2019-2020年高中數(shù)學(xué)知識精要15.解析幾何-直線與圓教案新人教A版

1、2019-2020 年高中數(shù)學(xué)知識精要 15.解析幾何-直線與圓教案 新人教 A 版1、直線的傾斜角：（1） 定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點(diǎn)按逆時針方向轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角。當(dāng)直線與軸重合 或平行時，規(guī)定傾斜角為 0；（2）傾斜角的范圍。如（1）直線的傾斜角的范圍是 _（答：）；（2）過點(diǎn)的直線的傾斜角的范圍值的范圍是_（答：）2、直線的斜率：（1） 定義：傾斜角不是 90的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率，即=tan（工90 ）;傾斜角為 90的直線沒有斜率；（2） 斜率公式：經(jīng)過兩點(diǎn)、的直線的斜率為；（3）直

2、線的方向向量，直線的方向向量與 直線的斜率有何關(guān)系？（4）應(yīng)用：證明三點(diǎn)共線：。提醒：（1）直線的傾斜角 a 一定存在，但斜率不一定存在。（2） 直線的傾斜角與斜率的變化關(guān)系：若直線存在斜率k,而傾斜角為 a，則 k=tan a.當(dāng)傾斜角是銳角是，斜率 k 隨著傾斜角 a的增大而增大。當(dāng) a是鈍角時，k 與 a 同增 減.（3） 斜率的求法： 依據(jù)傾斜角：牢記圖像依據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)：依據(jù)直線方程：當(dāng)已知 k,求傾斜角 ak 0 時，a =arctank ； kr二（X3a）+（y0b）r； （2）點(diǎn) M 在圓 C 內(nèi)CM| cr二* a） +（y b） x+E2y+C2=0.把兩式相減得相交弦所在

3、直線方程為：（D1-Dx+（E1-Ey+（C1-C2）=0注意：兩圓相切要區(qū)分內(nèi)切還是外切11、 圓的切線與弦長：（1）切線：過圓上一點(diǎn)圓的切線方程是：，過圓上一點(diǎn)圓的切線方程是：（x -a）（x0-a） （y -a）（y。-a）二R2，一般地，如何求圓的切線方程？（抓住圓心到直線的距離等于半徑）；2從圓外一點(diǎn)引圓的切線一定有兩條，可先設(shè)切線方程，再根據(jù)相切的條件，運(yùn)用幾何方法（抓住圓心到直線的距離等于半徑）來求；過兩切點(diǎn)的直線（即“切點(diǎn)弦”）方程的求法：先求出以已知圓的圓心和這點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓，該圓與已知圓的公共弦就是過兩切點(diǎn)的直線方程；3切線長：過圓x2y2Dx Ey F = 0（）外一點(diǎn)

4、所引圓的切線的長為,x02y。2Dx。Ey。F（）；如設(shè) A 為圓上動點(diǎn)，PA 是圓的切線，且|PA|=1，則 P 點(diǎn)的軌跡方程為 _ （答： ） ；（2）弦長問題：圓的弦長的計(jì)算：常用弦心距，弦長一半及圓的半徑所構(gòu)成的直角三角形來解：；過兩圓、交點(diǎn)的圓（公共弦）系為，當(dāng)時，方程為兩圓公共弦所在直線方程。12.解決直線與圓的關(guān)系問題時，要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用（如半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成直角三角形，切線長定理、割線定理、弦切角定理等等）!圓心在過切點(diǎn)垂直于切線的直線上垂徑定理：弦的垂直平分線過圓心（弦的中點(diǎn)與圓心的連線垂直弦所在的直線）弦心距的 d、半徑 r、弦長 I 的關(guān)系是什么？1

