材料力學課件 組合變形

1、第八章第八章 組合變形組合變形一、組合變形的概念一、組合變形的概念二、斜彎曲二、斜彎曲三、拉三、拉( (壓壓) )與彎曲的組合與彎曲的組合四、扭轉與彎曲的組合四、扭轉與彎曲的組合8-1 8-1 組合變形的概念組合變形的概念一一. .引例引例 工程實用工程實用:煙囪，傳動軸，吊車梁的立柱煙囪，傳動軸，吊車梁的立柱煙囪：自重引起軸向煙囪：自重引起軸向壓縮壓縮 + + 水平方向的風力而水平方向的風力而引起引起彎曲彎曲，傳動軸：在齒輪嚙合力的作用下，發(fā)生彎曲傳動軸：在齒輪嚙合力的作用下，發(fā)生彎曲 + + 扭轉扭轉 立柱：荷載不過軸線，為偏心壓縮立柱：荷載不過軸線，為偏心壓縮 = = 軸向壓縮軸向壓縮

2、+ + 純彎曲純彎曲二二. .組合變形的定義組合變形的定義構件同時發(fā)生兩種或兩種以上基本構件同時發(fā)生兩種或兩種以上基本變形變形 情況稱為組合變形。情況稱為組合變形。前面幾章研究了構件的基本變形：前面幾章研究了構件的基本變形： 軸向拉（壓）、剪切、扭轉、平面彎曲。軸向拉（壓）、剪切、扭轉、平面彎曲。定義：定義：所有由基本變形組合產生的桿件內力稱所有由基本變形組合產生的桿件內力稱為復合內力。為復合內力。在復合內力的計算中，通常都是由力作用在復合內力的計算中，通常都是由力作用的的獨立性原理獨立性原理出發(fā)的。在線彈性范圍內，出發(fā)的。在線彈性范圍內，可以假設作用在體系上的各載荷中的任一可以假設作用在體系

3、上的各載荷中的任一個所引起的變形對其它載荷作用的影響可個所引起的變形對其它載荷作用的影響可忽略不計忽略不計。 實驗表明，在小變形情況下，這個原理實驗表明，在小變形情況下，這個原理是足夠精確的。因此，可先分別計算每一是足夠精確的。因此，可先分別計算每一種種基本變形基本變形情況下的應力和變形，然后采情況下的應力和變形，然后采用用疊加原理疊加原理計算所有載荷對彈性體系所引計算所有載荷對彈性體系所引起的起的總應力和總變形總應力和總變形。1.1.簡化荷載：在靜力等效的前提下簡化荷載：在靜力等效的前提下, ,將載荷分將載荷分 解，使每一組力只引起一種基本變形。解，使每一組力只引起一種基本變形。2.2.按基

4、本變形求解每組載荷作用下的應按基本變形求解每組載荷作用下的應力、位移。力、位移。 3.3.按疊加原理疊加求出組合變形的解。按疊加原理疊加求出組合變形的解。四四. .求解框圖求解框圖力力系系的的簡簡化化基基本本變變形形分分析析疊加疊加求最大應力求最大應力求最大位移求最大位移強度條件強度條件剛度條件剛度條件8-2 在兩垂直平面內的彎曲（斜彎曲）在兩垂直平面內的彎曲（斜彎曲）FF縱向對稱面縱向對稱面F軸線軸線平面彎曲平面彎曲對稱彎曲對稱彎曲縱向對稱面縱向對稱面F軸線軸線非對稱彎曲非對稱彎曲1. .梁梁雖有縱向對稱面，但載荷不作用在該平面雖有縱向對稱面，但載荷不作用在該平面2. .梁沒有縱向對稱面梁沒

5、有縱向對稱面FFF一一. .定義：定義：斜彎曲斜彎曲荷載不作用在構件的縱向對稱荷載不作用在構件的縱向對稱面內，梁的軸線變形后不在位于外力所在平面內。面內，梁的軸線變形后不在位于外力所在平面內。cosFFysinFFzCFyFzFzy),(zy為中性軸彎曲以為中性軸彎曲以yxlFMzxlFMzyyz)()(sin)(sincos)(cosMxlFMMxlFMyz二二. .基本變形分析基本變形分析的應力zMcoszzzIyMIyM1.1.應力計算應力計算yzsinyyyIzMIzM 的應力yM cC點總應力：)sincos(yzIzIyM2.中性軸的位置中性軸的位置中性軸上某一點的坐標為中性軸上某

