第二章 概率統(tǒng)計之隨機(jī)變量

1、概率論概率論 第一節(jié) 隨機(jī)變量隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生引入隨機(jī)變量的意義隨機(jī)變量的分類概率論概率論 一、隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生一、隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生 在實際問題中，隨機(jī)試驗的結(jié)果可以用數(shù)量來在實際問題中，隨機(jī)試驗的結(jié)果可以用數(shù)量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念表示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念.概率論概率論 1、有些試驗結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一、有些試驗結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個數(shù)）個數(shù)）. 例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)；例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)； 四月份哈爾濱的最高溫度；四月份哈爾濱的最高溫度；每天進(jìn)入一號樓的人數(shù)；每天進(jìn)入一號樓的人數(shù)；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；概率論概率論 2

2、、在有些試驗中，試驗結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但、在有些試驗中，試驗結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個變量來表示它的各種結(jié)果我們可以引進(jìn)一個變量來表示它的各種結(jié)果.也就也就是說，是說，把試驗結(jié)果數(shù)值化把試驗結(jié)果數(shù)值化. 正如裁判員在運(yùn)正如裁判員在運(yùn)動場上不叫運(yùn)動動場上不叫運(yùn)動員的名字而叫號員的名字而叫號碼一樣，二者建碼一樣，二者建立了一種對應(yīng)關(guān)立了一種對應(yīng)關(guān)系系. 概率論概率論 這種對應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實值這種對應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實值單值函數(shù)單值函數(shù).e.X(e)sR這種實值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函這種實值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函數(shù)不一樣！數(shù)不一樣！概率論

3、概率論 （1）它隨試驗結(jié)果的不同而取不同的值，因而在）它隨試驗結(jié)果的不同而取不同的值，因而在試驗之前只知道它可能取值的范圍，而不能預(yù)先試驗之前只知道它可能取值的范圍，而不能預(yù)先肯定它將取哪個值肯定它將取哪個值.（2）由于試驗結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，于）由于試驗結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，于是這種實值函數(shù)取每個值和每個確定范圍內(nèi)的值是這種實值函數(shù)取每個值和每個確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率也有一定的概率.稱這種定義在樣本空間稱這種定義在樣本空間S上的實值單值函數(shù)上的實值單值函數(shù)X= X(e)為為隨隨量量機(jī)機(jī)變變簡記為簡記為 r.v. 概率論概率論 而表示隨機(jī)變量所取的值時而表示隨機(jī)變量所取的值時,

4、一般采用小寫字母一般采用小寫字母 x, y, z, w, n等等.隨機(jī)變量通常用大寫字母隨機(jī)變量通常用大寫字母X,Y,Z,W,N 等表示等表示概率論概率論 有了隨機(jī)變量有了隨機(jī)變量, 隨機(jī)試驗中的各種事件，就可隨機(jī)試驗中的各種事件，就可以通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來以通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來.二、引入隨機(jī)變量的意義二、引入隨機(jī)變量的意義 如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用用X表示，它是一個隨機(jī)變量表示，它是一個隨機(jī)變量. 事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫沒有收到呼叫沒有收到呼叫 X 1X= 0 概率論概率論 隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率

5、論發(fā)展史上的重隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件大事件. 引入隨機(jī)變量后，對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律引入隨機(jī)變量后，對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴(kuò)大為對的研究，就由對事件及事件概率的研究擴(kuò)大為對隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究.事件及事件及事件概率事件概率隨機(jī)變量及其隨機(jī)變量及其取值規(guī)律取值規(guī)律概率論概率論 我們將研究兩類隨機(jī)變量：我們將研究兩類隨機(jī)變量： 如如“取到次品的個數(shù)取到次品的個數(shù)”， “收到的呼叫數(shù)收到的呼叫數(shù)”等等.隨隨機(jī)機(jī)變變量量離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量例如，例如，“電視機(jī)的壽命電視機(jī)的壽命”，實際中

