《高中數(shù)學(xué)解題的思維策略》

1、一、高中數(shù)學(xué)解題的思維策略導(dǎo)讀數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)良好思維品質(zhì)的途徑，是進(jìn)行有效的訓(xùn)練，本策略結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際情況， 從以下四個(gè)方面進(jìn)行講解：一、數(shù)學(xué)思維的變通性根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí)，提出靈活設(shè)想和解題方案二、數(shù)學(xué)思維的反思性提出獨(dú)特見解，檢查思維過(guò)程，不盲從、不輕信。三、數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性考察問(wèn)題嚴(yán)格、準(zhǔn)確，運(yùn)算和推理精確無(wú)誤。四、數(shù)學(xué)思維的開拓性對(duì)一個(gè)問(wèn)題從多方面考慮、對(duì)一個(gè)對(duì)象從多種角度觀察、對(duì)一個(gè)題目運(yùn)用多種不同的解法。什么”轉(zhuǎn)變，從而培養(yǎng)他們的思維能力。策略的即時(shí)性、針對(duì)性、實(shí)用性，已在教學(xué)實(shí)踐中得到了全面驗(yàn)證。第一講 數(shù)學(xué)思維的變通性一、概念數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化，要

2、想既快又準(zhǔn)的解題， 總用一套固定的方案是行不通的，必須具有思維的變通性一一善于根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí)，提出靈活的設(shè)想和解題方案。根據(jù)數(shù)學(xué)思 維變通性的主要體現(xiàn)，本講將著重進(jìn)行以下幾個(gè)方面的訓(xùn)練:(1)善于觀察心理學(xué)告訴我們：感覺(jué)和知覺(jué)是認(rèn)識(shí)事物的最初級(jí)形式，而觀察則是知覺(jué)的高級(jí)狀態(tài)， 是一種有目的、有計(jì)劃、比較持久的知覺(jué)。觀察是認(rèn)識(shí)事物最基本的途徑，它是了解問(wèn)題、 發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的前提。任何一道數(shù)學(xué)題，都包含一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系。要想解決它，就必須依據(jù)題目的具 體特征，對(duì)題目進(jìn)行深入的、細(xì)致的、透徹的觀察，然后認(rèn)真思考，透過(guò)表面現(xiàn)象看其本 質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找到解題方法。例如，求和+

3、+11 -22 33 4n(n +1)這些分?jǐn)?shù)相加，通分很困難，但每項(xiàng)都是兩相鄰自然數(shù)的積的倒數(shù)，且了。(2)善于聯(lián)想聯(lián)想是問(wèn)題轉(zhuǎn)化的橋梁。稍具難度的問(wèn)題和基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系，都是不明顯的、間接的、 復(fù)雜的。因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，做出相應(yīng)的聯(lián)想，將問(wèn)題打開缺口，不斷深入。x + y = 2例如，解方程組.內(nèi)=-3這個(gè)方程指明兩個(gè)數(shù)的和為2，這兩個(gè)數(shù)的積為-3。由此聯(lián)想到韋達(dá)定理，x、y是一元二次方程 t2-2t -3 =0 的兩個(gè)根，x=1 x = 3所以丿 或丿.可見，聯(lián)想可使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。(3)善于將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化1 _ 1 1n(n 1)

4、n n 11 1 1因此，原式等于 1 -223問(wèn)題很快就解決數(shù)學(xué)家G .波利亞在怎樣解題中說(shuō)過(guò)： 數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換。 可見，解題 過(guò)程是通過(guò)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化才能完成的。轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種十分重要的思維方法。那么怎 樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問(wèn)題，把抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化成具體問(wèn)題，把 未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已知問(wèn)題。在解題時(shí)，觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)問(wèn)題之后，就要尋求轉(zhuǎn)化 關(guān)系。111 1例如，已知,(abc = 0, a b c 0),a b c a +b +c求證 a、b、c 三數(shù)中必有兩個(gè)互為相反數(shù)。恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化使問(wèn)題變得熟悉、 簡(jiǎn)單。要證的結(jié)論，可以轉(zhuǎn)化為：(a - b)(b c)(

