邊夾角 = 30、大小為v0的帶正電粒子，粒子質(zhì)量為m，電量為q，ad邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，ab邊足夠長(zhǎng)，粒子重力不計(jì)，求：1粒子能從ab邊上射出磁場(chǎng)的v0大小圍.2如果帶電粒子不受上述v0大小圍的限制，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間.解析：1假設(shè)粒子速度為v0，則qv0B =，所以有R =，設(shè)圓心在O1處對(duì)應(yīng)圓弧與ab邊相切，相應(yīng)速度為v01，則R1R1sin =，將R1 =代入上式可得，v01 =類似地，設(shè)圓心在O2處對(duì)應(yīng)圓弧與cd邊相切，相應(yīng)速度為v02，則R2R2sin =，將R2 =代入上式可得，v02 =所以粒子能從ab邊上射出磁場(chǎng)的v0應(yīng)滿足v

7、02由t =及T =可知，粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)過(guò)的弧所對(duì)的圓心角越長(zhǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也越長(zhǎng)。由圖可知，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑rR1時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，弧所對(duì)圓心角為22，所以最長(zhǎng)時(shí)間為t =例4如圖7所示，矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的長(zhǎng)為L(zhǎng)，寬為L(zhǎng)/2。磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，質(zhì)量為m，電荷量為e的電子沿著矩形磁場(chǎng)的上方邊界射入磁場(chǎng)，欲使該電子由下方邊界穿出磁場(chǎng)，求：電子速率v 的取值圍.解析：1帶電粒子射入磁場(chǎng)后，由于速率大小的變化，導(dǎo)致粒子軌跡半徑的改變，如下列圖。當(dāng)速率最小時(shí)，粒子恰好從d點(diǎn)射出，由圖可知其半徑R1=L/4，再由R1=mv1/eB，得當(dāng)速率最大時(shí)，粒子恰好從c點(diǎn)射出，由圖可知其半徑R2滿足，即R2

8、=5L/4，再由R2=mv2/eB，得電子速率v的取值圍為：。圖5例5、在邊長(zhǎng)為的存在垂直紙面向里的磁感強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，有一帶正電，質(zhì)量為的粒子從距點(diǎn)的點(diǎn)垂直方向進(jìn)入磁場(chǎng)，如圖所示，假設(shè)粒子能從間離開(kāi)磁場(chǎng)，求粒子速率應(yīng)滿足什么條件及粒子從間什么圍射出解析：如圖所示，設(shè)粒子速率為時(shí)，其圓軌跡正好與邊相切于點(diǎn)圖6由圖知，在中，由得，解得，則又由得，則要粒子能從間離開(kāi)磁場(chǎng)，其速率應(yīng)大于圖7如圖所示，設(shè)粒子速率為時(shí)，其圓軌跡正好與邊相切于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)易知點(diǎn)即為粒子軌跡的圓心，則又由得，則要粒子能從間離開(kāi)磁場(chǎng)，其速率應(yīng)小于等于綜上，要粒子能從間離開(kāi)磁場(chǎng)，粒子速率應(yīng)滿足粒子從距點(diǎn)的間射出*帶電粒子在磁

9、場(chǎng)中以不同的速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑隨著速度的變化而變化，因此可以將半徑放縮，運(yùn)用“放縮法探索出臨界點(diǎn)的軌跡，使問(wèn)題得解；對(duì)于圍型問(wèn)題，求解時(shí)關(guān)鍵尋找引起圍的“臨界軌跡及“臨界半徑R0，然后利用粒子運(yùn)動(dòng)的實(shí)際軌道半徑R與R0的大小關(guān)系確定圍。 軌跡圓的旋轉(zhuǎn)：當(dāng)粒子的入射速度大小確定而方向不確定時(shí)，所有不同方向入射的粒子的軌跡圓是一樣大的，只是位置繞入射點(diǎn)發(fā)生了旋轉(zhuǎn)，從定圓的動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)中，也容易發(fā)現(xiàn)“臨界點(diǎn).例6 一水平放置的平板MN的上方有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里.許多質(zhì)量為m帶電量為+q的粒子，以一樣的速率v沿位于紙面的各個(gè)方向，由小孔O射入磁場(chǎng)區(qū)域. 不計(jì)重力

