等腰三角形性質(zhì)2

1、1 等腰三角形性質(zhì)1(1)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”)(2)理解：這是等腰三角形的重要性質(zhì)，它是證明角相等常用的方法，它的應(yīng)用可省去三角形全等的證明，因而更簡(jiǎn)便(3)適用條件：必須在同一個(gè)三角形中(4)應(yīng)用模式：在ABC中，因?yàn)锳BAC，所以BC.例1.如圖，AD、BC相交于O，ABCD，OAOB，求證：CD.2.等腰三角形性質(zhì)2(1)性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合習(xí)慣上稱作等腰三角形“三線合一”性質(zhì)(2)含義：這是等腰三角形所特有的性質(zhì)，它實(shí)際上是一組定理，應(yīng)用過(guò)程中，只要是在等腰三角形前提下，知道是其中“一線”，就可以說(shuō)明是其他

2、的“兩線”，性質(zhì)中包含有線段相等、角相等、垂直等關(guān)系，所以應(yīng)用非常廣泛(3)應(yīng)用模式：如圖，在ABC中，AB=AC，ADBC，AD平分BAC(或BD=CD)ABAC，BDDC，ADBC(或AD平分BAC)；ABAC，AD平分BAC，BDDC(或ADBC)例2 .如圖，在等腰ABC中，AB=AC，D、E在底邊BC上且AD=AE，你能說(shuō)明BD與CE相等嗎？為什么？3等腰三角形的判定(1)判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”)(2)與性質(zhì)的關(guān)系：判定定理與性質(zhì)定理是互逆的，性質(zhì)：；判定：.(3)理解：性質(zhì)和判定應(yīng)用的前提都是在同一三角形中，并且不經(jīng)過(guò)

3、三角形全等的證明，直接由等邊得等角或由等角得等邊，所以應(yīng)用起來(lái)更簡(jiǎn)單、便捷ABCO例3 如圖，BE平分ABC，交AC于E，過(guò)E作DEBC，交AB于D.試證明BDE是等腰三角形例4.如圖，在ABC中，B和C的平分線相交于點(diǎn)O，且OB=OC，請(qǐng)說(shuō)明AB=AC的理由.練習(xí)：1.在ABC中，A的相鄰?fù)饨鞘?10°，要使ABC是等腰三角形，則B= .2.如圖，AB=AC，BD平分ABC，且C=2A， 則圖中等腰三角形共有 個(gè).3.如圖，已知D、E是BC邊上的點(diǎn)，且BD=CE,下列條件不能判定ABEACD的是（ ）AAB=AC B.AD=AE C.BE=CD D.BDA=CEA4如圖，已知在AB

4、C中，在AB上取一點(diǎn)D，又在AC延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使CE=BD，連結(jié)DE交BC于點(diǎn)G，有DG=GE，試說(shuō)明：AB=AC.4.等邊三角形的概念和性質(zhì)(1)等邊三角形概念：三邊都相等的三角形是等邊三角形認(rèn)識(shí)：它是特殊的等腰三角形，具備等腰三角形的所有性質(zhì)(2)性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.例5 如圖，點(diǎn)M、N分別在等邊ABC的邊BC、AC上，且BMCN，AM、BN交于點(diǎn)Q.求證：BQM60°.5等邊三角形的判定(1)判定定理：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形(2)判定方法：等邊三角形的判定方法有三種

5、：一是定義，另運(yùn)用兩個(gè)定理(3)拓展理解：對(duì)于判定定理，有時(shí)候在一個(gè)三角形中只要有兩個(gè)角是60°也可判定是等邊三角形解技巧 巧用條件證明等邊三角形在證明三角形是等邊三角形時(shí)，根據(jù)所給已知條件確定選擇用哪個(gè)方法證明若已知三邊關(guān)系，一般選定義法；若已知三角關(guān)系，一般選判定定理；若已知該三角形是等腰三角形，則選判定定理.例6 如圖，等邊ABC中，點(diǎn)P在ABC內(nèi)，點(diǎn)Q在ABC外，且ABPACQ，BPCQ，問(wèn)APQ是什么形狀的三角形？試說(shuō)明你的結(jié)論例7.如下圖所示，在等邊三角形ABC中，B、C的角平分線交于點(diǎn)O，OB和OC的垂直平分線分別交BC于E、F，試用你所學(xué)的知識(shí)說(shuō)明BEEFFC的道理6

