大學(xué)物理機(jī)械工業(yè)出版社)上冊(cè)課后練習(xí)答案

1、1-1 已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：X = -10t - 30t2,2y =15t - 20t。式中X、y的單位為m, t的單位為s。試求:(1)初速度的大小和方向；(2)加速度的大小和方向。 分析由運(yùn)動(dòng)方程的分量式可分別求出速度、加速度的分量，再由運(yùn)動(dòng)合成算出速度和加速度的大小和方向.將式(2)兩邊積分并考慮初始條件也dv =V0A _ Bv得石子速度v=A(1-e_Bt)BA由此可知當(dāng)，tis時(shí)，v為一常量，通常稱為極限速B設(shè) v。與X軸的夾角為a,則tana -V0X2a =12341加速度的分量式為芽0ms，則加速度的大小為a = aX2 ay2= 72.1 m sa2設(shè)a與X軸的夾角為3,

2、則tan3-ax31-3 一個(gè)正在沿直線行駛的汽船，關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，由于 阻力得到一個(gè)與速度反向、大小與船速平方成正比例的加速度，即a= -kv2,k為常數(shù)。在關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，試證：(1)船在t時(shí)刻的速度大小為vV ；kvt +1(2 )在時(shí)間t內(nèi)，船行駛的距離為1XIn(v0kt 1);k(3)船在行駛距離X時(shí)的速率為 v=V0e*X。證明(1)分離變數(shù)得 卑-kdt,vVdt故 岑一k dt,V0v03= -33 41 (或 326 19)解(1)速度的分量式為vXdx蘭一10 60tdtvy=型=15 -40tydt-1當(dāng)t=0 時(shí)，Vox=-10 ms-, voy=15 m-s則初速度大小

3、為V。=V0X2- V0y2=18.0 m s1度或收尾速度.(2)再由v二屯二A(1_edtytAdy0B(1-e孑嚴(yán))并考慮初始條件有&dt得石子運(yùn)動(dòng)方程y(e7)BB2質(zhì)點(diǎn)dv用分離變量法把式(1)改寫為dt(2)A Bv，有tdt0aydVydt=-40 ms可得:11kt.V0V。1-2 一石子從空中由靜止下落，由于空氣阻力，石子并 非作自由落體運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)測得其加速度a= A-Bv,式中 A、B 為 正恒量，求石子下落的速度和運(yùn)動(dòng)方程。分析本題亦屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問題，與上題不同之 處在于加速度是速度v的函數(shù)，因此，需將式 dv =a( v)dt分離變量為dv= dt后再兩邊積分.a(v

4、)解選取石子下落方向?yàn)閥軸正向，下落起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)由題a=業(yè)=A - Bv(1)(2)公式可化為v =1 + v0kt由于-=dx/dt,所以:積分因此dx二1 + v0kttXdx0dtdtd vkt).0k(1 vkt)1XIn(v0kt 1).k-j.(3 ) 要求 v(x)，可由a = 二dt空kdxvdv dx dv .v，有dx dt dx面發(fā)生完全彈性碰撞后作拋射體運(yùn)動(dòng)，問它第二次碰到斜面的位置距原來的下落點(diǎn)多遠(yuǎn)。-kv2dv=v -:dx解：小球落地時(shí)速度為v0= . 2gh建立直角坐標(biāo)積分得vdv k dx =v0v01 4 行人身咼 為h,若人以勻速V0用繩拉一小車

5、行走， 而小車放在距地面 高為H的光滑平臺(tái) 上，求小車移動(dòng)的速 度和加速度。解：人前進(jìn)的速vlnkx,v = v0e用證畢.H圖 1-18 習(xí)題 1-4 圖度 V。，則繩子前進(jìn)的速度大小等于車移動(dòng)的速度大小,2 2 2 2.l 5 (H -h)_votdtv；t2(H _h)2(H -h)2v：3/Td2ldt2廠22 2、(H -h) votv：t:H -h)2-v：t22 2(H -h) v22 2 3/2H -h)2vSt2丫1-5 質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)，其加速度和位置的關(guān)系為22a = 2 6x,a的單位為 m/s ,x的單位為 m。質(zhì)點(diǎn)在x=0 處，速度為所以小車移動(dòng)的速度小車移動(dòng)的加速度

6、a解:分離變量:兩邊積分得系，以小球第一次落地點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖vx0二v0cos601x = v0cos6001g cos600t20vy0二v0sin60y =v0sin 60t - 1 gsin600t2第二次落地時(shí)y = 0所以-“Mt冷心爐2(1)(2)2vo2上0.8mg1 7 一人扔石頭的最大出手速率為擊中一個(gè)與他的手水平距離 L=50m 高 h=13m 的目標(biāo)嗎? 在此距離上他能擊中的最大高度是多少？v= 25m/s，他能10m/s，試求質(zhì)點(diǎn)在任何坐標(biāo)處的速度值。dv dv dxdvav dtdx dtdx2d二adx = (2 6x )dx123v = 2x 2x c2=0時(shí)，

7、vo =10.c = 50由題知，x一一12解：由運(yùn)動(dòng)方程x = vtcosv, y = vtsingt2,消2去 t 得軌跡方程y二xtg (tg2,1)x22v一一1以 x= 05.0m , v = 25ms 代入后得y=50tgyg(1 tg2R 502= 50tgd-20(1 tg)-20(t一5)211.25取 g= 10.0，則當(dāng)tgv -1.25時(shí)，ymax所以他不能射中，能射中得最大高度為= 11.25 131-8ymax=11.2512一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周按規(guī)律s = v0t -一bt運(yùn)2V。、b都是常量。(1)求t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的總加速度；t為何值時(shí)總加速度在數(shù)值上等于b? (

8、3)當(dāng)加速度動(dòng)，達(dá)到b時(shí)，質(zhì)點(diǎn)已沿圓周運(yùn)行了多少圈？分析 在自然坐標(biāo)中,s表示圓周上從某一點(diǎn)開始的 曲線坐標(biāo).由給定的運(yùn)動(dòng)方程s=s(t),對(duì)時(shí)間t求一階、 二階導(dǎo)數(shù)，即是沿曲線運(yùn)動(dòng)的速度 v 和加速度的切向分量at,而加速度的法向分量為an= V2/R這樣，總加速度為a=atet+ an.至于質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)間內(nèi)通過的路程，即為曲線 坐標(biāo)的改變量s=st-s0.因圓周長為 2nR,質(zhì)點(diǎn)所轉(zhuǎn)過 的圈數(shù)自然可求得.一ds解（1）質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的速率為v =二v0btdt其加速度的切向分量和法向分量分別為az=0,a =a：ay=R21- 10 飛機(jī)以 100m- s-1的速度沿水平直線飛行，在 離地面