6、一點的坐標為 y0 、 z0，即由00)sincos(00yzIzIyM故中性軸的方程為：故中性軸的方程為：0sincos00zIyIyz中性軸是一條通過截面形心的直線。中性軸是一條通過截面形心的直線。tgtg00yzIIzy 為中性軸與為中性軸與z z軸夾角軸夾角中性軸中性軸1D2DF注：注：1 1）中性軸仍過截面形心；）中性軸仍過截面形心；2 2）中性軸把截面分為拉、壓兩個區(qū)域；）中性軸把截面分為拉、壓兩個區(qū)域；3 3）同一橫截面）同一橫截面max發(fā)生在離中性軸最遠處發(fā)生在離中性軸最遠處21,DD點點0sincos00zIyIyz中性軸中性軸注意：若截面為曲線周邊時，可作平行于中性軸注意：

7、若截面為曲線周邊時，可作平行于中性軸之切線，切點應力最大。之切線，切點應力最大。)sincos(11max,yztIzIyM3)3)最大應力最大應力3.強度計算強度計算：1 1）危險截面：當）危險截面：當x=0時時yZMM ,同時取最大同時取最大,固定端處為危險面固定端處為危險面2 2）危險點：危險面上）危險點：危險面上點21,DD)sincos(22max,yzcIzIyM max三三. .位移計算位移計算計算梁在斜彎曲時的撓度，仍應用疊加法計算梁在斜彎曲時的撓度，仍應用疊加法. .cos3333ZZyyEIlFEIlFfsin3333yyzzEIlFEIlFffffyz22xyxy平面內：

8、平面內：xzxz平面內：平面內：FyFzFtgtgtgyzyzIIff總撓度總撓度f與中性軸垂直與中性軸垂直f與與y軸軸的夾角：的夾角：則若,) 1yzII 中性軸中性軸zfyfF討論：討論：-稱為稱為平面平面彎曲彎曲2 2）若）若則,zyII即撓曲線與外力即撓曲線與外力F F不在同一平面不在同一平面-稱為斜彎曲稱為斜彎曲因圓、正方形，因圓、正方形，其其zyII故不會產生斜彎曲故不會產生斜彎曲載荷平面載荷平面撓曲線平面撓曲線平面yz載荷平面載荷平面撓曲線平面撓曲線平面例例 圖示懸臂梁，承受載荷圖示懸臂梁，承受載荷F1與與F2作用，已知作用，已知F1=800N，F(xiàn)2=1.6kN，l=1m，許用應

9、力，許用應力=160MPa。試分別按下列要求確定截面尺寸：試分別按下列要求確定截面尺寸：(1) (1) 截面為矩形，截面為矩形，h h=2=2b b；(2) (2) 截面為圓形。截面為圓形。 解：解：(1) 矩形截面：矩形截面： 2、圓截面、圓截面 例例 跨度跨度L=4mL=4m的簡支梁截面為的簡支梁截面為32a32a工字鋼，中點受集中力工字鋼，中點受集中力P=33kN,P=33kN,它與對稱軸稱它與對稱軸稱1515度角，若度角，若按正應力校核強度。按正應力校核強度。解：作梁的彎距圖解：作梁的彎距圖MPa170kNPLM3344334maxkNMMz54. 815sin33sin0maxmax

10、kNMMy9 .3115cos33cos0maxmax查表得：查表得：4610692mWy46108 .70mWzMPaWMWMzzyy666maxmax10167108 .7085401069231900一一. .引例引例8-3 8-3 拉伸拉伸( (壓縮壓縮) )與彎曲的組合變形與彎曲的組合變形qylxABFF二二. .應力分析應力分析1.1.拉伸（壓縮）拉伸（壓縮）AF2.2.彎曲彎曲zzIyM 3.3.總應力總應力 例例 一折桿由兩根圓桿焊接而成，已知圓桿直一折桿由兩根圓桿焊接而成，已知圓桿直徑徑d=100mmd=100mm，試求圓桿的最大拉應力，試求圓桿的最大拉應力t t和最大和最大

