2014數(shù)學(xué)建模B題

1、20142014 高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽章程和全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽參賽規(guī)則（以下簡(jiǎn)稱為“競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽網(wǎng)站下載）。我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公 開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考 文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)

2、賽章程和參賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們授權(quán)全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)，可將我們的論文以任何形式進(jìn)行公開展示（包括進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號(hào)是（從 A/B/C/D 中選擇一項(xiàng)填寫）：B我們的報(bào)名參賽隊(duì)號(hào)為（8 位數(shù)字組成的編號(hào)）：所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜簠①愱?duì)員（打印并簽名）：1.2.3.指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人（打印并簽名）：（論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無需簽名。以上內(nèi)容請(qǐng)仔細(xì) 核對(duì)，提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯(cuò)誤，論文可能被取消評(píng)獎(jiǎng)資格。）日期：年月日20142014 高教社杯全國(guó)大學(xué)

3、生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：編號(hào)專用頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）:賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào) ）：創(chuàng)意平板折疊桌的設(shè)計(jì)摘要隨著人類思維的不斷進(jìn)步，極具創(chuàng)意的作品也層出不窮。本文對(duì)創(chuàng)意平板折疊桌進(jìn)行分析， 運(yùn)用三維坐標(biāo)對(duì)不同平板折疊桌的結(jié)構(gòu)進(jìn)行描述。桌子外形由直紋曲面構(gòu)成，桌面近似圓形， 桌腿分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根 木條上。隨著鉸鏈的活動(dòng)，折疊桌可以平攤成一張平板，折疊時(shí)，沿木條有空槽以保證

4、滑動(dòng) 的自由度。此折疊桌不僅設(shè)計(jì)精妙，造型美觀。而且具有一定的實(shí)用價(jià)值，節(jié)省存儲(chǔ)空間。針對(duì)問題一，給定了一塊平板的長(zhǎng)寬高、木條寬度、以及折疊桌的高度。以折疊桌的某一 桌腳為原點(diǎn)，利用對(duì)稱性，建立空間直角坐標(biāo)系。通過構(gòu)建幾何模型來找出桌面與最外側(cè)桌 腳木條的夾角（銳角）關(guān)系。然后運(yùn)用三角函數(shù)計(jì)算出每根桌腳木條的長(zhǎng)度以及開槽的大小。設(shè)每根桌腳木條與桌面的夾角為變量，通過幾何關(guān)系，列出每條桌腳頂點(diǎn)處的坐標(biāo)x,y,z 分別滿足的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式編寫 MATLAB 程序，畫出桌腳邊緣線變化過程。最后根據(jù)每個(gè) 桌腳點(diǎn)在折疊過程中的改變，加入動(dòng)態(tài)函數(shù)，用MATLAB 畫出折疊桌的動(dòng)態(tài)過程。針對(duì)問題二，

5、根據(jù)穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少這三個(gè)限制條件求出非線性規(guī)劃的目標(biāo) 函數(shù)和約束條件。由于問題一中要求穩(wěn)固性好，所以對(duì)折疊桌的受力點(diǎn)做受力分析，為了使 桌子承受最大的力量，對(duì)作用于折疊桌的壓力、支持力、摩擦力等作分析。一個(gè)好的設(shè)計(jì)沒 有實(shí)用性就不能使用，所以我們把受力分析放在首要地位。為了使加工方便和用材最少，在 保證穩(wěn)固性的前提下減少使用的鋼筋數(shù)量和選擇最優(yōu)加工參數(shù)。同時(shí)加工方便與材料的質(zhì)地 也有關(guān)，但是我們這里不考慮，20142014 高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽統(tǒng)一用木質(zhì)平板。根據(jù)以上三個(gè)約束條件，運(yùn)用最優(yōu)化的方 法建立非線性規(guī)劃模型，再用 MATLAB求出最優(yōu)解，得到最優(yōu)的加工設(shè)計(jì)參數(shù)

6、。針對(duì)問題三，在問題一與問題二的模型基礎(chǔ)上， 設(shè)計(jì)出兩種創(chuàng)意平板折疊桌。創(chuàng)意平板折 疊桌一為桌面類似為菱形的折疊桌， 建立坐標(biāo)系得出菱形桌面和桌腿木條的方程， 用 MATLAB 進(jìn)行編程，畫出其動(dòng)態(tài)圖形。創(chuàng)意平板折疊桌二采用題目已給的圖，采用一定的拼接技術(shù)， 可根據(jù)顧客需求拼接出滿足條件的的折疊桌。關(guān)鍵詞 ：邊緣線 MATLABLINGO 受力分析最優(yōu)化一、問題重述1.1 背景知識(shí) 問題中的折疊桌是由直紋曲面構(gòu)建而成，其形狀特殊，外形美觀，功能實(shí)用。直紋曲面在 工程和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用。柱面，錐面的廣泛應(yīng)用不勝枚舉。從日常生活到航天 航空，從微觀世界到浩瀚太空。到處可見柱面和錐面的身影