9、高為 100m 時(shí)，駕駛員要把物品投到前方某一地面 目標(biāo)處。問：（1）此時(shí)目標(biāo)在飛機(jī)下方前多遠(yuǎn)？（2）投放物品時(shí)，駕駛員看目標(biāo)的視線和水平線成何角度？（ 3）物品投出 2s 后，它的法向加速度和切向加速度各為多 少？解：要使丨a1=b,由1 R2b2(v二bt)4R得t 4b(3)從t= 0 開始到t= Vo/bV=. (gt)dvat=-dt.(gt)2v0.at=1.96m/s2,g=10.0(或1.88m/s2,g=9.8):a=：ga a；二gan= , g2-a2=9.80m/s2,g =10.0 (或9.62m/s2,g=9.8)2s V02nR 4dbR1-9 已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程

10、為:x二Rcos t, y = Rsin t,R、h、為正的常量。求：（2）質(zhì)點(diǎn)的速度大??；（3）1 - 11 一無風(fēng)的下雨天， 一列火車以V1=20m/s 的速度勻 速前進(jìn)，在車內(nèi)的旅客看見玻璃窗外的雨滴和垂線成75角下降，求雨滴下落的速度V2。（設(shè)下降的雨滴作勻速運(yùn) 動(dòng)）解：以地面為參考系，火車相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的速度為V1,雨滴相對(duì)地面豎直下落的速度為V2,旅客看到雨滴下落速度 V2為相對(duì)速度，它們之間的關(guān)系為v V2 V1故加速度的大小為a pa；a；224R b(v。-bt)(1)gt2,t=2其方向與切線之間的夾角為R2=452m歸列噲吋 EERb(2)(3)v - arctg - =

11、12.5x解： （1）軌道方程為2:這是一條空間螺旋線。在 Oxy平面上的投影為圓心在原點(diǎn)， 半徑為R的圓, 螺距為h(2)Vxd - -R；i sindt1v2= v1/ tg 755.36ms1- 12 升降機(jī)以加速度ao=1.22m-s2上升，當(dāng)上升速度為 2.44m-S1時(shí)，有一螺帽自升降機(jī)的天花板脫落，天花板與升降機(jī)的底面相距2.74m，試求：（1）螺帽從天花板落到底面所需時(shí)間；（2）螺帽相對(duì)于升降機(jī)外固定柱子 的下降距離。解：（1）以升降機(jī)為參考系，此時(shí)，螺絲相 對(duì)它的加速度為 a =g+a,螺絲落到底面時(shí)，有0二h _ 1（g a）t2a仝一bdt2v2(v-bt)2an*時(shí),質(zhì)

12、點(diǎn)經(jīng)過的路程為2v2gt22VoS = St- So :2b因此質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行的圈數(shù)為（1 ）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道方程;2 2(3)ax二-R2cos tay- -R sin t=0.705s(3)12h =v0t +at（2）由于升降機(jī)在 t 時(shí)間內(nèi)的高度為2則d二h _h =0.716m1 13飛機(jī)A相對(duì)地面以VA=1000km/h的速率向南飛 行，另一飛機(jī) B 相對(duì)地面以VB=800 km/h 的速率向東偏南 30方向飛行。求飛機(jī) A 相對(duì)飛機(jī) B 的速度。解：VA-1000jj,VB=400j 400疥v=VAVB=1000j400j40.3=扌,一4052,方向西偏南解：由相對(duì)速度的矢量關(guān)系v二

13、v u有（1）空氣時(shí)靜止的，即 u= 0，則往返時(shí)，飛機(jī)相對(duì) 地面的飛行速度就等于飛機(jī)相對(duì)空氣的速度v（圖（1）,I | 2I故飛機(jī)來回飛行的時(shí)間t0= tAB- tBA=v v V（2）空氣的速度向東時(shí)， 當(dāng)飛機(jī)向東飛行時(shí)， 風(fēng)速與飛機(jī)相對(duì)空氣的速度同向；返回時(shí)，兩者剛好相反（圖（2）,故飛機(jī)來回飛行的時(shí)間為I Iu2ttAB tBAt（1一2 ）v+u vuV（3）空氣的速度向北時(shí)， 飛機(jī)相對(duì)地面的飛行速度的大小由八u可得為v=v2-u2，故飛機(jī)來回飛行 的時(shí)間為v =.600240023 = 916km/h1 14 一人能在靜水中以1.10m s-1的速度劃船前進(jìn)，今欲橫渡一寬為 100

14、0m 水流速度為 0.55m s1的大 河。（1）,那么應(yīng)如何確定劃行方向？到達(dá)正對(duì)岸需多少 時(shí)間？（ 2）如果希望用最短的時(shí)間過河，應(yīng)如何確定劃t2 -tAB tBAII=+_ =vv2l.v2- u22l /v2 2v u懇-,2v v第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)行方向？船到達(dá)對(duì)岸的位置在什么地方？解：如圖（1）若要從出發(fā)點(diǎn)橫渡該河而到達(dá)正對(duì)岸的一 點(diǎn)，則劃行速度和水流速度 u 的合速度的方向正對(duì)著岸,2 1 如本題圖，計(jì)的滑輪和細(xì)繩連接，小各為多少。 解：如圖由受力分析得A、B兩物體質(zhì)量均為 m 用質(zhì)量不 并不計(jì)摩擦，則A和B的加速度大設(shè)劃行速度v合速度V的夾角為amg -TA二maATB_mg =

15、maB2aA=aBTA二2TB（1）TA6mAaAsin：=- =0.55/1.1 =0.5mgAJBBBmgaB解得 aA=COS-dV cos :如圖（2）用最短的時(shí)間過河，則劃行速度的方向正對(duì)著岸ddt =一，l二ut二u =500m v v1 15 設(shè)有一架飛機(jī)從 A 處向東飛到 西飛回到 A 處，飛機(jī)相對(duì)空氣的速率為 地面的速率為 u, A、B 間的距離為I。u=0）,3= 1.05 10 sB 處，然后又向v，而空氣相對(duì)(1) 的時(shí)間；(2)假定空氣是靜止的（即求飛機(jī)來回飛行假定空氣的速度向東,假定空氣的速度向北,求飛機(jī)來回飛行的時(shí)間;求飛機(jī)來回飛行的時(shí)間。1g5y2aB=：g5習(xí)

16、題 2-1 圖2 2 如本題圖所示，的質(zhì)量均為A 以加速度 求物體 B 與 （滑輪與連已知兩物體 A、B m=3.0kg，物體a=1.0m/s2運(yùn)動(dòng)， 桌面間的摩擦力。接繩的質(zhì)量不計(jì)）解：分別對(duì)物體和滑輪受力分析（如圖），由牛頓定律 和動(dòng)力學(xué)方程得，I rJo屮n4I .:jT JjjTJz事J jr J k%i #乙! k/習(xí)題 22 圖(3)別為：-ai（下落）和ai（上升），設(shè)作用在m 上的線中張力為Ti，作用在 m和m3上的線中張力為T2。列出方程組如下：mig -T miaim2g -T2二m2(a - ajT2-msg = m3(a ajTi=2T2可求出:25 從實(shí)驗(yàn)知道，當(dāng)物體

