可測(cè)函數(shù)列常見(jiàn)的幾種收斂

1、可測(cè)函數(shù)列常見(jiàn)的幾種收斂摘要：本文介紹了可測(cè)函數(shù)列常見(jiàn)的幾種收斂：一致收斂、幾乎一致收斂、幾乎處處收斂、依測(cè)度收斂等以及它們之間的關(guān)系.關(guān)鍵字：可測(cè)函數(shù)列；一致收斂；幾乎一致收斂；幾乎處處收斂；依測(cè)度收斂前言在數(shù)學(xué)分析中我們知道一致收斂是函數(shù)列很重要的性質(zhì)，比如它能保證函數(shù)列的極限過(guò)程和(R)積分過(guò)程可交換次序等.可是一般而言函數(shù)列的一致收斂性是不方便證明的，而且有些函數(shù)列在其收斂域內(nèi)也不一定是一致收斂的，如文中所給的例2函數(shù)f(x)在收斂域0,1內(nèi)不一致收斂，但對(duì)于一個(gè)6>0當(dāng)6T0時(shí)在0,6內(nèi)一致收斂，這不見(jiàn)說(shuō)明了一致收斂的特殊性，也驗(yàn)證了我們平時(shí)常說(shuō)的“矛盾的同一性和矛盾的斗爭(zhēng)性是

2、相聯(lián)系的、相輔相成的"11可測(cè)函數(shù)列幾種收斂的定義1.1 一致收斂網(wǎng)設(shè)f(x),fi(x),f2(x)，fk(x)，是定義在點(diǎn)集E上的實(shí)值函數(shù).若對(duì)于V6A0,存在KWN+使得對(duì)于Vk>K,Vx=E者B有fk(x)-f(x)：二；則稱fk(x)在E上一致收斂到f(x).記作：fkJf(其中u表示一致uniform).1.2 點(diǎn)點(diǎn)收斂若函數(shù)列f(x),fi(x),f2(x)，fk(x)，在點(diǎn)集due上每一點(diǎn)都收斂，則稱它在D上點(diǎn)點(diǎn)收斂.1例1定義在E=0,1上的函數(shù)列fk(x)=，則fk(x)在E上點(diǎn)點(diǎn)收斂到函數(shù)1kx1,x=0,f(x)=0,0<x<1.而且還能看出

3、fk(x)在b,1】上不一致收斂到f(x),但對(duì)于va0,fk(x)在儲(chǔ)1上一致收斂到f(x).1.3幾乎一致收斂3設(shè)E是可測(cè)集，若yd>0,3E5cE,使得m(EE©<6,在E上有fk-%f則稱fk(x)在E上幾乎一致收斂與f(x),并記作fk一2tf.(其中a.u.表示幾乎一致almostuniform).例2定義在E=D,1上的函數(shù)fk(x)=xk在10,11上收斂卻不一致收斂.但是只要從0,1的右端點(diǎn)去掉任一小的一段使之成為10,1-6(6a0,6t0網(wǎng)ijfk(x)在此區(qū)間上就一致收斂，像這樣的收斂我們就可以稱之為在E=10,1上幾乎一致收斂與0.1.4 幾乎處

4、處收斂3設(shè)f(x),f1(x),f2(x)，fk(x)，是定義在點(diǎn)集E二Rn上的廣義實(shí)值函數(shù).若存在E中點(diǎn)集Z,有m(Z)=0,及對(duì)于每一個(gè)元素xWEZ,有l(wèi)im.fk(x)-f(x)x則稱fk(x)在E上幾乎處處收斂與f(x),并簡(jiǎn)記為fkTf,a.eE或fk-±eTf.若上文的例1也可以稱之為在b,1】上幾乎處處收斂與f(x).1.5 依測(cè)度收斂例3在0,1)上構(gòu)造函數(shù)列fk(x)如下：對(duì)于kwN+，存在唯一的自然數(shù)i和j,使得k=2+j,其中0MjM2、令fk(x)=,jj1、(x),k=1,2,x0,1).jj1任意給定的0,1)，對(duì)于每一個(gè)自然數(shù)i,有且僅有一個(gè)j,使得飛/