6、，實際中常遇到的常遇到的“測量誤差測量誤差”等等.三、隨機(jī)變量的分類三、隨機(jī)變量的分類概率論概率論 這兩種類型的隨機(jī)變量因為都是隨機(jī)變量，這兩種類型的隨機(jī)變量因為都是隨機(jī)變量，自然有很多相同或相似之處；但因其取值方式不自然有很多相同或相似之處；但因其取值方式不同，又有其各自的特點同，又有其各自的特點.隨隨機(jī)機(jī)變變量量連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量學(xué)習(xí)時請注意它們各自的特點和描述方法學(xué)習(xí)時請注意它們各自的特點和描述方法.概率論概率論 解：分析解：分析例例1 一報童賣報，每份一報童賣報，每份0.15元，其成本為元，其成本為0.10元元. 報館每天給報童報館每天給報童100

7、0份報，并規(guī)定他不得把賣不份報，并規(guī)定他不得把賣不出的報紙退回出的報紙退回. 設(shè)設(shè)X為報童每天賣出的報紙份數(shù)，為報童每天賣出的報紙份數(shù)，試將報童賠錢這一事件用隨機(jī)變量的表達(dá)式表示試將報童賠錢這一事件用隨機(jī)變量的表達(dá)式表示.當(dāng)當(dāng) 0.15 X0 是常數(shù),則稱 X 服從參數(shù)為 的泊松分布,記作X( ).概率論概率論 例8 一家商店采用科學(xué)管理，由該商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)=5的泊松分布來描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件？解:設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為X,已知X服從參數(shù)=5的泊松分布.設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)某種商品m件,求滿足P X m

8、0.95 的最小的m .進(jìn)貨數(shù)銷售數(shù)概率論概率論 求滿足P X m 0.95 的最小的m.查泊松分布表得,032. 0!5105kkkePXm 0.05也即068. 0!595kkke于是得 m+1=10,1505. 0!5mkkkem=9件或概率論概率論 對于離散型隨機(jī)變量，如果知道了它的分布律,也就知道了該隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律. 在這個意義上，我們說 這一節(jié)，我們介紹了離散型隨機(jī)變量及其分布律，并給出兩點分布、二項分布、泊松分布三種重要離散型隨機(jī)變量.離散型隨機(jī)變量由它的分布律唯一確定.四、小結(jié)概率論概率論 練習(xí)題二二. 設(shè)在設(shè)在 15 只同類型零件中有只同類型零件中有 2 只是次品，只

9、是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽樣，以樣，以 X 表示取出次品的只數(shù)，表示取出次品的只數(shù)， （1）求）求 X 的的分布律，分布律， （2）畫出分布律的圖形。）畫出分布律的圖形。一一. 一袋中有一袋中有 4 只乒乓球，編號為只乒乓球，編號為 1、2、3、4、在其中同時取三只，以、在其中同時取三只，以 X 表示取出的表示取出的三只球中的最大號碼，寫出隨機(jī)變量三只球中的最大號碼，寫出隨機(jī)變量 X 的分的分布律布律概率論概率論 三、一籃球運(yùn)動員的投籃命中率為三、一籃球運(yùn)動員的投籃命中率為 45%，以以 X 表示他首次投中時累計已投籃的次數(shù)，表示他首次

10、投中時累計已投籃的次數(shù)，寫出寫出 X 的分布律，并計算的分布律，并計算 X 取偶數(shù)的概率。取偶數(shù)的概率。四、一大樓裝有四、一大樓裝有 5 個同類型的供水設(shè)備，個同類型的供水設(shè)備，調(diào)查表明在任一時刻調(diào)查表明在任一時刻 t 每個設(shè)備使用的概率每個設(shè)備使用的概率為為 0.1，問在同一時刻，問在同一時刻（1）恰有）恰有 2 個設(shè)備被使用的概率是多少？個設(shè)備被使用的概率是多少？（2） 至少有） 至少有 3 個設(shè)備被使用的概率是多少？個設(shè)備被使用的概率是多少？（3） 至多有） 至多有 3 個設(shè)備被使用的概率是多少？個設(shè)備被使用的概率是多少？（4） 至少有一個設(shè)備被使用的概率是多少） 至少有一個設(shè)備被使用的

