溫州大學物理與電子信息學院

1、電磁場中帶電粒子的勢動量電磁場中帶電粒子的勢動量電磁場中帶電粒子動量定理電磁場中帶電粒子動量定理關于磁矢勢和動量兩個討論關于磁矢勢和動量兩個討論磁矢勢與電磁場中帶電粒子的動量磁矢勢與電磁場中帶電粒子的動量內(nèi)容提要內(nèi)容提要一一. 磁場中帶電粒子的勢動量磁場中帶電粒子的勢動量1. 電子感應加速器電子感應加速器問題問題:如圖所示，電子如圖所示，電子在電子感應加速器的在電子感應加速器的固定環(huán)形軌道固定環(huán)形軌道R中運中運動時，受到哪幾個力動時，受到哪幾個力作用作用?答答: 受到磁場的洛侖受到磁場的洛侖茲力和感生電場力茲力和感生電場力電子感應加速器示意圖電子感應加速器示意圖2RmvevBRid mveEd

2、t 受到的力的方受到的力的方向如板書所示向如板書所示磁場中帶電粒子的勢動量磁場中帶電粒子的勢動量問題問題: 感生電場與變化的磁場存在什么關系？感生電場與變化的磁場存在什么關系？答答: 滿足法拉第滿足法拉第電磁感應定律電磁感應定律( )( )iLSdE dlB dSdt實際上根據(jù)磁矢勢的定義，實際上根據(jù)磁矢勢的定義，感生電場可以簡潔地表達為感生電場可以簡潔地表達為:iAEt思考思考:電子感應加速器電磁鐵的激勵電源是交變電電子感應加速器電磁鐵的激勵電源是交變電源，那么電子在整個交變周期都能加速嗎？源，那么電子在整個交變周期都能加速嗎？答答: 不能，因為向心力和切向力的方向要求不能，因為向心力和切向

3、力的方向要求請參考請參考教材教材P168磁場中帶電粒子的勢動量磁場中帶電粒子的勢動量id mvqEdt2. 磁場中帶電粒子的磁場中帶電粒子的 “勢動量勢動量”考慮電子感應加速器中的粒子切向方程考慮電子感應加速器中的粒子切向方程iAEt則切向方向有則切向方向有:0d mvqAdtt思考思考:這里磁矢勢對時間的偏微分等于它對時間的這里磁矢勢對時間的偏微分等于它對時間的全微分嗎？即全微分嗎？即:?dAAtdt如板書所示全微分如板書所示全微分和偏微分關系和偏微分關系磁場中帶電粒子的勢動量磁場中帶電粒子的勢動量0d mvd qAdtdt答答:在軸對稱情況下，其軸坐在軸對稱情況下，其軸坐標系中的全微分和偏

4、微分相等。標系中的全微分和偏微分相等。問題問題: 在磁場中帶電粒子的動量守恒嗎？什么物理在磁場中帶電粒子的動量守恒嗎？什么物理量守恒？量守恒？pmvqA定義：定義：動力動量：動力動量：mv磁勢動量：磁勢動量：qA正則動量：正則動量：pmvqA守恒！守恒！類比靜電場中的能量類比靜電場中的能量:212WmvqU二二. 磁場中帶電粒子的動量守恒磁場中帶電粒子的動量守恒1. 靜電場中的動量定理靜電場中的動量定理?d mvqAdt在一般的電磁場中在一般的電磁場中先看靜電場中先看靜電場中,不存在磁場情況不存在磁場情況:d mvFdt問題問題: 這里合力是靜電力，如何用電勢表達？這里合力是靜電力，如何用電勢

5、表達？FqE答答:q U 直角坐標系中的梯度表達式如板書所示直角坐標系中的梯度表達式如板書所示 磁場中帶電粒子的動量守恒磁場中帶電粒子的動量守恒2. 電磁場中帶電粒子的動量定理電磁場中帶電粒子的動量定理思考思考:電磁場中帶電粒子受到哪些力？電磁場中帶電粒子受到哪些力？答答:受到三種力受到三種力: 靜電場力，感應電場力和洛侖茲力靜電場力，感應電場力和洛侖茲力eiFq EEvB 問題問題: 這里的牛頓第二定律成立嗎？如何寫？這里的牛頓第二定律成立嗎？如何寫？eid mvq EEvBdt iqUEvB 我們要考慮的是我們要考慮的是:?d mvqAdt思路如何？思路如何？ 磁場中帶電粒子的動量守恒磁場

