三點(diǎn)共線向量表示及其性質(zhì)應(yīng)用

1、31111111平面內(nèi)三點(diǎn)共線的向量表示及其性質(zhì)應(yīng)用本文給出了三點(diǎn)共線向量表示的證法探究，以啟迪思維和拓展思路之目的，另外又給出了三點(diǎn)共線向 量表示在解題中的應(yīng)用。例題：如圖，A，B，C是平面內(nèi)三個(gè)點(diǎn)，P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若點(diǎn)數(shù)，使得PC=PA+( 1-)PB.證法探究：分析：初看欲證目標(biāo)，始感實(shí)難下手。我們不妨從結(jié)論出發(fā)探尋線路，欲證PC=PA+ (1-)PB，只需證PC=PA+PB-PBPC-PB=(PA-PB)BC=BABC/BA.這樣證明思路有了。證法：T向量BC與向量BA共線，BC=BA,即PC-PC=PA+PB-PB,PC=PA+ (1-)PB.證畢，再思考一下實(shí)數(shù)的幾何意義究竟如

2、何?？疾煜蛄康仁紹C=BA，結(jié)合圖形，易知，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，則BC與BA同向，有 0W 1;當(dāng)點(diǎn)C在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)，則BC與BA反向， 有 1.此例題逆命題亦成立，即C在直線AB上，則存在實(shí)PB=(PA-PB)已知A,B,C是平面內(nèi)三個(gè)點(diǎn)，P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)， 若存在實(shí)數(shù) ，有PC=PA+PB, 且 + =1,則A,B,C三點(diǎn)共線.故此逆命題可作三點(diǎn)共線判定方法。為方便起見(jiàn)，我們將兩命題作為性質(zhì)敘述如下：性質(zhì) 1：已知A,B,C是平面內(nèi)三個(gè)點(diǎn)，P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若A,B,C三點(diǎn)共線，則存在 實(shí)數(shù)，使得PC=PA+ (1-)PB.或敘述為：已知A,B,C是平面內(nèi)三個(gè)點(diǎn)，P是平面內(nèi)任意

3、一點(diǎn)，若A,B,C三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)，使得PC=PA+性質(zhì) 2 :已知A,PB，則有 +=1.B,C是平面內(nèi)三個(gè)點(diǎn)，P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，有PC=PA+PB，且三點(diǎn)共線性質(zhì)在解題中的應(yīng)用：例 1 如圖，在ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB、不同的兩點(diǎn)M、N，若AB=mAM，AC=nAN，則m n的值為_(kāi).1 -1AC =-mAM2+=1,則A,B,C三點(diǎn)共線.解析：連結(jié)AO，因?yàn)辄c(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，所以有AO=1AB12 21又因?yàn)镸、O、N三點(diǎn)共線，所以m21n 1，故m n 2.2值.點(diǎn)評(píng)：因?yàn)辄c(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，所以ICO |ICB |-，由性質(zhì) 1,21=1

4、-=，簡(jiǎn)便求出m n的2例 2(湖北省2011屆高三八校第一次聯(lián)考)如圖2,在厶ABC中, AC， 112AN NC ，點(diǎn)P是BC上的一點(diǎn)，若A. 9則實(shí)數(shù)m的值為()D.-311111123解：H B, P,N 三點(diǎn)共線，又：AP2114AN mAB AN1183m 1 m，故選 C1111例3(廣東省2015屆高三六校聯(lián)考)所示：點(diǎn)G是厶OAB的重心,P、Q分別是邊OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，且P、G、Q三點(diǎn)共線設(shè)OPr.xOA,OQ yOB，證明:證明：因?yàn)镚是OG2 1(OA OB)1(OA OB)3 23OP xOAOA1OPHOQx4OAB 的1OQy1-是定值;yoG -(OA OB)-

5、(-Op -oQ)OG丄OP3x又P,G,Q 三點(diǎn)共線,13x13y例 4.如圖，在ABC中,OCoA，4OD2OB，AD與BC交于M點(diǎn)，設(shè)(I)用a,b表示OM；(n)在已知線段OAa,OB為定值3yOF qOB.求證:解析：(I)因?yàn)锽、1 =m -OA (1 m)OB=4AC上取一點(diǎn)E,丄7pM、在線段BD上取一點(diǎn)使EF過(guò)點(diǎn)M設(shè)OEpOA,OM=nOA (1n)OD= na-1故OM = a7(n)因?yàn)? 1.7qC三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)m使得OM=mOC1 -ma (1 m)b；又因?yàn)锳、M、D三點(diǎn)共線,41(1n)b .由于a,b不共線，所以有23b7E、M、F三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)

