等角定理及其推論

1、公理公理1：如果一條直線上的如果一條直線上的兩點(diǎn)兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，在一個(gè)平面內(nèi)， 那么這條直線上那么這條直線上所有的點(diǎn)所有的點(diǎn)都在這個(gè)平都在這個(gè)平 面內(nèi)面內(nèi). 公理公理2 2：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)， 有有且只有一個(gè)平面且只有一個(gè)平面 公理公理3：如果兩個(gè)平面有一個(gè)一個(gè)公共點(diǎn)，那么它 們還有其他公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集 合是經(jīng)過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線一條直線.公理公理4：平行于同一直線的兩條直線平行。3. 空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：平行直線平行直線相交直線相交直線異面直線異面直線在同一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公在同一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)的兩

2、條直線。共點(diǎn)的兩條直線。在同一個(gè)平面內(nèi)，有且只有在同一個(gè)平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的兩條直線。一個(gè)公共點(diǎn)的兩條直線。不在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線。不在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線。ABabcbabaabab記作：記作：a/bbaO記作：記作：ObaBAC1ABCD32 在平面內(nèi)在平面內(nèi), ,如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行, ,那么這兩那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。個(gè)角相等或互補(bǔ)。 如圖如圖,ABA,ABA/ /B B/ /,BCD,BCD/ /C C/ /, , 則則1=2, 1=2, 或或1+1+3=1803=1800 0A/B/O/AOBC132

3、定理定理: : 空間中空間中, ,如果兩個(gè)角的兩條邊分如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行別對(duì)應(yīng)平行, ,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ). .aa1bb1132a ab bO Oa1b1a,ba,b是兩異面直線，若在空中任取一是兩異面直線，若在空中任取一點(diǎn)點(diǎn)O O，過(guò)，過(guò)O O作兩異面直線的作兩異面直線的平行線平行線a a1 1,b,b1 1, ,則則a a1 1,b,b1 1所成的所成的銳角或直角銳角或直角的的大小一定嗎？為什么？大小一定嗎？為什么？ 在空中再任意取一點(diǎn)在空中再任意取一點(diǎn)O O2 2，作，作a a2 2aa 、b b2 2b.b.那么那么a a1 1b b1 1,a,

4、a2 2b b2 2所成的直角或銳角相等所成的直角或銳角相等嗎？這說(shuō)明了什么問(wèn)題？嗎？這說(shuō)明了什么問(wèn)題？a ab bO Oa a1 1b b1 1O O2 2a a2 2b b2 2分別與異面直線平行的相交直線分別與異面直線平行的相交直線a a1 1b b1 1所成的所成的直角或銳角只與異面直線的位置有關(guān)，直角或銳角只與異面直線的位置有關(guān)，與與O O點(diǎn)位置無(wú)關(guān)。點(diǎn)位置無(wú)關(guān)。a,ba,b是兩異面直線，在空中任取一是兩異面直線，在空中任取一點(diǎn)點(diǎn)O O，過(guò)，過(guò)O O作兩異面直線的平行線作兩異面直線的平行線a a1 1,b,b1 1, ,則則稱稱a a1 1,b,b1 1所成的所成的銳角或直角銳角或直

5、角為：為：a ab bO Oa1b1兩異面直線兩異面直線a,ba,b所成的角。所成的角。定義定義 A A 1 B B 1 B B A A D D 1 C C 1 D D C C 判斷正方體中每對(duì)異面直線所成的角判斷正方體中每對(duì)異面直線所成的角是多少？是多少？1。 A1B與與D1C12。 A1B與與C1C3。 A1B與與CD4。 A1B與與C1D5。 A1B與與B1D1 454545幫助解答 A A 1 B B 1 B B A A D D 1 C C 1 D D C C 4、 A1B與與C1D所成的角即所成的角即A1B與與 所成所成的角，為的角，為 。5、 A1B與與B1D1所成的角即所成的角即

6、A1B與與 所成所成的角，三角形的角，三角形 為為 ，所以，所以A1B與與B1D1所成的角為所成的角為 。 A A 1 B B 1 B B A A D D 1 C C 1 D D C C AB1BDA1BD正三角形正三角形9060返回返回第4題第5題a ab bb b1 1a a1 1O O特殊地，若特殊地，若a a1 1,b,b1 1所成的角為直角，也就所成的角為直角，也就是說(shuō)異面直線所成的角等于是說(shuō)異面直線所成的角等于9090時(shí)，稱：時(shí)，稱：兩異面直線互相垂直兩異面直線互相垂直1、和一直線垂直的直線有幾條？和一直線垂直的直線有幾條？返回2 2 、互相垂直的直線一定相交、互相垂直的直線一定相

7、交嗎嗎? ? 若若abab，bcbc，則，則a a，c c的位置關(guān)系是什么？這樣的的位置關(guān)系是什么？這樣的b b有幾條？請(qǐng)同學(xué)們合作，用筆有幾條？請(qǐng)同學(xué)們合作，用筆比量一下。比量一下。 a b c a b c a b c AFEDCB 例例4 4 如圖，在四面體如圖，在四面體ABCDABCD中，中，E E，F(xiàn) F分分別是棱別是棱ADAD，BCBC上的點(diǎn)上的點(diǎn), ,且且已知已知AB=CD=3AB=CD=3， , ,求異面直線求異面直線ABAB和和CDCD所成的角所成的角.12A EB FE DF C3EF M長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，AB

8、AB AAAA1 1 2cm2cm， ADAD 1cm1cm，求異面直線，求異面直線A A1 1C C1 1與與BDBD1 1所成角的余弦值所成角的余弦值. .取BB1的中點(diǎn)M，連O1M，則O1MD1B，如圖，連B1D1與A1C1 交于O1，于是A1O1M就是異面直線A1C1與BD1所成的角（或其補(bǔ)角）O1MDB1A1D1C1ACB解：解：為什么？為什么？于是A1O1M就是異面直線A1C1與BD1所成的角（或其補(bǔ)角），長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，ABAB AAAA1 1 2cm2cm， ADAD 1cm1cm，求異面直線求異面直線A A1

9、 1C C1 1與與BDBD1 1所成角的余弦值所成角的余弦值. .取BB1的中點(diǎn)M，連O1M，則O1MD1B，如圖，連B1D1與A1C1 交于O1，解：解：為什么？為什么？MO1DB1A1D1C1ACB,23212212122211BDMO,512221MA,2512212211OA,55cos11MOAA1C1與BD1所成角的余弦值為方法歸納： 平移法連A1M，在A1O1M中即根據(jù)定義，以即根據(jù)定義，以“ “運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)” ”的觀點(diǎn)，用的觀點(diǎn)，用“ “平移轉(zhuǎn)化平移轉(zhuǎn)化” ”的方法，使之成為相交直線所成的角的方法，使之成為相交直線所成的角. .55由勾股定理得：解法二解法二：方法歸納：方法歸納： 補(bǔ)形法補(bǔ)形法把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、長(zhǎng)方體等，其目的在于易于發(fā)如正方體、長(zhǎng)方體等，其目的在于易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線的關(guān)系現(xiàn)兩條異面直線的關(guān)系. .3, 52, 51111ECEACA在在 A1C1E中，中，55cos11ECAA1C1與與