11、壓應力壓應力 c c 。kN4kN,3AAYX解：解：任意橫截面 上的內力x:xxYxMYFXFAASAN4)(kN4kN3mkN8kN311MFN，其上：截面上危險截面，WMAFNct9 .811 .8132/1084/1033323tddcWMAFNMW例例 懸臂吊車如圖所示懸臂吊車如圖所示,橫梁用橫梁用20a工字鋼制成工字鋼制成. 其抗彎剛其抗彎剛度度Wz = 237cm3,橫截面面積橫截面面積 A=35.5cm2,總荷載總荷載F= 34kN,橫梁材料的許用應力為橫梁材料的許用應力為 =125MPa.校核橫梁校核橫梁AB的強度的強度.FACD1.2m1.2mB30BADFFAyFAxFN

12、AB30解：（解：（1） 分析分析AB的受力情況的受力情況02 . 14 . 230sin 0N FFMABAFFAB NFFFFFFAyyAxx5 . 00866. 00 AB桿桿為平面彎曲與為平面彎曲與軸向軸向壓縮組合變形壓縮組合變形 中間截面為危險截面中間截面為危險截面.最大壓應力最大壓應力 發(fā)生在該發(fā)生在該截面的上邊緣截面的上邊緣AFAFAx866. 0zzAyWFWF6 . 02 . 1max MPa37.946 . 0866. 0maxc zWFAF危險點的應力危險點的應力FACD1.2m1.2m30BBADFFRAyFRAxFNAB30一一.引例引例 當直桿受到與桿的軸線平行當直

13、桿受到與桿的軸線平行但不重合但不重合的拉力或的拉力或壓力作用時，即為偏心拉伸或偏心壓縮壓力作用時，即為偏心拉伸或偏心壓縮。 如鉆床的立柱、廠房中支承吊車梁的柱子。如鉆床的立柱、廠房中支承吊車梁的柱子。F1F2二二. .偏心拉偏心拉( (壓壓) )的應力計算的應力計算FZyzyzMzyyMFFyFzyzcdzFFyycdFFzFFFzFyzycd 以橫截面具有兩以橫截面具有兩對稱軸的等直桿承對稱軸的等直桿承受距離截面形心為受距離截面形心為 e ( (稱為偏心距稱為偏心距) )的的偏心壓力偏心壓力F為例，來為例，來說明說明. .yzAFAFNyFyyIzFzIzM zFzzIyFyIyM FFyF

14、FzFzzyyIyMIzMAF zFyFIFyyIFzzAF)1(22zFyFiyyizzAFAIiAIiyyzz22,式中三三. .中性軸與最大應力中性軸與最大應力1.1.中性軸方程中性軸方程中性軸上各點坐標（中性軸上各點坐標（z zo,o,y yo o),),應力為零應力為零0中性軸方程為：中性軸方程為：012020zFyFiyyizz12020zFyFiyyizzFzyyia2Fyzzia2100yzayaz式中式中zFyFctWFyWFzAF8-5 8-5 截面核心截面核心一一. .截面核心的概念截面核心的概念12020zFyFiyyizzFzyyia2100yzayazyzFyzzi

15、a2中性軸把橫截面分為受拉區(qū)和受壓區(qū)，兩個中性軸把橫截面分為受拉區(qū)和受壓區(qū)，兩個區(qū)范圍的大小受載荷作用點坐標的控制。區(qū)范圍的大小受載荷作用點坐標的控制。定義：使橫截面僅受一種性質的力時載荷作用定義：使橫截面僅受一種性質的力時載荷作用的最大范圍成為截面核心。的最大范圍成為截面核心。二二. .截面核心的求法截面核心的求法1.1.截距與載荷坐標的關系截距與載荷坐標的關系;,zFazzFaz,;, 0zFaz0,zFaz2.2.作截面核心的方法作截面核心的方法（1 1）過截面周邊上的一點作切線，以此作為第一）過截面周邊上的一點作切線，以此作為第一根中性軸；根中性軸；（2 2）據第一根中性軸的截距求第一

16、個載荷點坐標；）據第一根中性軸的截距求第一個載荷點坐標；（3 3）過截面周邊上相鄰的另一點作切線，以此作）過截面周邊上相鄰的另一點作切線，以此作為第二根中性軸；為第二根中性軸；（5 5）按以上步驟求于切于周邊的各特征中性軸對應）按以上步驟求于切于周邊的各特征中性軸對應的若干個載荷點，依次連接成封閉曲線即截面核心。的若干個載荷點，依次連接成封閉曲線即截面核心。（4 4）按（）按（2 2）求于第二個中性軸對應的第二個載荷）求于第二個中性軸對應的第二個載荷點坐標；點坐標； 例例 求高求高h,h,寬寬b b的矩形截面的截面核。的矩形截面的截面核。2h2hyz2b2b解：解：（1 1）作中性軸）作中性軸

