【疑難突破】求曲線的切線

求曲線的切線求曲線的切線講解曲線f（x）在點(diǎn)P（x0，f（x0））處的切線方程：點(diǎn)（x0，f（x0））為切點(diǎn)；切線斜率k＝f′（x0）；切線方程為y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）．求曲線的切線講解曲線f（x）過點(diǎn)P（x0，f（x0））的切線方程：該點(diǎn)可能是切點(diǎn)，也可能不是切點(diǎn)；如果點(diǎn)P不是切點(diǎn)，則切線可能不止一條，切線條數(shù)與切點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)；求曲線的切線講解曲線f（x）過點(diǎn)P（x0，f（x0））的切線方程：求切線方程的一般步驟：①設(shè)出切點(diǎn)（x1，f（x1））；②求出函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)（x1，f（x1））處的導(dǎo)數(shù)f′（x1）；③寫出切線方程：y－f（x1）＝f′（x1）（x－x1），將（x0，f（x0））代入，求得x1；④將x1代入切線方程，化簡得切線方程．注意求曲線的切線直線l與曲線C有唯一公共點(diǎn)時(shí)，直線l不一定是曲線的切線，如圖中的直線l1．當(dāng)直線l與曲線C有不止一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線l也可能是曲線C的切線，如圖中的直線l2，N是切點(diǎn)．求曲線的切線例已知曲線y＝（1）求曲線在點(diǎn)P（2，4）處的切線方程；（2）求曲線過點(diǎn)P（2，4）的切線方程．思路點(diǎn)撥：（1）先求出y＝

的導(dǎo)函數(shù)y′，再將x＝2代入y′求得切線的斜率，最后求切線方程；（2）先求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再求切線方程．求曲線的切線例已知曲線y＝（1）求曲線在點(diǎn)P（2，4）處的切線方程；（2）求曲線過點(diǎn)P（2，4）的切線方程．解析：（1）由題意得，求曲線的切線例已知曲線y＝（1）求曲線在點(diǎn)P（2，4）處的切線方程；（2）求曲線過點(diǎn)P（2，4）的切線方程．∵點(diǎn)P（2，4）在曲線y＝

上，∴在點(diǎn)P（2，4）處的切線斜率為y′|x＝2＝22＝4，∴曲線在點(diǎn)P（2，4）處的切線方程為y－4＝4（x－2），即4x－y－4＝0．（2）設(shè)曲線y＝

與過點(diǎn)P（2，4）的切線相切于點(diǎn)

則切線的斜率為∴切線方程為求曲線的切線例已知曲線y＝（1）求曲線在點(diǎn)P（2，4）處的切線方程；（2）求曲線過點(diǎn)P（2，4）的切線方程．即

，∴即

（x0＋1）－4（x0＋1）（x0－1）＝0，∴（x0＋1）（x0－2）2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切線方程為x－y＋2＝0或4x－y－4＝0．即∵點(diǎn)P（2，4）在切線上，易錯(cuò)警示求曲線的切線例已知曲線y＝（1）求曲線在點(diǎn)P（2，4）處的切線方程；（2）求曲線過點(diǎn)P（2，4）的切線方程．求過點(diǎn)（x0，y0）的切線方程，如果點(diǎn)在已知曲線上，容易認(rèn)為該點(diǎn)就是切點(diǎn)進(jìn)行求解而造成失誤．求曲線