17、速度不太大時(shí)，可以認(rèn)為 空氣的阻力正比于物體的瞬時(shí)速度，設(shè)其比例常數(shù)為 將質(zhì)量為m 的物體以豎直向上的初速度V。拋出。（i）試證明物體的速度為kkV=四心韋t-i） voe韋tk證明物體將達(dá)到的最大高度為mvom g kvo.In（i ）k kmg證明到達(dá)最大高度的時(shí)間為mkvo I n（i）kmg2T2二尹怡2-4 光滑的水平面上放置一半徑為R 的固定圓環(huán)，物體緊貼環(huán)的內(nèi)側(cè)作圓周運(yùn)動(dòng)，其摩擦系數(shù)為卩。物體的 初速率為Vo,求：（i） t 時(shí)刻物體的速率；（2）當(dāng)物體速 率從Vo減少到Vo/2 時(shí)，物體所經(jīng)歷的時(shí)間及經(jīng)過的路程。解：（i）設(shè)物體質(zhì)量為 m,取圖示的自然坐標(biāo)系，由牛頓 定律得，m

18、Ag -FT二mAa(i)F TI-Ff =mBa(2)2a = a(3)FJ =2F(4)mA= mB= m5FT=FT6F TI二FTI7解得Ff=mg-(m 4m)a，7.2N2FNFfFf2v=man= m2R2=-mat=UFNdv=-mdt由上三式可得2VUr=R2tdvdt R對(duì)(4)式積分得dt= Jo, vdv u V2-3 如圖所示，細(xì)線不可伸長，細(xì)線、 定滑輪、動(dòng)滑輪的質(zhì)量均不計(jì)已知m4m3m2=2m3。求各物體運(yùn)動(dòng)的加速度及各段細(xì)線中的張力。解：設(shè) m 下落的加速度為ai,因而動(dòng) 滑輪也以ai上升。再設(shè)m相對(duì)動(dòng)滑輪Rvo以加速度a下落，m3相對(duì)動(dòng)滑輪以加速習(xí)題2-3度a

19、上升，二者相對(duì)地面的加速度分（2）當(dāng)物體速率從Vo減少到vo/2時(shí)，由Rvo.v可得物體所經(jīng)歷的時(shí)間R + v04ttt經(jīng)過的路程S= .oVdt=oRdt= In 2 R voJtJRvoai2gga,a255a3=3g54Timig,5證明：由牛頓定律可得代入mi= 4m3,m2二2m3,k。tH(1)-mg-kv=mdv，dt丄m. mg+kvot In -，k mg kvdv(2)-mg-kv=m，dxt .v-mdvdt:0v-mg kvmtmtv=mg(e1) v-ekmvdvmg kv令mg kv =u,du =kdv k, mgdudx二-mdumum-m2gk%.xln(1k

20、 kmgkmg+kvxk20評(píng)mgmgkvo(-mdU2 - 7 一物體自地球表面以速率vo豎直上拋。 對(duì)物體阻力的值為 f = kmv2，其中 k 為常量, 質(zhì)量。試求：（1 ）該物體能上升的高度；（2） 地面時(shí)速度的值。解：分別對(duì)物體上拋和下落時(shí)作受力分析（如圖），八 ,2dv mvdv（1）-mg-k mv =m=-，dt dyvvdv2假定空氣m 為物體物體返回ydy=-J -v0g kv2g kv)1y ln(22k g+kv.物體達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，v=0,故2.1 g + kv0h=yma=ln()2k g.當(dāng)v=（時(shí)，t二mln陂衛(wèi)0即為到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間kmg+k2-6 質(zhì)量為 m

21、的跳水運(yùn)動(dòng)員，從距水面距離為 h 的 高臺(tái)上由靜止跳下落入水中。 把跳水運(yùn)動(dòng)員視為質(zhì)點(diǎn)， 并 略去空氣阻力。運(yùn)動(dòng)員入水后垂直下沉， 水對(duì)其阻力為-2bv，其中 b 為一常量。若以水面上一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,豎直向下為 Oy 軸，求：（1）運(yùn)動(dòng)員在水中的速率v與y的 函數(shù)關(guān)系；（2）跳水運(yùn)動(dòng)員在水中下沉多少距離才能使其 速率v減少到落水速率V-的 1/10 ?（假定跳水運(yùn)動(dòng)員在 水中的浮力與所受的重力大小恰好相等）解：運(yùn)動(dòng)員入水可視為自由落體運(yùn)動(dòng)，所以入水時(shí)的速度為（2）下落過程中，-mg+kmv2dv mvdv=m =-dt dy2-8ovvdvdy2h0gkv2C 丄kv0）-1/2.v=v（1

22、）g質(zhì)量為m的子彈以速度 V。水平射入沙土中，設(shè)子彈v-=、2gh，入水后如圖由牛頓定律的所受阻力f= -kv，k為常數(shù)，求：（1）子彈射入沙土 后，速度隨時(shí)間變化的函數(shù)式；（2）子彈進(jìn)入沙土的最大 深度。解：（1 ）由題意和牛頓第二定律可得：dvf - -kv二m，dtmg-f-F=mamg=F f=bv2分離變量，可得:-=-dv兩邊同時(shí)積分，所m vdtdv dv a= v一 dt -bv2dydv二 mv一 dyvdvybdy =0mv-by/ mby/mv =ve2ghe將已知條件 一=0.4m,v =0.1vo代入上式得,my =-min = 5.76mbv-mg_kt以：v二ve

23、m（2）子彈進(jìn)入沙土的最大深度也就是v=0 的時(shí)候子彈的位移，則：.k dv由m vdt可推出：vdt - -mdv，而這個(gè)式子兩邊積分就可k0m_ m-vdtdv v0。v-k k2-9 已知一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在x軸上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)只受到以得到位移：xmax指向原點(diǎn)的力f =-k/x2,k是比例常數(shù)。設(shè)質(zhì)點(diǎn)在x = A時(shí)的速度為零，求質(zhì)點(diǎn)在x=A/4處的速度的大小。解：由題意和牛頓第二定律可得kdvdv dxdvf2= m mmvx2dtdx dt再采取分離變量法可得:兩邊同時(shí)取積分，則：所以：v二2-10 一顆子彈在槍筒里前進(jìn)時(shí)所受的合力大小為5F =400 -4 10 t/3，子彈從槍口射出時(shí)

24、的速率為300m/s。設(shè)子彈離開槍口處合力剛好為零。求：（1）子彈走完槍筒全長所用的時(shí)間t；（ 2）子彈在槍筒中所受力 的沖量I; （3）子彈的質(zhì)量。解：（1）由F=400一4 105t/3和子彈離開槍口處合力剛好為零，則可以得到：F=400 -4 105t/3 = 0算出 t=0.003s。（2）由沖量定義：0.0030.0031=（ Fdt= （400 4D05t/3）dt0.003= 400t 2F05t2/30=0.6N *s0.003（3）由動(dòng)量定理：Fdt = P二mv =0Ns所以：m =0.6/300 = 0.002kg2-11 高空作業(yè)時(shí)系安全帶是非常必要的。假如一質(zhì)量為 5

