2019屆高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：第39講數(shù)學(xué)歸納法(含解析)

1、第 39 講數(shù)學(xué)歸納法考試說明了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題考情分析考點(diǎn)考查方向考例考查熱度數(shù)學(xué)歸納法證明等式證明不等式真題再現(xiàn) 2017-2016其他省份類似高考真題2017 浙江卷已知數(shù)列Xn滿足:xi=1,xn=xn+i+ln(1+Xn+i)(n N).證明：當(dāng)n N 時(shí)，(1) 0Xn+10.當(dāng)n=1 時(shí),X1=10.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),xk0,那么當(dāng)n=k+1 時(shí)，若xk+1W0,則 00.因此xn0(n N).所以Xn=Xn+1+ln(1+Xn+1)Xn+1.因此 0Xn+1 0),f(x)=：l+ln(1+x)0(x0),函數(shù)f(x)在0,+8)上單調(diào)遞增

2、,所以f(x) f(0)=0,因此：11-2Xn+l+(Xn+l+2)ln(1+Xn+l)=f(Xn+l) 0,1褊町故 2Xn+1-XnW2 (nN).(3)因?yàn)閄n=Xn+1+ln(1+Xn+1) 2(斤2n-1S】)=2n-2,1故XnW -.1 1綜上，2中:wXnw2卍：(n N).【課前雙基鞏固】知識(shí)聚焦2.(1)no(no N) (2)n=k(kno,k N)n=k+1對(duì)點(diǎn)演練1假設(shè)n=k(k 5)時(shí),命題成立解析因?yàn)槊}中的條件是n5,所以假設(shè)n=k(k5)時(shí),命題成立.2.f+n-1解析增加一個(gè)頂點(diǎn)，增加n-2 條對(duì)角線，原來的一條邊變成對(duì)角線，因此共增加(n-1)條對(duì)角線，

3、故凸n+1 邊形的對(duì)角線數(shù)f(n+1)=f+n-1.3.(k+1)2+k2解析 當(dāng)n=k時(shí)，等式左端=12+22+(k-1)2+k2+(k-1)2+22+12;當(dāng)n=k+1 時(shí),等式左端=12+22+(k-1)2+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+22+12.所以左邊添加的式子是(k+1)2+k2.1 14. 1+_+一 解析根據(jù)命題可知，不等式左邊共 2n-1 項(xiàng)，且n1,所以第一步驗(yàn)證當(dāng)n=2 時(shí)，左邊應(yīng)取 3 項(xiàng)為1 11+_+.n5.8 解析由等比數(shù)列求和公式可得 一 .：，整理得 2128?n7,所以起始值應(yīng)取n=8.6.從n=k到n=k+1 的推理不正確 解析在 中假設(shè)n=k

4、時(shí)有k+1 成立，但在證明當(dāng)n=k+1時(shí)，- -KYi.成立,再分析推證n=k+1 時(shí)也成立.34證明：當(dāng)n=i 時(shí),左邊=1,右邊=一一 -=1,不等式成立假設(shè)當(dāng)n=k(k N)時(shí)，不等式成立，1 11循即 1+_+ + 一，1 11丄循丄則當(dāng)n=k+1 時(shí),1+戸+屁+/+&+1齊+汁13k丄3(1)雜+2)因?yàn)橐?而一2附卅1+1)齬*+驗(yàn)打0,循丄址*1)所以爲(wèi),1 11丄鯉所以當(dāng)n=k+1 時(shí),1 +一 +一+ +翼廠成立.+k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3)=+(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)(k+2)(k+3)1 11 3n- - - -由知

5、，不等式 1+- +- +冷卜i對(duì)一切n N 都成立.1 12 11變式題 證明：當(dāng)n=1 時(shí),左邊=_=_-_：=右邊,不等式成立32 453 6/bi= -,b2=- = -, bs=,b4=,于是猜想bn=VX：.以下證明猜想當(dāng)n=1 時(shí)，bi=,猜想成立.假設(shè)當(dāng)n=k(k N*)時(shí)不等式成立，即訃1+3+一+ -,則當(dāng)n=k+1 時(shí),1111 ! I 1111 111 1 1 _+一_+帝-紺+丄 -,即當(dāng)n=k+1 時(shí),不等式成立.1 1 1 1 11綜上所述,對(duì)于任意的 n N,x+1+?+1+2H24.例 3思路點(diǎn)撥(1)根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求出結(jié)果；(2)首先利用bn