7、。而且由直紋曲面構(gòu)成的這種可 展結(jié)構(gòu)容易存貯和運(yùn)輸，當(dāng)需要的時(shí)候，它們可以展開成工作狀態(tài)。根據(jù)其用途不同可分為 空間可展結(jié)構(gòu)和地面可展結(jié)構(gòu)。1.2 要解決的問題 折疊桌桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動(dòng)可以平攤成一張平板。桌腿由若干根木條組成，分成兩組， 每組各用一根鋼筋將木條連接， 鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條 上，并且沿木條有空槽以保證滑動(dòng)的自由度。問題一、給定長(zhǎng)方形平板尺寸為 120cmK50cmK3cm,每根木條寬 2.5cm,連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為 53cm 。試建立模型描述此折疊 桌的動(dòng)態(tài)變化過程,在此基礎(chǔ)上給出此折疊桌的設(shè)計(jì)

8、加工參數(shù)和桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述（模型）。問題二、折疊桌的設(shè)計(jì)應(yīng)做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。對(duì)于任意給定的折 疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計(jì)要求,討論長(zhǎng)方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù), 例如，平板尺寸、鋼筋位置、開槽長(zhǎng)度等。對(duì)實(shí)例桌高70cm，桌面直徑 80cm 的情形，確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。問題三、公司計(jì)劃開發(fā)一種折疊桌設(shè)計(jì)軟件，根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊 緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實(shí)可行的最優(yōu) 設(shè)計(jì)加工參數(shù)，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀。你們團(tuán)隊(duì)的任務(wù)是幫助給 出這一軟件設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)所建立的模型給出幾

9、個(gè)你們自己設(shè)計(jì)的創(chuàng)意平板折疊桌。 要求給出相應(yīng)的設(shè)計(jì)加工參數(shù)，畫出至少 8 張動(dòng)態(tài)變化過程的示意圖。圖 1圖 2圖 3圖 4二、問題分析本題描述的折疊桌桌面呈圓形， 桌腿隨著鉸鏈的活動(dòng)可以平攤成一張平板。 桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè) 的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動(dòng)的自由度。利用三維軟件（UG、proe、3D 等）畫圖用來協(xié)助分析。平板折疊桌問題關(guān)鍵在于用函數(shù)表達(dá)式描述出折疊的過程。不僅要理解在 折疊過程中每一根桌腳木條和桌面的角度變化，更要理解在折疊過程中每一根木條在開槽中 的滑動(dòng)過程。由于最外側(cè)的桌腳木條用來固定鋼筋

10、，所以不需要設(shè)計(jì)開槽。從最外側(cè)兩端向 內(nèi)，開槽越來越大，最中間的一個(gè)或兩個(gè)桌腿木條開槽長(zhǎng)度達(dá)到最大。同時(shí)在折疊過程中， 隨著桌腳木條和桌面的內(nèi)側(cè)夾角逐漸減小，鋼筋在開槽的內(nèi)自上向下移動(dòng)（除最外側(cè)桌腿木條外），由于鋼筋兩端固定，當(dāng)每一條桌腿木條的鋼筋達(dá)到開槽最低點(diǎn)處，平板桌固定，不再移 動(dòng)。針對(duì)問題一：此問題中給出了平板的相關(guān)尺寸以及每根木條的寬。同時(shí)限制了折疊桌折疊后的高度和鋼筋的位置。利用這些數(shù)據(jù)通過建立三維坐標(biāo)系，不難得到有關(guān)折疊桌的設(shè)計(jì)加 工參數(shù)，同時(shí)，假設(shè)桌腿木條和桌面的夾角為；:0，以桌面圓心為坐標(biāo)系原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題目已給的參數(shù)和幾何關(guān)系分別表示出桌面 x,y,z 坐標(biāo)

