高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第四節(jié) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問題課件 文

1、第四節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問題總綱目錄教材研讀1.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟考點突破2.一元三次方程根的個數(shù)問題考點二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點問題考點一導(dǎo)數(shù)與不等式的有關(guān)問題考點三利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題1.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟(1)作差或變形.(2)構(gòu)造新的函數(shù)h(x).(3)對h(x)求導(dǎo).(4)利用h(x)判斷h(x)的單調(diào)性或最值.(5)下結(jié)論.教材研讀教材研讀2.一元三次方程根的個數(shù)問題一元三次方程根的個數(shù)問題令f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),則f (x)=3ax2+2bx+c.方程f (x)=0的判別式=(2b)2-12ac,(1)當0

2、,即b23ac時, f (x)0恒成立, f(x)在R上為增函數(shù),結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象知,方程f(x)=0有唯一唯一一個實根.(2)當0,即b23ac時,方程f (x)=0有兩個不同的實根,設(shè)為x1,x2(x1m).a.當m0時,方程f(x)=0有一一個實根;b.當m=0時,方程f(x)=0有兩兩個實根;c.當m0時,方程f(x)=0有三三個實根;d.當M=0時,方程f(x)=0有兩兩個實根;e.當M0時,方程f(x)=0有一一個實根.3.生活中的利潤最大、用料最省、效率最高等問題我們稱之為優(yōu)化問題.導(dǎo)數(shù)是解決生活中優(yōu)化問題的有力工具,用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路:(1)分析實際問題中各量之

3、間的關(guān)系,建立實際問題的數(shù)學(xué)模型,寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x);(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f (x),解方程f (x)=0,確定極值點;(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點的值和在極值點的值的大小,最大(小)值為函數(shù)的最大(小)值;(4)還原到實際問題中作答.1.已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位:萬元)與年產(chǎn)量x(單位:萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x3+81x-234,則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為()A.13萬件 B.11萬件 C.9萬件 D.7萬件13答案答案C y=-x2+81.令y=0,得x=9或x=-9(舍去).當0 x0,函數(shù)單調(diào)遞增;當x9時,y0,函數(shù)單調(diào)遞減.故當x=9時,

4、y取最大值,即使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為9萬件.C2.已知函數(shù)f(x)的定義域為-1,4,部分對應(yīng)值如下表, f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f (x)的圖象如圖所示.當1a2時,函數(shù)y=f(x)-a的零點的個數(shù)為()A.2 B.3 C.4 D.5x-10234f(x)12020C答案答案 C根據(jù)已知條件可還原出函數(shù)f(x)在定義域-1,4內(nèi)的大致圖象.函數(shù)y=f(x)-a的零點個數(shù)即直線y=a與曲線y=f(x)的交點個數(shù).因為1a0, 即x(0,1時, f(x)=ax3-3x+10可化為a-.設(shè)g(x)=-,則g(x)=,所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,因此g(x)max=g=

5、4,從而a4.當x0時,有0的解集是()A.(-2,0)(2,+) B.(-2,0)(0,2)C.(-,-2)(2,+) D.(-,-2)(0,2)2 ( )( )xfxf xxD答案答案 D解析解析當x0時,0,即f(x)0.在(2,+)內(nèi)恒有(x)0,即f(x)0,在(-2,0)內(nèi)恒有f(x)0的解集,即f(x)0的解集,x2f(x)0的解集為(-,-2)(0,2).( )f xx( )f xx典例典例2設(shè)函數(shù)f(x)=ln x-x+1.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)求證:當x(1,+)時,1x.1lnxx命題方向二證明不等式命題方向二證明不等式解析解析(1)由題設(shè)知, f(x)的定義

6、域為(0,+), f (x)=-1,令f (x)=0,解得x=1.當0 x0, f(x)單調(diào)遞增;當x1時, f (x)0, f(x)單調(diào)遞減.(2)證明:由(1)知f(x)在x=1處取得最大值,最大值為f(1)=0.所以當x1時,ln xx-1.故當x(1,+)時,ln xx-1,ln-1,即10).當0 x0;當x1時,f (x)0)上存在極值,所以解得a1.故實數(shù)a的取值范圍是a0,從而g(x)0,故g(x)在1,+)上單調(diào)遞增,所以g(x)的最小值為g(1)=2,所以k2-k2,解得-1k2.(1)(1ln )xxx(1)(1ln )xxx2lnxxx1x故實數(shù)k的取值范圍是-1k2.