5、2.圓上一定到某點(diǎn)或者某條直線的距離的最大、最小值的求法。（04 年全國卷三.文 16）設(shè)P為圓上的動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最小值為.點(diǎn)評：通過參數(shù)法，將幾何問題轉(zhuǎn)化為三角值域研究也可設(shè)切線，由求出 C,最后由兩平行線間距離公式求出最小值 注意防止由于“零截距”和“無斜率”造成丟解2019-2020 年高中數(shù)學(xué)知識精要 16.解析幾何-圓錐曲線教案 新人教 A 版1. 圓錐曲線的定義：（1）定義中要重視“括號”內(nèi)的限制條件 ：橢圓中，與兩個定點(diǎn) F, F 的距離的和等于常數(shù)，且此 常數(shù)一定要大于，當(dāng)常數(shù)等于時， 軌跡是線段 FF，當(dāng)常數(shù)小于時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點(diǎn) F，F(xiàn) 的距離的差的

6、絕對值等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要小于|FF|，定義中的“絕對值”與 V |FF|不可忽視。若=|FF|，則軌跡是以 F, F 為端點(diǎn)的兩條射線，若 |FF|，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。拋物線定義中，定點(diǎn)和定直線是焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，要注意定點(diǎn)不在定直線上，否則軌跡為過定點(diǎn)且和定直線垂直的直線 .開口向下時。3. 圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）：（1） 橢圓：由，分母的大小決定，焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上。如已知方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，貝 U m 的取值范圍是 _ （答：）（2）雙曲線：由，項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；（3）拋物線：

7、焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上，一次項(xiàng)的符號決定開口方向。特別提醒：（1）在求解橢圓、雙曲線問題時，首先要判斷焦點(diǎn)位置，焦點(diǎn)F, F 的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，而方程中的兩個參數(shù)， 確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時，首先 要判斷開口方向；（2）在橢圓中，最大，在雙曲線中，最大，。4. 圓錐曲線的幾何性質(zhì)：（1）橢圓（以（）為例）：范圍：；焦點(diǎn)：兩個焦點(diǎn)；對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0 ），四個頂點(diǎn)，其中長軸長為 2,短軸長為 2;準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線；離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。女口（ 1）若橢

8、圓的離心率，則的值是 _（答：3 或）；（2）以橢圓上一點(diǎn)和橢圓兩焦點(diǎn)為頂 點(diǎn)的三角形的面積最大值為 1 時，則橢圓長軸的最小值為 （答：）（2）雙曲線（以（）為例）：范圍：或；焦點(diǎn)：兩個焦點(diǎn)；對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0 ），兩個頂點(diǎn)，其中實(shí)軸長為 2，虛軸長為 2,特別地，當(dāng)實(shí)軸和虛軸的長 相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線；離心率：，雙曲線，等軸雙曲線，越小，開口越小，越大，開口越大；兩條漸近線：。如（1）雙曲線的漸近線方程是，則該雙曲線的離心率等于 _ （答：或）；（2）_ 雙曲線的離心率為，則 = （答：4 或）；（3）設(shè)雙曲線（a0,b0 ）中，離心率

9、 e ,2,則兩條漸近線夾角 0 的取值范圍是 _ （答:）；（3）拋物線（以為例）：范圍：；焦點(diǎn)：一個焦點(diǎn)，其中的幾何意義是：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；對稱性：一條對稱軸，沒有對稱中心，只有一個頂點(diǎn)（0,0 ）;準(zhǔn)線：一條準(zhǔn)線；5_離心率：，拋物線。如設(shè)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 _ （答：）；5. 點(diǎn)和橢圓（）的關(guān)系：（1）點(diǎn)在橢圓外；（2）點(diǎn)在橢圓上=1；（3）點(diǎn)在橢圓內(nèi)6 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 ：（1） 相交：直線與橢圓相交；直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點(diǎn)，故是直線與雙曲線相交 的充分條件，但不是必要條件；直線與拋物線

