江蘇省無(wú)錫市2018屆高三上學(xué)期期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷-含解析

1、無(wú)錫市普通高中2017年秋學(xué)期高三期終調(diào)研考試試卷數(shù)學(xué)一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.）1. 已知集合，若，則實(shí)數(shù)_【答案】3【解析】 ,故 2. 若復(fù)數(shù)（，為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)_【答案】6【解析】 為純虛數(shù)，故 3. 某高中共有學(xué)生2800人，其中高一年級(jí)960人，高三年級(jí)900人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，抽取140人進(jìn)行體育達(dá)標(biāo)檢測(cè)，則抽取高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)為_【答案】47【解析】由已知，高二年級(jí)人數(shù)為 ，采用分層抽樣的方法 ，則抽取高二的人數(shù)為 .4. 已知，直線，則直線的概率為_【答案】【解析】由已知 ，若直線 與直線 垂直，

2、則 ，使直線的 ，故直線的概率 5. 根據(jù)如圖所示的偽代碼，當(dāng)輸入的值為3時(shí)，最后輸出的的值為_【答案】21【解析】由圖中的偽代碼逐步運(yùn)算：，;是，,，;是，,，;是，,，;否，輸出。6. 直三棱柱中，已知，若三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為_【答案】【解析】是直三棱柱， ，又三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上， 是球的直徑， ； ， ， ；故該球的表面積為 7. 已知變量滿足，目標(biāo)函數(shù)的最小值為5，則的值為_【答案】5【解析】如圖 為滿足條件的可行域，由得，當(dāng)直線 過(guò)點(diǎn) 時(shí) 有最小值5，此時(shí) ，解得坐標(biāo)為 ，代入 得 .【點(diǎn)睛】利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是：1.

3、在坐標(biāo)系中作出可行域；2.根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形；3. 確定最優(yōu)解：在可行域內(nèi)平行移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)變形后的直線，從面確定最優(yōu)解；4.求最值：將最解代入目標(biāo)函數(shù)即可求最大值與最小值.8. 函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后，與函數(shù)的圖像重合，則_【答案】【解析】平移后的函數(shù)的解析式為 ，此時(shí)圖像與函數(shù) 的圖像重合，故, 即 .9. 已知等比數(shù)列滿足，且，成等差數(shù)列，則的最大值為_【答案】1024【解析】由已知得； 當(dāng) 或 時(shí)得最大值 .【點(diǎn)睛】本題有以下幾個(gè)關(guān)鍵之處：1.利用方程思想求得首項(xiàng)和公比，進(jìn)而求得通項(xiàng)；2.利用轉(zhuǎn)化化歸思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問(wèn)題；3.本題易錯(cuò)點(diǎn)是忽視 的取

4、值是整數(shù)，而誤取 .10. 過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)作兩條相互垂直的弦和，且，則四邊形的面積為_【答案】19【解析】根據(jù)題意畫出上圖，連接 ，過(guò) 作 ， ， 為 的中點(diǎn)， 為 的中點(diǎn)，又 ， ，四邊形 為正方形，由圓的方程得到圓心，半徑 ， 【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵點(diǎn)有以下：1.利用數(shù)形結(jié)合法作輔助線構(gòu)造正方形；2.利用勾股定理求解.11. 已知雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)重合，離心率互為倒數(shù)，設(shè)分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，為右支上任意一點(diǎn)，則的最小值為_【答案】8【解析】由已知， ， ； 又雙曲線與橢圓焦點(diǎn)重合，離心率互為倒數(shù)， ，則雙曲線 ； 在右支上 ，根據(jù)雙曲線的定義有 ， ，故的最小值為 .【點(diǎn)睛】解答本題有3個(gè)關(guān)

5、鍵步驟：1、利用雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)重合，離心率互為倒數(shù)求出曲線方程；2、利用雙曲線定義求出；3、將代入整理后再利用基本不等式求出最小值.12. 在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，為平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則_【答案】6【解析】13. 已知函數(shù) ，.若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】當(dāng) 時(shí)， 在 恒成立在 為減函數(shù) ，當(dāng) 時(shí) ；當(dāng) 時(shí)， .綜上，欲使成立需： .【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)工具和函數(shù)的單調(diào)性取得函數(shù)，再利用圖像的對(duì)稱原原理將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，從而求得正解.14. 若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】由已知可得 ，當(dāng) 時(shí)， 要使得原命題成立需： ；當(dāng) 時(shí)， 要

