矩陣乘積的逆(高等代數(shù)課件)

1、14.4 矩陣的逆矩陣的逆23一、可逆矩陣的概念一、可逆矩陣的概念 定義定義 設(shè)設(shè)A為為n級方陣，如果存在級方陣，如果存在n級方陣級方陣B，使得，使得ABBAE則稱則稱A為為可逆矩陣可逆矩陣，稱稱B為為A的的逆矩陣逆矩陣.注：注： 11.AA 可逆矩陣可逆矩陣A的逆矩陣是唯一的，記作的逆矩陣是唯一的，記作1.A 單位矩陣單位矩陣 E 可逆，且可逆，且 1.EE 可逆矩陣可逆矩陣A的逆矩陣也是可逆矩陣，且的逆矩陣也是可逆矩陣，且1A 4設(shè)設(shè) B 和和 C 都是都是 A 的逆矩陣，則由定義的逆矩陣，則由定義有有 AB = BA = E，AC = CA = E，于是于是B = BE = B( AC

2、)= ( BA )C = EC = C . 所以逆矩陣唯一所以逆矩陣唯一.5現(xiàn)在的問題是：在什么條件下矩陣現(xiàn)在的問題是：在什么條件下矩陣 A 是可逆是可逆的？的？ 如果如果 A 可逆，怎樣求可逆，怎樣求 A-1 ？ 為此先引入伴隨為此先引入伴隨矩陣的概念矩陣的概念.6二、矩陣可逆的判定及逆矩陣的求法二、矩陣可逆的判定及逆矩陣的求法定義定義1、伴隨矩陣伴隨矩陣稱為稱為A的的伴隨矩陣伴隨矩陣. 11211*1222212nnnnnnAAAAAAAAAA 性質(zhì)性質(zhì)：*AAA AA E 余子式，矩陣余子式，矩陣設(shè)設(shè) 是矩陣中元素是矩陣中元素 的代數(shù)的代數(shù)ijAija()ijn nAa 7證：由行列式按

3、一行（列）展開公式證：由行列式按一行（列）展開公式立即可得立即可得,1112111211*21222122221212nnnnnnnnnnnnaaaAAAaaaAAAAAaaaAAA .dA 1122,0,kikiknindkia AaAa Aki 1122,0,ljljnlnjdlja Aa Aa Alj 0000.00dddEd 同理同理, ,*.A AdE 8*1.AAA 非退化的），且非退化的），且證：若由證：若由0,A *AAA AA E 所以，所以，A可逆，且可逆，且*1.AAA 兩邊取行列式，得兩邊取行列式，得11.AAE 0.A2、定理定理：矩陣矩陣A可逆當(dāng)且僅當(dāng)可逆當(dāng)且僅當(dāng)

4、（即即A0,A 得得*AAAAEAA 反過來，若反過來，若A可逆，則有可逆，則有1,AAE 9 則則A、B皆為可逆矩陣，且皆為可逆矩陣，且11,.ABBA 證：證：ABE 1ABA BE 由定理知，由定理知，A、B皆為可逆矩陣皆為可逆矩陣. .從而從而0,0.AB11(),AABA E 再由再由即有，即有，11,.ABBA 11(),AB BEB 3、推論推論：設(shè)設(shè)A、B為為 n 級方陣，若級方陣，若,ABE 10例例1 判斷矩陣判斷矩陣A是否可逆，若可逆，求其逆是否可逆，若可逆，求其逆. . 1 2 31)2 2 13 4 3A 122)naaAa 11解：解：1）1 2 32 2 12,3

5、 4 3 A可逆可逆.1222323,6,5,AAA 1121312,6,4,AAA 1323332,2,2.AAA 再由再由*12641365.2222AAA 有有12122),nAa aa 當(dāng)時，當(dāng)時，A可逆可逆.0 (1,2, )iain 1111221nnaaaaaa 且由于且由于111121.naaAa 111E13三、逆矩陣的運(yùn)算規(guī)律三、逆矩陣的運(yùn)算規(guī)律 且且可可逆逆則則數(shù)數(shù)可可逆逆若若, 0,2AA 且且亦亦可可逆逆則則為為同同階階方方陣陣且且均均可可逆逆若若,3ABBA 1ABB1 1 A .111 AA .,1111AAAA 且且亦亦可可逆逆則則可可逆逆若若 .1212 AA