17、，yzaba,2621222bbbaizzyF（2 2）求載荷點）求載荷點 ，621222hhhaiyyzF（3 3）作中性軸）作中性軸 ，2,haayz, 02zyFaiz（4 4）求載荷點）求載荷點 ，02yzFaiy(5)中性軸位置變化與截面核心邊界變化的關系：中性軸位置變化與截面核心邊界變化的關系：中性軸為定直線，載荷作用點為一定點；中性軸為定直線，載荷作用點為一定點；中性軸位置繞定點轉動，載荷作用點集呈直線中性軸位置繞定點轉動，載荷作用點集呈直線（6 6）截面為對稱圖形，）截面為對稱圖形，截面核心也成對稱圖形。截面核心也成對稱圖形。按順序連接所得到的各載荷點，作出截按順序連接所得到的

18、各載荷點，作出截面核心。面核心。例例圓截面的截面核心圓截面的截面核心zyRRyzaRa,（1 1）作中性軸）作中性軸，（2 2）求載荷點）求載荷點 ，02yzFaiy4422RRRaizzyF（3 3）按對稱性求各載）按對稱性求各載荷點，并依次連接。荷點，并依次連接。例例 試確定圖示試確定圖示T字形截面的截面核心邊界。圖中字形截面的截面核心邊界。圖中y、z軸為截面的形心主慣性軸。軸為截面的形心主慣性軸。 解解：先求出截面的有關幾何性質：先求出截面的有關幾何性質 2m6 . 0)m9 . 0m4 . 0()m6 . 0m4 . 0(A2222224343m105 .84/m108/m105 .2

19、7m1048AIiAIiIIzzyyzyEH0.45m0.45m0.6m0.6m0.2m0.2mBCDAFGOzy 作作、等等6 6條直線，將它們條直線，將它們看作是中性軸，其中看作是中性軸，其中、和和分別與周邊分別與周邊AB、BC、CD和和FG相切，相切，而而和和則分別連接兩頂點則分別連接兩頂點D、F和和兩頂點兩頂點G、A。 依次求出其在依次求出其在y、z坐標軸上的截距，坐標軸上的截距，并算出與這些中性軸對應的核心邊界并算出與這些中性軸對應的核心邊界上上1 1、2 2、等等6 6個點的坐標值。個點的坐標值。 再利用中性軸繞一點旋轉時相應的再利用中性軸繞一點旋轉時相應的外力作用點移動的軌跡為一

20、直線的關外力作用點移動的軌跡為一直線的關系，將系，將6 6個點中每相鄰兩點用直線連個點中每相鄰兩點用直線連接，即得圖中所示的截面核心邊界。接，即得圖中所示的截面核心邊界。453216EH0.45m 0.45m0.6m0.6m0.2m0.2mBCDAFGOzy1234560-0.1021-0.450.45-0.45-0.45ay-0.0740.10241.0800.1023-0.133050.600.2002-0.40中性軸編號中性軸編號 -0.074 -0.102 截面核截面核心邊界心邊界上點的上點的坐標值坐標值/m /m 6對應的截面核對應的截面核心邊界上的點心邊界上的點 1.08az 中性

21、軸中性軸的截距的截距/m /m yzyai2zyzai2222222m105 .84m108zyii8-6 8-6 扭轉與彎曲的組合變形扭轉與彎曲的組合變形一一. .引例引例傳動軸傳動軸曲拐曲拐二二. .彎扭的應力分析彎扭的應力分析PaTPlM1. 簡化外力：簡化外力：P彎曲彎曲變形變形T=-Pa扭轉變形扭轉變形2. 分析危險截面：分析危險截面：3. 分析危險點：分析危險點：A A截面為危險截面截面為危險截面k1k2MWTWt22minmax2202222231r313224MWTWt224WTMr223r412223231212()()()2243rMTW22075.13222220MWTW