11、函數(shù)。同理可得桌腿、腿尖、 鋼筋軸的坐標(biāo)函數(shù)。給定一個(gè)山根據(jù)這些函數(shù)，應(yīng)用 MATLAB 程序畫出折疊桌的動(dòng)態(tài)圖。中 通過改變角度的大小，列出桌腿在 x,y,z 方向上的函數(shù)便可以數(shù)學(xué)描述出邊緣線。然后利用 MATLAB 做出動(dòng)態(tài)圖。針對(duì)問題二：根據(jù)穩(wěn)固性好，加工方便，和用材最少三個(gè)約束條件便可以列出相關(guān)的非線 性規(guī)劃方程。用 MATLAB 或 LINGO 就可以求解出最優(yōu)的設(shè)計(jì)加工參數(shù)。通過第一問的各因 素相互關(guān)系及 半成品”模型進(jìn)一步來解答第二問， 第二問題目中要求的穩(wěn)固性好即就是需要我 們進(jìn)行受力分析。受力分析可從這幾點(diǎn)考慮，1 重心位置越低，結(jié)構(gòu)越穩(wěn)定？2、支撐面積越大，結(jié)構(gòu)越穩(wěn)定 3

12、、結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性與結(jié)構(gòu)的形狀有關(guān) 4、桌子的穩(wěn)固性與桌腿和地面夾角有關(guān) 根據(jù)題意，根據(jù)這些方面，進(jìn)一步做力學(xué)分析。怎樣才能讓桌子承受的力最大，需要對(duì)不同狀態(tài)做靜力和摩擦力分析，這與腳角鋼筋鏈接曹等因素相關(guān)。加工方便要求我們所給尺寸合理，加工巧妙，不至于有多余或者補(bǔ)料的 情形，和用料最少有點(diǎn)相似，用料最少，如若能達(dá)到不浪費(fèi)一點(diǎn)點(diǎn)木材就算是最優(yōu)解了，這 就需要分析木板、木條、桌面直徑等相關(guān)因素的關(guān)系，最后確定木板長(zhǎng)、寬、高、木條數(shù)等 之間因素的最優(yōu)參數(shù)。然后將幾個(gè)相對(duì) 理想”因素?cái)?shù)值帶入第一問求出來的模型，輸入實(shí)際值： 桌高 70?cm,桌面直徑80?cm。在逐步求解。針對(duì)問題三：基于問題一與問題二

13、的模型基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)出兩種創(chuàng)意平板折疊桌模型。模型一為桌面類似為菱形的折疊桌，其原理為對(duì)菱形桌面邊緣線的數(shù)據(jù)分析，建立空間坐標(biāo)系得 出菱形桌面和桌腿木條的方程，利用 MATLAB 軟件進(jìn)行編程，畫出其動(dòng)態(tài)圖形。模型二采用 模型一的圖，采用一定的拼接技術(shù)，可根據(jù)顧客需求拼接出滿足需要的的折疊桌。三、模型假設(shè)1、材料性能和實(shí)際加工誤差對(duì)設(shè)計(jì)無影響2、木條間縫隙尺寸為零。3、木條與圓桌面之間的交接處無間隙。4、鋼筋尺寸不計(jì)。5、忽略開槽寬度6 數(shù)據(jù)保留一個(gè)小數(shù)點(diǎn)對(duì)結(jié)果無影響四、符號(hào)說明符號(hào)說明t最長(zhǎng)的桌腿木條與桌面的夾角桌腿木條總數(shù)折疊桌與地面的高度桌腿木條的寬度桌腿木條的長(zhǎng)度第 i 跟木條為圖中 0

14、A 的距離為圖中圓桌面的半徑卡槽的長(zhǎng)度為圖中 AG 的長(zhǎng)度為圖中 CiDi的長(zhǎng)度最外側(cè)桌腿鋼筋位置到桌腳的距離五、名詞解釋5.1 直紋曲面：有一個(gè)連續(xù)族（或幾族）直線所構(gòu)成的曲面叫做直紋曲面。也可以定義為一 直線依某種規(guī)律移動(dòng)產(chǎn)生的曲面。構(gòu)成曲面的那族直線叫做這曲面的一族直母線5.2 力矩：在物理學(xué)里，作用力使物體繞著轉(zhuǎn)動(dòng)軸或支點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的趨向，稱為力矩（torque） 。力矩的單位是牛頓-米。力矩希臘字母是 tau。力矩的概念，起源于阿基米德對(duì)杠桿的研究。轉(zhuǎn) 動(dòng)力矩又稱為轉(zhuǎn)矩或扭矩。力矩能夠使物體改變其旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。推擠或拖拉涉及到作用力，而 扭轉(zhuǎn)則涉及到力矩。力矩等于徑向矢量與作用力的叉積。？（不