10、相交，但直線與拋物線相交不一定有，當(dāng)直線 與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個交點(diǎn)，故也僅是直線與拋物線相交 的充分條件，但不是必要條件。 女口（ 1）若直線 y=kx+2 與雙曲線 x2-y2=6 的右支有兩個不同的交點(diǎn)，則k 的取值范圍是_ （答：（-,-1）；（2） 直線 ykx 仁 0 與橢圓恒有公共點(diǎn)，貝 U m 的取值范圍是 _ （答： 1， 5） U（5，+8）;（3） 過雙曲線的右焦點(diǎn)直線交雙曲線于 A、B 兩點(diǎn)，若|AB|= 4,則這樣的直線有 _條（答：3）；（2）相切：直線與橢圓相切；直線與雙曲線相切；直線與拋物線相切；（3）相離：直線與橢圓相離；直線與雙曲

11、線相離；直線與拋物線相離。特別提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點(diǎn)時的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交，但只有一個交點(diǎn)；如果直線與拋物線的軸平行時，直線與拋物線相交，也只有一個交點(diǎn)；（2）過雙曲線=1 外一點(diǎn)的直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)的情況如下：P 點(diǎn)在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩 條切線，共四條；P 點(diǎn)在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的 直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；P在兩條漸近線上但非原點(diǎn)，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一

12、條是切線；P 為原點(diǎn)時不存在這樣的直線；（3）過拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行 于對稱軸的直線。如（1）過點(diǎn)作直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)，這樣的直線有 _ （答：2）；（2） 過點(diǎn)（0,2）與雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)的直線的斜率的取值范圍為 _ （答： ） ；（3） 過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于A、B 兩點(diǎn)，若 4,則滿足條件的直線有 _ 條（答: 3）；（4）對于拋物線C:，我們稱滿足的點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部，若點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部，則直線：與拋物線 C 的位置關(guān)系是 _（答：相離）；（5） 過拋物線的焦點(diǎn)作一直線交拋物線于_ P、Q 兩點(diǎn)，若線段 PF 與

13、 FQ 的長分別是、，則（答：1）；（6）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，設(shè)某直線交其左支、右支和右準(zhǔn)線分別于，則和的大小關(guān)系為 _ （填大于、小于或等于）（答：等于）；（7）求橢圓上的點(diǎn)到直線的最短距離（答：）；（8）直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)。當(dāng)為何值時，、分別在雙曲線的兩支上？當(dāng)為何值時，以 AB 為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)？（答：；）；7、 焦半徑（圓錐曲線上的點(diǎn) P 到焦點(diǎn) F 的距離）的計(jì)算方法：利用圓錐曲線的第二定義， 轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，即焦半徑，其中表示P 到與 F 所對應(yīng)的準(zhǔn)線的距離。如（1）已知橢圓上一點(diǎn) P 到橢圓左焦點(diǎn)的距離為 3,則點(diǎn) P 到右準(zhǔn)線的距離為 _（答：）；（2）

14、 已知拋物線方程為，若拋物線上一點(diǎn)到軸的距離等于5,則它到拋物線的焦點(diǎn)的距J _?（3） 若該拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是4,則點(diǎn)的坐標(biāo)為 _ （答：）；（4）點(diǎn) P 在橢圓上，它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩倍，則點(diǎn)P 的橫坐標(biāo)為 _ （答：）；（5） 拋物線上的兩點(diǎn) A、B 到焦點(diǎn)的距離和是 5，則線段 AB 的中點(diǎn)到軸的距離為 _ （答：2）；（6） 橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，F(xiàn) 為右焦點(diǎn)，在橢圓上有一點(diǎn) M 使之值最小，則點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 _（答：）；8、 焦點(diǎn)三角形（橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形）問題：常利用第一定義和正弦、余弦定理求解。設(shè)橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為

15、，焦點(diǎn)的面積為，則在橢圓中，二，且當(dāng)即為短軸端點(diǎn)時，最大為二：，當(dāng)即為短軸端點(diǎn)時，的最大值為、120be；對于雙曲線的焦點(diǎn)三角形有：；Sr1r2si- b2cot。女口（ 1）短軸長為，離2 2心率的橢圓的兩焦點(diǎn)為、，過作直線交橢圓于AB 兩點(diǎn)，則的周長為 _ （答：6）；（2）設(shè) P 是等軸雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是左右焦點(diǎn)，若，|PF1|=6，則該雙曲線的方程為（答：）；（3）橢圓的焦點(diǎn)為 R、F2,點(diǎn) P 為橢圓上的動點(diǎn)，當(dāng) PF2 PF10 時，點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)的取值范圍是 _（答：）；（4）雙曲線的虛軸長為 4，離心率 e=, F1、F2是它的左右焦點(diǎn)，若過 F1的直線與雙曲線的

