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文檔簡介

1、數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)三角形的五心Preview one一、外心的性質(zhì)ABCOExample one斜三角形的三個(gè)頂點(diǎn)與垂心這四個(gè)點(diǎn)中，任何三個(gè)為頂點(diǎn)的三角形的垂心就是第四個(gè)點(diǎn)所以把這樣的四個(gè)點(diǎn)稱為一個(gè)“垂心組”銳角三角形的垂心是以三個(gè)垂足為頂點(diǎn)的三角形的內(nèi)心。銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。二、垂心的性質(zhì)等價(jià)于證明等價(jià)于證明三、內(nèi)心的性質(zhì)三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn),這點(diǎn)稱為三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等,都等于三角形內(nèi)切圓半徑設(shè)三角形面積為S，設(shè)I為ABC的內(nèi)心，則BIC = 90 +A/2,類似地還有兩式。IKHEFDABCM四、重心的性質(zhì)三角形的

2、三條中線交于一點(diǎn),這點(diǎn)稱為三角形的重心三角形的重心到邊的中點(diǎn)與到相應(yīng)頂點(diǎn)的距離之比為 1 2空間直角坐標(biāo)系： 橫坐標(biāo)：(X1+X2+X3)/3 縱坐標(biāo)：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標(biāo)：(Z1+Z2+Z3)/3ABCDEFG五、旁心的性質(zhì)三角形的一條內(nèi)角平分線與另兩個(gè)外角平分線交于一點(diǎn),稱為三角形的旁心(旁切圓圓心)三角形的三個(gè)旁心與內(nèi)心構(gòu)成一垂心組，反過來，一個(gè)三角形的頂點(diǎn)與垂心是高的垂足三角形的旁心與內(nèi)心。ABCDEFIa六、三角形的五心的綜合性質(zhì)（1）三角形的垂心與三頂點(diǎn)這四點(diǎn)中，任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的垂心；（2）三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心；（3）三角形的外心是它的中點(diǎn)三角形的垂心；（4）三角形的重心也是它的中點(diǎn)三角形的重心；（5）三角形的中點(diǎn)三角形的外心也是其垂足三角形的外心（6）雞爪定理（7）鴨爪定理Example sixABC的外心為O，AB=AC，D是AB中點(diǎn)，E是ACD的重心.證明OE丄CD.Example sevenProof oneProof one五點(diǎn)共圓五點(diǎn)共圓Second tryExample eightExample

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