6、中帶電粒子的動量守恒我們要考慮的是我們要考慮的是:?d mvqAdt已經(jīng)有已經(jīng)有:idmvqUEvBdt 因此，我們考慮因此，我們考慮:iAEt 思考思考: 一般情況下一般情況下dAdt與與At關系如何呢？關系如何呢？答答: 磁矢勢的變化磁矢勢的變化 來源于兩部分來源于兩部分dAdt時間部分時間部分:At空間部分呢？空間部分呢？ 磁場中帶電粒子的動量守恒磁場中帶電粒子的動量守恒, ,dA x y zA xA yA zAdtxtytztt在數(shù)學上有在數(shù)學上有:對空間部分，對空間部分，可以簡化為可以簡化為:A xA yA zvAxtytzt點乘的定義如板書所示點乘的定義如板書所示因此，我們得到因此

7、，我們得到:idmvqUEvBdt dAvtUAqvBd 磁場中帶電粒子的動量守恒磁場中帶電粒子的動量守恒整理，得整理，得:dmvqUv BdqAvAt 思考思考: 能否象靜電場那樣右邊也表達為一個物理量能否象靜電場那樣右邊也表達為一個物理量的梯度呢？的梯度呢？答答: 可以可以,必須將磁感應強度轉化為磁矢勢必須將磁感應強度轉化為磁矢勢BA根據(jù)教材附錄根據(jù)教材附錄B28公式公式,有有:vA vA v A因此，得到帶電粒子在電磁場中的動量定理因此，得到帶電粒子在電磁場中的動量定理:dmvqAqUv Adt 廣義勢廣義勢:Uv A 磁場中帶電粒子的動量守恒磁場中帶電粒子的動量守恒3. 電磁場中帶電粒

8、子動量守恒條件電磁場中帶電粒子動量守恒條件dmvqAqUv Adt 正則動量守恒條件正則動量守恒條件: 廣義勢的梯度等于零，則正則動量守恒，或者如廣義勢的梯度等于零，則正則動量守恒，或者如果某個方向的梯度等于零，則該方向的動量守恒果某個方向的梯度等于零，則該方向的動量守恒 磁場中帶電粒子的動量守恒磁場中帶電粒子的動量守恒例題例題1:帶電量為帶電量為q的粒子在電子感應加速器中以速的粒子在電子感應加速器中以速率率v做圓周運動，求此時的磁矢勢。做圓周運動，求此時的磁矢勢。dmvqAqUv Adt 解解:如板書圖所示，考慮切向方向的正則動量如板書圖所示，考慮切向方向的正則動量根據(jù)正則動量定理根據(jù)正則動

9、量定理切向方向有切向方向有:Uv AC 因此，有因此，有:0dmv qAdt得得:01Apmvqp0為初始正則動量為初始正則動量 磁場中帶電粒子的動量守恒磁場中帶電粒子的動量守恒例題例題2:如板書圖所示，一對同軸圓柱形導體，半徑如板書圖所示，一對同軸圓柱形導體，半徑分別為分別為a和和b,內(nèi)柱載有沿柱軸內(nèi)柱載有沿柱軸z方向的電流方向的電流I,電流沿著電流沿著外柱流回。求：外柱流回。求：(1)兩柱之間的磁矢勢表達式；兩柱之間的磁矢勢表達式；(2)一電子以速率一電子以速率v0垂直于柱軸出發(fā)，這個電子能到垂直于柱軸出發(fā)，這個電子能到達外柱的最小達外柱的最小v0為多少？為多少？解解: (1) 先求得兩柱

10、之間的磁感應強度先求得兩柱之間的磁感應強度根據(jù)安培環(huán)路定理，有根據(jù)安培環(huán)路定理，有:0( )LB dlI易得磁感應大小易得磁感應大小:02IBr方向如板書所示方向如板書所示 磁場中帶電粒子的動量守恒磁場中帶電粒子的動量守恒如圖所示，選取磁矢勢沿著內(nèi)柱如圖所示，選取磁矢勢沿著內(nèi)柱的電流方向，則根據(jù)磁矢勢公式的電流方向，則根據(jù)磁矢勢公式:( )( )LSA dlB dS得得: ( )zzLA dlhA ahA r0( )2rSahIB dSdrr因此因此: 0ln2zzIrA aA ra(2) 觀察電子的廣義勢，有觀察電子的廣義勢，有:zzUv Av A 只與只與r方向有關，因此在方向有關，因此在

