第6章第3節(jié)高數(shù)

1、第三節(jié)第三節(jié) 曲面及其方程曲面及其方程一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念三、旋轉(zhuǎn)曲面三、旋轉(zhuǎn)曲面四、柱面四、柱面五、二次曲面五、二次曲面二、球面二、球面水桶的表面、臺燈的罩子面等水桶的表面、臺燈的罩子面等曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡曲面方程的定義：曲面方程的定義：曲面的實例：曲面的實例：一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念曲面曲面S S的方程也可以用參數(shù)形式來表示，只的方程也可以用參數(shù)形式來表示，只要將要將S S上動點的坐標(biāo)上動點的坐標(biāo) x,y,z x,y,z 表示為參數(shù)表示為參數(shù) s,ts,t的函數(shù)的函數(shù) ) t , s (zz) t ,

2、 s (yy) t , s (xx此方程稱為曲面此方程稱為曲面S 的參數(shù)方程。的參數(shù)方程。例例 2 2 求與原點求與原點O及及)4 , 3 , 2(0M的距離之比為的距離之比為2:1的的點的全體所組成的曲面方程點的全體所組成的曲面方程.解解設(shè)設(shè)),(zyxM是是曲曲面面上上任任一一點點，,21|0 MMMO根據(jù)題意有根據(jù)題意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程為所求方程為設(shè)設(shè)),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一點點，根據(jù)題意有根據(jù)題意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化簡得所求方程化簡得所求方程. 0726

3、2 zyx解解zxyo例例2 2 方程方程 的圖形是怎樣的？的圖形是怎樣的？1)2()1(22 yxz根據(jù)題意有根據(jù)題意有1 z)1(1)2()1(22 ccyx圓心在圓心在), 2 , 1(c，半徑為，半徑為c 1半徑隨半徑隨c的增大而增大的增大而增大.圖形上不封頂，下封底圖形上不封頂，下封底解解 （截痕法（截痕法 ）c以上兩例表明研究空間曲面有以上兩例表明研究空間曲面有兩個基本問題兩個基本問題：（2 2）給定方程，研究對應(yīng)曲面的形狀）給定方程，研究對應(yīng)曲面的形狀（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論柱面、二次曲面）（討論柱面、二次曲面）（1 1）給定曲面，建立其方程）給定曲面，建立其方程顯

4、然，球心在顯然，球心在 半徑為半徑為R球面方程為球面方程為 2202020Rzzyyxx 特殊地：球心在原點時方程為特殊地：球心在原點時方程為2222Rzyx 二、球面二、球面 000,xyz 下面給出球心在原點，半徑為下面給出球心在原點，半徑為r r 的球面的參數(shù)方程的球面的參數(shù)方程設(shè)點設(shè)點M(x,y,z)M(x,y,z)是球面上任意一點是球面上任意一點xyzMo rPQRcossinsincossinrzryrx定義定義 一條平面曲線一條平面曲線繞其所在平面上的一繞其所在平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面. .曲線和定直線分別叫曲線和定直線分

5、別叫旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)曲面的母線母線和和軸軸三、旋轉(zhuǎn)曲面三、旋轉(zhuǎn)曲面oCxozy0),( zyf)z ,y, 0(M000 M),z ,y, x(M設(shè)設(shè)0zz)1( |y|yxd022 如圖如圖將將 代入代入 得得00(,)0f yz d2200 , zzyxy 22,0fxyz得旋轉(zhuǎn)曲面方程得旋轉(zhuǎn)曲面方程 22,0fyxz 22,0fxyzxozy0),( zyfxozy解解 yoz面上直線方程為面上直線方程為 cotyz ), 0(111zyM ),(zyxM圓錐面方程圓錐面方程 cot22yxz oxzy )yx(kz222 例例3 3 將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求將下列各曲線繞對應(yīng)的

6、軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)122222 czyax122222 czayx旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面pzyx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程: 定義定義四、四、柱面母線母線準(zhǔn)準(zhǔn)線線平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL定曲線定曲線 叫叫柱面的柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線,動直線動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CLxzy0母線母線準(zhǔn)線準(zhǔn)線

7、S柱面舉例柱面舉例xozyxozyxy22 拋物柱面拋物柱面xy 平面平面方程方程222xyRoxyxyz（其他類推）（其他類推）從柱面方程看柱面的從柱面方程看柱面的特征特征：（其他類推）（其他類推）實實 例例12222 czby橢圓柱面橢圓柱面 12222 byax雙曲柱面雙曲柱面pzx22 拋物柱面拋物柱面二次曲面的定義：二次曲面的定義： 三元二次方程所表示的三元二次方程所表示的四、二次曲面四、二次曲面在空間直角坐標(biāo)系下，由在空間直角坐標(biāo)系下，由n n次方程所表示的曲次方程所表示的曲面稱為面稱為n n次曲面，平面被稱為次曲面，平面被稱為一次曲面一次曲面二次曲面有二次曲面有9種，適當(dāng)選取空間

