2019高考數(shù)學(xué)高分突破二輪復(fù)習(xí)練習(xí)：專(zhuān)題三-第2講-空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系-Word版含解析

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)第第 2 講講空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系高考定位1.以幾何體為載體考查空間點(diǎn)、 線、 面位置關(guān)系的判斷， 主要以選擇、填空題的形式，題目難度較?。?.以解答題的形式考查空間平行、垂直的證明，并常與幾何體的表面積、體積相滲透.真 題 感 悟1.(2017全國(guó)卷)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B 為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q 為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線 AB 與平面 MNQ 不平行的是()解析法一對(duì)于選項(xiàng) B，如圖(1)所示，連接 CD，因?yàn)?ABCD，M，Q 分別是所在棱的中點(diǎn)，所以 MQCD，所以 ABMQ，又 A

2、B平面 MNQ，MQ平面 MNQ，所以 AB平面 MNQ.同理可證選項(xiàng) C，D 中均有 AB平面 MNQ.因此A 項(xiàng)中直線 AB 與平面 MNQ 不平行.圖(1)圖(2)法二對(duì)于選項(xiàng) A，其中 O 為 BC 的中點(diǎn)(如圖(2)所示)，連接 OQ，則 OQAB，因?yàn)?OQ 與平面 MNQ 有交點(diǎn)， 所以 AB 與平面 MNQ 有交點(diǎn)， 即 AB 與平面 MNQ精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)不平行.A 項(xiàng)中直線 AB 與平面 MNQ 不平行.答案A2.(2018全國(guó)卷)已知正方體的棱長(zhǎng)為 1， 每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為()A.3 34B.2

3、 33C.3 24D.32解析如圖，依題意，平面與棱 BA，BC，BB1所在直線所成角都相等， 容易得到平面 AB1C 符合題意， 進(jìn)而所有平行于平面 AB1C 的平面均符合題意.由對(duì)稱(chēng)性，知過(guò)正方體 ABCDA1B1C1D1中心的平面面積應(yīng)取最大值，此時(shí)截面為正六邊形 EFGHIJ.正六邊形 EFGHIJ 的邊長(zhǎng)為22， 將該正六邊形分成 6 個(gè)邊長(zhǎng)為22的正三角形.故其面積為 6342223 34.答案A3.(2017全國(guó)卷)如圖，在四棱錐 PABCD 中，ABCD，且BAPCDP90.(1)證明：平面 PAB平面 PAD；(2)若 PAPDABDC，APD90，且四棱錐 PABCD 的體

4、積為83，求該四棱錐的側(cè)面積.(1)證明BAPCDP90，ABPA，CDPD.ABCD，ABPD.又PAPDP，PA，PD平面 PAD，AB平面 PAD.AB平面 PAB，平面 PAB平面 PAD.(2)解取 AD 的中點(diǎn) E，連接 PE.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)PAPD，PEAD.由(1)知，AB平面 PAD，PE平面 PAD，故 ABPE，又 ABADA，可得 PE平面 ABCD.設(shè) ABx，則由已知可得 AD 2x，PE22x，故四棱錐 PABCD 的體積VPABCD13ABADPE13x3.由題設(shè)得13x383，故 x2.從而 PAPDABDC2，ADBC2 2，PB

5、PC2 2，可得四棱錐 PABCD 的側(cè)面積為12PAPD12PAAB12PDDC12BC2sin 6062 3.考 點(diǎn) 整 合1.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)(1)線面平行的判定定理：a，b，aba.(2)線面平行的性質(zhì)定理：a，a，bab.(3)面面平行的判定定理：a，b，abP，a，b.(4)面面平行的性質(zhì)定理：，a，bab.2.直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(1)線面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl.(2)線面垂直的性質(zhì)定理：a，bab.(3)面面垂直的判定定理：a，a.(4)面面垂直的性質(zhì)定理：，l，a，ala.熱點(diǎn)一空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判定【例 1】(2018成都診斷