6、(1 m)OB所以存在實(shí)數(shù)n使得使得OM=OEn,解得,1-(1n).(1 )OF4571TA 1.7q)qb.結(jié)合(I)，易得出(1 )q消去357點(diǎn)評(píng)：本題是以a,b作為一組基底，其他向量都由它們線性表示.解(I)=Pa (1中的實(shí)數(shù)m,n的幾何意義為：mBM= - ,n=DM丨二1,m,n(0, 1)；解(n)中的實(shí)數(shù)|BC |7|DA|7= LF=丄|FE|7pAP例 5.如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)P在線段AB上，且m,Q在線PBQD45AQPR段AD上，且n，BQ與CP相交于點(diǎn)R，求 的值.QDRC解析：設(shè)PR=，則PR=BR=BC+( 1-AP)BP因?yàn)锳Pm，所以 BP1BA

7、，RCPC11 1PBm 1且BR=BC+11BA11m1又AQn，二AQnAD：=nBC，二BQ BAAQ，即BQnBC BA又QDn1n 1n 1- BR與BQ共線，.n1=0,解得=n1 n1 (1)(m 1)(m 1)( n 1)點(diǎn)評(píng)：我們先要確定好一組基底BA, BC，看準(zhǔn)BR,BQ如何由它們線性表示；而欲求目標(biāo)數(shù)值，因P, R, C三點(diǎn)共線，中途要以BP, BC作基底，BR由它們線性表出時(shí)，分析清楚該兩基底系數(shù)所表示的幾何意義，由性質(zhì) 1,得BR= BC+ （1- ）BP;最終BR與BQ都得轉(zhuǎn)化到由BA, BC兩基底線1 1性表示，此時(shí)容易由共線向量性質(zhì)列出等式，從而求出結(jié)果.平面

8、內(nèi)三點(diǎn)共線定理構(gòu)造方程組求解，避免了用的向量的加法和平面向理基本定理解答本題 的運(yùn)算復(fù)雜，達(dá)到了簡(jiǎn)化解題過(guò)程的效果。例6（汕頭市東山中學(xué)2014屆高三第二次模擬考試）所示AE -3A. 2a7-b7,CE與BF相交于G點(diǎn),記 AB a，ADB.2a訓(xùn)7b，則2b7 為載體，求向量的問(wèn)題，所以我C.3a71bD.也,在平行四邊形ABCD中,TG分析：本題是以平面幾何為背景，們很容易聯(lián)想到點(diǎn)F、G B以及E,G,C三點(diǎn)在一條直線上，可用平面內(nèi) 三點(diǎn)共線定理求解。解：E,G,C 三點(diǎn)共線,由平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理可得：存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x使得AJraTb)又;F,G,B 三點(diǎn)共線,TAGJraX2由平面

9、內(nèi)三點(diǎn)共線定理可得：存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)使得1-4由兩式可得:2x36 x73點(diǎn)評(píng)：本題的解法中由兩組三點(diǎn)共線（F、G B以及E,G,C三點(diǎn)在一條直線上），利用AGXLBra6例6的變式一：在三角形ABC中,AM : AB=1：3,AN:AC=1：4,BN與由平面內(nèi)三點(diǎn)共線的向量式定理可得：m- 1m n 22 2解題后反思：要想達(dá)到正確運(yùn)用三點(diǎn)共線性質(zhì)解題之目的，首先做到，審視題意，考察圖形，確定一組基底，根據(jù)CM相交于點(diǎn)P,且 AB a，AC b，試用 a、b表示 AP解：;N,P,B 三點(diǎn)共線，由平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理可得：存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x,y使得APAN：AC=1: 4,ANIAClb4N,x y 1,AP xABAC4又 C.P.M 三點(diǎn)共線,I由平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理可得:4存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)11 1/ AM：AB=1：3 AM-ABa,33b1x -由兩式可得：1 x3x 112x y 1, y81141例6的變式二：直線I過(guò)ABCD勺兩條對(duì)角線AC與B