8、直角坐標(biāo)系，種，適當(dāng)選取空間直角坐標(biāo)系，可得到它們的標(biāo)準(zhǔn)方程?？傻玫剿鼈兊臉?biāo)準(zhǔn)方程。曲面稱為二次曲面曲面稱為二次曲面（1）不含有坐標(biāo)的交叉項；）不含有坐標(biāo)的交叉項；（2）若有某一坐標(biāo)的平方項，則不能有此坐標(biāo)）若有某一坐標(biāo)的平方項，則不能有此坐標(biāo)的一次項；的一次項；（3）若有一次項，便不能有常數(shù)項；）若有一次項，便不能有常數(shù)項；（4）最多有一個一次項。）最多有一個一次項。滿足以上四條的三元二次方程稱為二次曲面的滿足以上四條的三元二次方程稱為二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程。標(biāo)準(zhǔn)方程。標(biāo)準(zhǔn)方程是指在方程中：標(biāo)準(zhǔn)方程是指在方程中：討論二次曲面性狀的方法有討論二次曲面性狀的方法有截痕法截痕法和和伸縮法：伸縮法：從而

9、了解曲面的全貌從而了解曲面的全貌截痕法截痕法 用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，伸縮法伸縮法設(shè)點設(shè)點M(x,y,z)M(x,y,z)的軌跡的軌跡S S滿足方程滿足方程F(x,y,z)=0,F(x,y,z)=0,把點把點M M變?yōu)辄c變?yōu)辄c , ,從而把點從而把點 M M 的的軌跡軌跡S S變?yōu)辄c變?yōu)辄c)z ,y, x(M 的軌跡的軌跡 , ,我們稱圖形我們稱圖形S S沿沿y y軸方向軸方向伸縮伸縮 倍倍S 變成圖形變成圖形S 設(shè)點設(shè)點 ，將其沿，將其沿y軸方向伸縮軸方

10、向伸縮 倍倍)z ,y,x(M111 變?yōu)辄c變?yōu)辄c ，若點，若點M滿足的方程為滿足的方程為)z ,y,x(M222 0)z ,y, x(F 則點則點)z ,y,x(M222 滿足的方程為滿足的方程為0)z ,y1, x(F M zoxyO2 用平面z = k去截割(要求 |k | c), 得橢圓kzckbyax2222221當(dāng) |k | c 時, |k |越大, 橢圓越小;當(dāng) |k | = c 時, 橢圓退縮成點. 幾種常見二次曲面幾種常見二次曲面（一） 橢球面1 用平面z = 0去截割, 得橢圓012222zbyax1222222 czbyax3 類似地類似地, 依次用平面依次用平面x =

11、0,平面平面y = 0截割截割, 得橢圓得橢圓:,012222 xczby.012222 yczax特殊情形：特殊情形：1)當(dāng)當(dāng)a=b=c時，此時為球面時，此時為球面azyx2222 2)當(dāng)當(dāng)a=b時，此時為旋轉(zhuǎn)橢球面時，此時為旋轉(zhuǎn)橢球面1222222 czayax3) 當(dāng)當(dāng)a=c時，此時為旋轉(zhuǎn)時，此時為旋轉(zhuǎn)橢球面橢球面1222222 azbyax4) 當(dāng)當(dāng)c=b時，此時為旋轉(zhuǎn)時，此時為旋轉(zhuǎn)橢球面橢球面1222222 czcyax（二）雙曲面（二）雙曲面I)單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyax單葉雙曲面圖形單葉雙曲面圖形 xyozII)雙葉雙曲面雙葉雙曲面1222222 czbya

12、x1222222 czbyax或者或者xyo（三）拋物面（三）拋物面zqypx 2222（ 與與 同號）同號）pqI)橢圓拋物面橢圓拋物面zxyoxyzo橢圓拋物面的圖形如下：橢圓拋物面的圖形如下：0, 0 qp0, 0 qp特殊地：當(dāng)特殊地：當(dāng) 時，方程變?yōu)闀r，方程變?yōu)閦pypx 2222旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面)0( pqp zqypx 2222II)雙曲拋物面（馬鞍面）雙曲拋物面（馬鞍面）設(shè)設(shè)0, 0 qp圖形如右：圖形如右：xyzo（ 與與 同號）同號）pq2)拋物面拋物面I) 橢圓拋物面橢圓拋物面同同號號） q(p, 2222Zqpyx xyz(0,0,0)p=q時，成為旋轉(zhuǎn)拋物面時，成