5、c a) =0 思維變通性的對(duì)立面是思維的保守性，即思維定勢(shì)。思維定勢(shì)是指一個(gè)人用同一種思維方法解決若干問(wèn)題以后，往往會(huì)用同樣的思維方法解決以后的問(wèn)題。 它表現(xiàn)就是記類型、 記方法、套公式，使思維受到限制，它是提高思維變通性的極大的障礙，必須加以克服。綜上所述，善于觀察、善于聯(lián)想、善于進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)思維變通性的具體體現(xiàn)。 要想提高思維變通性，必須作相應(yīng)的思維訓(xùn)練。二、思維訓(xùn)練實(shí)例(1) 觀察能力的訓(xùn)練雖然觀察看起來(lái)是一種表面現(xiàn)象，但它是認(rèn)識(shí)事物內(nèi)部規(guī)律的基礎(chǔ)。所以，必須重視 觀察能力的訓(xùn)練，使學(xué)生不但能用常規(guī)方法解題，而且能根據(jù)題目的具體特征，采用特殊 方法來(lái)解題。例1已知 a,b, c

6、,d 都是實(shí)數(shù)，求證.a2b2、c2d2一(a - c)2(b-d)2.思路分析 從題目的外表形式觀察到， 要證的 結(jié)論的右端與平面上兩點(diǎn)間的距離公式很相似， 而 左端可看作是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式。根據(jù)其特點(diǎn)，O圖1-可采用下面巧妙而簡(jiǎn)捷的證法，這正是思維變通的體現(xiàn)。證明 不妨設(shè) A(a,b), B(c,d)如圖12-1所示，貝U AB =J(ac)2+(bd)2.在OAB中，由三角形三邊之間的關(guān)系知：OA+|OBZ|AB當(dāng)且僅當(dāng)0在AB上時(shí)，等號(hào)成立。因此，a2b2. c2d2_ .(a -c)2(b -d)2.思維障礙 很多學(xué)生看到這個(gè)不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等，而此 題利用

7、這些方法證明很繁。學(xué)生沒(méi)能從外表形式上觀察到它與平面上兩點(diǎn)間距離公式相似 的原因，是對(duì)這個(gè)公式不熟，進(jìn)一步講是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握不牢固。因此，平時(shí)應(yīng)多注意 數(shù)學(xué)公式、定理的運(yùn)用練習(xí)。例2已知 3x22y2=6x，試求 x2y2的最大值。2 2解由3x 2y =6x得又 x2y2= x2-3x23x - _1(x - 3)29,2 2 2當(dāng)x=2時(shí)，x2y2有最大值，最大值為-丄(2-3)29=4.2 2思路分析要求 x2y2的最大值，由已知條件很快將x2y2變?yōu)橐辉魏瘮?shù)1qf (x) = (x-3)2,然后求極值點(diǎn)的 x 值，聯(lián)系到 y2一 0，這一條件，既快又準(zhǔn)地求出22最大值。上述解法觀

8、察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思維的變通性。思維障礙大部分學(xué)生的作法如下：3由 3x22y2=6x 得 y2x23x,2二 當(dāng)x=3時(shí)，x? +y2取最大值，最大值為92這種解法由于忽略了 y2-0 這一條件，致使計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤。因此，要注意審題，不僅能從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件，既要注意主要的已知條件，又要注意次要條件，這樣，才能正確地解題，提高思維的變通性。有些問(wèn)題的觀察要從相應(yīng)的圖像著手。例3已知二次函數(shù) f (x) = ax2 bx c = 0(a0),滿足關(guān)系f(2 x) = f(2-x)，試比較 f (0.5)與 f (二)的大小。思路分析 由已知條件 f

