無窮小與無窮大_無窮小的比較

1、1第第4節(jié)節(jié) 無窮小與無窮大無窮小與無窮大 無窮小的比較無窮小的比較 一、無窮小一、無窮小 二、無窮大二、無窮大 三、無窮小的比較三、無窮小的比較主講： 唐輝成x定義定義1.121.12若函數(shù)在自變量若函數(shù)在自變量的某個(gè)變化過程中的某個(gè)變化過程中以零為極限以零為極限，則稱在該，則稱在該變化過程中變化過程中, ,為為無窮小量無窮小量簡稱簡稱無窮小無窮小)(xfy )(xf2.4.1 2.4.1 無窮小無窮小例如，當(dāng)例如，當(dāng) 時(shí)，是時(shí)，是無窮小量；當(dāng)時(shí)，是無窮小量無窮小量；當(dāng)時(shí)，是無窮小量當(dāng)時(shí)，是無窮小量當(dāng)時(shí)，是無窮小量0 xxsin3x3x1x2) 1( xx21x21x我們經(jīng)常用希臘字母，來表

2、示我們經(jīng)常用希臘字母，來表示無窮小量無窮小量注意：注意： （1）無窮小是）無窮小是以零為極限以零為極限的的變量變量，常數(shù)中只有零是無窮小常數(shù)中只有零是無窮小 （2）無窮小總是和自變量的變化趨勢相關(guān)聯(lián)的，）無窮小總是和自變量的變化趨勢相關(guān)聯(lián)的，例如例如: : 1( )f xx當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 為無窮小為無窮小x 1( )f xx當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 就不是無窮小就不是無窮小1( )f xx1x 定理定理1.21.2函數(shù)函數(shù) 以以 為極限的充分為極限的充分必要條件是：可以表示為與一個(gè)無窮必要條件是：可以表示為與一個(gè)無窮小量之和即小量之和即)(xfA)(xfAAxfAxf)()(lim0lim其中其中無窮小的代

3、數(shù)性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 無限個(gè)無窮小之和仍是無窮小。 性質(zhì)性質(zhì)2 有界變量與無窮小之積仍是無窮小 。 推論推論1 常數(shù)與無窮小之積是無窮小。 推論推論2 有限個(gè)無窮小之積是無窮小。定義定義1.11.10 0如果如果 ( (或或 ) )時(shí)，時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值的絕對值無限增大，則稱相應(yīng)的函數(shù)值的絕對值無限增大，則稱當(dāng)當(dāng) ( (或或 ) )時(shí)為時(shí)為無窮大量無窮大量，簡，簡稱稱無窮大無窮大. .0 xxx ( )f x2.4.2 2.4.2 無窮大無窮大( )f x0 xxx 0lim( )(lim( )xxxf xf x 如果函數(shù)當(dāng)時(shí)為無如果函數(shù)當(dāng)時(shí)為無窮大，按通常意義來說，極限是不存在的，窮大，按通常意

4、義來說，極限是不存在的，但為了便于敘述，我們也說但為了便于敘述，我們也說“函數(shù)的極限是函數(shù)的極限是無窮大無窮大”并記為并記為)(xf0()xx x00()()lim( )lim( )xxxxxxf xf x 而且，把正值的無窮大叫做正無窮大，把而且，把正值的無窮大叫做正無窮大，把負(fù)值的無窮大叫做負(fù)無窮大，分別記為負(fù)值的無窮大叫做負(fù)無窮大，分別記為例如，例如，0lim 2lim lnxxxx （1） 無窮大是個(gè)變量，不是常數(shù)無窮大是個(gè)變量，不是常數(shù) （2） 無窮大總和自變量的變化趨勢相關(guān)聯(lián)無窮大總和自變量的變化趨勢相關(guān)聯(lián) 注意：注意： 時(shí)，時(shí)， , , 時(shí)，時(shí)， 是無窮小是無窮小 x 101x1

5、1xx 例例1 1 指出下列函數(shù)分別在自變量怎樣的變化過指出下列函數(shù)分別在自變量怎樣的變化過程中是無窮小和無窮大？程中是無窮小和無窮大？ 2(1)1(2)1yxyx解解 時(shí)，時(shí)， , , 時(shí)，時(shí)， 是無窮小是無窮小 0 x 20 x 2x0 x 時(shí)，時(shí)， , , 時(shí)，時(shí)， 是無窮大是無窮大 x 2x 2x0 x解解 時(shí)，時(shí)， , , 時(shí)，時(shí)， 是無窮大是無窮大 1x 11x 11x1x 時(shí)，時(shí)， , , 時(shí)，時(shí)， 是無窮大是無窮大 x 2x 2x0 x13( ) yx解解 時(shí)，時(shí)， ，所以，所以 時(shí)，時(shí)， 是無窮小是無窮小 x 10 x1xx 時(shí)，時(shí)， , ,所以所以 時(shí)，時(shí)， 是正無窮大是正