16、左支交于 A、B 兩點(diǎn)，且是與等差中項(xiàng)，則=_（答：）；（5）已知雙曲線的離心率為 2, F1、F2是左右焦點(diǎn)，P 為雙曲線上一點(diǎn)，且，.求該雙曲線的 標(biāo)準(zhǔn)方程（答：）；9、 拋物線中與焦點(diǎn)弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)： （1）以過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線 相切；（2）設(shè) AB 為焦點(diǎn)弦，M 為準(zhǔn)線與 x 軸的交點(diǎn)，則/ AMF=Z BMF （ 3）設(shè) AB 為焦點(diǎn)弦，AB 在準(zhǔn)線上的射影分別為 A, B,若 P 為 AB 的中點(diǎn)，貝UPAL PB; （4）若 A0 的延長線交準(zhǔn)線 于 C,貝UBC 平行于 x軸，反之，若過 B 點(diǎn)平行于 x 軸的直線交準(zhǔn)線于 C 點(diǎn)，貝UA, 0, C 三點(diǎn)

17、共線。10、 弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn) A、B,且分別為 A、B 的橫坐標(biāo)，則=，若 分別為AB的縱坐標(biāo)，則=，若弦 AB 所在直線方程設(shè)為，則=。特別地，焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn) 的弦）：焦點(diǎn)弦的弦長的計(jì)算，一般不用弦長公式計(jì)算，而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。 如（1）過拋物線 y2=4x 的焦點(diǎn)作直線交拋物線于 A （X1, yj , B （沁,y2）兩點(diǎn)，若 X1+X2=6,那么|AB|等于_（答：8）； （2）過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于AB 兩點(diǎn)，已知|AB|=10 , O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，貝U ABC 重心的橫坐標(biāo)為 _（答：3）；11、圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題：

18、遇到中點(diǎn)弦問題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解。在橢圓中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率 k=；在雙曲線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=；在拋物線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=。女口( 1)如果橢圓弦被點(diǎn) A (4, 2)平分，那么這條弦所在的直線方程是 _(答：);(2)已知直線 y= x+1 與橢圓相交于 A、B 兩點(diǎn)，且線段 AB 的中點(diǎn)在直線 L: x 2y=0 上， 則此橢圓的離心率為 _ (答：);(3)試確定 m 的取值范圍，使得橢圓上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱(答：);特別提醒：因?yàn)槭侵本€與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件，故在求解有關(guān)弦長、對稱問題時，務(wù)必別忘了檢驗(yàn)！12.你了解

19、下列結(jié)論嗎？(1) 雙曲線的漸近線方程為；(2)以為漸近線(即與雙曲線共漸近線)的雙曲線方程為為參數(shù)，工0)。如與雙曲線有共同的漸近線，且過點(diǎn)的雙曲線方程為 _ (答：)(3) 中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為；(4) 橢圓、雙曲線的通徑(過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦)為，焦準(zhǔn)距(焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離)為，拋物線的通徑為，焦準(zhǔn)距為；(5) 通徑是所有焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦)中最短的弦；(6) 若拋物線的焦點(diǎn)弦為 AB,則；(7)若 OA 0B 是過拋物線頂點(diǎn)0 的兩條互相垂直的弦，則直線AB 恒經(jīng)過定點(diǎn)13.動點(diǎn)軌跡方程：(1) 求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡、確定點(diǎn)的范圍