11、概率是多少？概率論概率論 解：解：4 , 3 XX的的所所有有可可能能取取值值為為：3 XP341C 41 4 XP3423CC 43 一一. 一袋中有一袋中有 4 只乒乓球，編號為只乒乓球，編號為 1、2、3、4、在其中同時取三只，以、在其中同時取三只，以 X 表示取出的表示取出的三只球中的最大號碼，寫出隨機(jī)變量三只球中的最大號碼，寫出隨機(jī)變量 X 的分的分布律布律概率論概率論 二二. 設(shè)在設(shè)在 15 只同類型零件中有只同類型零件中有 2 只是次品，只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽樣，以樣，以 X 表示取出次品的只數(shù)，表示取出次品的只數(shù)，

12、 （1）求）求 X 的的分布律，分布律， （2）畫出分布律的圖形。）畫出分布律的圖形。解：解：2 , 1 , 0 XX的的所所有有可可能能取取值值為為：0 XP315313CC 3522 1 XP31512213CCC 3512 2 XP31522113CCC 351 概率論概率論 三、一籃球運(yùn)動員的投籃命中率為三、一籃球運(yùn)動員的投籃命中率為 45%，以以 X 表示他首次投中時累計已投籃的次數(shù)，表示他首次投中時累計已投籃的次數(shù)，寫出寫出 X 的分布律，并計算的分布律，并計算 X 取偶數(shù)的概率。取偶數(shù)的概率。解：解：, 2 , 1 XX的的所所有有可可能能取取值值為為：, 2 , 1 iiAi次

13、投籃命中，次投籃命中，表示第表示第kXP )(121kkAAAAP )()()()(121kkAPAPAPAP , 2 , 1%45)( iAPi，則則相相互互獨獨立立，且且kkAAAA121 , 2 , 1%45%551 kk，概率論概率論 取偶數(shù)取偶數(shù)XP 12kkXP 112%45%55kk3111 概率論概率論 四、一大樓裝有四、一大樓裝有 5 個同類型的供水設(shè)備，個同類型的供水設(shè)備，調(diào)查表明在任一時刻調(diào)查表明在任一時刻 t 每個設(shè)備使用的概率每個設(shè)備使用的概率為為 0.1，問在同一時刻，問在同一時刻（1）恰有）恰有 2 個設(shè)備被使用的概率是多少？個設(shè)備被使用的概率是多少？（2） 至少

14、有） 至少有 3 個設(shè)備被使用的概率是多少？個設(shè)備被使用的概率是多少？（3） 至多有） 至多有 3 個設(shè)備被使用的概率是多少？個設(shè)備被使用的概率是多少？（4） 至少有一個設(shè)備被使用的概率是多少） 至少有一個設(shè)備被使用的概率是多少？解：解：被被使使用用的的個個數(shù)數(shù)表表示示同同一一時時刻刻供供水水設(shè)設(shè)備備X)1 . 0 , 5(X則則kXP 5, 1 , 09 . 01 . 055 kCkkk2 X3 X3 X1 X概率論概率論 )1(2 XP 252259 . 01 . 0 C0729. 0 )2(3 XP543 XPXPXP00856. 0 )3(3 XP31 XP541 XPXP99954.

15、 0 )4(1 XP11 XP01 XP40951. 0 概率論概率論 第三節(jié) 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義分布函數(shù)的性質(zhì)小結(jié) 布置作業(yè)概率論概率論 一、分布函數(shù)的定義 如果將 X 看作數(shù)軸上隨機(jī)點的坐標(biāo)，那么分布函數(shù) F(x) 的值就表示 X落在區(qū)間 內(nèi)的,(x概率.xoxX 設(shè) X 是一個 r.v，稱)()(xXPxF)(x為 X 的分布函數(shù) , 記作 F (x) .概率論概率論 (1) 在分布函數(shù)的定義中, X是隨機(jī)變量, x是參變量. (2) F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.(3) 對任意實數(shù) x1x2，隨機(jī)點落在區(qū)間( x1 , x2 內(nèi)的概率為：P x1X