6、無窮大 0 x1x 0 x1x練習(xí)一練習(xí)一1 1. .下列函數(shù)中哪些是無窮小？哪些是是無窮大？下列函數(shù)中哪些是無窮?。磕男┦鞘菬o窮大？221121311411當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，( )( )( )( )xyxxyxxyxxyx 是無窮大是無窮大是無窮小是無窮小是無窮大是無窮大是無窮小是無窮小2150326273183當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，( )( )( )( )xxxyxxyxxyxy 是無窮大是無窮大是無窮小是無窮小是無窮小是無窮小是無窮大是無窮大2.2.指出下列函數(shù)分別在自變量怎樣的變化過指出下列函數(shù)分別在自變量怎樣的變化過程中是無窮大和無窮小程中是無窮大和無窮小 (1)1yx31(

7、2)yx 時(shí)， 是無窮小 1x 1x 時(shí)， 是無窮大 x 1x 時(shí)， 是無窮小 x 31x0 x 時(shí)， 是無窮大 31x1(3)1yx 時(shí)， 是無窮小 x 11x 時(shí)， 是正無窮大 1x 11x241( )xyx 221211時(shí)，是無窮小時(shí)，是無窮大xxyxxxyx 226( )xyx 5( )lgyx 10時(shí)，是無窮小或時(shí)，是無窮大lglgxyxxxyx 222220或時(shí)，是無窮小時(shí)，是無窮大xxxyxxxyx 解解因?yàn)?，所以是有界變因?yàn)?，所以是有界變量；量?1sinxx1sin例例2 2求求xxx1sinlim0當(dāng)時(shí)，是無窮小量當(dāng)時(shí)，是無窮小量0 xx根據(jù)性質(zhì)根據(jù)性質(zhì)1.21.2，乘積是

8、無窮小量即，乘積是無窮小量即xx1sin01sinlim0 xxx練習(xí)練習(xí)求下列函數(shù)的極限求下列函數(shù)的極限2022112234( )limsinarctan( )limsin( )limcos( )limxxnnxxxxxxnn0 0 0 0 01lim/1/1limlim2xxxxxx，21/2/1limlimxxxx，xxxxxx2lim/1/2limlim2x我們記，它們我們記，它們都是都是x1x221x時(shí)的無窮小量但時(shí)的無窮小量但2.4.3 2.4.3 無窮小的比較無窮小的比較，趨于零的情況，趨于零的情況x121xx2xx/1x/22/1 x10 100 1 000 10 00010

9、100 1 000 10 000 0.1 0.01 0.001 0.000 10.1 0.01 0.001 0.000 1 0000.2 0.02 0.002 0.000 20.2 0.02 0.002 0.000 20.01 0.00 01 0.000 001 0.000 000 010.01 0.00 01 0.000 001 0.000 000 01定義定義1.141.14設(shè)、是同一變化過程中設(shè)、是同一變化過程中的兩個(gè)無窮小量，的兩個(gè)無窮小量，(2)(2)若若( (是不等于零的常數(shù)是不等于零的常數(shù)) )，則稱與是則稱與是同階無窮小量同階無窮小量若，則稱若，則稱與是與是等價(jià)無窮小量等價(jià)無窮

10、小量climc1c0lim(1)(1)若若, ,則稱是比則稱是比高階的高階的無窮小量無窮小量也稱是比也稱是比低階的無窮小量低階的無窮小量21關(guān)于等價(jià)無窮小，有下面重要的性質(zhì)關(guān)于等價(jià)無窮小，有下面重要的性質(zhì)定理定理44 設(shè)設(shè) ， ，且，且 存在，存在，則則證明：證明： limlimlimlimlimlim22在求極限時(shí)，利用定理，分子分母的無窮小因在求極限時(shí)，利用定理，分子分母的無窮小因子可用其等價(jià)無窮小替換，使計(jì)算簡化，這種子可用其等價(jià)無窮小替換，使計(jì)算簡化，這種方法稱為等價(jià)無窮小替換法方法稱為等價(jià)無窮小替換法常用的無窮小替換有：常用的無窮小替換有： xx sinxx tanxx arcsinxx arctan2cos12x