7、探究探究將本例(2)改為存在x01,e,使不等式f(x)成立,求實數(shù)k的取值范圍.1kx 解析解析當x1,e時,k有解,令g(x)=,由典例3(2)解題知,g(x)在1,+)上為單調(diào)增函數(shù),x1,e,g(x)max=g(e)=2+,k2+,即實數(shù)k的取值范圍是.(1)(1ln )xxx(1)(1ln )xxx2e2e2,2e方法技巧方法技巧1.利用導(dǎo)數(shù)解不等式的思路已知一個含f (x)的不等式,可得到和f(x)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性,然后可利用函數(shù)單調(diào)性解不等式.2.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法證明f(x)g(x),x(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),如果F(x)0,則F(x)在(

8、a,b)上是減函數(shù),同時若F(a)0,由減函數(shù)的定義可知,x(a,b)時,有F(x)0,即f(x)f(e)f(3) B.f(3)f(e)f(2)C.f(3)f(2)f(e) D.f(e)f(3)f(2)ln xx答案答案 D f(x)的定義域是(0,+),f (x)=,令f (x)=0,解得x=e.當x(0,e)時, f (x)0, f(x)單調(diào)遞增,當x(e,+)時, f (x)f(3)f(2),故選D.21 ln xx1eln22ln86ln33ln96D1-2 (2017課標全國,21,12分)已知函數(shù)f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)當a0,

9、故f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增.若a0;當x時, f (x)0,故f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)證明:由(1)知,當a0;當x(1,+)時,g(x)0時,g(x)0.從而當a0).2x22(1)axx當a0時,由ax2-10,得x,1a由ax2-10,得0 x0時,F(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.當a0時,F(x)0)恒成立.故當a0時,F(x)在(0,+)上單調(diào)遞減.(2)由題意得a=在區(qū)間,e上有兩個不相等的解.令(x)=,由(x)=易知,(x)在(,)上為增函數(shù),在(,e)上為減函數(shù),則(x)max=()=,1a1,a10,a22ln xx222ln xx42

10、(12ln )xxx2eee1e而(e)=,()=.由(e)-()=-=0,所以(e)().所以(x)min=(e),由圖可知當(x)=a有兩個不相等的解時,需a0,所以f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,當m0時, f (x)=,所以當0 x時, f (x)時, f (x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.綜上,當m0時, f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增;當m0時,函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(,+),單調(diào)減區(qū)間是(0,).(2)令F(x)=f(x)-g(x)=-x2+(m+1)x-mln x,x0,mx2xmx()()xmxmxmmmm12問題等價于求函數(shù)F(x)的零點個數(shù)問題,F(x)=-,當m=1時

11、,F(x)0,F(x)為減函數(shù),因為F(1)=0,F(4)=-ln 41時,0 xm時,F(x)0;1x0,所以函數(shù)F(x)在(0,1)和(m,+)上單調(diào)遞減,在(1,m)上單調(diào)遞增,因為F(1)=m+0,F(2m+2)=-mln(2m+2)0,所以F(x)有唯一零點.綜上,函數(shù)F(x)有唯一零點,即兩函數(shù)圖象總有一個交點.(1)()xxmx3212典例典例5某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明,該商品每日的銷售量y(單位:千克)與銷售價格x(單位:元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)=+10(x-6)2,其中3x6,a為常數(shù),已知銷售價格為5元/千克時,每日可售出該商品11千克.(1)求a的值;(2)若該商品的成本為3元/千克,試確定使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大的銷售價格x的值.3ax考點三利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題考點三利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題解析解析(1)因為x=5時,y=11,所以+10=11,a=2.(2)由(1)知,該商品每日的銷售量y=+10(x-6)2