非參數(shù)統(tǒng)計(jì)第四章

1、本章內(nèi)容樣本之間相互獨(dú)立， 為位置參數(shù)， 稱為尺度參數(shù)。12, 12, 假設(shè)樣本： (X1, X2, ,Xn)i.i.d.F1 11x(Y1, Y2, ,Yn)i.i.d.F2 22xBrown-Mood中位數(shù)檢驗(yàn)Moses方法Mood檢驗(yàn)Mann-Whitney秩和檢驗(yàn)。 211210211210:HHHH第一節(jié)第一節(jié) Brown-Mood中位數(shù)檢中位數(shù)檢驗(yàn)驗(yàn)在單樣本位置問題中，人們想要檢驗(yàn)的是總體的中心是否等于一個(gè)已知的值但在實(shí)際問題中，更受注意的往往是比較兩個(gè)總體的位置參數(shù)；比如。兩種訓(xùn)練方法中哪一種更出成績，兩種汽油中哪一個(gè)污染更少，兩種市場營銷策略中哪種更有效，兩種藥物中哪種更有效傳

2、統(tǒng)上，人們假設(shè)總體是正態(tài)分布或近似的正態(tài)分布，然后利用兩樣本的T檢驗(yàn)。但是關(guān)于總體是正態(tài)的假設(shè)并不一定合理。在小樣本時(shí)，近似也不一定合適。本章的目標(biāo)就是在對(duì)總體不作任何分布假設(shè)的前提下，解決兩樣本檢驗(yàn)問題。Brown-Mood中位數(shù)檢驗(yàn)中位數(shù)檢驗(yàn)0 xy1xyH :medmedH :medmed檢驗(yàn)原理：在零假設(shè)成立時(shí)，如果數(shù)據(jù)有相同中位數(shù)，那么混合樣本的中位數(shù)應(yīng)該和混合前的項(xiàng)等。也就是說，(Y1，Y2，Ym)和（X1,X2,，Xn）中大于或小于混合后的中位數(shù) 的樣本點(diǎn)應(yīng)該大致一樣多 假設(shè)(X1, X2, ,Xn)i.i.d.F(x ) ， (Y1, Y2, ,Ym)i.i.d.G(x )xy

3、M首先將兩個(gè)樣本混合，找出混合樣本中位數(shù) ，將X和 Y按照在 兩側(cè)分類計(jì)數(shù)，即： xyMxyM在給定m，n和t的時(shí)候，在零假設(shè)成立時(shí),A的分布服從超幾何分布： mn()()ktkP(Ak),kmmn()t如果A值太大或太小時(shí)，則應(yīng)該懷疑零假設(shè)。 計(jì)算XYMxyABtMxyCD(mn)(AB)mnmnABCD總和總和檢驗(yàn)基本內(nèi)容P-值 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 0H1HxyMMxyMMAAAxyMMxyMMxyMMxyMM0HP (Aa)0HP (Aa)00HH2min(P (A a),P (A a)對(duì)于水平 ，如果p-值小于 ，那么拒絕零假設(shè) 大樣本檢驗(yàn)對(duì)于大樣本情況下，可以使用超幾何分布的正態(tài)近似進(jìn)行檢驗(yàn)

4、：3Amt / (mn)ZN(0,1)mnt(mnt)/ (mn) 例4.1 為研究兩不同品牌同一規(guī)格顯示器在某市不同商場的零售價(jià)是否存在差異，收集了出售A品牌的9家商場的零售價(jià)數(shù)據(jù)和出售B品牌的7家商場的零售價(jià)數(shù)據(jù)，列表如下：問是否存在差異？備擇假設(shè)：備擇假設(shè)：H H1 1:M:Mx xMMy，而X的秩大部分小于Y的秩，則數(shù)據(jù)將支持H1:MxMy。 假設(shè)樣 本來 自于 ， 來自于 并且獨(dú)立。假設(shè)檢驗(yàn)問題： 1nX ,X1F(x)1nY ,Y2F(x)01212H :H1: 將兩個(gè)樣本混合， 在混合樣本中的秩 ；iYijikiR#(XY, j1,m)#(YY,k1,n)nyii 1WR定義 ，

5、同樣可定義 ，稱為Wilcoxon秩和統(tǒng)計(jì)量。 XWW-M-W統(tǒng)計(jì)量xyjimnW#(XY, jI ,iI )yxijmnW#(YX , jI ,iI )稱為Mann-Whitney統(tǒng)計(jì)量：在零假設(shè)情況下， 和 獨(dú)立同分布, 并且和Wilcoxon秩和統(tǒng)計(jì)量 等價(jià)。當(dāng)統(tǒng)計(jì)量偏小的時(shí)候，考慮拒絕零假設(shè)。xyWyxWXW性質(zhì)和檢驗(yàn)定理4.2 在零假設(shè)下：若 ，且 ，時(shí)：m,n mmn xyWmn/2ZN(0,1)mn(mn1)/12xWm(mn1)/2ZN(0,1)mn(mn1)/12 在檢驗(yàn)時(shí) ， ，其中a，b值由上面定理確定。在水平為a拒絕域?yàn)椋?P（Kk|a,b）a，其中k是使式子成立的最大

6、值。對(duì)于打結(jié)的情況需要使用修正的公式。 xyKminW ,W K N(a,b)例題解答二：有節(jié)點(diǎn)Wilcoxon-Mann-Whitney檢驗(yàn)當(dāng)X或Y中有相同數(shù)值時(shí)，也就是說數(shù)據(jù)有結(jié)，此時(shí)大樣本近似的Z修正為：其中 為第i個(gè)結(jié)的長度311/ 2Z=()(1)1212()(1)X YggiiiiWm nm nm n mnmnmni 三： 的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)（1）差 的點(diǎn)估計(jì)很簡單，只要把X和Y觀測值成對(duì)相減（共有mn對(duì)），然后求中位數(shù)即可。（2）區(qū)間估計(jì)（i）將 = 做為待估參數(shù)，用Bootstrap方法分別估計(jì) 和 ，取得二者之差，得到Bootstrap ，求出 的方差，再用第三章方法求解。XYMMXYMMXYMMYM*XM（ii）計(jì)算X和Y的差，求排序后的中位數(shù)，具體步驟為：1.得到所有mn個(gè)差2.記按升冪排序排列的這些差為 N=mn3.從表中查出 它滿足 則所要的置信區(qū)間為ijXY1,2.ND DD/2(