等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及性質(zhì)

1、 細(xì)節(jié)決定成敗細(xì)節(jié)決定成敗 態(tài)度決定一切態(tài)度決定一切 引入：印度國際象棋發(fā)明者的故事引入：印度國際象棋發(fā)明者的故事（西（西 薩）薩）引入新課它是以為首項(xiàng)公比是的等比數(shù)列，它是以為首項(xiàng)公比是的等比數(shù)列，64S23631 2222 .分析：分析：由于每格的麥粒數(shù)都是前一格的倍，由于每格的麥粒數(shù)都是前一格的倍，共有共有64格每格所放的麥粒數(shù)依次為：格每格所放的麥粒數(shù)依次為：麥粒的總數(shù)為麥粒的總數(shù)為:23631,2,2 ,2 ,2 .64S236312222 .(1)請同學(xué)們考慮如何求出這個(gè)和？請同學(xué)們考慮如何求出這個(gè)和？642S23632(1 2222 ).642S即23636422222 .(2)

2、64642SS23463(1 2 2222 ) 2346364(2 22222 )230 - 1 = 1073741823646421S 這種求和的方法,就是錯(cuò)位相減法!191.84 1018446744073709551615 如果如果1000粒麥粒重為粒麥粒重為40克，克，那么這些麥粒的總質(zhì)量就是那么這些麥粒的總質(zhì)量就是7300多億噸。根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料顯多億噸。根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料顯示，全世界小麥的年產(chǎn)量約為示，全世界小麥的年產(chǎn)量約為6億噸，就是說全世界都要億噸，就是說全世界都要1000多年才能生產(chǎn)這么多小麥，多年才能生產(chǎn)這么多小麥，國王無論如何是不能實(shí)現(xiàn)發(fā)明國王無論如何是不能實(shí)現(xiàn)發(fā)明者的要求的。者的

3、要求的。 如何求等比數(shù)列的如何求等比數(shù)列的Sn:Sn:nnnaaaaaS132111212111nnnqaqaqaqaaSnnnqaqaqaqaqaqS11131211 ，得nnqaaSq1100)1 (nnqaaSq11)1 (錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法qqaaqqaaSnnn11111:1時(shí)q1.1.使用公式求和時(shí)，需注意對(duì)使用公式求和時(shí)，需注意對(duì) 和和 的情況加以討論；的情況加以討論；1q1q2.2.推導(dǎo)公式的方法：推導(dǎo)公式的方法：錯(cuò)位相減法。錯(cuò)位相減法。注意：注意：顯然，當(dāng)q=1時(shí)，1naSn,11111qqaaqqannnS,1na( q=1).(q1).等比數(shù)列的前n項(xiàng)和表述為：1)(q

4、證法二：證法二：借助借助Sn-an =Sn-1 (一) 用等比定理推導(dǎo) 用等比定理：等比定理：證法三：證法三：已知a1 、n、 q時(shí)已知a1 、an、 q時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式知三求二 (1)(1) 等比數(shù)列前等比數(shù)列前n n項(xiàng)和公式：項(xiàng)和公式：等比數(shù)列前等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式你了解多少？你了解多少？Sn=1-q(q=1)(q=1)qaan11naSn=1-q(q=1)(q=1)1 (1nqa1na (2)(2) 等比數(shù)列前等比數(shù)列前n n項(xiàng)和公式的應(yīng)用：項(xiàng)和公式的應(yīng)用：1.1.在使用公式時(shí)在使用公式時(shí). .注意注意q q的取值的取值是利用公式的前提；是利用公式的前提；. .在使用公式

