《高等代數(shù)(次型與線性空間部分)》

1、數(shù)學(xué)系05級(jí)高等代數(shù)（二次型與線性空間部分）試題及答案（2006年3月27日，滿分：120分）命題人：胡付高、判斷題（在括號(hào)里打或“x”，每小題2分，共20分）1若向量組二，與向量組：2,川，：t都線性無關(guān)，則1，2，|I，S，：2,川，：t也線性無關(guān)；（X）2n維線性空間V中任何n個(gè)線性無關(guān)的向量都是V的一組基；（V）3對(duì)n維線性空間V中任何非零向量：，在V中一定存在n-1個(gè)向量1i2,IHn_i，使得冷，+2,川作成V的一組基；（V）4三個(gè)子空間V1,V2,V3的和V1V2V3為直和的充要條件是V2V0;（X）5 把復(fù)數(shù)域看成實(shí)數(shù)域R上的線性空間，它與R2是同構(gòu)的；（V）6 線性空間V的兩

2、組基1,2,l|,n到-1,-2JH,n的過渡矩陣是可逆的；（V）7V的任意兩個(gè)子空間的交V,V2與并V,_V2都是V的子空間；（X）&集合w=aA壬PnYA=0作成P41的子空間；（X）9實(shí)對(duì)稱矩陣為半正定的充要條件是它的所有順序主子式都非負(fù)；（X）10.設(shè)n元實(shí)二次型的正負(fù)慣性指數(shù)分別為s,t，則必有st空n（V）二、填空題（每小題2分，共20分）1.如果dimV|=m，dimV2=m2，dim（V1V2）=m3，則dim（yV2）=mm2-m3.2.兩個(gè)有限維線性空間V1、V2同構(gòu)的充分必要條件是dimV|dimV2.3兩個(gè)復(fù)對(duì)稱矩陣合同的充分必要條件是它們的秩相等.4設(shè)實(shí)二次型的秩為r

3、，負(fù)慣性指數(shù)為q，符號(hào)差為m，則r、q、m的關(guān)系是r二m2q.5.22級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣的所有可能的規(guī)范型是：00、巾0、廣-10、50、巾0、C10、00,00丿,0001,3到-1,-2,-3的過渡矩陣為-111、A=1-11，向量口在基1一1丿1,-2,-3下的坐標(biāo)為（1,2,3），在在基：-1-23下的坐標(biāo)為（4,2,0）.22210.n元實(shí)二次型f（為兀，ll|,Xn）=（a1）x（a-2）x2山（a-n）Xn正定的充分必要條件是常數(shù)a滿足an.三、簡(jiǎn)述下列定義（共12分）n級(jí)矩陣A、B合同：如果存在可逆矩陣C,使得B=CAC1. 子空間的和Vj+V2=%+2囤Vi,i=1,2生成子空間L

4、Cw,。？，0）=匕。1+k刃（2+k31-川-也r4丄：，因而=,2,川，r4,r可由匕12,川2線性表出，krkrkr故向量組：筋/-2jH/r4/與：斗，2,1丨Lr斗宀等價(jià)，最后不難得到結(jié)論.五、(1)討論：取什么值時(shí)，二次型-(x12xfX2)-(x,-x2-x3)2是正定的.(2)證明當(dāng)=3時(shí)，上述二次型是半正定的.(共14分)解(1)二次型可化為(一1)片2(_1)xf(-1)xf-2x2-2x3-2x2x3,它對(duì)應(yīng)的矩陣是-1-1-1、-1k1-1I_1_1九由二次型是正定的二它的矩陣的所有順序主子式全大于零，可得到-10,(-2).0,2c-3)0，它等價(jià)于，3，即二次型是正

5、定的3.(2)當(dāng)=3時(shí)，二次型可化為(N-X2)2(N-X3)2(x2-X3)2一0,故二次型是半正定的.注對(duì)(2)還可以用求二次型標(biāo)準(zhǔn)型的方法得到結(jié)論，求得它的正慣性指數(shù)為2,負(fù)正慣性指數(shù)為0.六、設(shè)A、B是兩個(gè)固定的n級(jí)矩陣，證明：(1) W=xX乏Pnn,AX=XB是Pnxn的一個(gè)子空間；(2) 當(dāng)A=B是主對(duì)角元兩兩互異的對(duì)角矩陣時(shí)，W是什么樣的子空間，并求W的維數(shù)及一組基(可以只寫結(jié)果，不必說明理由)(共14分)解(1)因?yàn)?W，故W-,對(duì)-X,YW，即AX=XB,AY二YB，得A(XY)=AXAY=XBYB=(XY)B，于是XYW，設(shè)kP，又由A(kX)二k(AX)=k(XB)=(

6、kX)B，得到kXW，因此WPnn的一個(gè)子空間；(2)W是所有n級(jí)對(duì)角矩陣作成的子空間，它的一組基可取為E11,E22l,Enn,dimW=n.七、設(shè)W(1,-1,3,7)，匹=(2,-1,0,1),5=(1,1,1,1)4=(121,0)(1)分別寫出生成子空間LC,)與L(34)的基和維數(shù)；(2)求L(1,：2,：3/4)的一組基和維數(shù)；求LG1,廠L(3,4)的維數(shù).(共15分)解(1)1/2為L(zhǎng)(1,2)的一組基，34為L(zhǎng)(3,4)的一組基，它們的維數(shù)都為2；(12_11、(12-11、(2)由1112初等行變換：0103,L12a34)的一組基可取為301100143，故它的維數(shù)為3

7、；(3)注意到L(1,2)L(34)=L(冷23,4),由維數(shù)公式即得LCi,2)L(34)的維數(shù)=22-3=1.八、補(bǔ)充題(共15分，本題得分可以計(jì)入總分)設(shè)Pxh表示數(shù)域P上次數(shù)小于n的多項(xiàng)式及零多項(xiàng)式作成的線性空間，aP.(1)驗(yàn)證Vi=f(x)f(a)=0,f(x)Pxn/是Pxn的一個(gè)子空間；(2)求V1的一組基及維數(shù)；(3)記V2-P，則V2也是數(shù)域P上的一個(gè)子空間，試證明：PxVV2.證明(1)因?yàn)镺V,，所以V,式，設(shè)f(x),g(x)V,p，貝yf(a)=0,g(a)=0，且f(x)g(x)Px,因此f(a)g(a)=0,kf(a)=0，故f(x)g(x)V1,kf(x)V，即V是Pxn的一個(gè)子空間；(2) 對(duì)-f(X)Pxn,f(x)一定可以表成形式f(x)G(x-a)C2(x-a)2川Cn(x-a)n()若f(x)V1,則f(a)=c=0，即得f(x)=G(x-a)q(x-a)2川Cn(x-a)n，注意到(x-a),(x-a)2,|il,(x-a)n都屬于V，且線性無關(guān)，它們構(gòu)成了V的一組基，dim二n-1；(3) V2是一個(gè)一維子空間，1為它的一組基，由(“)式即得PxnV1V2，故PxV1V2,又dimV2)=dimPxn=n二dimydim/，故Pxn二V2.注對(duì)(2)式也可以用數(shù)學(xué)分析中nTaylor公式f(