6、)已知 m，n 是空間中兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，且 m，n.有下列命題：若，則 mn；若，則 m；精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)若l，且 ml，nl，則；若l，且 ml，mn，則.其中真命題的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3解析若，則 mn 或 m，n 異面，不正確；若，根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)，可得 m，正確；若l，且 ml，nl，則與不一定垂直，不正確；若l，且 ml，mn，l 與 n 不一定相交，不能推出，不正確.答案B探究提高1.判斷與空間位置關(guān)系有關(guān)的命題真假的方法(1)借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷.(2)借助空間

7、幾何模型，如從長(zhǎng)方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關(guān)系，結(jié)合有關(guān)定理，進(jìn)行肯定或否定.2.兩點(diǎn)注意： (1)平面幾何中的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中； (2)當(dāng)從正面入手較難時(shí)， 可利用反證法， 推出與題設(shè)或公認(rèn)的結(jié)論相矛盾的命題， 進(jìn)而作出判斷.【訓(xùn)練 1】 (1)(2018石家莊調(diào)研)如圖，在三棱臺(tái) ABCA1B1C1的 6 個(gè)頂點(diǎn)中任取 3 個(gè)點(diǎn)作平面，設(shè)平面 ABCl，若 lA1C1，則這 3 個(gè)點(diǎn)可以是()A.B，C，A1B.B1，C1，AC.A1，B1，CD.A1，B，C1(2)(2018菏澤模擬)已知 m，n 是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列正確的是()A.若 m

8、，n，則 mnB.若，則C.若 m，n，則D.若 m，n，則 mn解析(1)在棱臺(tái)中，ACA1C1，lA1C1，則 lAC 或 l 為直線 AC.因此平面可以過(guò)點(diǎn) A1，B，C1，選項(xiàng) D 正確.(2)結(jié)合長(zhǎng)方體模型，易判定選項(xiàng) A，B，C 不正確.由線面垂直的性質(zhì)，當(dāng) m，n時(shí)，有 mn，D 項(xiàng)正確.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)答案(1)D(2)D熱點(diǎn)二空間平行、垂直關(guān)系的證明【例 2】 如圖，在四棱錐 PABCD 中，ABCD，ABAD，CD2AB， 平面 PAD底面 ABCD， PAAD， E 和 F 分別是 CD和 PC 的中點(diǎn)，求證：(1)PA底面 ABCD；(2)BE

9、平面 PAD；(3)平面 BEF平面 PCD.證明(1)平面 PAD底面 ABCD，且 PA 垂直于這兩個(gè)平面的交線 AD，PA平面 PAD，PA底面 ABCD.(2)ABCD，CD2AB，E 為 CD 的中點(diǎn)，ABDE，且 ABDE.四邊形 ABED 為平行四邊形.BEAD.又BE平面 PAD，AD平面 PAD，BE平面 PAD.(3)ABAD，而且 ABED 為平行四邊形.BECD，ADCD，由(1)知 PA底面 ABCD，且 CD平面 ABCD，PACD，且 PAADA，PA，AD平面 PAD，CD平面 PAD，又 PD平面 PAD，CDPD.E 和 F 分別是 CD 和 PC 的中點(diǎn)，

10、PDEF.CDEF，又 BECD 且 EFBEE，CD平面 BEF，又 CD平面 PCD，平面 BEF平面 PCD.【遷移探究 1】在本例條件下，證明平面 BEF平面 ABCD.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)證明如圖，連接 AC，設(shè) ACBEO，連接 FO，AE.ABCD，CD2AB，CE12CD，AB 綉 CE.四邊形 ABCE 為平行四邊形.O 為 AC 的中點(diǎn)，又 F 為 PC 的中點(diǎn)，則 FOPA，又 PA平面 ABCD，F(xiàn)O平面 ABCD.又 FO平面 BEF，平面 BEF平面 ABCD.【遷移探究 2】在本例條件下，若 ABBC，求證：BE平面 PAC.證明連接 AC，