20、；(2) 求軌跡方程的常用方法：1直接法：直接利用條件建立之間的關(guān)系；如已知動點(diǎn) P 到定點(diǎn) F(1,0)和直線的距離之和等于 4，求 P 的軌跡方程.(答：y2- -12(x-4)(3 _ x _4)或)；2待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程一一先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)。 如線段 AB 過 x 軸正半軸上一點(diǎn) M( m 0),端點(diǎn)AB 到 x 軸距離 之積為 2m,以x 軸為對稱軸，過 A、O B 三點(diǎn)作拋物線，則此拋物線方程為 _(答：)；3定義法：先根據(jù)條件得出動點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點(diǎn)的軌跡方程；如(1)由動點(diǎn) P 向圓作兩

21、條切線 PA PB,切點(diǎn)分別為 A、B,/ APB=60,則動點(diǎn) P 的軌跡方程為_ (答: )； (2)點(diǎn) M 與點(diǎn) F(4,0)的距離比它到直線的距離小于 1，則點(diǎn) M 的軌跡方程是 _(答：)；(3) 一動圓與兩圓 O M:和 O N:都外切，則動圓圓心的軌跡為 _ (答：雙曲線的一支)；4代入轉(zhuǎn)移法：動點(diǎn)依賴于另一動點(diǎn)的變化而變化，并且又在某已知曲線上，則可先用的代數(shù)式表示，再將代入已知曲線得要求的軌跡方程；如動點(diǎn) P 是拋物線上任一點(diǎn)，定點(diǎn)為，點(diǎn) M 分所成的比為 2,貝 U M 的軌跡方程為 _ (答:)；5參數(shù)法： 當(dāng)動點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點(diǎn)可用時，可考慮將

22、均 用一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程)。如(1) AB 是圓 O 的直徑,且|AB|=2a, M 為圓上一動點(diǎn)，作 MNLAB 垂足為 N,在 OM 上取點(diǎn)，使，求點(diǎn)的軌跡。(答：)； (2)若點(diǎn)在圓上運(yùn)動，則點(diǎn)的軌跡方程是_ (答: )； ( 3)過拋物線的焦點(diǎn) F 作直線交拋物線于AB 兩點(diǎn)，則弦 AB 的中點(diǎn) M 的軌跡方程是 _(答:)；注意：如果問題中涉及到平面向量知識，那么應(yīng)從已知向量的特點(diǎn)出發(fā)，考慮選擇向量的幾何形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化，還是選擇向量的代數(shù)形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化。如已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是 F1( c, 0)、F2( c,

23、 0), Q 是橢圓外的動點(diǎn)，滿足點(diǎn) P 是線段RQ 與該橢圓的交點(diǎn)， 點(diǎn) T 在 線段 F2Q 上， 并且滿足(1)設(shè)為點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)，證明；(2)求點(diǎn) T 的軌跡 C 的方程；(3)試問：在點(diǎn) T 的軌跡 C 上,是否存在點(diǎn) M 使厶 F1MF 的面積 5=若存在，求/ F1MF 的正切值；若不存在，請說 明理由(答：(1)略；(2)； (3)當(dāng)時不存在；當(dāng)時存在，此時/ RMF= 2)2曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念，尋求軌跡或軌跡方程時應(yīng)注意 軌跡上特殊點(diǎn)對軌跡的“完備性與純粹性”的影響 3在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中， 常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合 （如角平分線的

24、雙重身份一一對稱性、利用到角公式）、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、 “求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等4如果在一條直線上 出現(xiàn)“三個或三個以上的點(diǎn) ”，那么可選擇應(yīng)用“斜率或向量”為橋 梁轉(zhuǎn)化在平行四邊形中，給出（AB - AD） （AB - AD） =0，等于已知是菱形；（10） 在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形；（11）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形 三邊垂直平分線的交點(diǎn)）；（12）在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)）（13）在中，給出OA QB =OB OC =OC OA，等于已知是的垂心（三角形的垂心是 三角形三條高的交點(diǎn)）；（14）在中，給出等于已知通過的內(nèi)心；（15）在中，給出a OA b OB cQC=0,等于已知是的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