15、是點(diǎn)乘，叉積和乘積不一樣）六、模型建立及求解6.1 問題一的模型建立及求解：（1）在考慮問題一時(shí)， 首先我們要分析題目中給了哪些相關(guān)的量， 題目中最先提出了桌面 為圓形，我們可以從直徑入手。有平板的長(zhǎng)寬高和木條的寬度我們可以得到木條的數(shù)量。其 中還有鋼筋和卡槽的位置都可以作為求解時(shí)的數(shù)據(jù)。（2）我們畫出折疊桌的平面俯視圖以及側(cè)視圖如圖圖 6.1.1圖 6.1.2其中平板長(zhǎng)為 120cm,寬度為 50cm,每根木條寬度為 2.5cm,由圓的對(duì)稱性我們只需對(duì) 四分之一（右下）圓進(jìn)行分析，如圖：我們由外向內(nèi)進(jìn)行計(jì)算，每根木條桌椅最內(nèi)側(cè)？Di到?Ei距 離：印二r2一 b2?則每根木條長(zhǎng)度為 G 二丄

16、so-a，再根據(jù)木桌完全展開后桌腿側(cè)面圖進(jìn)行v2分析如圖，可算得各開槽長(zhǎng)度（q）2一（叩）_（宜_糾十，其中有平板長(zhǎng)度V 2 2222和木條寬度可以得到四分之一圓（右下）共有十根木條。（3）以任意一個(gè)桌腳為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)定最外層桌腿與x 軸的夾角為，標(biāo)注出鋼筋的所在位置。如下圖所示：圖 6.1.3（4）用 MATLAB 編程，（見附錄程序一）可得到每條桌腿木條的長(zhǎng)度和開槽的大小，由于桌腿木 條分為兩組，每組有 20 根木條，且每組桌腿也對(duì)稱。所以表格中只列出1/4 的桌腿木條長(zhǎng)度和卡槽大小。得到的數(shù)據(jù)如下：表 6.4.4 折疊桌腿和開槽長(zhǎng)度12345678910C52.146.84

17、3.4：41.0:39.137.636.535.735.235.0K05.510.615.018.721.623.925.526.627.2（5）因?yàn)檎郫B桌的沿中心軸對(duì)稱，所以我們只以1/4 的桌子來考慮，其他的對(duì)稱就行，由于平板為長(zhǎng)方體，所以每根木條的桌腳在鋼筋軸的下方加上各自的開槽長(zhǎng)度相等，即最外側(cè)桌 腳長(zhǎng)度的一半，在前面我們已經(jīng)求出了每根木條的卡槽長(zhǎng)度，在桌椅完全展開的情況下求得 木條與桌面的最大夾角對(duì)于任意角度？都滿足一個(gè)函數(shù)等 式？X=C1*COS：-（ci）（見附錄程序三）2圖 6.1.4圖 6.1.5做動(dòng)態(tài)圖時(shí)，首先要建立直角坐標(biāo)系，假設(shè)桌腿木條和桌面的夾角為co s,）以桌面圓

18、心為坐標(biāo)系原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題目已給的參數(shù)和幾何關(guān)系分別表示出桌面 x,y,z 坐標(biāo)函數(shù)。根據(jù)這些函數(shù)，應(yīng)用 MATLAB 程序（見附錄程序二）畫出折疊桌的動(dòng)態(tài)圖。以下為動(dòng)態(tài)圖的四個(gè)動(dòng)態(tài)過程圖 6.1.66.2 問題二模型建立與求解co S-（1）根據(jù)問題二題目要求折疊桌的設(shè)計(jì)應(yīng)做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少，對(duì)與 顧客任意給定桌面的高度和木條寬度m0進(jìn)行折疊桌椅設(shè)計(jì)，通過建立多目標(biāo)優(yōu)化模型來 求解。(2) 產(chǎn)品的穩(wěn)定性：對(duì)桌椅四分之一桌腿進(jìn)行力矩分析如圖 621 所示，若要桌椅的穩(wěn)定新較好 擇期受力要穩(wěn)定，通過問題一已得結(jié)果對(duì)我們的可以輕易的知道在桌椅完全展開后，隨著最 外側(cè)