9、(2 x) = f (2-x)可知，在與x=2左右等距離的點(diǎn)的函數(shù)值相等，說(shuō)明該函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，又由 已知條件知它的開口向上，所以，可根據(jù)該函數(shù)的大致 圖像簡(jiǎn)捷地解出此題。解 (如圖122)由 f(2 x)二 f (2- x)，知 f (x)是以直線x=2為對(duì)稱軸，開口向上的拋物線它與x=2距離越近的點(diǎn)，函數(shù)值越小。思維障礙 有些同學(xué)對(duì)比較 f (0.5)與 f (二)的大小，只想到求出它們的值。而此題函數(shù) f(x)的表達(dá)式不確定無(wú)法代值，所以無(wú)法比較。出現(xiàn)這種情況的原因，是沒(méi)有充分挖掘已 知條件的含義，因而思維受到阻礙，做題時(shí)要全面看問(wèn)題，對(duì)每一個(gè)已知條件都要仔細(xì)推 敲，找出它

10、的真正含義，這樣才能順利解題。提高思維的變通性。(2) 聯(lián)想能力的訓(xùn)練例4在MBC中，若 C 為鈍角，則 tgA tgB 的值(A)等于1(B)小于1(C)大于1(D)不能確定思路分析 此題是在ABC中確定三角函數(shù) tgA tgB 的值。因此，聯(lián)想到三角函數(shù)正切 的兩角和公式 tg(A B)tgA可得下面解法。1 -tgA tgB解；C為鈍角，.tgC : 0 .在 ABC 中 A B C =理 C -二-(A B)且 A、B 均為銳角,故應(yīng)選擇（B）思維障礙有的學(xué)生可能覺(jué)得此題條件太少，難以下手，原因是對(duì)三角函數(shù)的基本公式掌握得不牢固，不能準(zhǔn)確把握公式的特征，因而不能很快聯(lián)想到運(yùn)用基本公式。

11、2例5若（zx）4（xy）（ y-z） = 0,證明：2y = x z.思路分析此題一般是通過(guò)因式分解來(lái)證。但是，如果注意觀察已知條件的特點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)它與一元二次方程的判別式相似。于是，我們聯(lián)想到借助一元二次方程的知識(shí)來(lái)證證明 當(dāng) x-y=0 時(shí)，等式（z-x）2-4（x-y）（y-z） =0可看作是關(guān)于 t 的一元二次方程（X-y）t2 （z-x）t （y-z） = 0 有等根的條件，在進(jìn)觀察這個(gè)方程，它的兩個(gè)相等實(shí)根是1,根據(jù)韋達(dá)定理就有:-一z=1 即 2 y = x z x 一 y若 x-y=0，由已知條件易得 z-x=0,即x = y=z,顯然也有 2y=x，z.例6已知a、b、c均

12、為正實(shí)數(shù)，滿足關(guān)系式 a2b2二 c2,又 n 為不小于3的自然數(shù),證:anbn:cn.思路分析 由條件 a2bc2聯(lián)想到勾股定理，a、b、c可構(gòu)成直角三角形的三邊,步聯(lián)想到三角函數(shù)的定義可得如下證法。證明 設(shè)a b、c所對(duì)的角分別為A、B、C.則C是直角，A為銳角，于是ab 口sin A , cos A ,且 0：sinA：1,0 cos A：1,cc當(dāng)n_3日寸，有 sinnA : sin2A, cosnA cos2A于是有 sinnA cosnA : sin2A cos2A = 1a、n/ b、n .即（）（）7c c從而就有 an- bn：cn.思維阻礙 由于這是一個(gè)關(guān)于自然數(shù) n 的