25、1.0 kg的人，在操作時(shí)不慎從高空豎直跌落下來，由于安全帶的保護(hù)，最終使他被懸掛起來。已知此時(shí)人離原處的距離為 2.0 m ，安全帶彈性緩沖作用時(shí)間為0.50 s。求安全帶對(duì)人的平均沖力。分析 從人受力的情況來看，可分兩個(gè)階段：在開始 下落的過程中，只受重力作用，人體可看成是作自由落體 運(yùn)動(dòng)；在安全帶保護(hù)的緩沖過程中，則人體同時(shí)受重力和安全帶沖力的作用，其合力是一變力，且作用時(shí)間很短.為 求安全帶的沖力，可以從緩沖時(shí)間內(nèi)，人體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（動(dòng)量） 的改變來分析，即運(yùn)用動(dòng)量定理來討論.事實(shí)上，動(dòng)量定理也可應(yīng)用于整個(gè)過程但是，這時(shí)必須分清重力和安全帶 沖力作用的時(shí)間是不同的；而在過程的初態(tài)和末態(tài)，人

26、體的速度均為零.這樣,運(yùn)用動(dòng)量定理仍可得到相同的結(jié)果.解 以人為研究對(duì)象，按分析中的兩個(gè)階段進(jìn)行討論在自由落體運(yùn)動(dòng)過程中，人跌落至 2 m 處時(shí)的速度為v1=、2gh（1）在緩沖過程中，人受重力和安全帶沖力的作用，根據(jù)動(dòng)量定理，有F PAt = mv2- mv1（2）由式（1）、（2）可得安全帶對(duì)人的平均沖力大小為2- 12 長為 60cm 的繩子懸掛在天花板上，下方系一 質(zhì)量為 1kg 的小球，已知繩子能承受的最大張力為20N。試求要多大的水平?jīng)_量作用在原來靜止的小球上才能將 繩子打斷？I =m0 - 0解：由動(dòng)量定理得糾 ,m如圖受力分析并由牛頓定律得，2mv0T _mg 2mv0T =m

27、g0_ 202.mg：l /I _ 20I _2.47Ns2- 13 一作斜拋運(yùn)動(dòng)的物體，在最高點(diǎn)炸裂為質(zhì)量相等的兩塊，最高點(diǎn)距離地面為19.6m。爆炸 1.0s 后，第一塊落到爆炸點(diǎn)正下方的地面上，此處距拋出點(diǎn)的水平距離為 100m。問第二塊落在距拋出點(diǎn)多遠(yuǎn)的地面上？（設(shè)空氣的阻力不計(jì)）解：取如圖示坐標(biāo)系，根據(jù)拋體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，爆炸前，物體 在最高點(diǎn)得速度得水平分量為_ 2 dx二mvdv，xA/4vmvdvAmvAtmgA2ghAt= 1.14 103NVox=；=兒 g /2h物體爆炸后，第一塊碎片豎直下落的運(yùn)動(dòng)方程為yi=h-v 1gt2當(dāng)碎片落地時(shí)，t，則由上式得爆炸后 第一塊碎片拋出得

28、速度為m+Mv0cosv -Mv m(v -u)式中 v 為人拋物后相對(duì)地面的水平速率, v-u 為拋出物對(duì)地面得水平速率，得q 丄 muV=VDCOS+m+M人的水平速率得增量為h-2gt2Vi=一2(2)t1又根據(jù)動(dòng)量守恒定律，在最高點(diǎn)處有1mvox= mv2x而人從最高點(diǎn)到地面得運(yùn)動(dòng)時(shí)間為丄% sinvt =g所以人跳躍后增加的距離為1 10=- mvimv2y4聯(lián)立以上()-(4)式得爆炸后第二塊碎片 拋出時(shí)的速度分量分別為v2x=2vox=2xi.Jh TOOms，h- Igt2v2y訓(xùn)=一-14.7ms111爆炸后第二塊碎片作斜拋運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為x2=x1+v2xt2(5)12y

29、2=h+V2yt2-2gt2(6)落地時(shí) y2=O,由式(5)和(6)可解得第二塊碎片 落地點(diǎn)得水平位置x2=5OOm2- 14 質(zhì)量為M的人手里拿著一個(gè)質(zhì)量為 m 的物體， 此人用與水平面成0角的速率Vo向前跳去。當(dāng)他達(dá)到最 高點(diǎn)時(shí)，他將物體以相對(duì)于人為U 的水平速率向后拋出。問：由于人拋出物體，他跳躍的距離增加了多少？(假設(shè)人可視為質(zhì)點(diǎn))(自己算一遍)解：取如圖所示坐標(biāo)， 把人和物視為一系統(tǒng)， 當(dāng)人跳 躍到最高點(diǎn)處，在向左拋物得過程中， 滿足動(dòng)量守恒，故 有mv0sin 日.:x=. vt=-(m+M g2- 15 鐵路上有一靜止的平板車，其質(zhì)量為M,設(shè)平板車可無摩擦地在水平軌道上運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)

30、有 N 個(gè)人從平板車的后端跳下，每個(gè)人的質(zhì)量均為m,相對(duì)平板車的速度均為 u。問：在下列兩種情況下，(1) N 個(gè)人同時(shí)跳離；(2) 一個(gè)人、一個(gè)人地跳離，平板車的末速是多少？所得的結(jié)果為何不同，其物理原因是什么？(典型)解：取平板車及 N 個(gè)人組成的系統(tǒng)，以地面為參考系， 平板車的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较颍?系統(tǒng)在該方向上滿足動(dòng)量守 恒?？紤] N 個(gè)人同時(shí)跳車的情況，設(shè)跳車后平板車的速度 為 v，則由動(dòng)量守恒定律得0= Mv+Nm(v u)v = Nmu/(Nm+M)(1)又考慮 N 個(gè)人一個(gè)接一個(gè)的跳車的情況。 設(shè)當(dāng)平板車 上商有 n 個(gè)人時(shí)的速度為 Vn,跳下一個(gè)人后的車速為 Vn- 1, 在該

31、次跳車的過程中，根據(jù)動(dòng)量守恒有(M+nr)i Vn=M Vn-1+(n-1)m vn-1+m(Vn-仁仁u) (2)由式(2)得遞推公式Vn- 1=Vn+mu/(M+nm)(3)當(dāng)車上有 N 個(gè)人得時(shí)(即 N= n) ,VN=0;當(dāng)車上 N 個(gè)人完全跳完時(shí)，車速為V0,根據(jù)式(3)有，VN-1=0+mu/(Nm+M)VN-2= VN-1+mu/(N-1)m+M)Av=v-v0cos?=mum+MV0= v 計(jì) mu/(M+nm)將上述各等式的兩側(cè)分別相加，整理后得,由于 M 亠 nm：SM亠 Nm, n= 1,2,3. N故有，Vo卜 V即 N 個(gè)人一個(gè)接一個(gè)地跳車時(shí)，平板車的末速度大于N 個(gè)