6、使得原命題成立需：.綜上 .二、解答題 （本大題共6小題，共90分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）15. 如圖，是菱形，平面，.（1）求證：平面；（2）求證：平面.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.試題解析：（1）證明：因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)槭橇庑?，所以，因?yàn)樗云矫?（2）證明：設(shè)，取中點(diǎn)，連結(jié)，所以，且.因?yàn)?，所以且，從而四邊形是平行四邊形?因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，即平?16. 在中，角的對(duì)邊分別為，.（1）求的值；（2）若，求的周長(zhǎng).【答案】（1）.（2）15.【解析】試題分析：（1）由三角形內(nèi)角關(guān)系結(jié)合兩角和與差公式有，所以根據(jù)已知條件求出即可求出 . （2）根據(jù)正弦

7、定理結(jié)合，即可求出 的值，再利用余弦定理，求出 的值.試題解析：（1）因?yàn)椋?在中，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所?（2）根據(jù)正弦定理，所以，又，所以，.，.所以的周長(zhǎng)為15.17. 如圖，點(diǎn)為某沿海城市的高速公路出入口，直線為海岸線，是以為圓心，半徑為的圓弧型小路.該市擬修建一條從通往海岸的觀光專線，其中為上異于的一點(diǎn)，與平行，設(shè).（1）證明：觀光專線的總長(zhǎng)度隨的增大而減?。唬?）已知新建道路的單位成本是翻新道路的單位成本的2倍.當(dāng)取何值時(shí)，觀光專線的修建總成本最低？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）見(jiàn)解析;（2）.【解析】試題分析：（1）利用扇形弧長(zhǎng)公式求出 ，利用直角三角形邊角關(guān)系求出 ，則總

8、長(zhǎng)為 ，求出 為減函數(shù)，命題得證.（2）設(shè)單位成本為 ，則總成本為，求出，求出，分兩區(qū)間 討論的單調(diào)性，以證明為極小值點(diǎn).試題解析：（1）由題意，所以，又，所以觀光專線的總長(zhǎng)度 ，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，即觀光專線的總長(zhǎng)度隨的增大而減小.（2）設(shè)翻新道路的單位成本為，則總成本 ，令，得，因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.所以，當(dāng)時(shí)，最小.答：當(dāng)時(shí)，觀光專線的修建總成本最低.【點(diǎn)睛】在一定條件下“成本最低”、“用料最省”、“面積最大”、“效率最高“等問(wèn)題，在生產(chǎn)、生活中經(jīng)常遇到，在數(shù)學(xué)上這類問(wèn)題往往歸結(jié)為求函數(shù)的最值問(wèn)題.除了常見(jiàn)的求最值的方法外，還可用求導(dǎo)法求函數(shù)的最值，但無(wú)論采取何種方法都必須在

9、函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行.18. 已知橢圓的離心率為，分別為左，右焦點(diǎn)，分別為左，右頂點(diǎn)，原點(diǎn)到直線的距離為.設(shè)點(diǎn)在第一象限，且軸，連接交橢圓于點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若三角形的面積等于四邊形的面積，求直線的方程；（3）求過(guò)點(diǎn)的圓方程（結(jié)果用表示）.【答案】（1）.（2）.（3） .【解析】試題分析：（1）由離心率為，得，利用 兩點(diǎn)坐標(biāo)可得的方程為，由圓心到時(shí)直線的距離公式求得，則.（2）設(shè)，由 兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得直線 的方程，與橢圓的方程聯(lián)立可得 的坐標(biāo)（ 的橫、縱坐標(biāo)分別是 的高），代入三角形的面積公式結(jié)合面積相等的條件即得關(guān)于 的方程求出 ，最后再將代入PA方程即可得所求. （3）所求圓的圓

10、心為 的垂直平分線的交點(diǎn)，利用 三點(diǎn)的坐標(biāo)即可得的垂直平分線的方程，兩個(gè)方程聯(lián)立即可求得圓心的坐標(biāo)，再代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得所求. 試題解析：（1）因?yàn)闄E圓的，所以，所以直線的方程為，又到直線的距離為，所以，所以，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，直線的方程為，由，整理得，解得：，則點(diǎn)的坐標(biāo)是，因?yàn)槿切蔚拿娣e等于四邊形的面積，所以三角形的面積等于三角形的面積，則，解得.所以直線的方程為.（3）因?yàn)椋缘拇怪逼椒志€，的垂直平分線為，所以過(guò)三點(diǎn)的圓的圓心為，則過(guò)三點(diǎn)的圓方程為 ，即所求圓方程為 .19. 已知數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項(xiàng)的和.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，成等差數(shù)列，18，成等比數(shù)列，

11、求正整數(shù)的值；（3）是否存在，使得為數(shù)列中的項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）.（2），.（3）或14.【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由 列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列 .（2）建立方程組，或.當(dāng) ，當(dāng) 無(wú)正整數(shù)解，綜上，.（3）假設(shè)存在正整數(shù)，使得， ，或，（舍去） 或14.試題解析：（1）因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由 和，兩式相除可得，即所以，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列.于是，.（2）因?yàn)椋?0，成等差數(shù)列，18，成等比數(shù)列，所以，于是，或.當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，無(wú)正整數(shù)解，所以，.（3）假設(shè)存在滿足條件的正整數(shù)，使得，則，平方并化簡(jiǎn)得，則，所