6、推推廣廣1AmA1 mA1 1A14 .,4AAAAT 且且亦亦可可逆逆則則可可逆逆若若TT1 1 ,A AAAAZ (5) 若若A可逆，則可逆，則 亦亦 可逆，且可逆，且 A 1.AAA (6) 若若A可逆，則可逆，則 亦亦 可逆，且可逆，且 kA 11.kkAA 當(dāng)當(dāng) 時，定義時，定義 0A 注：注：01,()kkAEAA 則有則有 15設(shè)方陣設(shè)方陣 A 滿足滿足 23100,AAE 證明：證明： 與與 皆可逆，并求其逆皆可逆，并求其逆.4AAE 例例2由由 23100,AAE 即即 1(3),10AAEE故故 A 可逆，且可逆，且 11(3)10AAE 再由再由 23100,AAE 得得

7、 ()(4)6,AEAEE 即即 1()(4),6AEAEE 故故 4AE 可逆，且可逆，且 11(4)()6AEAE 證：證：(3)10,A AEE 得得 16利用矩陣的逆，可以給出克拉默法則的另一種利用矩陣的逆，可以給出克拉默法則的另一種推導(dǎo)法推導(dǎo)法.線性方程組線性方程組nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,可以寫成可以寫成AX = B . (6)17如果如果 | A | 0，那么，那么 A 可逆可逆.用用X = A-1B代入代入 (6)，得恒等式，得恒等式 A( A-1B ) = B，這就是說，這就是說 A-1B 是一解是

8、一解.如果如果X = C是是 (6) 的一個解，那么由的一個解，那么由AC = B得得A-1( AC ) = A-1B ，即即 C = A-1B .這就是說，解這就是說，解 X = A-1B 是唯一的是唯一的. 用用 A-1 的公式的公式 (4)代入，乘出來就是克拉默法則中給出的公式代入，乘出來就是克拉默法則中給出的公式.18四、矩陣方程四、矩陣方程 1111111(1)nnnnnnna xa xba xaxb 1. . 線性方程組線性方程組 1122(),X,ijn nnnxbxbAaBxb =令令則（則（1）可看成矩陣方程）可看成矩陣方程.AXB 若若A為可逆矩陣，則為可逆矩陣，則 1.X

9、A B 19 矩陣方程矩陣方程,n nn sn sAXB 若若A為可逆矩陣，則為可逆矩陣，則 1.XA B 2. . 推廣推廣 矩陣方程矩陣方程,m nn nm nXAB 若若A為可逆矩陣，則為可逆矩陣，則 1.XBA 矩陣方程矩陣方程,n nn ss sn sAXBC 若若A, B皆皆可逆，則可逆，則 11.XA CB 203. . 矩陣積的秩矩陣積的秩 ()()()()R AR PAR AQR PAQ 定理定理4,s sn nPQ ,s nA 若若 可逆，則可逆，則 證：證： 令令 ,BPA 又又P可逆，可逆， 由定理由定理2， ()(),R BR A ( )( ),R AR B 1,P

10、BA 有有()().R AR B 故故21例例3 解矩陣方程解矩陣方程 2 546.1 321X 解：解： 12 5461 321X 35461 22 1 22308 一般地，一般地， a bAc d 可逆可逆 0,adbc 11dbAcaadbc .注注:220 3 31 1 0 ,2 ,1 2 3AABAB 已知已知 求矩陣求矩陣B解：由解：由 2ABAB ，得，得 (2)AE BA，又，又 233211 021 2 1AE 0 2AE 可逆，且可逆，且 11 331(2)1 132111AE 103 3(2)1 2 311 0BAEA 23.C,B,A021102341010100001

11、100001010 ,1000010101A 解下列矩陣方程解下列矩陣方程AXB = C 其中其中 由已知易得由已知易得 X = A-1CB-1 , 下面求下面求 A 和和 B 的逆陣的逆陣.24010100001021102341100001010X010100001B,0101000011B所以所以25 設(shè)設(shè) n 級矩陣級矩陣 A, B, A + B 均可逆均可逆, 證明證明 (A-1 + B-1)-1 = A(A + B)-1B = B(B + A)-1A.將將 A-1 + B-1 表示成已知的可逆矩陣的乘積表示成已知的可逆矩陣的乘積:A-1 + B-1 = A-1(E + AB-1) = A-1(BB-1 + AB-1)= A-1(B + A)B-1 .由可逆矩陣的性質(zhì)可知由可逆矩陣的性質(zhì)可知(A-1 + B-1)-1 = A-1(A + B)B-1-1 = B(B + A)-1A.同理可證另一個等式也成立同理可證另一個等式也成立.26 設(shè)設(shè) A 為為 n 級方陣級方陣( n 2 ) ,證明證明 |A*| = |A|n-1. 由于由于 AA* = A*A = |A|E , 所以所以|A| |A*| = |A|n (4)下面分三種情形討論下面分三種情形討論:(1) |A| 0, 即即 A 可逆可逆, (4) 式兩端除以式兩端除以 |A| 即即得得 |A*| = |A|n-1