32、人同時(shí)跳下車的末速度。這是因?yàn)?N 個(gè)人逐一跳離車時(shí)，車對(duì) 地的速度逐次增加，導(dǎo)致跳車者相對(duì)地面的速度也逐次增 加，并對(duì)平板車所作的功也相應(yīng)增大，因而平板車得到的 能量也大，其車速也大。2-16 一物體在介質(zhì)中按規(guī)律x=ct3作直線運(yùn)動(dòng)，c為 一常量。設(shè)介質(zhì)對(duì)物體的阻力正比于速度的平方：f- -kv2，試求物體由xo= 0 運(yùn)動(dòng)到x=1時(shí)，阻力所作的功。分析 本題是一維變力作功問題，仍需按功的定義式W二F dx來求解.關(guān)鍵在于尋找力函數(shù)F=F(x).根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，可將已知力與速度的函數(shù)關(guān)系F(v) =kv2變換到F(t),進(jìn)一步按x=ct3的關(guān)系把 Rt)轉(zhuǎn)換為 Rx), 這樣,就可按功的定

33、義式求解.解 由運(yùn)動(dòng)學(xué)方程x=ct3,可得物體的速度起來，它們的質(zhì)量分別為m 和 m。問在 A 板上需加多大的壓力，方可在力停止作用后， 恰能使在跳起來時(shí) B 稍被 提起。(設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k)解：選取如圖所示坐標(biāo)系， 取原點(diǎn)處為重力勢(shì)能和彈 性勢(shì)能零點(diǎn)，作各種狀態(tài)下物體的受力圖。對(duì)A 板而言，當(dāng)施以外力 F 時(shí)，根據(jù)受力平衡有F= G1F(1)當(dāng)外力撤除以后，由機(jī)械能守恒定律得，1212ky1-mgy1=mgy?y2為 M、N 兩點(diǎn)對(duì)原點(diǎn) O 的位移。因?yàn)?F1= ky1,F2=ky2,G1=mg 上式可以寫為，F(xiàn)F2=2G1(2)由()和(2)式可得F = G1G2(3)當(dāng) A 板跳到

34、N 點(diǎn)時(shí)，B 板剛被提起，此時(shí)彈性力F2=G2,2 18 如本題圖所示，A 和 B 兩塊板用一輕彈簧連接且 F2=F2,由式(3)可得F = G1+G2=(m1+m2)gvin= 1muM-nm22,42/34/3F = kv 9kc t 9kc x則阻力的功為擦滑動(dòng)，求子彈射入靶內(nèi)彈簧后，彈簧的最大壓縮距離。解：設(shè)彈簧得最大壓縮量為x0。小球與靶共同運(yùn)動(dòng)得速度為 v1。由動(dòng)量守恒定律，有W =qFdx =cos18(dx = -o9kc/3x4/3dx =2- 17 一人從 10m 深的井中提水，起始桶中裝有 10kg 的水，由于水桶漏水，每升高 1m 要漏去0.2kg 的水。求 水桶被勻速

35、地從井中提到井口，人所作的功。(典型)解：水桶在勻速上提的過程中，加速度為0,拉力和重力平衡，在圖示坐標(biāo)下，水桶重力隨位置的變化關(guān)系為G= mg-agy其中a= 0.2kg/m,人對(duì)水桶的拉力的功為10W = o (mg:gy)dy=882Jmv = (m M )v1(1)又由機(jī)械能守恒定律，有121212mv = (m M )v1kx02 2 2由(1 式和(2)式可得mM - v k (m M )2 20 以質(zhì)量為 m 的彈丸，穿過如本題圖所示的擺 錘后，速率由 v 減少到 v/2。已知擺錘的質(zhì)量為 M 擺線 長度為I，如果擺錘能在垂直平面內(nèi)完成一個(gè)完全的圓 周運(yùn)動(dòng)，彈丸的速度的最小值應(yīng)為

36、多少？解：dx2v3ctdt2 19 如本題圖所示，質(zhì)量為 m 速度為 v 的鋼球,按題意及上述關(guān)系,物體所受阻力的大小為射向質(zhì)量為 M 的靶，靶中心有一小孔，內(nèi)有勁度系數(shù)為k的彈簧，此靶最初處于靜止?fàn)顟B(tài)， 但可在水平面上作無摩272/3 7/3kc l由水平方向的動(dòng)量守恒有,據(jù)能量守恒，可得到:vmv = m 2 Mv為了使擺錘能在垂直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)時(shí)，擺線中的張力 F=0,則，妒竿 式中 vh為擺線在圓周最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速率。又由機(jī)械能守恒定律得V二X。；:mAmB(2)分離之后,能，所以：舟血FB)V2=kX02，所以:A 的動(dòng)能又將逐漸的轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)1212Mv = 2Mgl+

37、 Mvh(3)2 2解上述三個(gè)方程，可得擔(dān)丸所需速率的最小值為，則:X。2-23 如圖2-41 所示，光滑斜面與水平面的夾角為v =2-21 如本題圖所示，一質(zhì)量為 M 的物塊放置在斜面 的最底端 A 處，斜面的傾角為a，高度為 h，物塊與斜面 的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為 ，今有一質(zhì)量為 m 的子彈以速度vo沿 水平方向射入物塊并留在其中，且使物塊沿斜面向上滑 動(dòng)，求物塊滑出頂端時(shí)的速度大小。解：在子彈與物塊的撞擊過程中，在沿斜面的方向上，根據(jù)動(dòng)量守恒有:=30。，輕質(zhì)彈簧上端固定。今在彈簧的另一端輕輕地掛 上質(zhì)量為 M= 1.0kg 的木塊，木塊沿斜面從靜止開始向下 滑動(dòng)。當(dāng)木塊向下滑X=30cm 時(shí)

38、，恰好有一質(zhì)量 m=0.01kg 的子彈，沿水平方向以速度v = 200m/s射中木塊并陷在其中。設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k=25N/m。求子彈打入木塊后它們的共同速度。解：由機(jī)械能守恒條件可得到碰撞前木快的速度，碰撞過程中子彈和木快沿斜面方向動(dòng)量守恒，(瞬間)可得：二Mgxsin :二v1= 0.83(碰撞前木快的速度)mv0cos：=(M - m)v1(1)在物塊上滑的過程中，若令物塊剛滑出斜面時(shí)的速度 為V2,并取 A 點(diǎn)的重力勢(shì)能為 0。由系統(tǒng)的功能原理可得u(m+M)gcos.：i=1(m+M)v2(m+M)gh-(m+M)v12由(1、( 2)式可得v2= J(-VoCOsa)22gh