10、，不計(jì)粒子間的相互影響. 以下列圖中陰影局部表示帶電粒子可能經(jīng)過(guò)的區(qū)域，其中正確的圖是 A 例7在y0的區(qū)域存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)垂直于圖中的O*y平面，方向指向紙外，原點(diǎn)O處有一離子源，沿各個(gè)方向射出速率相等的同價(jià)正離子，對(duì)于速度在O*y平面的離子，它們?cè)诖艌?chǎng)中做圓弧運(yùn)動(dòng)的圓心所在的軌跡，可用下面給出的四個(gè)半圓中的一個(gè)來(lái)表示，其中正確的選項(xiàng)是 A DCBA*yO*yO*yO*yO例8 如圖，在*軸的上方y(tǒng)0存在著垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。在原點(diǎn)O有一個(gè)離子源向*軸上方的各個(gè)方向發(fā)射出質(zhì)量為m、電量為q的正離子，速率都為v。對(duì)那些在*y平面運(yùn)動(dòng)的離子，在磁場(chǎng)中可能到達(dá)的最大*_，最

11、大y_例9 圖中虛線MN是一垂直紙面的平面與紙面的交線，在平面右側(cè)的半空間存在一磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向外是MN上的一點(diǎn)，從O 點(diǎn)可以向磁場(chǎng)區(qū)域發(fā)射電量為q、質(zhì)量為m 、速率為的粒于，粒于射入磁場(chǎng)時(shí)的速度可在紙面各個(gè)方向先后射人的兩個(gè)粒子恰好在磁場(chǎng)中給定的P點(diǎn)相遇，P到0的距離為L(zhǎng)不計(jì)重力及粒子間的相互作用(1)求所考察的粒子在磁場(chǎng)中的軌道半徑(2)求這兩個(gè)粒子從O點(diǎn)射人磁場(chǎng)的時(shí)間間隔解析：設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，由牛頓第二定律，有1得2如下列圖，以O(shè)P為弦可畫(huà)兩個(gè)半徑半徑一樣的圓，分別表示在P點(diǎn)相遇的兩個(gè)粒子的軌道，圓心和直徑分別為O1、O2和OO1Q1、OO2

12、Q2，在O處兩個(gè)圓的切線分別表示兩個(gè)粒子的射入方向，用表示它們之間的夾角。由幾何關(guān)系可知：從O點(diǎn)射入到相遇，粒子1的路程為半個(gè)圓周加弧長(zhǎng)=R粒子2的路程為半個(gè)圓周減弧長(zhǎng)=R粒子1運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：粒子2運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：兩粒子射入的時(shí)間間隔：因得可解得：圖1例10 如圖1，半徑為的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域邊界跟軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O，磁感強(qiáng)度，方向垂直紙面向里在O處有一放射源S，可向紙面各個(gè)方向射出速度為的粒子粒子質(zhì)量，電量，試畫(huà)出粒子通過(guò)磁場(chǎng)空間做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心軌道，求出粒子通過(guò)磁場(chǎng)空間的最大偏角圖2解析：設(shè)粒子在洛侖茲力作用下的軌道半徑為，由得雖然粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度方向不確定，但粒子進(jìn)場(chǎng)點(diǎn)是確定的，因此粒子作圓周運(yùn)動(dòng)

13、的圓心必落在以O(shè)為圓心，半徑的圓周上，如圖中虛線由幾何關(guān)系可知，速度偏轉(zhuǎn)角總等于其軌道圓心角在半徑一定的條件下，為使粒子速度偏轉(zhuǎn)角最大，即軌道圓心角最大，應(yīng)使其所對(duì)弦最長(zhǎng)該弦是偏轉(zhuǎn)軌道圓的弦，同時(shí)也是圓形磁場(chǎng)的弦顯然最長(zhǎng)弦應(yīng)為勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域圓的直徑即粒子應(yīng)從磁場(chǎng)圓直徑的A端射出如圖，作出磁偏轉(zhuǎn)角及對(duì)應(yīng)軌道圓心，據(jù)幾何關(guān)系得，得，即粒子穿過(guò)磁場(chǎng)空間的最大偏轉(zhuǎn)角為例11 如圖8所示，真空室存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=060T，磁場(chǎng)有一塊平面感光板ab，板面與磁場(chǎng)方向平行，在距ab的距離l=16cm處，有一個(gè)點(diǎn)狀的放射源S，它向各個(gè)方向發(fā)射粒子，粒子的速度都是v=3010