5、時(shí)，要根據(jù)題意，適當(dāng)選擇公式。在使用公式時(shí)，要根據(jù)題意，適當(dāng)選擇公式。利用“錯(cuò)位相減法”推導(dǎo) (3)(3) 兩個(gè)等比數(shù)列前等比數(shù)列前n n項(xiàng)和公式中任知其三可以求其二：項(xiàng)和公式中任知其三可以求其二：例1、求下列等比數(shù)列前8項(xiàng)的和,81,41,21)1(0,2431,27)2(91qaa解：時(shí)所以當(dāng)8n 256255211211218nS:,2431,2791可得由aa)2(8272431q)1(因?yàn)?1,211qa可得：又由, 0q31q時(shí)于是當(dāng)8n 811640)31(1311278nS :a2n量中，求滿足下列條件的、在等比數(shù)列例nnsaanq和求.21,5,2)2(1nqsaann和求.

6、341,512, 1)3(1nsaa求,2)1(31解：21,5,2)2(1anq得：代入qqasqaannnn11,11182214415qaa2311221212121555s可得代入將qqaannnnSSaa111341,512, 1)3(2.1)512(1341qqq解得：10)2(1512,111nqaannn解得：所以因?yàn)?12)1(231qqaa即nnaSqn222211，所以，時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列當(dāng)nqqannnSq) 1(11) 1(1) 1(1 21)1 (1時(shí)，當(dāng)說明：選擇適當(dāng)?shù)墓?。并且要根?jù)具體題意，中，只知三可求二，在五個(gè)變量nnSanqa,1.作為第一要素來考慮。的取

7、值，應(yīng)把它意在利用公式，一定要注q例3.某商場今年銷售計(jì)算機(jī)5000臺(tái)，如果平均每年的銷售量比上一年的銷售量增加10%，那么從今起，大約幾年可使總銷售量達(dá)到30000臺(tái)(結(jié)果保留到個(gè)位)？分析：第1年產(chǎn)量為 5000臺(tái)第2年產(chǎn)量為 5000(1+10%)=50001.1臺(tái)第3年產(chǎn)量為5000(1+10%) (1+10%)臺(tái)21 . 15000第n年產(chǎn)量為臺(tái)11 . 15000n則n年內(nèi)的總產(chǎn)量為：121 . 151 . 151 . 155n 1數(shù)列2n1的前99項(xiàng)和為() A21001B12100 C2991 D1299答案：C 2在等比數(shù)列an中，已知a13，an96，Sn189，則n的值為

8、() A4 B5 C6 D7答案：C 3已知等比數(shù)列an中，an0，n1,2,3，a22，a48，則前5項(xiàng)和S5的值為_答案：31 4在等比數(shù)列an中，已知a1a2an2n1，則a12a22an2等于_ 5設(shè)數(shù)列an是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且S33a3，求公比q的值 點(diǎn)評(píng)在求含有參數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，容易忽略對(duì)a1和q1的討論，從而丟掉一種情況 在運(yùn)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和時(shí)，要注意以下四個(gè)問題： (1)注意對(duì)q的討論，在前面的討論中，我們已知q是等比數(shù)列bn的公比，所以q0，但求和Sn12x3x2nxn1時(shí)，就應(yīng)分x0、x1和x0且x1三種情況討論 (2)注意相消的規(guī)律 (3)注意

9、相消后式子(1q)Sn的構(gòu)成，以及其中成等比數(shù)列的一部分的和的項(xiàng)數(shù) (4)應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q1這一前提條件如果不能確定公比q是否為1，應(yīng)分兩種情況討論，這在以前高考中經(jīng)常考查.3求和：)0(3232xnxxxxSnnLL1.已知數(shù)列前已知數(shù)列前n項(xiàng)和項(xiàng)和sn=2n-1，則此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)的前，則此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)的前n 項(xiàng)的和是項(xiàng)的和是 . 2.設(shè)設(shè)an為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，為等比數(shù)列， a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3分別求出分別求出an及及bn的前的前10項(xiàng)的和項(xiàng)的和S10及及T10。3.設(shè)設(shè)an為等比數(shù)列，為等比數(shù)列，Tnna1+(n一一1)a2+2a