11、設(shè) ACBEO.ABCD，CD2AB，且 E 為 CD 的中點(diǎn).AB 綉 CE.又ABBC，四邊形 ABCE 為菱形，BEAC.又PA平面 ABCD，又 BE平面 ABCD，PABE，又 PAACA，PA，AC平面 PAC，BE平面 PAC.探究提高垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類(lèi)型.(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.(4)證明面面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.【訓(xùn)練 2】 (2018北京卷)如圖，在四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD 為矩形，平面 PAD平

12、面 ABCD，PAPD，PAPD，E，F(xiàn) 分別為 AD，PB 的中點(diǎn).(1)求證：PEBC；(2)求證：平面 PAB平面 PCD；(3)求證：EF平面 PCD.證明(1)因?yàn)?PAPD，E 為 AD 的中點(diǎn)，所以 PEAD.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)因?yàn)榈酌?ABCD 為矩形，所以 BCAD.所以 PEBC.(2)因?yàn)榈酌?ABCD 為矩形，所以 ABAD.又因?yàn)槠矫?PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，AB平面 ABCD，所以 AB平面 PAD，且 PD平面 PAD.所以 ABPD.又因?yàn)?PAPD，且 PAABA，所以 PD平面 PAB.又 PD平面 PC

13、D，所以平面 PAB平面 PCD.(3)如圖，取 PC 中點(diǎn) G，連接 FG，DG.因?yàn)?F，G 分別為 PB，PC 的中點(diǎn)，所以 FGBC，F(xiàn)G12BC.因?yàn)?ABCD 為矩形，且 E 為 AD 的中點(diǎn)，所以 DEBC，DE12BC.所以 DEFG，DEFG.所以四邊形 DEFG 為平行四邊形.所以 EFDG.又因?yàn)?EF平面 PCD，DG平面 PCD，所以 EF平面 PCD.熱點(diǎn)三平面圖形中的折疊問(wèn)題【例 3】 (2016全國(guó)卷)如圖，菱形 ABCD 的對(duì)角線 AC與 BD 交于點(diǎn) O，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別在 AD，CD 上，AECF，EF 交 BD 于點(diǎn) H，將DEF 沿 EF 折到DEF

14、的位置.(1)證明：ACHD；(2)若 AB5，AC6，AE54，OD2 2，求五棱錐 DABCFE 的體積.(1)證明由已知得 ACBD，ADCD，又由 AECF 得AEADCFCD，故 ACEF，由此得 EFHD，故 EFHD，所以 ACHD.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)(2)解由 EFAC 得OHDOAEAD14.由 AB5，AC6 得 DOBO AB2AO24，所以 OH1，DHDH3，于是 OD2OH2(2 2)2129DH2，故 ODOH.由(1)知 ACHD，又 ACBD，BDHDH，所以 AC平面 BHD，于是 ACOD，又由 ODOH，ACOHO，所以 OD平面

15、 ABC.又由EFACDHDO得 EF92.五邊形 ABCFE 的面積 S126812923694.所以五棱錐 DABCFE 的體積 V136942 223 22.探究提高1.解決與折疊有關(guān)的問(wèn)題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量，一般情況下，線段的長(zhǎng)度是不變量，而位置關(guān)系往往會(huì)發(fā)生變化，抓住不變量是解決問(wèn)題的突破口.一般地翻折后還在同一個(gè)平面上的圖形的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的圖形的性質(zhì)發(fā)生變化.2.在解決問(wèn)題時(shí)，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形，善于將折疊后的量放在原平面圖形中進(jìn)行分析求解.【訓(xùn)練 3】 (2018全國(guó)卷)如圖，在平行四邊形 A

16、BCM中， ABAC3， ACM90.以 AC 為折痕將ACM 折起，使點(diǎn) M 到達(dá)點(diǎn) D 的位置，且 ABDA.(1)證明：平面 ACD平面 ABC；(2)Q 為線段 AD 上一點(diǎn)，P 為線段 BC 上一點(diǎn)，且 BPDQ23DA，求三棱錐 QABP 的體積.(1)證明由已知可得，BAC90，即 BAAC.又 BAAD，ACADD，AC，AD平面 ACD，所以 AB平面 ACD.又 AB平面 ABC，精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)所以平面 ACD平面 ABC.(2)解由已知可得，DCCMAB3，DAAM3 2.又 BPDQ23DA，所以 BP2 2.作 QEAC，垂足為 E，則 Q

17、E 綉13DC.由已知及(1)可得 DC平面 ABC，所以 QE平面 ABC，QE1.因此，三棱錐 QABP 的體積為VQABP13QESABP1311232 2sin 451.1.空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判定(1)可以從線、面的概念、定理出發(fā)，學(xué)會(huì)找特例、反例.(2)可以借助長(zhǎng)方體，在理解空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間線、面的位置關(guān)系的定義.2.垂直、平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線垂直和線線平行，常用方法如下：(1)證明線線平行常用的方法：一是利用平行公理，即證兩直線同時(shí)和第三條直線平行；二是利用平行四邊形進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換：三是利用三角形的中位線定理證線線平行；四是利用線面平行、面面平行的

18、性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換.(2)證明線線垂直常用的方法：利用等腰三角形底邊中線即高線的性質(zhì)；勾股定理；線面垂直的性質(zhì)：即要證兩線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在的平面即可，l，ala.3.解決平面圖形的翻折問(wèn)題，關(guān)鍵是抓住平面圖形翻折前后的不變“性”與“量”，即兩條直線的平行與垂直關(guān)系以及相關(guān)線段的長(zhǎng)度、角度等.一、選擇題1.(2018浙江卷)已知平面，直線 m，n 滿足 m，n，則“mn”是“m”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析若 m，n，mn，由線面平行的判定定理知 m.若 m，m，n，不一定推出

19、 mn，直線 m 與 n 可能異面.故“mn”是“m”的充分不必要條件.答案A2.(2017全國(guó)卷)在正方體 ABCDA1B1C1D1中，E 為棱 CD 的中點(diǎn)，則()A.A1EDC1B.A1EBDC.A1EBC1D.A1EAC解析如圖，由題設(shè)知，A1B1平面 BCC1B1，從而 A1B1BC1.又 B1CBC1，且 A1B1B1CB1，所以 BC1平面 A1B1CD，又A1E平面 A1B1CD，所以 A1EBC1.答案C3.(2018湖南師大聯(lián)考)如圖， 正方體 ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為 1，點(diǎn) M 是對(duì)角線 C1B 上的動(dòng)點(diǎn)，則 CMMD1的最小值為()A. 2 2B.2 2C.

20、2 6D.2解析將CBC1沿 BC，CC1剪開(kāi)，并沿 BC1折起，使平面CBC1和平面 BC1D1A 共面如圖.連 D1C交 BC于點(diǎn) M.則 CMMD1最短(即線段 CD1)，在D1C1C中，D1C1C135，由余弦定理，得 CD211212212cos 1352 2.故 CMMD1的最小值為2 2.答案A4.(2018全國(guó)卷)在正方體 ABCDA1B1C1D1中，E 為棱 CC1的中點(diǎn)，則異面直線 AE 與 CD 所成角的正切值為()A.22B.32C.52D.72解析如圖，連接 BE，因?yàn)?ABCD，所以異面直線 AE 與 CD 所成的角等于相交直線 AE 與 AB 所成的角，即EAB.

21、不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 2，則 CE1，BC精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)2，由勾股定理得 BE 5.又由 AB平面 BCC1B1及 BE平面 BCC1B1，可得ABBE，所以 tanEABBEAB52.答案C5.(2018安徽江南聯(lián)考)對(duì)于四面體 ABCD，有以下命題：若 ABACAD，則AB， AC， AD 與底面所成的角相等； 若 ABCD， ACBD， 則點(diǎn) A 在底面 BCD內(nèi)的射影是BCD 的內(nèi)心； 四面體 ABCD 的四個(gè)面中最多有四個(gè)直角三角形；若四面體 ABCD 的 6 條棱長(zhǎng)都為 1，則它的內(nèi)切球的表面積為6.其中正確的命題是()A.B.C.D.解析正確，若 AB

22、ACAD，則 AB，AC，AD 在底面的射影相等，即與底面所成角相等；不正確，如圖(1)，點(diǎn) A 在平面 BCD 的射影為點(diǎn) O，連接 BO，CO，可得 BOCD，COBD，所以點(diǎn) O 是BCD 的垂心；圖(1)圖(2)正確，如圖(2)，若 AB平面 BCD，BCD90，則四面體 ABCD 的四個(gè)面均為直角三角形；正確， 正四面體的內(nèi)切球的半徑為r， 棱長(zhǎng)為1， 高為63， 根據(jù)等體積公式13S63134Sr，解得 r612，那么內(nèi)切球的表面積 S4r26.故正確的命題是.答案D精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)二、填空題6.如圖，在空間四邊形 ABCD 中，點(diǎn) MAB，點(diǎn) NAD，若

23、AMMBANND，則直線 MN 與平面 BDC 的位置關(guān)系是_.解析由AMMBANND，得 MNBD.而 BD平面 BDC，MN平面 BDC，所以 MN平面 BDC.答案平行7.在正方體 ABCDA1B1C1D1中，E 為線段 B1D1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是_(填序號(hào)).ACBE；B1E平面 ABCD；三棱錐 EABC 的體積為定值；直線 B1E直線 BC1.解析因 AC平面 BDD1B1，而 BE平面 BDD1B1，故正確；因 B1D1平面ABCD，故正確；記正方體的體積為 V，則 VEABC16V，為定值，故正確；B1E 與 BC1不垂直，故錯(cuò)誤.答案8.如圖，在四邊形 ABC

24、D 中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，將ADB 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，構(gòu)成三棱錐 ABCD，則在三棱錐 ABCD 中，下列命題正確的是_(填序號(hào)).平面 ABD平面 ABC平面 ADC平面 BDC平面 ABC平面 BDC平面 ADC平面 ABC解析因?yàn)樵谒倪呅?ABCD 中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，所以 BDCD，又平面 ABD平面 BCD，且平面 ABD平面 BCDBD，CD平面 BCD，所以 CD平面 ABD，又 AB平面 ABD，則 CDAB，又 ADAB，ADCDD，精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)所以 AB平面 ADC

25、，又 AB平面 ABC，所以平面 ABC平面 ADC.答案三、解答題9.(2018江蘇卷)在平行六面體 ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1.求證：(1)AB平面 A1B1C；(2)平面 ABB1A1平面 A1BC.證明(1)在平行六面體 ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1.因?yàn)?AB平面 A1B1C，A1B1平面 A1B1C，所以 AB平面 A1B1C.(2)在平行六面體 ABCDA1B1C1D1中，四邊形 ABB1A1為平行四邊形.又因?yàn)?AA1AB，所以四邊形 ABB1A1為菱形，因此 AB1A1B.又因?yàn)?AB1B1C1，BCB1C1，所以 AB1BC.又因?yàn)?A1BBCB，A1B平面 A1BC，BC平面 A1BC，所以 AB1平面 A1BC.因?yàn)?AB1平面 ABB1A1，所以平面 ABB1A1平面 A1BC.10.(2018濰坊三模)如圖所示，五面體 ABCDEF 中，四邊形 ACFD 是等腰梯形，ADCF，DAC3，BC平面ACFD，CAC