幾類二階變系數(shù)常微分方程解法論文

1、二階變系數(shù)常微分方程幾種解法的探討胡博 （111114109） （湖北工程學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 湖北 孝感 432000） 摘要：常系數(shù)微分方程是我們目前可以完全解決的一類方程，而求變系數(shù)常微分方程的通解是比較困難的，一般的變系數(shù)常微分方程目前是還沒有通用解法的。本文主要對二階變系數(shù)常微分方程求解進(jìn)行了探究，利用特解、常數(shù)變易法、變量變換等方法求出了某些二階變系數(shù)線性微分方程的通解，并初步歸納了二階變系數(shù)線性方程的求解基本方法及步驟。關(guān)鍵詞：二階變系數(shù)線性微分方程；變換；通解；特解To explore the solution of some ordinary differential equa

2、tions of two order variable coefficientZhang jun(111114128) (School of Mathematics and Statistics Hubei Engineering University Hubei Xiaogan 432000)Abstract: Differential equation with constant coefficients is a class of equations we can completely solve the present general solution, and change coef

3、ficient differential equations is difficult, the variable coefficient ordinary differential equation is at present there is no general solution. This paper mainly explores the ordinary differential equation with variable coefficients of order two, the use of special solutions, variation of constants

4、, variable transform method to extract some two order linear differential equation with variable coefficients of the general solution, and summarizes the two basic methods for solving the second-order linear equations with variable coefficients and steps.Key words: Two order variable coefficient lin

5、ear differential equations; transformation; general solution; special solution0 引言二階變系數(shù)常微分方程y''+pxy'+qxy=0及其特征值問題是求解數(shù)學(xué)物理方程的基礎(chǔ)?？梢姸A變系數(shù)常微分方程在物理學(xué)中應(yīng)用是非常廣泛的。但一般二階變系數(shù)微分方程的求解比較困難，至今仍沒有通用解法，因此探討二階變系數(shù)微分方程的解法是非常有必要的。本文主要利用特解、常系數(shù)變法、變量變換等方法來求解某些二階變系數(shù)微分方程的通解，給我們在日后求解二階變系數(shù)微分方程的過程提供了方便。1 具有特定結(jié)構(gòu)的二階變系數(shù)常微

6、分方程二階變系數(shù)齊次線性微分方程：fxy''+pxy'+qxy=0 1.1，(其中fx, px,qx為連續(xù)函數(shù))。1.1 滿足條件fxr2+pxr+qx=0,r為常數(shù)類型時(shí)，方程1.1的通解在求1.1通解前，我們先求二階常系數(shù)齊次線性方程ay''+by'+cy=0其中a,b,c為常數(shù)且a0 1.1.1 由線性微分方程通解結(jié)構(gòu)定理【1】知，若y1x,y2x 是 1.1.1的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，則其通解為y=c1y1x+c2y2x.假設(shè)y=erx是方程是方程1.2的一個(gè)特解，則討論r滿足的條件對y=erx兩邊求導(dǎo)得：y'=rerx,y'

7、;'=r2erx將其代入方程1.2 得：ar2+br+cerx=0,由于erx0，則可知ar2+br+c=0 1.1.2當(dāng)r為1.3的一個(gè)解時(shí)，y=erx必為1.2的解由此很容易求出方程1.2的通解。 對比方程1.1，1.1.1，易知其結(jié)構(gòu)類似，且方程1.1.1是1.1的特殊形式。所以我們類比上述求解常系數(shù)方程的方法，猜想假設(shè)1.1有一個(gè)特解y=erx，將y=erx，y'=rerx,y''=r2erx代入方程1.1得：fxr2+pxr+qxerx=0其中顯然erx0，則有：fxr2+pxr+qxerx=0 1.1.3 此時(shí)若對fx，px，qx存在常數(shù)r使得1.1

8、.3對一切x恒成立，則方程1.1有一特解y1=erx,此時(shí)要想求出方程1.1的通解，還需要找出另一個(gè)特解y2，且y1，y2是線性無關(guān)的。聯(lián)想到常數(shù)變易法，易想到假設(shè)y2=uxerx也是方程1.1的一特解，則y'2=u'x+ruxerx, y''2=u''x+2ru'x+r2uxerx將y2，y'2， y''2代入方程1.1得：fxu''x+2rfx+pxu'x+fxr2+pxr+qxux=0由于fxr2+pxr+qx=0 fxu''x+2rfx+pxu'x=0 1.1

9、.4令hx=u'x,則h'x=u''x,將方程1.5降為一階線性 1hxdhx=-2r-pxfxdxhx=e-2rx-pxfxdx即得出dudx=hx=e-2rx-pxfxdx 解得ux=e-2rx-pxfxdxdx即得出方程1.1另一特解y2=uxerx=erxe-2rx-pxfxdxdx，由于y2y1=e-2rx-pxfxdxdx，顯然y1，y2是線性無關(guān)的，最終得出方程1.1的通解為：y=c1y1x+c2y2x =c1+c2e-2rx-pxfxdxdxerx結(jié)論（1）：二階變系數(shù)齊次線性微分方程fxy''+pxy'+qxy=0，滿足

10、條件fxr2+pxr+qx=0 ，r為常數(shù)情況下，方程的通解為y=c1+c2e-2rx-pxfxdxdxerx,其中c1，c2為常數(shù)例1 求方程xy''-2x+1y'+4y=0的通解解：由題可知fx=x,px=-2x-2qx=4, 則由fxr2+pxr+qx=0 xr2-2x+1r+4=0 r-2rx-2=0 因?yàn)閞為常數(shù)，所以易得r=2， 則原方程的一個(gè)特解為：y1=e2x 假設(shè)原方程另一特解y2=uxe2x,( ux不為常數(shù)) 則有y'2=u'x+2uxe2xy''2=u''x+4u'x+4uxe2x 將y2，

11、y'2，y''2代入原方程得：xu''x+4u'x+4uxe2x-2x+1u'x+2uxe2x+4uxe2x=0 整理得：u''xu'x=-2+2x 解得ux=-12x2+x+12e-2x 即y2x= uxe2x=-12x2+x+12 顯然y1=e2xy2x= uxe2x=-12x2+x+12，是線性無關(guān)的 故原方程通解為：y=c1e2x-12x2+x+121.2 滿足條件fxr'x+fxr2x+pxr+qx=0,rx為連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，方程1.1的通解 要求方程1.1的通解同上，主要是要求出方程1.1的兩個(gè)線

12、性無關(guān)的特解，類比1.1的求法，猜想方程1.1由一特解y=erxdx,則y'=rxerxdx,y''=r'xerxdx+r2xerxdx將y，y'，y''代入方程1.1fxy''+pxy'+qxy=0中得：erxdxfxr'x+fxr2x+pxr+qx=0由于erxdx0，故有fxr'x+fxr2x+pxr+qx=0 1.2.1此時(shí)若對已知fx，px，qx而言存在函數(shù)rx能使2.1式恒成立，則可知方程1.1必有一特解y1=erxdx由常數(shù)變易法可設(shè)方程1.1的另一特解y2=vxerxdx,( vx為

13、非常數(shù)，且y1，y2線性無關(guān))將y2=vxerxdx代入方程1.1，整理可得：fxv''x+2fxrx+pxv'x+fxr'x+fxr2x+pxr+qxvx =0由2.1式知fxr'x+fxr2x+pxr+qx=0，故有：fxv''x+2fxrx+pxv'x=0 也成立 1.2.2 方程 2.2 不含vx項(xiàng)，則可降為一階線性方程，令v'x=gx,則方程 1.2.2可化為：fxg'x+2fxrx+pxgx=0gx=e-2fxrx+pxfxdx即得出v'x=gx=e-2fxrx+pxfxdx， vx=e-2fx

14、rx+pxfxdxdx故y2=vxerxdx=erxdxe-2fxrx+pxfxdxdx因此方程1.1的通解為y=c1y1x+c2y2x=erxdxc1+c2e-2fxrx+pxfxdxdx結(jié)論2：二階變系數(shù)齊次微分方程1.1滿足條件fxr'x+fxr2x+pxr+qx=0，則其通解為y=erxdxc1+c2e-2fxrx+pxfxdxdx例2：求y''-2sinxy'-cosx-sin2xy=0的通解 解：由題知fx=1,px=-2sinx,qx=-cosx+sin2x 則得出：r'x+r2x-2sinxrx-cosx+sin2x=0 r'x-

15、cosx+y-sinx2=0 易得rx=sinx, 則由結(jié)論2得原方程通解為：y=esinxdxc1e-2sinx-2sinxdxdx+c2=e-cosxc1x+c21.3 滿足條件fxr'x+fxr2x+pxr+qx=0,的非齊次變系數(shù)常微分方程fxy''+pxy'+qxy=gx 1.3.1 的通解 前面1.1、1.2都是討論的齊次變系數(shù)微分方程，而1.3是對應(yīng)的非齊次微分方程，故可用常數(shù)表變易法求解方程由齊次方程方程1.3.1。由1.2知方程1.1的特解y=erxdx，可用常數(shù)變易法將其變換為：y=cxerxdx 1.3.2 將 1.3.2代入方程1.3.1

16、，化簡整理得：fxc''x+2fxrx+pxc'x+fxr'x+fxr2x+pxr+qxcx=gxe-rxdx由于rx滿足1.2.1式fxr'x+fxr2x+pxr+qx=0，故有fxc''x+2fxrx+pxc'x=gxe-rxdx整理得：c''x+2fxrx+pxfxc'x=gxfxe-rxdx即可解出：cx=gxfxe-rxdxe2fxrx+pxfxdx+c1e-2fxrx+pxfxdx+c2故1.3.1的通解為：y=cxerxdx=erxdxgxfxe-rxdxe2fxrx+pxfxdx+c1e-2

17、fxrx+pxfxdx+c2結(jié)論3 若非齊次變系數(shù)常微分方程fxy''+pxy'+qxy=gx 滿足條件fxr'x+fxr2x+pxr+qx=0,rx為連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，則其通解為：y=erxdxgxfxe-rxdxe2fxrx+pxfxdxdx+c1e-2fxrx+pxfxdx+c2例3求方程xy''+21-xy'+x-2y=2ex的通解 解：由題知fx=x,px=2-2x,qx=x-2,gx=2ex 先求出xr'x+xr2x+21-xrx+x-2=0 易得：rx=1 則由結(jié)論3可知原方程通解為： y=edx2exxe-dxe2x+

18、2-2xxdxdx+c1e-2x+2-2xxdx+c2即得出：y=x-c1x+c2ex2 可化為常系數(shù)微分方程的二階變系數(shù)微分方程 一般變系數(shù)微分方程并無統(tǒng)一方法求解，但當(dāng)其滿足一定條件下時(shí)，可以通過變量替換的方法將二階變系數(shù)常微分方程轉(zhuǎn)化為常系數(shù)微分方程，再用我們熟悉的常系數(shù)微分方程的求解方法來求其通解。一般變系數(shù)線性微分方程：y''x+pxy'+qxy=0 2.12.1 以自變量t=x=cqx進(jìn)行替換這里令t=x=cqxdx,則有dydx=cqxdydt,d2ydx2=cqx'dydt+cqxd2ydt2將其代入方程2.1整理得：d2ydt2+cqx'

