立體幾何中的向量方法(距離問題)

1、空間空間“距離距離”問題問題復(fù)習(xí)回顧：復(fù)習(xí)回顧：1.異面直線所成角： coscos,CD AB |2.直線與平面所成角： sincos, n AB |3.二面角：cos12|cos,|n n 關(guān)鍵：觀察二面角的范圍ABCD1DABOn1n2n cos12|cos,|n n 向量法求空間距離的求解方法向量法求空間距離的求解方法1.空間中的距離主要有空間中的距離主要有:兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、直線到平面的距離、平行距離、點(diǎn)到平面的距離、直線到平面的距離、平行平面的距離平面的距離.其中直線到平面的距離、平行平面的距其中直線到平面的距離、平行平面的距離都可

2、以轉(zhuǎn)化點(diǎn)到平面的距離離都可以轉(zhuǎn)化點(diǎn)到平面的距離.2.空間中兩點(diǎn)間的距離空間中兩點(diǎn)間的距離:設(shè)設(shè)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z3),則則222121212()()()ABxxyyzz 3、點(diǎn)到直線的距離：、點(diǎn)到直線的距離：asin, dAPAP a 點(diǎn)點(diǎn)P與直線與直線l的距離為的距離為d , 則則 例例1：如圖如圖1：一個(gè)結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點(diǎn)：一個(gè)結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60，那么以這個(gè)頂點(diǎn)，那么以這個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對角線的長與棱長有什么關(guān)系？為端點(diǎn)的晶體的對角線的長

3、與棱長有什么關(guān)系？ A1B1C1D1ABCD圖圖1解：解：如圖如圖1，設(shè)，設(shè) BADADAAAB， 11 6011DAABAA化為向量問題化為向量問題依據(jù)向量的加法法則，依據(jù)向量的加法法則，11AAADABAC 進(jìn)行向量運(yùn)算進(jìn)行向量運(yùn)算2121)(AAADABAC )(2112122AAADAAABADABAAADAB )60cos60cos60(cos2111 6 所以所以6|1 AC回到圖形問題回到圖形問題這個(gè)晶體的對角線這個(gè)晶體的對角線 的長是棱長的的長是棱長的 倍。倍。1AC6思考：思考：(1)本題中四棱柱的對角線本題中四棱柱的對角線BD1的長與棱長有什么關(guān)系？的長與棱長有什么關(guān)系？

4、(2)(2)如果一個(gè)四棱柱的各條棱長都相等，并且以如果一個(gè)四棱柱的各條棱長都相等，并且以某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都等于某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都等于 , , 那么那么有這個(gè)四棱柱的對角線的長可以確定棱長嗎有這個(gè)四棱柱的對角線的長可以確定棱長嗎? ? A1B1C1D1ABCD (3) (3)本題的晶體中相對的兩個(gè)平面之間的距離本題的晶體中相對的兩個(gè)平面之間的距離是多少是多少? (? (提示：求兩個(gè)平行平面的距離，通常歸結(jié)為求點(diǎn)到平提示：求兩個(gè)平行平面的距離，通常歸結(jié)為求點(diǎn)到平面的距離或兩點(diǎn)間的距離）面的距離或兩點(diǎn)間的距離）11BDBABCBB 11 120 60ABCABBB BC 其其

5、中中，思考思考(1)分析分析:思考思考(2)分析分析: 1111 DAABAABADxAAADABaAC，設(shè)設(shè)11 ACABADAA 由由222211112()ACABADAAAB AD AB AAAD AA 222 32(3cos)axx 即即1 36cosxa 這個(gè)四棱柱的對角線的長可以確定棱長這個(gè)四棱柱的對角線的長可以確定棱長.A1B1C1D1ABCDH 分析：分析：面面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離來求面面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離來求. 11HACHAA于點(diǎn)于點(diǎn)平面平面點(diǎn)作點(diǎn)作過過 解：解：. 1的的距距離離為為所所求求相相對對兩兩個(gè)個(gè)面面之之間間則則HA111 AAADABBADADAABA 且且由由