16、 x2 因此，只要知道了隨機(jī)變量X的分布函數(shù)， 它的統(tǒng)計特性就可以得到全面的描述. =P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1)1x2xox X概率論概率論 分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，正是通過它，我們可以用高等數(shù)學(xué)的工具來研究隨機(jī)變量.xxXPxF),()(xoxX概率論概率論 當(dāng) x0 時， X x = ， 故 F(x) =0例1設(shè) 隨機(jī)變量 X 的分布律為當(dāng) 0 x 1 時， F(x) = PX x = P(X=0) =31F(x) = P(X x)解0 x12 x Xkp0121 31 61 2求 X 的分布函數(shù) F (x) .概率論概率論 當(dāng) 1 x 2 時， F(x)

17、 = PX=0+ PX=1= + =316121當(dāng) x 2 時， F(x) = PX=0 + PX=1 + PX=2= 10 x12 xx概率論概率論 故注意右連續(xù)下面我們從圖形上來看一下.2, 121,2110,310, 0)(xxxxxF概率論概率論 31211202161OOO1)(xF的分布函數(shù)圖xy概率論概率論 設(shè)離散型 r .v X 的分布律是P X=xk = pk , k =1,2,3, F(x) = P(X x) = xxkkp即F(x) 是 X 取xk 的諸值 的概率之和.x則其分布函數(shù)概率論概率論 二、分布函數(shù)的性質(zhì) ,上上是是一一個個不不減減函函數(shù)數(shù)在在 xF(1) ;,

18、212121xFxFxxxx 都都有有且且即即對對 21F xF x1x2xox X 120P xXx概率論概率論 如果一個函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個r.v X 的分布函數(shù). 也就是說，性質(zhì)(1)-(3)是鑒別一個函數(shù)是否是某 r.v 的分布函數(shù)的充分必要條件.(3) F(x) 右連續(xù)，即 )()(lim00 xFxFxx(2) xoXx()F limxF x limxF x()F 0 1 概率論概率論 試說明F(x)能否是某個r.v 的分布函數(shù).例2 設(shè)有函數(shù) F(x)其它00sin)(xxxF 解 注意到函數(shù) F(x)在 上下降，不滿足性質(zhì)(1)，故F(x)不能是分布函數(shù).,2不滿足性

19、質(zhì)(2)， 可見F(x)也不能是r.v 的分布函數(shù).或者0)(lim)(xFFx概率論概率論 第四節(jié)第四節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量及其連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義概率密度的性質(zhì)概率密度的性質(zhì)三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量小結(jié)小結(jié) 布置作業(yè)布置作業(yè)概率論概率論 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿一個區(qū)間所有可能取值充滿一個區(qū)間, 對這對這種類型的隨機(jī)變量種類型的隨機(jī)變量, 不能象離散型隨機(jī)變量那樣不能象離散型隨機(jī)變量那樣, 以指定以指定它取每個值概率的方式它取每個值概率的方式, 去給出其概率分布去給出其概

20、率分布, 而是通過給而是通過給出所謂出所謂“概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)”的方式的方式. 下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法.概率論概率論 則稱則稱 X為連續(xù)型隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量, 稱稱 f (x) 為為 X 的的概率密概率密度度函數(shù)函數(shù)，簡稱為，簡稱為概率密度概率密度 .一、一、 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義 xF xf t dt 有有,使得對任意實數(shù)使得對任意實數(shù) , x 對于隨機(jī)變量對于隨機(jī)變量 X , 如果存在非負(fù)可積函數(shù)如果存在非負(fù)可積函數(shù) f (x) , ,x P Xx連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)在

21、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)在 上連續(xù)上連續(xù)R概率論概率論 二、概率密度的性質(zhì)二、概率密度的性質(zhì)1 o0)(xf2 o1)(dxxf f (x)xo面積為面積為1這兩條性質(zhì)是判定一個這兩條性質(zhì)是判定一個函數(shù)函數(shù) f(x)是否為某是否為某r .v X 的的概率密度的充要條件概率密度的充要條件概率論概率論 利用概率密度可確利用概率密度可確定隨機(jī)點落在某個定隨機(jī)點落在某個范圍內(nèi)的概率范圍內(nèi)的概率對于任意實數(shù)對于任意實數(shù) x1 , x2 , (x1 x2 ) ,32112( )xxP xXxf x dx 若若 f (x) 在點在點 x 處連續(xù)處連續(xù) , 則有則有4( )( ).Fxf x 概率論概率論 要