13、為旋轉(zhuǎn)拋物面(P0,q0)II)雙曲拋物面（馬鞍面）雙曲拋物面（馬鞍面）同號）同號） q(p, 2222Zqpyx xzyo3) 雙曲面雙曲面I)單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyaxoxyzII)雙葉雙曲面雙葉雙曲面1222222 czbyaxxyz01222222 czbyax或者或者（四）橢圓錐面：（四）橢圓錐面：22222zbyax oxzy12222 byaxabzxyo（五)橢圓xyzOzxy = 0y12222 bzaxo（六) 雙曲xoyzpxy22 zxyo（七)拋物xozy練習(xí)練習(xí) 請指出下列方程所代表曲面的精確名稱。請指出下列方程所代表曲面的精確名稱。1zx)8

14、(1zyx)7(1zy32x)6(1zy32x)5(1zy32x)4(0zy32x)3(1zy32x)2(0zy32x )1(222222222222222222 橢圓錐面橢圓錐面雙葉雙曲面雙葉雙曲面橢圓拋物面（開口向上）橢圓拋物面（開口向上）橢圓拋物面橢圓拋物面橢圓拋物面（開口向下）橢圓拋物面（開口向下）橢球面橢球面旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面拋物柱面拋物柱面0zy3x )9(222 132x)10(222 zy0zy32x)11(22 圓錐面圓錐面單葉雙曲面單葉雙曲面雙曲拋物面雙曲拋物面常見曲面分類常見曲面分類二次曲面二次曲面 橢球面（球面）橢球面（球面）拋物面（橢圓、雙曲）拋物面（橢圓、雙曲）雙

15、曲面（單葉、雙葉）雙曲面（單葉、雙葉）錐面（橢圓、圓）錐面（橢圓、圓）柱面柱面一般柱面一般柱面二次柱面二次柱面（圓、橢圓、拋物、雙曲）（圓、橢圓、拋物、雙曲）一次柱面一次柱面（平行坐標(biāo)軸的平面）（平行坐標(biāo)軸的平面） 旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)面 一般旋轉(zhuǎn)面一般旋轉(zhuǎn)面二次旋轉(zhuǎn)面（旋轉(zhuǎn)橢球面、旋轉(zhuǎn)拋物面二次旋轉(zhuǎn)面（旋轉(zhuǎn)橢球面、旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)雙曲面）旋轉(zhuǎn)雙曲面）柱面和旋轉(zhuǎn)曲面并非全都是二次曲面，二次柱面和旋轉(zhuǎn)曲面并非全都是二次曲面，二次曲面也不全是柱面和旋轉(zhuǎn)面。曲面也不全是柱面和旋轉(zhuǎn)面。思考題思考題 指出下列方程在平面解析幾何中和空指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？間解析幾何中分別表示什

16、么圖形？; 2)1( x; 4)2(22 yx. 1)3( xy思考題解答思考題解答平面解析幾何中平面解析幾何中空間解析幾何中空間解析幾何中2 x422 yx1 xy平平行行于于y軸軸的的直直線線平平行行于于yoz面面的的平平面面圓心在圓心在)0 , 0(，半半徑徑為為2的的圓圓以以z軸為中心軸的圓柱面軸為中心軸的圓柱面斜率為斜率為1的直線的直線平平行行于于z軸軸的的平平面面方程方程一、一、 填空題：填空題：1 1、 與與Z軸和點軸和點)1,3,1( A等距離的點的軌跡方程是等距離的點的軌跡方程是_；2 2、 以點以點)1,2,2( O為球心，且通過坐標(biāo)原點的球面為球心，且通過坐標(biāo)原點的球面方

17、程是方程是_；3 3、 球面：球面：07442222 zyxzyx的球心是的球心是點點_，半徑，半徑 R _ _；4 4、 設(shè)曲面方程設(shè)曲面方程22ax+ +22by+ +22cz=1=1，當(dāng)，當(dāng)ba 時，曲面可由時，曲面可由xoz面上以曲線面上以曲線_繞繞_軸旋軸旋轉(zhuǎn)面成，或由轉(zhuǎn)面成，或由yoz面上以曲線面上以曲線_ 繞繞_軸旋轉(zhuǎn)面成軸旋轉(zhuǎn)面成 ; ;練練 習(xí)習(xí) 題題5 5、 若若柱柱面面的的母母線線平平行行于于某某條條坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸，則則柱柱面面方方程程的的特特點點是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、 曲曲面面1422 zyx是是由由_ _ _ _ _ _ _ _繞繞_ _ _ _ _ _ _ _ _ _軸軸放放置置一一周周所所形形成成的的；7 7、 曲曲面面222)(yxaz 是是由由_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _繞繞_ _ _ _ _ _軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周所所形形成成的的；8 8、 方方程程2 x在在平平面面解解析析幾幾何何中中表表示示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _在