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文檔簡介

1、1. 有一均勻桿，只要桿中任一小段有縱向位移或速度，必導(dǎo)致鄰段的壓縮或伸長，這種伸縮傳開去，就有縱波沿著桿傳播。試推導(dǎo)桿的縱振動(dòng)方程。解：如圖1，假設(shè)，AB段的運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致鄰段受拉。圖中均勻桿選取AB小段，在縱向速度v作用一微小時(shí)間段dt后，運(yùn)動(dòng)到另一位置。u(x,t)為均勻桿上各質(zhì)點(diǎn)的位移函數(shù)。如圖2，對(duì)AB段進(jìn)行受力分析知，AB段在左、右兩端的拉力、和其本身的慣性力的作用下平衡，即三者合力為零。 (1) (2) (3) (4)上式中，S為桿的橫截面積,E為桿的彈性模量，為桿密度。將式(1)、（2）、（3）代入式（4）得， （5）即 （6）當(dāng)dx趨于0時(shí)，有 （7）即 （8）式（8）即所求的縱振

2、動(dòng)方程。2. 混凝土內(nèi)部儲(chǔ)藏著熱量，稱為水化熱，在它澆筑后逐漸釋放，放熱速度和它所儲(chǔ)藏的水化熱成正比。以Q(t) 表示它在單位體積中所儲(chǔ)存的熱量，Q0 初始時(shí)刻所儲(chǔ)存的熱量，則dQ/dt= -Q，其中 為正常數(shù)。又假設(shè)混凝土的比熱為c、密度為，熱傳導(dǎo)系數(shù)為k，求它在澆筑后溫度u 滿足的方程。 解：由已知得，混凝土單位體積所存儲(chǔ)的熱量與時(shí)間的關(guān)系式： （1）變形得： （2）對(duì)式（2）求不定積分，得：+C1 (3)當(dāng)t=0時(shí)，Q=Q0，代入式（3），得：C=Q0。從而，混凝土單位體積存儲(chǔ)的能量與時(shí)間的關(guān)系式為： （4）根據(jù)課件中“熱傳導(dǎo)方程”的求解，單位時(shí)間內(nèi)流入體積V區(qū)域中的凈熱量為：（5）以為研究對(duì)象，則：單位時(shí)間流入dv的靜熱量為：（6）由于混凝土中放出水化熱，則在dv中存在熱源，其單位時(shí)間于dv內(nèi)放出的熱量為： （7） （6）從而，單位時(shí)間內(nèi)dv增加的熱量為： （8）又由于熱力學(xué)第一定律，在單位時(shí)間內(nèi)在dv內(nèi)熱量凈增加為： （9）式（9）改寫成：

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