22、注意的是，密度函數(shù)要注意的是，密度函數(shù) f (x)在某點處在某點處a的高度，的高度，并不反映并不反映X取值的概率取值的概率. 但是，這個高度越大，則但是，這個高度越大，則X取取a附近的值的概率就越大附近的值的概率就越大. 也可以說，在某點密度也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度. f (x)xoa概率論概率論 (1) 連續(xù)型連續(xù)型r.v取任一指定實數(shù)值取任一指定實數(shù)值a 的概率均為的概率均為0. 即即這是因為這是因為請注意請注意: xaFaFaXxaPaXP 0 0 .P Xa0,x 當(dāng)當(dāng) 時時得到得到 0 .P Xa概率論概率論

23、 注意 在計算連續(xù)型隨機(jī)變量落在某一區(qū)間的概率時，可以不必區(qū)分該區(qū)間是開區(qū)間或閉區(qū)間或半閉區(qū)間。例如有 PaXbPaXb=PaX。 在這里，事件X=a)并非不可能事件，但有PXa=0這就是說，若A是不可能事件，則有P(A)=0；反之，若P(A)0，并不一定意味著A是不可能事件。 以后當(dāng)我們提到一個隨機(jī)變量X的“概率分布”時，指的是它的分布函數(shù)；或者，當(dāng)X是連續(xù)型時指的是它的概率密度，當(dāng)X是離散型時指的是它的分布律。概率論概率論 1. 均勻分布均勻分布則稱則稱X在區(qū)間在區(qū)間( a, b)上服從均勻分布上服從均勻分布，X U(a, b)(xfab其它, 0,1)(bxaabxf三、三種重要的連續(xù)型

24、隨機(jī)變量三、三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量若若 r .v X的概率密度為：的概率密度為：記作記作概率論概率論 abldxablcXcPblccalcclbaUXlcc 1,),(.1),(有有為的區(qū)間為的區(qū)間對于長度對于長度若若 bxbxaabaxaxxXPxFX1, 0)(.2的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為：概率論概率論 均勻分布常見于下列情形：均勻分布常見于下列情形： 如在數(shù)值計算中，由于四舍五如在數(shù)值計算中，由于四舍五 入，小數(shù)點后某入，小數(shù)點后某一位小數(shù)引入的誤差；一位小數(shù)引入的誤差；概率論概率論 例例2 某公共汽車站從上午某公共汽車站從上午7時起，每時起，每15分鐘來一班分鐘來一班車，即車，即

25、 7:00，7:15，7:30, 7:45 等時刻有汽車到達(dá)此等時刻有汽車到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時間站，如果乘客到達(dá)此站時間 X 是是7:00 到到 7:30 之間的之間的均勻隨機(jī)變量均勻隨機(jī)變量, 試求他候車時間少于試求他候車時間少于5 分鐘的概率分鐘的概率.解解依題意，依題意， X U ( 0, 30 ) 以以7:00為起點為起點0，以分為單位，以分為單位其它, 0300,301)(xxf概率論概率論 為使候車時間為使候車時間X少于少于 5 分鐘，乘客必須在分鐘，乘客必須在 7:10 到到 7:15 之間，或在之間，或在7:25 到到 7:30 之間到達(dá)車站之間到達(dá)車站.所求概率為：所

26、求概率為：30251510XPXP3130130130251510dxdx即乘客候車時間少于即乘客候車時間少于5 分鐘的概率是分鐘的概率是1/3.從上午從上午7時起，每時起，每15分鐘來一班車，即分鐘來一班車，即 7:00，7:15，7:30等時刻有汽車到達(dá)汽車站，等時刻有汽車到達(dá)汽車站，概率論概率論 指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計研究中，如元件的指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計研究中，如元件的壽命壽命.2 . 指數(shù)分布指數(shù)分布 若若 r .v X具有概率密度具有概率密度 1,0,0 ,x exfx 其其它它, ,0 其其中中為常數(shù)為常數(shù), 則稱則稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布的指數(shù)分布.概率論概