6、與數(shù)列的前S的關(guān)系分別求出bi,b2,bqb4,然后再利用數(shù)學(xué)歸納法證明，即可證明出結(jié)果.解:(1) Tan=2n-1,二數(shù)列“二是公差為 2 的等差數(shù)列，且ai=2X1-仁 1,n項(xiàng)和加11于是Sn=_=n2.岔欄目為教艸專用假設(shè)當(dāng)n=k(k N)時(shí)，猜想成立，即bk=1那么,當(dāng)n=k+1 時(shí)，bk+i=1-._：1-. !11 ft+2 1 ft+2r1qi+2仗+1)(田)i+3斛1)*2：1-二1 一二：=百 i-二：=百 1：滬丨=., n=k+1 時(shí),猜想成立.fl+2由可知，bn=2倍1)對(duì)任意n N 都成立213-變式題解：(1)Si=a=,Sa+：+2=S2-Si?Sa=-4

7、,1415S3+ +2=S3-S2?SB二 _,S+ +2=S-S3?S二一.nil由此猜想:S 二二處(n Nk).2 1+1 2(2)證明:當(dāng)n=1 時(shí)，左邊=S=ai=-?,右邊=-1+1=3左邊=右邊，原等式成立.ill1當(dāng)n=k(k Nk)時(shí),假設(shè)成立,則當(dāng)n=k+1 時(shí),S+什和.+2=S+1-Sk,得1i+1 H1-2M -k-3 i+3- - - - ,Sjt:=-Sk-2=*2_2=K+2=*2=-K*2,k+2紗1)+1.Sk+1=-：-；=-W 計(jì)；，當(dāng)n=k+1 時(shí),原等式也成立.fl+J綜合得對(duì)一切nN, S=- 一成立.岔欄目為教艸專用【備選理由】例 1 是與探索性

8、問題相結(jié)合，利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明等式的問題；例 2 是一道與不等式相關(guān)的猜想、歸納、證明問題.罠 1 配合例 3 使用是否存在常數(shù)a,b,c使等式 1x22+2X32+n(n +1)2=_ (an2+bn+c)對(duì)一切正整數(shù)n都成立？若存在，用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由a+b+c = 24,4a+26+c=44解：把n=1,2,3 代入得方程組二|解得猜想:等式 1x22+2x32+n(n+1)2=I底(3n2+11n+10)對(duì)一切n N*都成立.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1 時(shí)，由上面的探求可知等式成立假設(shè)n=k(k N*)時(shí)等式成立，即 1x22+2X32+k(k+1)

9、2=二(3k2+11k+10),則當(dāng)n=k+1 時(shí),1X22+2X32+附1)附2+k(k+1)2+(k+1)(k+2)2=(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2=(3k+5)(k+2)+(k+1)(k+2)2=二 k(3k+5)+12(k+2)=二 3(k+1)2+11(k+1)+10,所以當(dāng)n=k+1 時(shí),等式也成立.由知猜想成立，即存在a=3,b=11,c=10 使等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立.1 1S.2 配合例 3 使用已知xi0(i=1,2,3,n),我們知道(X1+X2).+4 成立.a = 3fb= 1L c= 10.1 1 1(-)(1)求證:(X1+X2+X3) 9.

10、1111同理我們也可以證明出(X1+X2+X3+X4)1 藥+_+紀(jì)+切！ 16.由上述幾個(gè)不等式,請(qǐng)你猜測一個(gè)與X1+X2+Xn1 1 1和+_+ +(n2,n N三)有關(guān)的不等式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明解:(1)證明:方法一 ,(X1+X2+X3)+ .+ . 3-三 *2-I-2 + + 21- V-.+1Ak2+1=k2+2k+1=(k+1)2,所以當(dāng)n=k+1 時(shí)不等式成立綜合可知,猜想成立.,(X1+X2+X3)+.= +；、： =3+ *+ - + * +也 +応+也3+2+2+2=9.猜想：(X1+X2+Xn).+ _+ + n2(n2,n N*).證明如下：1當(dāng)n=2 時(shí),由已知得猜想成立；1 1 12假設(shè)當(dāng)n=k(k N)時(shí)，猜想成立，即(X1+X2+Xk)g+、+ +地)k2,1 1 1 1. ) ( 一