5、,/).數(shù)列f(x0)中有無(wú)窮多項(xiàng)為1,有無(wú)窮多項(xiàng)為0.由此可知，函數(shù)列fk(x)在0,1)上點(diǎn)點(diǎn)不收斂.因此僅考慮點(diǎn)收斂將得不到任何信息.然而仔細(xì)觀察數(shù)列fk(x0)雖然有無(wú)窮多個(gè)1出現(xiàn)，但是在“頻率”意義下，0卻也大量出現(xiàn).這一事實(shí)可以用點(diǎn)集測(cè)度語(yǔ)言來(lái)刻畫.只要k足夠大，對(duì)于0<名W1,點(diǎn)集xe0,1)|fk(x)-0之名=x0,1)fk(x)=1二ji-l)2i，2i的測(cè)度非常小.事實(shí)上,、1m(xW0,1)fk(x)-0>s).2這樣對(duì)于任給的6a0,總可以取到k0,也就是取到i0,使得當(dāng)k>k0時(shí)，有m(xw0,1)|fk(x)-0<s)>1-6其中24

6、<6.這個(gè)不等式說(shuō)明，對(duì)于充分大的h,出現(xiàn)0的“頻率”接近1.我們將把這樣一種現(xiàn)象稱為函數(shù)列fk(x)在區(qū)間0,1)上依測(cè)度收斂到零函數(shù)，并將抽象出以下定義3:設(shè)f(x),f1(x),f2(x)，fk(x)，是可測(cè)集E上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù).若對(duì)于任意給定的名下0,有l(wèi)jmcm(E(fk-f|>®)=0,則稱fk(x)在E上依測(cè)度收斂到函數(shù)f(x),記為fk-f.2可測(cè)函數(shù)列幾種收斂的關(guān)系2.1 點(diǎn)點(diǎn)收斂與一致收斂的關(guān)系由上述定義我們可以知道fk-Jf,必有fk(x)點(diǎn)點(diǎn)收斂于f(x).如例1.反之則不一定成立，如例2,而且還可以得到若fk(x)是可測(cè)集E上的可測(cè)函數(shù)列

7、，則f(x)也是可測(cè)函數(shù).2.2 幾乎處處收斂與一致收斂的關(guān)系由定義可知有一致收斂必幾乎處處收斂(fkf=fk-'f).反之則不(R)然，如例2.而且還可以得到若fk(x)是可測(cè)集E上的可測(cè)函數(shù)列，則極限函數(shù)f(x)也是可測(cè)函數(shù).應(yīng)用：從數(shù)學(xué)分析我們知道一致收斂的函數(shù)列對(duì)于求極限運(yùn)算和積分運(yùn)算、微分運(yùn)算與(R)積分運(yùn)算等可以交換次序.2.3 幾乎處處收斂與一致收斂的關(guān)系葉果洛夫(EropoB)定理5:設(shè)m(E)<s,fn是E上一列a.e.收斂于一個(gè)a.e.有限的函數(shù)f的可測(cè)函數(shù)，則對(duì)于任意的0>0,存在子集E盧E,使fn在E上一致收斂，且m(EEJ.注定理中“m(E)<

8、;8"不可去掉如：例4定義在E=(0,+2)的函數(shù)列(m=1,2;).工1,x(0,mfm(x);0,x(m,二)則fm在(0,+g)上處處收斂于1，但對(duì)于任何正數(shù)6及任何可測(cè)集Ed，當(dāng)時(shí)m(EE)m6時(shí)，fm在E臺(tái)上不一致收斂于1.這是因?yàn)?，?dāng)時(shí)m(EEp*時(shí)，E6不能全部含于(0,m中，必有Xm=EdA(m-He),于是有著(4)=0.SUp|fm(x)-1引fm(Xm)1|=1xEc.所以fm(x)在E上不一致收斂與1,也即定理中“m(E)<s"不可去掉4.由定義我們知道一致收斂必是幾乎處處收斂的，反之則不成立.但它們又有密切的關(guān)系，即使上述定理告訴我們幾乎處處

9、收斂“基本上”是一致收斂的(在除去一個(gè)測(cè)度為任意小集合的子集上).應(yīng)用由上述定理我們還可以得到“魯津定理”：設(shè)f(x)是E上a.e.有限的可測(cè)函數(shù)，則對(duì)于任意的6A0,存在閉子集F5aE,使f(x)在F6上是連續(xù)函數(shù)，且m(EF/<6.也就是說(shuō)：在E上ae有限的可測(cè)函數(shù)“基本上”是連續(xù)的(在除去一個(gè)測(cè)度為任意小集合的子集上).也即我們可以用連續(xù)函數(shù)來(lái)逼近a.e.有限的可測(cè)函數(shù).2.4 幾乎處處收斂與依測(cè)度收斂的關(guān)系例5取E=(0,1,將E等分，定義兩個(gè)函數(shù)：1，f1(x);0,1x(0,-2,x(1,1210,x(0,-f2(x)=12.1,x(-,12然后將(0,1四等分、八等分等等.