12、以，或，或，解得：，或，或，（舍去），綜上所述，或14.20. 已知函數(shù)，其中.（1）求過(guò)點(diǎn)和函數(shù)的圖像相切的直線方程；（2）若對(duì)任意，有恒成立，求的取值范圍；（3）若存在唯一的整數(shù)，使得，求的取值范圍.【答案】（1），.（2）.（3）.【解析】試題分析：（1）先設(shè)切點(diǎn)為，切線斜率為，再建立切線方程為，將代入方程可得，即，進(jìn)而求得切線方程為：或.（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意有恒成立，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)工具求得，故此時(shí)；當(dāng)時(shí)，恒成立，故此時(shí)；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)工具求得，故此時(shí).綜上：.（3）因?yàn)?，由?）知，當(dāng)，原命題等價(jià)于存在唯一的整數(shù)成立，利用導(dǎo)數(shù)工具求得；當(dāng)，原命題等價(jià)于存在唯一的整數(shù)成立，利用導(dǎo)數(shù)工

13、具求得.綜上：.試題解析：（1）設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率為，所以切線方程為，因?yàn)榍芯€過(guò)，所以，化簡(jiǎn)得，解得.當(dāng)時(shí)，切線方程為，當(dāng)時(shí)，切線方程為.（2）由題意，對(duì)任意有恒成立，當(dāng)時(shí)，令，則，令得，故此時(shí).當(dāng)時(shí)，恒成立，故此時(shí).當(dāng)時(shí)，令，故此時(shí).綜上：.（3）因?yàn)椋?，由?）知，令，則當(dāng)，存在唯一的整數(shù)使得，等價(jià)于存在唯一的整數(shù)成立，因?yàn)樽畲螅援?dāng)時(shí)，至少有兩個(gè)整數(shù)成立，所以.當(dāng)，存在唯一的整數(shù)使得，等價(jià)于存在唯一的整數(shù)成立，因?yàn)樽钚?，且，所以?dāng)時(shí)，至少有兩個(gè)整數(shù)成立，所以當(dāng)時(shí)，沒(méi)有整數(shù)成立，所有.綜上：.數(shù)學(xué)（加試題）說(shuō)明：解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.21. 選修4-2：矩陣與變換

14、已知矩陣，若矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為 ，屬于特征值的一個(gè)特征向量為.求矩陣.【答案】.【解析】試題分析：先由和求得和求得，從而求得，可得.試題解析：由矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為可得，即；得，由矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為，可得 ，即；得，解得.即，22. 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程是（是參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，若圓的極坐標(biāo)方程是，且直線與圓相交，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】試題分析：由，得的方程為，求出圓心 半徑 ；由的參數(shù)方程得 ；與圓相交,則圓心到直線 的距離 ，即可得.試題解析：由，得，所以，即圓的方程為，

15、又由，消，得，由直線與圓相交，所以，即.【點(diǎn)睛】已知直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，常用幾何法將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離 與半徑 的大小關(guān)系，以此來(lái)確定參數(shù)的值或取值范圍.23. 某公司有四輛汽車，其中車的車牌尾號(hào)為0，兩輛車的車牌尾號(hào)為6，車的車牌尾號(hào)為5，已知在非限行日，每輛車都有可能出車或不出車.已知兩輛汽車每天出車的概率為，兩輛汽車每天出車的概率為，且四輛汽車是否出車是相互獨(dú)立的.該公司所在地區(qū)汽車限行規(guī)定如下：（1）求該公司在星期四至少有2輛汽車出車的概率；（2）設(shè)表示該公司在星期一和星期二兩天出車的車輛數(shù)之和，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）.（2）見(jiàn)解析.試題解析：（1）記該公司在星期四至少有兩輛汽車出車為事件，則：該公司在星期四最多有一輛汽車出車 .答：該公司在星期四至少有兩輛汽車出行的概率為.（2）由題意，的可能值為0，1，2，3，4； ； ； ；.答：的數(shù)學(xué)期望為.【點(diǎn)睛】求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法：一是將所求事件轉(zhuǎn)化為彼此互斥人事件的和；二是先求對(duì)立事件的概率，進(jìn)而求所求事件的概率，本題詞的第（1）題采用的是法二.24. 在四棱錐中，是等邊三角形，底面是直角梯形，是線段的中點(diǎn)，底面，已知.（1）求二面角的正弦值；（2）試在平面上找一點(diǎn)，使得平面.【答案】（1）.（2）.【