27、率論 其它其它, 00,1)(/xexXPxFx 若若X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的指數(shù)分布指數(shù)分布, 則其則其分布函數(shù)分布函數(shù)為為事實上事實上 , xF xf t dt 0 x xx xF xf t dt 0 xdt 0 x 當(dāng)當(dāng) 時時,0 x 當(dāng)當(dāng) 時時, xF xf t dt 00dt 01txedt 概率論概率論 3. 正態(tài)分布正態(tài)分布 若連續(xù)型若連續(xù)型 r .v X 的的概率密度為概率密度為 xexfx,21)(222)( 記作記作其中其中 和和 ( 0 )都是常數(shù)都是常數(shù), 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 和和 的的正態(tài)分布正態(tài)分布或或高斯分布高斯分布. 2( ,)XN 概率論概率

28、論 :具有下述性質(zhì)具有下述性質(zhì)xf ;12 dxxf ;01 xf事實上事實上 , 22212x fx dxedx 22212x edx 222022x edx 1概率論概率論 ,2xt 令令則有則有 dxxfdtet202 122 曲線曲線 關(guān)于關(guān)于 軸對稱；軸對稱； fx 3 P hX P Xh 0h 202tedt 概率論概率論 xexfx,21)(222)( 函數(shù)函數(shù) 在在 上單調(diào)增加上單調(diào)增加, ,在在 上上 fx 4(, ,) 單調(diào)減少單調(diào)減少, ,在在 取得最大值；取得最大值；x 22()23,2x xfxex x = 為為 f (x) 的兩個拐點的橫坐標(biāo)；的兩個拐點的橫坐標(biāo)；

29、5 22()2223(),2x xfxex 概率論概率論 當(dāng)當(dāng)x 時，時，f(x) 0. . xexfx,21)(222)( f (x) 以以 x 軸為漸近線軸為漸近線 6 根據(jù)對密度函數(shù)的分析，也可初步畫出正態(tài)分布根據(jù)對密度函數(shù)的分析，也可初步畫出正態(tài)分布的概率密度曲線圖的概率密度曲線圖. .概率論概率論 決定了圖形的中心位置，決定了圖形的中心位置， 決定了圖形中決定了圖形中峰的陡峭程度峰的陡峭程度. . 正態(tài)分布正態(tài)分布 的圖形特點的圖形特點),(2N概率論概率論 設(shè)設(shè) X ,),(2NX 的分布函數(shù)的分布函數(shù)是是正態(tài)分布正態(tài)分布 的分布函數(shù)的分布函數(shù)),(2N 2 22()21,2txF

30、 xedtx 概率論概率論 正態(tài)分布由它的兩個參數(shù)正態(tài)分布由它的兩個參數(shù)和和唯一確定，唯一確定， 當(dāng)當(dāng)和和不同時，是不同的正態(tài)分布。不同時，是不同的正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布概率論概率論 1, 0的正態(tài)分布稱為的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. .其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用 和和 表示：表示：)(x)(x標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布3 221,2txxedtx 221,2x xex 概率論概率論 )(x )(x 概率論概率論 的性質(zhì)的性質(zhì) : ;2101 dtet 022210 21212122 d

31、tet ;1,2xxRx dtexxt 2221 事實上事實上 , 221()2txxedtx 概率論概率論 22112uxedu x 1 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布. .定理定理1 .1 ,0,2NXZNX 則則若若2212uxutedu 概率論概率論 .1 ,0,2NXZNX 則則若若證證Z Z 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 dtexXPxXPxZPxt 22221, tu令令則有則有 duexZPxu 2221 x 概率論概率論 根據(jù)定理根據(jù)定理1,1

32、,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題. . .1 ,0 NXZ 故故 xxXPxXPxFNXX2,于是于是概率論概率論 書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表. .正態(tài)分布表正態(tài)分布表)(1)(xxdtexxt2221)(當(dāng)當(dāng) x 0 時時, (x)的值的值.4概率論概率論 ),(2NX若若若若 XN(0,1),)(bYaP)(bXaP)()()(abbXaP)()(abXYN(0,1) 則則概率論概率論 由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計算可以求得，由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計算可以求得，這說明，這說明，X的取值幾乎全部集中在的取值幾乎全部集中在