6、含30°角的直角三角形的性質(zhì)(1)性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半(2)應(yīng)用模式：在RtABC中，C90°，B30°，ACAB.例8. 等腰三角形的底角為15°，腰長(zhǎng)為2a，則腰上的高為 。PFEDCBA例9.如圖，ABC為等邊三角形，D、E分別是AC、BC上的點(diǎn)，且AD=CE，AE與BD相交于點(diǎn)P，BFAE于點(diǎn)F求證:BP=2PF 7等腰三角形性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用類似于全等三角形的性質(zhì)和判定的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)和判定很多時(shí)候也是綜合運(yùn)用的一方面等腰三角形是特殊的三角形，由等腰三角形性質(zhì)，可以知

7、道許多相等的線段，相等的角，還能知道垂直關(guān)系，成倍數(shù)關(guān)系的線段或角，所以有時(shí)通過(guò)判定是等腰三角形來(lái)證明角相等、線段相等或垂直關(guān)系等；另一方面通過(guò)等腰三角形性質(zhì)和判定的運(yùn)用，直接由線段相等得到角相等，由角相等到線段相等，省去了全等的證明，簡(jiǎn)化了過(guò)程，因此很多時(shí)候，等腰三角形性質(zhì)和判定的應(yīng)用更廣泛注意：等腰三角形性質(zhì)和判定的應(yīng)用前提是在同一個(gè)三角形中【例10】 如圖1，在ABC中，B2C，AD是BC邊上的高，求證：CDABBD.圖18.巧用“三線合一”性質(zhì)解題應(yīng)用：它是等腰三角形特有的性質(zhì)，這條線段是中線、高，也是角平分線，它包含有線段相等、角相等、垂直等關(guān)系，涉及量多，應(yīng)用廣泛，是證明線段相等、

8、線段的倍數(shù)關(guān)系、角相等、角的倍數(shù)關(guān)系、垂直等常用的方法【例11】 已知：如圖所示，ABC中，ABAC，BF是AC邊上的高，求證：FBCBAC. 9面積法證明等腰三角形的性質(zhì)面積法是解決幾何問(wèn)題常用的一種的方法，它巧妙地運(yùn)用面積之間的關(guān)系，通過(guò)計(jì)算的方式，求線段的長(zhǎng)度，或用來(lái)證明線段之間的數(shù)量關(guān)系，有時(shí)它比運(yùn)用線段之間的等量關(guān)系證明、計(jì)算更簡(jiǎn)捷，更巧妙，因而在特定條件下能出奇制勝，是一種很好的方法面積法的運(yùn)用，一般以同一個(gè)三角形的面積是相等的為基礎(chǔ)，運(yùn)用不同求法，即底不同、高不同、但面積都等于底×高的一半，或?qū)⒁粋€(gè)圖形分解成不同的圖形來(lái)求面積，但面積之和相等通過(guò)面積相等聯(lián)系起各量之間的

9、關(guān)系，再運(yùn)用等式的性質(zhì)，通過(guò)化簡(jiǎn)求出某些線段的長(zhǎng)，或計(jì)算出某些線段之間的數(shù)量(如比例)關(guān)系【例12】 如圖1，已知，在ABC中，ABAC，BD為腰AC上的高，G為底邊BC上任一點(diǎn)，GFAB，GEAC，垂足分別為F、E.求證：GFGEBD.分析：要證明BDGFGE，按常規(guī)思路將BD分成兩段，如圖2，證明BHGF，DHGE.所以過(guò)G作BD的垂線，通過(guò)證明三角形全等和判定是矩形完成，既復(fù)雜又超出現(xiàn)在所學(xué)，但用面積法卻簡(jiǎn)單得多如圖3，連接AG，運(yùn)用面積法，分別表示出ABG和ACG的面積，由于同一三角形面積是相等的，所以SABCSABGSACG，所以AB·GFAC·GEAC·BD，由于ABAC，經(jīng)過(guò)等量代換和化簡(jiǎn)即可得到GFGEBD.【例121】 如圖，在ABC中，CAE是ABC的外角，在下列三項(xiàng)中：ABAC；AD平分CAE；ADBC，選擇其中兩項(xiàng)為題設(shè)，另一項(xiàng)為結(jié)論，組成一個(gè)真命題，并證明【例122】 如圖，已知ABC中，ACBC24，AO、BO分別是BAC、ABC的角平分線，MN過(guò)O點(diǎn)，且MNBA，分別交AC于N、BC