14、6m/s，粒子的電荷與質(zhì)量之比q/m=50107C/kg，現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運(yùn)動(dòng)的粒子，求ab上被粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度。解析：粒子帶正電，故在磁場(chǎng)中沿逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，用R表示軌道半徑，有qvB=mv2/R，由此得R=mv/qB，代入數(shù)值得R=10cm。可見(jiàn)，2RlR，如圖9所示，因朝不同方向發(fā)射的粒子的圓軌跡都過(guò)S，由此可知，*一圓軌跡在圖中N左側(cè)與ab相切，則此切點(diǎn)P1就是粒子能打中的左側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn)。為定出P1點(diǎn)的位置，可作平行于ab的直線cd，cd到ab的距離為R，以S為圓心，R為半徑，作弧交cd于Q點(diǎn)，過(guò)Q作ab的垂線，它與ab的交點(diǎn)即為P1。，再考慮N的右側(cè)。任何粒子在運(yùn)動(dòng)中離

15、S的距離不可能超過(guò)2R，以2R為半徑、S為圓心作圓，交ab于N右側(cè)的P2點(diǎn)，此即右側(cè)能打到的最遠(yuǎn)點(diǎn)。由圖中幾何關(guān)系得，所求長(zhǎng)度為P1P2=NP1+NP2，代入數(shù)值得P1P2=20cm。點(diǎn)評(píng)：此題給定帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的入射速度的大小，其對(duì)應(yīng)的軌跡半徑也就確定了。但由于入射速度的方向發(fā)生改變，從而改變了該粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圖，導(dǎo)致粒子的出射點(diǎn)位置變化。在處理這類問(wèn)題時(shí)重點(diǎn)是畫(huà)出臨界狀態(tài)粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖對(duì)應(yīng)的臨界狀態(tài)的速度的方向，再利用軌跡半徑與幾何關(guān)系確定對(duì)應(yīng)的出射圍。圖14例12 如圖14所示，在真空中坐標(biāo)平面的區(qū)域，有磁感強(qiáng)度的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向與平面垂直，在軸上的點(diǎn)，有一放射源，在平面向各個(gè)方

16、向發(fā)射速率的帶正電的粒子，粒子的質(zhì)量為，電量為，求帶電粒子能打到軸上的圍圖15解析：帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)有，則如圖所示，當(dāng)帶電粒子打到軸上方的A點(diǎn)與P連線正好為其圓軌跡的直徑時(shí)，A點(diǎn)既為粒子能打到軸上方的最高點(diǎn)因，則當(dāng)帶電粒子的圓軌跡正好與軸下方相切于點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)既為粒子能打到軸下方的最低點(diǎn)，易得綜上，帶電粒子能打到軸上的圍為：小結(jié)：1.帶電粒子進(jìn)入有界磁場(chǎng),運(yùn)動(dòng)軌跡為一段弧線.解決這類問(wèn)題的切入點(diǎn)是：定圓心；求半徑；畫(huà)軌跡；找圓心角。2.同源粒子垂直進(jìn)入磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)軌跡速度大小不同，方向一樣。速度大小一樣，方向沿各方向。3.注意圓周運(yùn)動(dòng)中的有關(guān)對(duì)稱規(guī)律:(1) 在圓形磁場(chǎng)區(qū)域,沿徑向射入的粒子,必沿徑向射出.(2) 粒子進(jìn)入單邊磁場(chǎng)時(shí),入射速度與邊界夾角等于出射速度與邊界的夾角; 針對(duì)性訓(xùn)練:圖111、如圖11所示，A、B為水平放置的足夠長(zhǎng)的平行板，板間距離為，A板中央有一電子源P，在紙面能向各個(gè)方向發(fā)射速度在圍的電子，為P點(diǎn)正上方B板上的一點(diǎn)，假設(shè)垂直紙面加一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度，電子的質(zhì)量，電子電量，不計(jì)電子的重力和電子間相互作用力，且電子打到板上均被吸收，并轉(zhuǎn)移到求：1沿P方向射出的電子擊中A、B兩板上的圍假設(shè)從點(diǎn)發(fā)出的粒子能恰好擊