39、(ucota+1) Vm+M2-22 如圖 2-40 所示，在光滑 水平面上，平放一輕彈簧，彈簧 一端固定，另一端連著物體A、Mw -mvcos：(m M=v = -0.892 24二質(zhì)量相同的小球，一個(gè)靜止，另一個(gè)以速 度00與靜止的小球作對(duì)心碰撞，求碰撞后兩球的速度。(1) 假設(shè)碰撞是完全非彈性的；(2)假設(shè)碰撞是完全彈性的；e = 0.5。解：由碰撞過程動(dòng)量守恒以及附加條件，可得(1)假設(shè)碰撞是完全非彈性的，即兩者將以共同的習(xí)題 2 21 圖(3)假設(shè)碰撞的恢復(fù)系數(shù)/777777T77777V777圖 2-40 習(xí)題 2-22 圖速度前行：mv0二2mvB,它們質(zhì)量分別為mA和mB,彈簧

40、勁度系數(shù)為k，原長為I。用力推B，使彈簧壓縮X0，然后釋放。求：(1 )當(dāng)A與B開始分離時(shí)，它們的位置和速度；(2)分離之后，A還能往前移動(dòng)多遠(yuǎn)？解：(1 )當(dāng) A 和 B 開始分離時(shí)，兩者具有相同的速度，根1所以：v =一v02(2)假設(shè)碰撞是完全彈性的，* mv= mw + mv2v20 - kx2-(葉m2) v22 2 21那么計(jì)算可得：xx022 27 如本題圖示，繩上掛有質(zhì)量相等的兩個(gè)小球， 兩球碰撞時(shí)的恢復(fù)系數(shù)e=0.5。球A由靜止?fàn)顟B(tài)釋放，撞 擊球B,剛好使球B到達(dá)繩成水平的位置，求證球A釋放前的張角二應(yīng)滿足 COST = 1/9。證明：設(shè)球 A 到達(dá)最低點(diǎn)的速率為 v,根據(jù)機(jī)

41、械能守恒有12mv 二 mg2l(1 -COST),所以，v =4gl (仁COST)(1)設(shè)碰撞后代 B 兩球的速率分別為VA,VB,由題意得：分別為m和m的木塊A B,用一 勁度系數(shù)為k的輕彈簧連接，放在 光滑的水平面上。A緊靠墻。 今用 力推B塊，使彈簧壓縮xo然后釋放。(已知m2-3m-)求：(1)釋放后A、B兩滑塊速度相等時(shí)的速度大??；(2)彈簧的最大伸長量。解：分析題意，可知在彈簧由壓縮狀態(tài)回到原長時(shí)， 是彈簧的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)換為 B 木塊的動(dòng)能，然后 B 帶動(dòng) A起運(yùn)動(dòng)，此時(shí)動(dòng)量守恒，可得到兩者相同的速度v，并且此時(shí)就是彈簧伸長最大的位置，由機(jī)械能守恒可算出其量值。m?V22-28

42、如圖 2-45 所示，一質(zhì)量為m半徑為R的球殼，靜止在光滑水平面上，在球殼內(nèi)有另一質(zhì)量也為m半徑為r的小球，初始時(shí)小球靜止在圖示水平位置上。放手后小球沿大球殼內(nèi)往下滾，同時(shí)大球殼也會(huì)在水平面上運(yùn) 動(dòng)。當(dāng)它們?cè)俅戊o止在水平面上時(shí)，問大球殼在水平面上 相對(duì)初始時(shí)刻的位移大小是多少？ 解：系統(tǒng)在水平方向上不受外力，因而系統(tǒng)質(zhì)心的水平 位置始終不變。如圖所示，初始時(shí)，系統(tǒng)的質(zhì)心到球心 O 的距離為(從質(zhì)心公式算)R rXc一2小球最終將靜止于大球殼的最下方，而系統(tǒng)質(zhì)心的水平 位置始終不變，因而大球殼在水平面上相對(duì)初始時(shí)刻的(3)假設(shè)碰撞的恢復(fù)系數(shù)e =0.5，也就是mv0二mv1mv2解：由機(jī)械能守恒

43、得，碰前 m 的速度為= 0.5-mV2= mgl,V=. 2gl由碰撞前后動(dòng)能和動(dòng)量守恒得即vB- vA= 0.5vA, B 兩球碰撞時(shí)水平方向動(dòng)量守恒:121212mV = mVMVM2 2 2mv= mv MVM* m Mm M /Tr v =v2glm+M m+M=2m頁m+M 如圖 2-43 所示，兩個(gè)質(zhì)量mvBmvA= mv(3)3由(2) ,(3)式得V-v 4碰撞后 B 球機(jī)械能守恒，故有1mVB2= mglVM將(1 ,( 4)代入(5)得:2-26COSTv27V1O V20-0.53V2Vo4圖 2-43 習(xí)題 2-26 圖習(xí)題 2 25 圖202m2v20= (m1m2

44、)v位移大?。硗鈴馁|(zhì)心公式算）2-29 如圖 2-46 所示，從坐標(biāo)原點(diǎn)以 Vo的初速度發(fā)射一 發(fā)炮彈，發(fā)射傾角二=45。當(dāng)炮彈到達(dá)二2蟲處時(shí)，3g突然爆炸分成質(zhì)量相同的兩塊，其中一塊豎直下落，求另 一塊落地時(shí)的位置X2是多少？解：炮彈爆炸后其質(zhì)心仍按原拋物線軌道運(yùn)動(dòng)，因而落地3 2 質(zhì)量面密度 為匚的均勻矩形板，試 證其對(duì)與板面垂直的， 通過幾何中心的軸線的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jab（a2b2）。12其中a, b 為矩形板的 長，寬。2后的質(zhì)心坐標(biāo)為Xc =V-g證明一：如圖，在板上取一質(zhì)元dm -；dxdy，對(duì)與板 面垂直的、通過幾何中心的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為心的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2 2dJ dm b

45、 dm( x)12 213ab3dx；b(x)2dx121313b22“dJWba1Tba二存b(a b)(這道題以右邊為坐標(biāo)原點(diǎn)，左為正方向）-=0e1當(dāng)0時(shí)，t由式XCm，且m-im2m2二m，有dJ = j r2dmX2= 2xC2v0ga b二?a ?b(x2y2Xdxdy2 2第三章剛體力學(xué)CT22ab(a b )123- 1 一通風(fēng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)部分以初角速度30繞其軸轉(zhuǎn)動(dòng)，空氣的阻力矩與角速度成正比，比例系數(shù) C 為一常量。若轉(zhuǎn)動(dòng)部分對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,問：（1）經(jīng)過多少時(shí)間后其轉(zhuǎn)動(dòng)角速度減少為初角速度的一半？（2）在此時(shí)間內(nèi)共轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)？解：（1）由題可知：阻力矩 M =，又因?yàn)檗D(zhuǎn)