11、z方向的方向的梯度為零，該方向廣義動量守恒梯度為零，該方向廣義動量守恒0zzdmvqAdt 磁場中帶電粒子的動量守恒磁場中帶電粒子的動量守恒因此因此: zzzzmv aqA amv bqA b得得: 00zzeA amveA b問題問題: 為什么？初末條件如何？為什么？初末條件如何？得得: 0zzevA aA bmln2eIbma例題例題3: 請見教材請見教材P172 板書分析板書分析思考思考: 前面例題中磁矢勢取法不是唯一的，不前面例題中磁矢勢取法不是唯一的，不同的取法對正則動量守恒會有影響嗎？同的取法對正則動量守恒會有影響嗎？有條件！有條件！ 三三. 關于磁矢勢和正則動量討論關于磁矢勢和正

12、則動量討論1. 磁矢勢和磁感應強度哪個更基本磁矢勢和磁感應強度哪個更基本( )( )LSA dlB dS不能唯一確定，實際上滿足下面關系都可以不能唯一確定，實際上滿足下面關系都可以: A rA rr磁矢勢的規(guī)范變換磁矢勢的規(guī)范變換:問題問題: 為什么梯度的環(huán)路積分為零？有過例子嗎？為什么梯度的環(huán)路積分為零？有過例子嗎？答答: 靜電場環(huán)路定理靜電場環(huán)路定理( )0LE dlEU經(jīng)典電磁學認為經(jīng)典電磁學認為:磁感應強度磁感應強度B是可觀測量，因此是可觀測量，因此是基本量，是基本量，A是不可觀測量，是輔助量。是不可觀測量，是輔助量。磁矢勢的規(guī)范變換磁矢勢的規(guī)范變換 關于磁矢勢和正則動量討論關于磁矢勢

13、和正則動量討論AB效應效應:1959年阿哈羅諾夫年阿哈羅諾夫(Y.Aharonov)和玻姆和玻姆(D.Bohm)發(fā)現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)在B=0的地方的地方A也能產(chǎn)生可觀測的物理效應也能產(chǎn)生可觀測的物理效應(量量子效應子效應)，并在，并在80年代被實驗嚴格證明年代被實驗嚴格證明在量子電動在量子電動力學中，力學中，A是是第一位的，第一位的，B是第二位的。是第二位的。 關于磁矢勢和正則動量討論關于磁矢勢和正則動量討論2. 電流元相互作用何時服從牛頓第三定律電流元相互作用何時服從牛頓第三定律問題問題: 請自己閱讀教材請自己閱讀教材P172,回答教材中的兩個粒子回答教材中的兩個粒子的動量總動量是否就是它們的動力動量

14、之和？的動量總動量是否就是它們的動力動量之和？答答: 應該包括電磁場的勢動量，廣義動量守恒應該包括電磁場的勢動量，廣義動量守恒問題問題: 何時滿足牛頓第三定律？何時滿足牛頓第三定律？答答: 總的勢動量不變總的勢動量不變思考思考: 通過前面的兩個討論你如何深入地理解磁矢通過前面的兩個討論你如何深入地理解磁矢勢和正則動量的物理含義？勢和正則動量的物理含義？ 關于磁矢勢和正則動量討論關于磁矢勢和正則動量討論3. 課堂小結與作業(yè)課堂小結與作業(yè)1. 磁矢勢、勢動量和正則動量的定義及其意義磁矢勢、勢動量和正則動量的定義及其意義磁勢動量：磁勢動量：qA正則動量：正則動量：pmvqA( )( )LSA dlB dS磁矢勢的定義：磁矢勢的定義：2.電磁場中帶電粒子的正則動量定理推導及其應用電磁場中帶電粒子的正則動量定理推導及其應用推導思路推導思路:dmvqAqUv Adt dmvFdteEUiAEtBAfqv B 關于磁矢勢和正則動量討論關于磁矢勢和正則動量討論應用正則動量應用正則動量定理解題思路定理解題思路:dmvqAqUv