立體幾何中的向量方法(距離問題)

1、空間空間“距離距離”問題問題復習回顧：復習回顧：1.異面直線所成角： coscos,CD AB |2.直線與平面所成角： sincos, n AB |3.二面角：cos12|cos,|n n 關鍵：觀察二面角的范圍ABCD1DABOn1n2n cos12|cos,|n n 向量法求空間距離的求解方法向量法求空間距離的求解方法1.空間中的距離主要有空間中的距離主要有:兩點間的距離、點到直線的兩點間的距離、點到直線的距離、點到平面的距離、直線到平面的距離、平行距離、點到平面的距離、直線到平面的距離、平行平面的距離平面的距離.其中直線到平面的距離、平行平面的距其中直線到平面的距離、平行平面的距離都可

2、以轉化點到平面的距離離都可以轉化點到平面的距離.2.空間中兩點間的距離空間中兩點間的距離:設設A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z3),則則222121212()()()ABxxyyzz 3、點到直線的距離：、點到直線的距離：asin, dAPAP a 點點P與直線與直線l的距離為的距離為d , 則則 例例1：如圖如圖1：一個結晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點：一個結晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點A為端點為端點的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60，那么以這個頂點，那么以這個頂點為端點的晶體的對角線的長與棱長有什么關系？為端點的晶體的對角線的長

3、與棱長有什么關系？ A1B1C1D1ABCD圖圖1解：解：如圖如圖1，設，設 BADADAAAB， 11 6011DAABAA化為向量問題化為向量問題依據向量的加法法則，依據向量的加法法則，11AAADABAC 進行向量運算進行向量運算2121)(AAADABAC )(2112122AAADAAABADABAAADAB )60cos60cos60(cos2111 6 所以所以6|1 AC回到圖形問題回到圖形問題這個晶體的對角線這個晶體的對角線 的長是棱長的的長是棱長的 倍。倍。1AC6思考：思考：(1)本題中四棱柱的對角線本題中四棱柱的對角線BD1的長與棱長有什么關系？的長與棱長有什么關系？

4、(2)(2)如果一個四棱柱的各條棱長都相等，并且以如果一個四棱柱的各條棱長都相等，并且以某一頂點為端點的各棱間的夾角都等于某一頂點為端點的各棱間的夾角都等于 , , 那么那么有這個四棱柱的對角線的長可以確定棱長嗎有這個四棱柱的對角線的長可以確定棱長嗎? ? A1B1C1D1ABCD (3) (3)本題的晶體中相對的兩個平面之間的距離本題的晶體中相對的兩個平面之間的距離是多少是多少? (? (提示：求兩個平行平面的距離，通常歸結為求點到平提示：求兩個平行平面的距離，通常歸結為求點到平面的距離或兩點間的距離）面的距離或兩點間的距離）11BDBABCBB 11 120 60ABCABBB BC 其其

5、中中，思考思考(1)分析分析:思考思考(2)分析分析: 1111 DAABAABADxAAADABaAC，設設11 ACABADAA 由由222211112()ACABADAAAB AD AB AAAD AA 222 32(3cos)axx 即即1 36cosxa 這個四棱柱的對角線的長可以確定棱長這個四棱柱的對角線的長可以確定棱長.A1B1C1D1ABCDH 分析：分析：面面距離轉化為點面距離來求面面距離轉化為點面距離來求. 11HACHAA于點于點平面平面點作點作過過 解：解：. 1的的距距離離為為所所求求相相對對兩兩個個面面之之間間則則HA111 AAADABBADADAABA 且且由由

6、. 上上在在 ACH22()112cos603 3ACABBCAC 1111()cos60cos601.AAACAAABBCAAABAABC 1111 cos| |3AAACA ACAAAC 36sin 1 ACA36sin 111 ACAAAHA 所求的距離是所求的距離是6 .3 思考思考(3)(3)本題的晶體中相對的兩個平面之間的距離是多少本題的晶體中相對的兩個平面之間的距離是多少? ? 如何用向量法求點到平面的距離如何用向量法求點到平面的距離? n A P O 4、用向量法求點到平面的距離、用向量法求點到平面的距離： 練習如圖，練習如圖，6060的二面角的棱上的二面角的棱上有有A A、B

7、 B兩點，兩點， 直線直線ACAC、BDBD分別在這個二面角的分別在這個二面角的兩個半平面內兩個半平面內, ,且都垂直且都垂直AB, AB, 已知已知ABAB4,AC4,AC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的長的長. . BACD 68DABCGFExyz(2, 2,0),( 2, 4,2),EFEG nEF nEG ，|BE|2 11.11ndn 2202420 xyxyZ 1 1(,1),3 3n B(2,0,0)E ABCD1A1B1C1DExyz 例例 2. 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為中，棱長為1，E為為D1C1的中點，的中點，(1)求點求點

8、E到直線到直線A1B的距離的距離. 建立坐標系11111 1 解解:. A E =(-1,0),A B =(0,1,-1):. A E =(-1,0),A B =(0,1,-1)2 2111cos, 10AEAB 113sin, 10AEAB 點點E到直線到直線A1B的距離為的距離為1113sin, 24dAEAEAB ABCD1A1B1C1DExyz(2) 求求B1到面到面A1BE的距離；的距離；例例2 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱中，棱長為長為1，E為為D1C1的中點，的中點，11112( , , )AEABnx y zABE解=(-1, ,0),=(0,1

9、,-1)設為面的法:向量，則110,0,n AEn AB 10,20,xyyz 2 ,2 ,yxzx即11(1,2,2)xABEn 取 ，得平面的一個法向量11110,1,0 ,BABEAB 選點 到面的斜向量為111123AB nBABEdn 得 到面的距離為ABCD1A1B1C1DExyz例例2 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱中，棱長為長為1，E為為D1C1的中點，的中點，(3) 求求D1C到面到面A1BE的距離；的距離；解解:D1C面面A1BE D1到面到面A1BE的距離即為的距離即為D1C到面到面A1BE的距離的距離仿上法求得仿上法求得111113D A

10、nDA BEdn 到到面面的的距距離離為為ABCD1A1B1C1Dxyz例例2 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱中，棱長為長為1，E為為D1C1的中點，的中點，(4) 求面求面A1DB與面與面D1CB1的距離；的距離；解解:面面D1CB1面面A1BD D1到面到面A1BD的距離即為的距離即為面面D1CB1到面到面A1BD的距離的距離111( 1,1,1)(1,0,0)A BDnD A 易易得得平平面面的的一一法法向向量量且且111133D A nDA BDdn 則則到到面面的的距距離離為為 nabCDABCD為為a,b的公垂線的公垂線則則|nABnCD A，B分別在

11、直線分別在直線a,b上上已知已知a,b是異面直線，是異面直線，n為為 的的法向量法向量3. 異面直線間的距離異面直線間的距離 即即 間的距離可轉化為向量間的距離可轉化為向量 在在n上的射影長，上的射影長，21,llCD小結：小結：1 1、怎樣利用向量求距離？、怎樣利用向量求距離？點到平面的距離：點到平面的距離：連結該點與平面上任意一點的向量連結該點與平面上任意一點的向量在平面定向法向量上的射影（在平面定向法向量上的射影（如果不知道判斷方向，如果不知道判斷方向，可取其射影的絕對值可取其射影的絕對值）。）。點到直線的距離：點到直線的距離：求出垂線段的向量的模。求出垂線段的向量的模。直線到平面的距離：直