46、動(dòng)定理M=J：=Jddt證明二： 如圖，在板上 取一細(xì)棒dm -；bdx,對(duì)通過細(xì)棒中心與棒垂直的轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為jLyJLdmLr0Xwa據(jù)平行軸定理，對(duì)與板面垂直的、通過幾何中RrLX二-所以，此時(shí)間J yib1f0Xrat（2）角位移二dtJIn 2二0CWJdt3-3 如圖 3-28 所示，一輕 繩跨過兩個(gè)質(zhì)量為m、半徑 為r的均勻圓盤狀定滑輪， 繩的兩端分別掛著質(zhì)量為2m和m的重物，繩與滑輪 間無相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸光滑，求重物的加速度和各段繩中的張力。要計(jì)，所以繩子拉力會(huì)不等） 解：受力分析如圖（現(xiàn)在滑輪質(zhì)量所以ol2mg -T2= 2ma( 1)T1-mg二ma(2)仃2-T)r

47、J(3)(T -Ti)r二J(4)（對(duì)于質(zhì)量非常小的物體， 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為零，才有可能 T=Ti）2a = r：, J mr(5)2聯(lián)立求出111a g，T mg483-4 如圖 3-29 所示，一均 勻細(xì)桿長為 L,質(zhì)量為m，平放在摩擦系數(shù)為.二的水 平桌面上，設(shè)開始時(shí)桿以角速度-.0 繞過細(xì)桿中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，試求：（1） 作用于桿的摩擦力 矩；（2）經(jīng)過多長時(shí)間 桿才會(huì)停止轉(zhuǎn)動(dòng)。圖 3-29 習(xí)題 3-4 圖坤(1)設(shè)桿的線，.-，在桿上取一小質(zhì)元dm = dxdf二dmg二J gdxdM二 gxdx丄考慮對(duì)稱M = 22出gxdx二1 Jmgl4（2） 根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律MJ -Jd dtt(-

48、Mdt =0Jd Wo11_ mglt = ml2時(shí)04123 -5 質(zhì)量為 m 和 m 的 兩物體 A、B 分別懸掛在如本 題圖所示的組合輪兩端。 設(shè)兩 輪的半徑分別為 R 和 r，兩輪 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為 J1和 J2,輪 與軸承間的摩擦力略去不計(jì)， 繩的質(zhì)量也略去不計(jì)。試求兩 物體的加速度和繩中的張力。解：分別對(duì)兩物體做如圖 的受力分析。根據(jù)牛頓定律有m1g -T1= m1a1T2_m2g = m2aT2f又因?yàn)榻M合輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是兩輪慣量之和，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理有（從積分定義式即可算出）T|R - T2r=(J1J2 )而且，a R,a2二r：，（列 1.牛二 2.轉(zhuǎn)動(dòng)定律3.約束方程即可求解）

49、gR m2rDa122gRJ1J2m|Rm2rm|R _ m2r鬼=J1J25R2m2r2gr2J1J2m?rm2Rr _T1- 2m1gJ1J2m1R m2r-J1+ J2+ gR + m1Rr T2-2-2m2gJ1+ J2+ gR + m2r3-6 如本題圖所示裝置，定滑輪的半徑為r，繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J ,滑輪兩邊分別懸掛質(zhì)量為 m 和 m2的物 體AB。A 置于傾角為0的斜面上，它和斜面間的摩擦因 數(shù)為。若B 向下作加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，求：（1）其下落加速度 的大小；（2 ）滑輪兩邊繩子的張力。（設(shè)繩的質(zhì)量及伸長 均不計(jì)，繩與滑輪間無滑動(dòng)，滑輪軸光滑） 解:A、B 物體的受力分析如圖。根據(jù)

50、牛頓定律有- m1g sin）- f = m1a1m2g -T2= m2a2置？對(duì)滑輪而言，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律有T2r -T1r = J :-由于繩子不可伸長、繩與輪之間無滑動(dòng)，則解：機(jī)械能守恒11212mg_ Jkx2 2 2（一開始的機(jī)械能=后面的機(jī)械能，水平臨界狀態(tài)速度為零，沒有轉(zhuǎn)動(dòng)能）圖 3-33 習(xí)題 3-8 圖2 2 2 1據(jù)幾何關(guān)系（X 0.5） =1.51 =3.28rad sm2g-口也sin日 一Agg cos日ai= a2：m1m2J r22m1m2g(Vsin 8 + Ucos日)+(sin日+ PcosTjmtg J r Timim2J r2a2Tm1m2g (1 si n

51、rcosR m2g J rT2mim2J r23-9 如圖 3-34 所示，一質(zhì)量為m、 半徑為R的圓盤，可繞過O點(diǎn)的水平 軸在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。若盤從圖中實(shí)線 位置開始由靜止下落，略去軸承的摩 擦，求：（1 ）盤轉(zhuǎn)到圖中虛線所示的 鉛直位置時(shí)，質(zhì)心C 和盤緣 A 點(diǎn)的速 率；（2）在虛線位置軸對(duì)圓盤的作用 力。圖 3-34 習(xí)題 3-9 圖3-7 如圖 3-32 所示，定滑輪 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,半徑為 r ;物 體的質(zhì)量為 m，用一細(xì)繩與勁 度系數(shù)為k的彈簧相連，若 繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，滑輪 軸上的摩擦忽略不計(jì)。當(dāng)繩拉直、彈簧無伸長時(shí)使物體由靜解：在虛線位置的 C 點(diǎn)設(shè)為重力勢(shì)能的零點(diǎn)， 下降過程

52、機(jī)械能守恒mgR=丄212 2J mR2mR2（平行軸定理：圓心到 O）24g 3R止開始下落。 求： （1 ） 物體下落的最大距離; 速度達(dá)最大值時(shí)的位置。解：（1）機(jī)械能守恒。丄kh2= mgh2設(shè)下落最大距離為h3（2）物體的VA16RgFy二mg mR2= fmg方向向上（2）hx2mv22 2勢(shì)能轉(zhuǎn)化為這些能）=mgx（物體的重力2m g天1平2k x3-10 如圖 3-35 所示，一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以 v 的速度作勻速直線 運(yùn)動(dòng)。試證明：從直線外任意一 點(diǎn) O 到質(zhì)點(diǎn)的矢量 r在相同的時(shí) 間內(nèi)掃過的面積相同。解：質(zhì)點(diǎn)不受任何力作用才會(huì)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，因而它+ Jm若速度達(dá)最大值，dV

53、=0，dx對(duì) O 點(diǎn)的力矩也為零，即對(duì) O 點(diǎn)的角動(dòng)量守恒mvsin=常量。另一方面，矢量 r 在單位時(shí)間內(nèi)掃過二mgk3-8 如圖 3-33 所示，一輕彈簧與一均勻細(xì)棒連接，裝置如圖所示，已知彈簧的勁度系數(shù)k =40N/m，當(dāng) v -0時(shí)彈簧無形變，細(xì)棒的質(zhì)量m = 5.0kg，求在二=0：的位置上細(xì)棒至少應(yīng)具有多大的角速度，才能轉(zhuǎn)動(dòng)到水平位1的面積：S vrsi n=常量。23-11 如圖 3-36 所示，質(zhì)量m的衛(wèi) 星開始時(shí)繞地球作半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)。由于某種原因衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)方 向突然改變了二=30角，而速率不 變，此后衛(wèi)星繞地球作橢圓運(yùn)動(dòng)。求（1）衛(wèi)星繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的速率v; （2）