13、命題，一些學(xué)生都會(huì)想到用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證 明，難以進(jìn)行數(shù)與形的聯(lián)想，原因是平時(shí)不注意代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，單純學(xué)代數(shù)，學(xué) 幾何，因而不能將題目條件的數(shù)字或式子特征與直觀圖形聯(lián)想起來(lái)。（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練我們所遇見的數(shù)學(xué)題大都是生疏的、復(fù)雜的。在解題時(shí)，不僅要先觀察具體特征，聯(lián) 想有關(guān)知識(shí)，而且要將其轉(zhuǎn)化成我們比較熟悉的，簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)解。恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，往往使 問(wèn)題很快得到解決，所以，進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練是很必要的。轉(zhuǎn)化成容易解決的明顯題目1 i 1例11已知 a b c1,求證 a、b、c 中至少有一個(gè)等于1。a b c思路分析 結(jié)論沒(méi)有用數(shù)學(xué)式子表示，很難直接證明。首先將結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示， 轉(zhuǎn)化成

14、我們熟悉的形式。a、b、c 中至少有一個(gè)為1，也就是說(shuō)a-1、b-1、c-1中至少 有一個(gè)為零，這樣，問(wèn)題就容易解決了。證明1 1 11,be ac ab 二 abc.a b c于是(a -1)(b -1)(c -1) = abc -(ab ac be -1) (a b c) = 0.a1、b-1、c_1中至少有一個(gè)為零，即 a、b、c 中至少有一個(gè)為1。思維障礙 很多學(xué)生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中至 少有一個(gè)為1， 其原因是不能把要證的結(jié)論“翻譯”成數(shù)學(xué)式子， 把陌生問(wèn)題變?yōu)槭煜?wèn)題。因此， 多練習(xí)這種“翻譯”是提高轉(zhuǎn)化能力的一種有效手段。例12直線L的方程為 x

15、P，其中 p 0 ;橢圓E的中心為 0（2 衛(wèi),0），焦點(diǎn)在X2 2軸上，長(zhǎng)半軸為2，短半軸為1,它的一個(gè)頂點(diǎn)為 A（-,0），問(wèn)p在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，橢2圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)，它們中的每一點(diǎn)到點(diǎn)A的距離等于該點(diǎn)到直線L的距離(1)(2)+得T1：2m n -9，思路分析 從題目的要求及解析幾何的知識(shí)可知，四個(gè)不同的點(diǎn)應(yīng)在拋物線2小y 2 px是，又從已知條件可得橢圓E的方程為因此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)方程組(1)、(2)有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，求p的取值范圍。將(2)代入(1)得：22Px (7 p -4)x2 p = 0.4確定p的范圍，實(shí)際上就是求(3)有兩個(gè)不等正根的充要條件，解不等式組：在 p

16、0 的條件下，得 0 ： p 13.本題在解題過(guò)程中，不斷地把問(wèn)題化歸為標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題：解方程組和不等式組的問(wèn)題。逆向思維的訓(xùn)練逆向思維不是按習(xí)慣思維方向進(jìn)行思考，而是從其反方向進(jìn)行思考的一種思維方式。當(dāng)問(wèn)題的正面考慮有阻礙時(shí)，應(yīng)考慮問(wèn)題的反面，從反面入手，使問(wèn)題得到解決。例13已知函數(shù) f (x) =2x2+mx + n，求證f (1)、f(2)、f (3)中至少有一個(gè)不小于1.思路分析 反證法被譽(yù)為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”它也是中學(xué)數(shù)學(xué)常用的解題方 法。當(dāng)要證結(jié)論中有“至少”等字樣，或以否定形式給出時(shí)，一般可考慮采用反證法證明(反證法)假設(shè)原命題不成立，即|f(1)、| f(2)、| f(3)都小于1x(2 |)24y2-1(1)(2)+得T1：2m n -9，f(1) 1則Q f(2) 1二if(3)| 1-1 c2 + m + n 1* T v8 +2m + n c1二廠1 c18 +3m + n c1_ 3：m n：_1 9 2m + n v -7 19c 3m + nc17與矛盾，所以假設(shè)不成立，即|f（1）、| f（2）、| f（3）中至少有一個(gè)不小于1。 題多解訓(xùn)練由于每個(gè)學(xué)生在觀察時(shí)抓住問(wèn)題的特點(diǎn)不同、運(yùn)用的知識(shí)不