隨機(jī)變量及其分布列版本塊四事件獨(dú)立性學(xué)生版本

1、獨(dú)立事件的判斷2LLL1迄知識(shí)內(nèi)容1. 離散型隨機(jī)變量及其分布列離散型隨機(jī)變量如果在試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量X來表示，并且X是隨著試驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化的，我們把這樣的變量X叫做一個(gè)隨機(jī)變量.隨機(jī)變量常用大寫字母X , Y, 111 表示.如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能列舉出來，那么稱X為離散型隨機(jī)變量.離散型隨機(jī)變量的分布列將離散型隨機(jī)變量 X所有可能的取值Xi與該取值對(duì)應(yīng)的概率 p (i =1, 2, III, n)列表表示：XX1X2XiXnPP1p2PiPn我們稱這個(gè)表為離散型隨機(jī)變量X的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列.2. 幾類典型的隨機(jī)分布兩點(diǎn)分布如果

2、隨機(jī)變量X的分布列為X10PpqX服從參數(shù)為p的二點(diǎn)分布.其中0 ： p ：1 , q =1 - p，那么稱離散型隨機(jī)變量二點(diǎn)分布舉例：某次抽查活動(dòng)中，一件產(chǎn)品合格記為1，不合格記為0,產(chǎn)品的合格率為80%，隨機(jī)變量X為任意抽取一件產(chǎn)品得到的結(jié)果，那么X的分布列滿足二點(diǎn)分布.X10p0.80.2兩點(diǎn)分布又稱0-1分布，由于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)，所以這種分 布又稱為伯努利分布.超幾何分布一般地，設(shè)有總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有M件，從所有物品中任取n件(n < N), 這n件中所含這類物品件數(shù) X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它取值為m時(shí)的概率為m n -mP(X =m)二

3、 M 3 (0 W m w l , l 為 n 和 M 中較小的一個(gè)). CN我們稱離散型隨機(jī)變量 X的這種形式的概率分布為超幾何分布， 也稱X服從參數(shù)為N , M , n的超幾何分布.在超幾何分布中，只要知道N , M和n ,就可以根據(jù)公式求出 X取不同值時(shí)的概率 P(X二m)，從而列出X的分布列.二項(xiàng)分布1 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)如果每次試驗(yàn)，只考慮有兩個(gè)可能的結(jié)果A及A，并且事件A發(fā)生的概率相同.在相同的條件下，重復(fù)地做n次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，那么一般就稱它們?yōu)閚次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為 巳(k)=cn Pk(1p)n±(k=o, 1,2,

4、川，n).2. 二項(xiàng)分布假設(shè)將事件A發(fā)生的次數(shù)設(shè)為X，事件A不發(fā)生的概率為q =1 -P，那么在n次獨(dú)立重復(fù) 試驗(yàn)中，事件 A恰好發(fā)生k次的概率是P(X =k)pkqn±，其中k =0,1, 2，山，n 于是得到X的分布列X01knP廠00nCn p q“1 n 1Cn p q _ k k n kCn p q 一n n 0Cn p q由于表中的第二行恰好是二項(xiàng)展開式(q0nC0 pnq-1 Cf1 pq- hC knknnp n q Cpq各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值,所以稱這樣的散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n , p的二項(xiàng)分布，記作X B(n.p).二項(xiàng)分布的均值與方差：假設(shè)離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為

5、n和p的二項(xiàng)分布，那么E(X)二np , D(x) = npq (q =1 - p).正態(tài)分布1. 概率密度曲線：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，在樣本容量越來越大時(shí)， 直方圖上面的折線所接近的曲線.在隨機(jī)變量中，如果把樣本中的任一數(shù)據(jù)看作隨機(jī)變量X，那么這條曲線稱為X的概率密度曲線.曲線位于橫軸的上方，它與橫軸一起所圍成的面積是1，而隨機(jī)變量X落在指定的兩個(gè)數(shù)a, b之間的概率就是對(duì)應(yīng)的曲邊梯形的面積.2正態(tài)分布定義：如果隨機(jī)現(xiàn)象是由一些互相獨(dú)立的偶然因素所引起的，而且每一個(gè)偶然因素在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用，那么表示這樣的 隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)變量的概率分布近似服從正態(tài)分布.服從正態(tài)分布