54、衛(wèi)星繞地球橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，距地心的最遠(yuǎn)和最近距離r1和r2。2mM v解：(1)由G 2m，得v =rrv rGM過程中損失的機(jī)械能。解：（1）取兩飛輪為系統(tǒng)， 嚙合過程中系統(tǒng)角 動(dòng)量守恒，即（沒有外 力）（2） 衛(wèi)星在運(yùn)動(dòng)過程中對(duì)地心的角動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒：（rxF=0,角動(dòng)量守恒）=(J1J2)2=2二n2所以 B 輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為r mvcos30=門mvi= r2mv2（橢圓的三個(gè)點(diǎn),突變前不守恒）j2=_n2J 20.0kg m2門212mM mv-G -2r12mM12mMmv1-G2mv2-G22r12r2（突變后橢圓的三個(gè)點(diǎn)）其中,V1、V2分別是衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)與近地點(diǎn)時(shí)的速率,可求

55、出3 r ,23- 12（2）嚙合過程中系統(tǒng)機(jī)械能變化11E （J1J2） -I J2=-1.32 104J223-14 如圖 3-39 所示，長為I的輕桿（質(zhì) 量不計(jì)），兩端各固定質(zhì)量分別為2m的小球，桿可繞水平光滑固定軸1r2r2如本題圖所示，質(zhì)量為Mo的水直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸O距兩端分別為m和C在豎1-1和30長為L的均勻直桿可繞過端點(diǎn) 平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以水平 速度v與靜止桿的下端發(fā)生碰撞，如 圖示，若 M=6m求質(zhì)點(diǎn)與桿分別作完 全彈性碰撞和完全非彈性碰撞后桿的 角速度大小。解：（1 ）質(zhì)點(diǎn)與桿完全彈性碰撞，則 能量守恒1mv2=1J 22 22mv12習(xí)題 3-7 圖又因?yàn)榻莿?dòng)

56、量守恒Lmv=Lmv1（碰撞的瞬間角動(dòng)量守恒）ML2,3全非Lmv二Lmv2=6m3L動(dòng)量守vo =3L3- 13 如本題圖所示，A 與 B 兩飛輪的軸桿由摩擦嚙 合器連接，A 輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J1=10.0kgm2,開始時(shí) B 輪靜 止，A 輪以 m=600r/min 的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)，然后使 A 與 B 連接， 因而 B 輪得到加速而 A 輪減速，直到兩輪的轉(zhuǎn)速都等于 n=200r/min 為止。求：（1） B 輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；（2）在嚙合v2二L22|。輕桿原來靜止在豎直位置。今有一3質(zhì)量為m的小球，以水平速度 V。與桿下端1 .小球m作對(duì)心碰撞，碰后以1圖 3-39 習(xí)題 3-14 圖丄V0的速

57、度返回，試求碰撞后輕桿所獲得的角速度。 解：根據(jù)角動(dòng)量守衡2,212I2 , 1mv0I = （ ） m （）2m ml v0333323v0213-40 所示，有一空心圓環(huán)00自由轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3-15 如圖 可繞豎直軸 為J0，環(huán)的半徑為R,初始的角速度 為30,今有一質(zhì)量為m的小球靜止 在環(huán)內(nèi)A點(diǎn)，由于微小擾動(dòng)使小球向 下滑動(dòng)。問小球到達(dá)B C點(diǎn)時(shí)，環(huán)的 角速度與小球相對(duì)于環(huán)的速度各為多 少？（假設(shè)環(huán)內(nèi)壁光滑。）解：（1）小球與圓環(huán)系統(tǒng)對(duì)豎直軸的角動(dòng)量守恒， 當(dāng)小球滑至B點(diǎn)時(shí)，有（球看成質(zhì)心 J=mR）210 0二（I。mR） (5)該系統(tǒng)在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中， 機(jī)械能守恒， 設(shè)小球相對(duì)于圓環(huán)

58、的速率為VB，以B點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則有1212 212l0 0mgR （I0mR ） mvB2 2 2聯(lián)立、兩式，得I0CO；R22gR 10 0D2 10+ mR當(dāng)小球滑至C點(diǎn)時(shí)，.Ic二丨。,故由機(jī)械能守恒，有（A、C 兩點(diǎn)沒有轉(zhuǎn)動(dòng)，所以轉(zhuǎn)動(dòng)慣量回到初始狀態(tài)，Ic = I 0）a* 二0(6)將式(4)、(5)、(6)代入(2)解得2v - arcsin( sin v0)312mg (2R)mvc2=2 gRvc3- 16 一長為 2L 的均勻細(xì)桿，一端靠墻上，另一端 放在的水平地板上，如本題 圖所示， 所有的摩擦均可略 去不計(jì)，開始時(shí)細(xì)桿靜止并 與地板成00角，當(dāng)松開細(xì)桿 后，細(xì)桿開始

59、滑下。問細(xì)桿 脫離墻壁時(shí)，細(xì)桿與地面的 夾角0為多大？解：如圖，以初始細(xì)桿的質(zhì)則任意時(shí)刻質(zhì)心坐標(biāo)為3- 17 如本題圖所示，A、 B 兩個(gè)輪子的質(zhì)量分別 為m 和2,半徑分別為 r 和2。另有一細(xì)繩繞在兩 輪上，并按圖所示連接。 其中 A 輪繞固定軸 O 轉(zhuǎn)動(dòng)。 試求：（1）B 輪下落時(shí)， 其輪心的加速度；（2 ）細(xì) 繩的拉力。解：如圖，取豎直向下為 正方向。輪 A 作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)其角加速度為：A,根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理有m1r12心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，X = l(cos V - cosDy = l(sin v -sin屯)(1)ax叫一12耐-Isin旦dtdt(2)取初始位置的勢(shì)能為零，則根據(jù)機(jī)械能守

60、恒有12mgy mvc2為12-J ( 3)(掉下了 y ,轉(zhuǎn)化2)將式（1）代入（二3心沁（4）21dt當(dāng)細(xì)桿與墻壁脫離接觸時(shí)，F(xiàn),=max=0m2g輪 B 作平面運(yùn)動(dòng)，設(shè)質(zhì)心加速度為aC，角加速度為 訂，根據(jù)牛頓定律有m2g-F =m2aC1根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理有Fr2= m2r22：B2A 輪邊緣一點(diǎn)加速度aA= A 1AB 輪邊緣一點(diǎn)加速度aB= r21B而且a=ac- aB2何m2)3mi 2m2mF -g3葉2m23 18 如本題圖所示，一長為I的 均質(zhì)桿自水平放置的初始位置平 動(dòng)自由下落，落下h距離時(shí)與一 豎直固定板的頂部發(fā)生完全彈性 碰撞，桿上碰撞點(diǎn)在距質(zhì)心C為I/4 處，求碰撞后瞬間