10、一般的，對(duì)于每個(gè)n,作2n個(gè)函數(shù):1,fj(x)=0,xWj=1,2，2n.我們把fj(x),j=1,2，,2n,先n按后按j的順序逐個(gè)的排成一列：f1(x),f2(1)(x),f1(x),f2(n)(x),f2n(n)(x),(1)fj(n)(x)在這個(gè)序列中是第N=2n-2+j個(gè)函數(shù).可以證明這個(gè)函數(shù)列是依測(cè)度收斂于零的.這是因?yàn)閷?duì)于任何的仃下0,E.fj(n)-Qa或是空集(當(dāng)仃1),或是(方1,/(當(dāng)0仃M1),所以m(Efj(n)-0'*)E?(當(dāng)時(shí)仃1時(shí)，左端為0).由于當(dāng)N=2n2+j(j=1,2，2n.)趨于年時(shí)n-»g,由此可見(jiàn)(Nimcm(Efj-0之仃)

11、=0,也即fj(n)(x)J0.但是函數(shù)列(1)在上的任何一點(diǎn)都不收斂.事實(shí)上，對(duì)于任何點(diǎn)x0w(0,1,無(wú)論n多么大,總存在j'使選寧/因而心()=1，然而或。尸0,換言之，對(duì)于任何xow(0,1,在f儀。)中必有兩子列，一個(gè)包為1,另一個(gè)包為0.所以序列(1)在(0,1上任何點(diǎn)都是發(fā)散的.這也就說(shuō)明依測(cè)度收斂的函數(shù)列不一定處處收斂，也就是說(shuō)依測(cè)度收斂不能包含幾乎處處收斂，但仍有：黎斯(F.Riesz)5設(shè)在E±培測(cè)度收斂于f,則存在子列fj在E上a.e收斂于f.例6如例4,當(dāng)fm(x)T1(nT*當(dāng)xwE.但是當(dāng)0仃1時(shí)，E|fm-1之。=(m,+s)且m(m,+8)=箋

12、.這說(shuō)明fn不依測(cè)度收斂于1.這個(gè)例子又說(shuō)明了幾乎處處收斂也不包含依測(cè)度收斂，但是有下述關(guān)系：勒貝格(Lebesgue)5設(shè)mE電，fn是E上a.e.有限的可測(cè)函數(shù)列，fn在E上a.e.收斂于a.e.有限白函數(shù)f,則fn(x)Jf(X).此定理中的“mE®"不可去掉，原因參看例1,定理也說(shuō)明在的在的條件mE下，依測(cè)度收斂弱于幾乎處處收斂.有以上定理黎斯又給出了一個(gè)用幾乎處處收斂來(lái)判斷依測(cè)度收斂的充要條件：設(shè)mER,儲(chǔ)是E上的可測(cè)函數(shù)列，那么fn依測(cè)度U斂于f的充要條件是：fn的任何子列fnk中必可找到一個(gè)幾乎處處收斂于f的子序列.證明(必要性)由于fn依測(cè)度U斂于f,由定義

13、知道這時(shí)fn的的任何子序列fnk必也依測(cè)度收斂于f,由黎斯定理可知fnk中必存在幾乎處處收斂于f的子序列.(充分性)如果fn不依測(cè)度收斂于f,即存在一個(gè)仃0,使得m(E|f|士。)不趨于0.因此必有子序列3,使得nkJ_：二)=a.0.這樣fnj就不可能再有子序列幾乎處處收斂于f了，否則由勒貝格定理知將有九limm(E(fnk-f遼)=0.kJack這與上式矛盾，所以fn依測(cè)度U斂于f.應(yīng)用依測(cè)度收斂在概率統(tǒng)計(jì)中有重要的意義，如例3；它也是證明中心極限定理的重要依據(jù)，由中心極限定理我們可以知道用一個(gè)正態(tài)分布來(lái)模擬一個(gè)樣本容量較大的樣本的概率分布，從而簡(jiǎn)化了大樣本概率分布的處理和計(jì)算口.結(jié)束語(yǔ)：上述定義中的各種收斂的極限函數(shù)都是唯一的，而且從本文還可以知道一致收斂是最強(qiáng)的收斂，它蘊(yùn)含了點(diǎn)點(diǎn)收斂、幾乎處處收斂、依測(cè)度收斂等上述幾種收斂.各種收斂都有不同的意義，在各種實(shí)踐中作用也各不同.參考文獻(xiàn)：1馬克思主義基本原理概論教材編寫課題組.馬克思主義基本原理概論M.高等教育出版社，2009,72華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第三版)