6、. 上上在在 ACH22()112cos603 3ACABBCAC 1111()cos60cos601.AAACAAABBCAAABAABC 1111 cos| |3AAACA ACAAAC 36sin 1 ACA36sin 111 ACAAAHA 所求的距離是所求的距離是6 .3 思考思考(3)(3)本題的晶體中相對的兩個(gè)平面之間的距離是多少本題的晶體中相對的兩個(gè)平面之間的距離是多少? ? 如何用向量法求點(diǎn)到平面的距離如何用向量法求點(diǎn)到平面的距離? n A P O 4、用向量法求點(diǎn)到平面的距離、用向量法求點(diǎn)到平面的距離： 練習(xí)如圖，練習(xí)如圖，6060的二面角的棱上的二面角的棱上有有A A、B

7、 B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)， 直線直線ACAC、BDBD分別在這個(gè)二面角的分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)兩個(gè)半平面內(nèi), ,且都垂直且都垂直AB, AB, 已知已知ABAB4,AC4,AC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的長的長. . BACD 68DABCGFExyz(2, 2,0),( 2, 4,2),EFEG nEF nEG ，|BE|2 11.11ndn 2202420 xyxyZ 1 1(,1),3 3n B(2,0,0)E ABCD1A1B1C1DExyz 例例 2. 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為中，棱長為1，E為為D1C1的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，(1)求點(diǎn)求點(diǎn)

8、E到直線到直線A1B的距離的距離. 建立坐標(biāo)系11111 1 解解:. A E =(-1,0),A B =(0,1,-1):. A E =(-1,0),A B =(0,1,-1)2 2111cos, 10AEAB 113sin, 10AEAB 點(diǎn)點(diǎn)E到直線到直線A1B的距離為的距離為1113sin, 24dAEAEAB ABCD1A1B1C1DExyz(2) 求求B1到面到面A1BE的距離；的距離；例例2 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱中，棱長為長為1，E為為D1C1的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，11112( , , )AEABnx y zABE解=(-1, ,0),=(0,1

9、,-1)設(shè)為面的法:向量，則110,0,n AEn AB 10,20,xyyz 2 ,2 ,yxzx即11(1,2,2)xABEn 取 ，得平面的一個(gè)法向量11110,1,0 ,BABEAB 選點(diǎn) 到面的斜向量為111123AB nBABEdn 得 到面的距離為ABCD1A1B1C1DExyz例例2 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱中，棱長為長為1，E為為D1C1的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，(3) 求求D1C到面到面A1BE的距離；的距離；解解:D1C面面A1BE D1到面到面A1BE的距離即為的距離即為D1C到面到面A1BE的距離的距離仿上法求得仿上法求得111113D A

10、nDA BEdn 到到面面的的距距離離為為ABCD1A1B1C1Dxyz例例2 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱中，棱長為長為1，E為為D1C1的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，(4) 求面求面A1DB與面與面D1CB1的距離；的距離；解解:面面D1CB1面面A1BD D1到面到面A1BD的距離即為的距離即為面面D1CB1到面到面A1BD的距離的距離111( 1,1,1)(1,0,0)A BDnD A 易易得得平平面面的的一一法法向向量量且且111133D A nDA BDdn 則則到到面面的的距距離離為為 nabCDABCD為為a,b的公垂線的公垂線則則|nABnCD A，B分別在

11、直線分別在直線a,b上上已知已知a,b是異面直線，是異面直線，n為為 的的法向量法向量3. 異面直線間的距離異面直線間的距離 即即 間的距離可轉(zhuǎn)化為向量間的距離可轉(zhuǎn)化為向量 在在n上的射影長，上的射影長，21,llCD小結(jié)：小結(jié)：1 1、怎樣利用向量求距離？、怎樣利用向量求距離？點(diǎn)到平面的距離：點(diǎn)到平面的距離：連結(jié)該點(diǎn)與平面上任意一點(diǎn)的向量連結(jié)該點(diǎn)與平面上任意一點(diǎn)的向量在平面定向法向量上的射影（在平面定向法向量上的射影（如果不知道判斷方向，如果不知道判斷方向，可取其射影的絕對值可取其射影的絕對值）。）。點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)到直線的距離：求出垂線段的向量的模。求出垂線段的向量的模。直線到平面的距離：直