6、的隨機(jī)變量叫做正態(tài)隨機(jī)變量，簡稱正態(tài)變量.1(x-h2正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為f(x)=丁1 e盯，2 nR，其中，二是參數(shù)，且二 0 ,；式中的參數(shù)和二分別為正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差期望 為、標(biāo)準(zhǔn)差為二的正態(tài)分布通常記作 N(),匚2).正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：我們把數(shù)學(xué)期望為 0,標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.重要結(jié)論: 正態(tài)變量在區(qū)間(-；，；-) , (二-2；二=；2二),(.二-3；，二廠3匚)內(nèi)，取值的概率分 別是 68.3% , 95.4% , 99.7% .正態(tài)變量在(-二,：)內(nèi)的取值的概率為1 ,在區(qū)間(.二-3二， 3

7、刁之外的取值的概率是0.3% ,故正態(tài)變量的取值幾乎都在距x二.i三倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，這就是正態(tài)分布的3二原 那么.x假設(shè) N, -2) , f(x)為其概率密度函數(shù)，那么稱F(x)=P x)二 f(t)dt為概率分布t2函數(shù)，特別的，二 N(0,12)，稱0(x) = f 丄dt為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).CT5岳P(X)= (X，).cr標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的值可以通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得. 分布函數(shù)新課標(biāo)不作要求，適當(dāng)了解以加深對(duì)密度曲線的理解即可.3. 離散型隨機(jī)變量的期望與方差1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義：一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量X所有可能的取的值是為,X2 ,，xn，這些值對(duì)應(yīng)的概率是 小,卩2

8、，pn，那么E(X)卞伯* X2P2乂阿，叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱期望).離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望刻畫了這個(gè)離散型隨機(jī)變量的平均取值水平.2. 離散型隨機(jī)變量的方差一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值是X, , X2 ,，Xn，這些值對(duì)應(yīng)的概率是p, ,P2,Pn，貝VD(X)r(XlE(x)2pi(X2 E X )2P2 HIXn- EX )$Pn 叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量X的方差.離散型隨機(jī)變量的方差反映了離散隨機(jī)變量的取值相對(duì)于期望的平均波動(dòng)的大小(離散程度).D(X)的算術(shù)平方根D(x)叫做離散型隨機(jī)變量 X的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個(gè)衡量離散型隨 機(jī)變量波動(dòng)大小的

9、量.3. X 為隨機(jī)變量，a ,b 為常數(shù)，那么 E(aX baE(X) b , D(aX，b)二a2D(X);4. 典型分布的期望與方差：二點(diǎn)分布：在一次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量X的期望取值為p，在n次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量 二項(xiàng)分布：假設(shè)離散型隨機(jī)變量X的期望取值為np .X服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，那么 E(X)二np ,D(x)二 npq (q =1 _ p).超幾何分布：假設(shè)離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N , M , n的超幾何分布,nM那么 E(X):ND(X)二n(N n)(N M )MN2(N -1)4. 事件的獨(dú)立性如果事件A是否發(fā)生對(duì)事件B發(fā)生的概率沒有影響，

10、即 P(B|A)二P(B), 這時(shí)，我們稱兩個(gè)事件 A, B相互獨(dú)立，并把這兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件.如果事件A , A2 ,，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件都發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā) 生的概率的積，即p(A nA? nnAn) =p(a)卩傀)卩(人),并且上式中任意多個(gè)事 件A換成其對(duì)立事件后等式仍成立.5. 條件概率對(duì)于任何兩個(gè)事件 A和B，在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)PB|A 來表示把由事件A與B的交或積，記做D=A.B 或D = AB .典例分析【例1】判斷以下各對(duì)事件是否是相互獨(dú)立事件容器內(nèi)盛有5個(gè)白乒乓球和3個(gè)黃乒乓球， 從8個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出

11、的 是白球與 從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的還是白球 一筐內(nèi)有6個(gè)蘋果和3個(gè)梨，從中任意取出1個(gè)，取出的是蘋果與 把取出的蘋 果放回筐子，再從筐子中任意取出1個(gè)，取出的是梨甲組3名男生、2名女生；乙組2名男生、3名女生，今從甲、乙兩組中各選 1名 同學(xué)參加演講比賽，從甲組中選出1名男生與從乙組中選出1名女生【例2】 假設(shè)A與B相互獨(dú)立，那么下面選項(xiàng)中不是相互獨(dú)立事件的是A. A 與 A【例3】從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記A =抽到K ,B=抽到的牌是B. A與 BC. A 與 BD. A 與 B黑色的,問事件A , B是否獨(dú)立？【例4】 甲，乙兩袋中分別裝有編號(hào)為1, 2, 3, 4的四個(gè)球.今從甲，乙兩袋中各取出一球，設(shè)A=從甲袋中取出的是偶數(shù)號(hào)球 , B=從乙袋中取出的是奇數(shù)號(hào)球 , C =從兩袋中取出的都是偶數(shù)號(hào)