19、;+pxcqxcqxdydt+1cy=0 2.1.1要使方程 2.1.1為常系數(shù)線性微分方程，則必有:cqx'+pxcqxcqx=r ,r為常數(shù)此時(shí)方程2.1可變換為常系數(shù)線性微分方程：d2ydt2+rdydt+1cy=0 結(jié)論4 若非零函數(shù)qx在給定區(qū)間內(nèi)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則方程2.1在滿足cqx'+pxcqxcqx=r ,r為常數(shù)的情況下，可通過變量替換：t=x=cqxdx轉(zhuǎn)換為以t為自變量的常系數(shù)線性微分方程：d2ydt2+rdydt+1cy=0 例4 求變系數(shù)微分方程y''-1x+6xy'+8x2y=o，x>o的解 解：由題知px=-1x+6

20、x,qx=8x2, 且cqx'+pxcqxcqx=-3，為常數(shù)，則方程可化為常系數(shù)微分方程 令t=x=cqxdx=c8x2dx,令c=12時(shí)，t=2x 于是方程可化為：d2ydt2-3dydt+2y=0 其特征方程為2-3+2=0 易得1=1，2=2 即其通解為y=c1et+c2e2t, t=2x 代回原式為y=c1e2x+c2e4x2.2 以變量t=x=e-pxdxdx進(jìn)行變量替換 令t=x=e-pxdxdx， 則dydx=e-pxdxdydt, d2ydx2=-pxe-pxdxdydt+e-2pxdxd2ydt2 將其代入方程2.1得：d2ydt2+e2pxdxqxy=0 2.2.

21、1 要使方程2.2.1為常系數(shù)線性微分方程， 即有e2pxdxqx=r,r為常數(shù) qx=re-2pxdx 結(jié)論5 若方程2.1在滿足qx=re-2pxdx的情況下，可通過變量替換t=x=e-pxdxdx，將其轉(zhuǎn)化成自變量為t的常系數(shù)線性微分方程：d2ydt2+ry=0例5【】 求方程y''+y'tanx-ycos2x=0的通解 解：由題知px=tanx,qx=-cos2x 則qx=-cos2x=re-2pxdx=re-2tanxdx r=-1,是常數(shù)，滿足條件 于是設(shè)t=x=e-pxdxdx=e-tanxdxdx=sinx 則原方程可化為：d2ydt2-y=0 解得其通

22、解為y=c1et+c2e-t 代回原變量得方程通解為：y=c1esinx+c2e-sinx 2,3 通過未知函數(shù)y=axu進(jìn)行線性變換 令y=axu，則y'=a'xu+ axu' y''=a''xu+2a'xu'+ axu''將其代入方程 y''x+pxy'+qxy=fx得：axu''+2a'x+pxaxu'+a''x+a'xpx+axqxu=fx 2.3.1要使方程2.3.1為常系數(shù)線性微分方程，則應(yīng)該找到合適的ax，使得u&

23、#39;'，u'，u前面的系數(shù)均為常數(shù)。此時(shí)令u'的系數(shù)為零，則有2a'x+pxax=0即得出ax=e-12x0xpxdx,(其中x0R,可視題目而定)在代入 2.3.1得u''+qx-14p2x-12p'xu=fxe12x0xpxdx即當(dāng)Ix=qx-14p2x-12p'x為常數(shù)時(shí)，原方程可變換為常系數(shù)線性常微分方程。結(jié)論6 若方程y''x+pxy'+qxy=fx的系數(shù)px，qx滿足Ix=qx-14p2x-12p'x=r，(r為常數(shù))時(shí)，方程在y=e-12x0xpxdxu的線性變換下可以變化成常系數(shù)線性微分方程：u''+ru=fxe12x0xpxdx 2.3.2例6 求方程x2y''+xy'+x2-14y=2x32ex的通解 解：原方程可變形為：y''+1xy'+1-14x2y=2x-12ex 由題知px=1x，qx=1-14x2 則Ix=qx-14p2x-12p'x =1-14x2-141x2-12-1x2=1,是常數(shù) 滿足條件，則令y=e-121xdxu=1xu 則原方程可化為常系數(shù)線性微分方程u''+u=2ex