22、t,WdWdt333216,Wt=2W3275.0342243223dWWMWTMWMWTMrrrr圓截面桿彎扭組合變形時的相當應力：圓截面桿彎扭組合變形時的相當應力： 注：注：1、公式只適用于圓桿或圓環(huán)截面桿。、公式只適用于圓桿或圓環(huán)截面桿。 2、對于非圓截面桿由于、對于非圓截面桿由于Wt2W,公式不適用公式不適用。22422375. 0TMMTMMrr其中：第三強度理論第三強度理論第四強度理論第四強度理論相當彎矩相當彎矩 例例 圖示傳動軸傳遞功率圖示傳動軸傳遞功率p=7.5Kw,p=7.5Kw,軸的轉速軸的轉速n=100r/minn=100r/min。A A、B B為帶輪。輪為帶輪。輪A

23、A帶處于水平位置；輪帶處于水平位置；輪B B帶處于鉛垂位置。帶處于鉛垂位置。FFp1p1= F= Fp1p1、 FFp2p2= F= Fp2p2為帶拉力。已知為帶拉力。已知F Fp1p1 F Fp2p2， F Fp2p2=1500N,=1500N,兩輪直徑均為兩輪直徑均為D=600mm,D=600mm,軸材料許用應力軸材料許用應力=80Mpa=80Mpa。試按第三強度理論設計軸的直徑。試按第三強度理論設計軸的直徑。解解:(1)簡化外力：簡化外力：(2)(2)分析危險截面：分析危險截面：mNnNT2 .7161005 . 795499549:外加扭矩2)(21DFFTPP又：5400,39001

24、21PpPFFF求出各支反力如圖。求出各支反力如圖。由計算簡圖可見，軸由計算簡圖可見，軸在外力作用下，產生在外力作用下，產生x0yx0y面內（面內（z z為中性軸）為中性軸）x0zx0z面內（面內（y y為中性軸為中性軸）彎曲彎曲及繞及繞x x軸的扭轉軸的扭轉TMyMzxxy1 1） x0yx0y面內彎曲（面內彎曲（ z z為中性軸）為中性軸）2 2）x0zx0z面內彎曲（面內彎曲（y y為中性軸）為中性軸）1800N3600N5400NMzB=3600 0.4=1440N.mxyz5400N6520NMyB=1120 0.4=448N.mMyD=3600 0.4=1440N.mCBDACBD

25、AAB3)3)繞繞x x軸的扭轉：軸的扭轉：T=716.2N.mT=716.2N.m由內力圖可見，由內力圖可見，B B輪輪處為危險截面處為危險截面TTzx1120N22maxyzBwMMMM(3)(3)按第三強度理論設計軸直徑：按第三強度理論設計軸直徑：1 1）求第三強度理論相當彎矩：）求第三強度理論相當彎矩：NmTMMTMMyzwr166910448. 044. 1716. 032222222232 2）按第三強度理論設計軸直徑：）按第三強度理論設計軸直徑：33WMrr由：32/333dMrr即：mMdr33633107 .59108016693232討論討論：按第四強度理論？按第四強度理論

26、？22475. 0TMMwr32/344dMrr3332rMd 例例 圖示懸臂梁的橫截面為等邊三角形，圖示懸臂梁的橫截面為等邊三角形，C C為為形心，梁上作用有均布載荷，其作用方向及形心，梁上作用有均布載荷，其作用方向及位置如圖所示，該梁變形有四種答案位置如圖所示，該梁變形有四種答案: :（A A）平面彎曲；）平面彎曲；（B B）斜彎曲；）斜彎曲；（C C）純彎曲；）純彎曲；（D D）彎扭結合。）彎扭結合。 例例 ：偏心拉伸桿，彈性模量為：偏心拉伸桿，彈性模量為E E，尺寸、受力如圖所示。求：尺寸、受力如圖所示。求：（1）最大拉應力和最大壓）最大拉應力和最大壓應力的位置和數值；應力的位置和數值；（2）AB長度的改變量。長度的改變量。最大拉應力發(fā)生在最大拉應力發(fā)生在AB線線上各點，最大壓應力發(fā)上各點，最大壓應力發(fā)生在生在CD線上各點。線上各點。分析：這是偏心拉伸問題分析：這是偏心拉伸問題解：解：(1)應力分析應力分析NPMPhMPbyz,22tcyyzzNAMWMW6/2/6/2/22hbPbbhPhbhPbhPbhP