19、支撐木條桌椅逐個(gè)內(nèi)側(cè)增加時(shí)，桌椅木條與桌面的夾角是逐漸增大的。對(duì)完全展開后的 桌椅進(jìn)行受力分析如下圖：圖 6.2.1(3)我們整體的對(duì)受力最復(fù)雜的鋼筋進(jìn)行受力分析，簡(jiǎn)化模型，此時(shí)只存在兩種木條，一 種是木條與桌面夾角小于 90另一種則是木條與桌面夾角大于 90只有這樣鋼筋的受力分析 才能達(dá)到如圖效果，如果木條與桌面全部小于或大于90則受力不可能達(dá)到穩(wěn)定，有考慮到每根木條的受力大小均衡，在木條夾角漸變過程是與桌面夾角大于或小于9的木條數(shù)應(yīng)該盡可能相等，所以我們對(duì)四分之一桌角的中間桌腿與桌面夾角經(jīng)行分析的到方程及其約束條件喬90加工方便：我們建立模型時(shí)要求在滿足顧客要求的同時(shí)盡可能的是木條寬度最大

20、，因?yàn)樵趯?shí)際生產(chǎn)中，模板是整體進(jìn)行切割，如果木條寬度越大則木條數(shù)九越少這樣在實(shí)際模 板切割的時(shí)候難度就會(huì)減低，從而達(dá)到加工方面的優(yōu)化。用材最少：由問題已可知在給定模板寬度以及高度時(shí)，要是所用木材最少即為模板的長(zhǎng)度最 小，在模型中我們以最中間的木條建立約束條件，在滿足參數(shù)要求的同時(shí)使得內(nèi)側(cè)木條最短 則整個(gè)模板就是最短的，從而達(dá)到用材最少的優(yōu)化目標(biāo)，由問題一中的圖可知在桌子完全展 開后最內(nèi)側(cè)的桌腿想上移動(dòng)距離是最大，再鋼筋剛好達(dá)到該木條最下端是此時(shí)是一個(gè)臨界值， 可得約束條件,(S0-s-(d0-t)cos)2；-hot _d:：0。通過以上分析建立多目標(biāo)優(yōu)化方程如下：(4)求得的結(jié)果如下：MAT

21、LABS 序見附錄程序四表 6.2.2 問題二的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)12345678910C81.572.4r 67.0 163.0r 60.057.756.054.854.253.9K04.68.311.614.416.618.419.720.420.76.3 問題三模型建立與求解(1)是在第二問的基礎(chǔ)上繼續(xù)完善數(shù)學(xué)模型，將模型轉(zhuǎn)換為帶坐標(biāo)的方程格式，將其余的 設(shè)計(jì)參數(shù)設(shè)置成桌高、木條數(shù)、邊緣線坐標(biāo)等的方程，形成一系列數(shù)量關(guān)系式，達(dá)到只要我 們將客戶需求的數(shù)據(jù)輸入關(guān)系式，就會(huì)得出一組設(shè)計(jì)參數(shù)，此功能可以在MATLAB 或者EXCEL 中實(shí)現(xiàn)，設(shè)置好自己的未知數(shù)和方程(請(qǐng)記得將公式文件或者編程代碼

22、放在附件中)，然后隨便賦值，直接得出設(shè)計(jì)參數(shù)。最后就是隨便給一組數(shù)據(jù)(客戶需求)設(shè)計(jì)一款成品。通過 賦值，得出設(shè)計(jì)參數(shù)，利用三維軟件制作出來。注：尺寸分析盡量用機(jī)械軟件分析，數(shù)據(jù)精確度高，動(dòng)態(tài)分析利用仿真能達(dá)到，機(jī)械軟 件初學(xué)者還是建議用 3D 仿真，因?yàn)闄C(jī)械軟件運(yùn)動(dòng)仿真過程繁雜，3D 仿真效果隨意，而且燈 光效果不錯(cuò)，但機(jī)械軟件對(duì)許多尺寸設(shè)計(jì)合理與否能檢測(cè)出來，截屏保存，仿真后感興趣的 同學(xué)可以輸出 GIF 格式的圖片或者視頻，如果所有軟件都是初學(xué)者，仿真不能達(dá)到就只能隨 機(jī)找到 8 個(gè)動(dòng)態(tài)位置裝配完成截屏保存就行，這種辦法不能檢測(cè)設(shè)計(jì)參數(shù)合理與否，不到萬 不得已不建議用這種辦法。軟件選擇有

23、利有弊，一定要根據(jù)自己的實(shí)際情況選擇。(2) 創(chuàng)意折疊桌一：其桌面為菱形，通過問題一程序的改變便可以做出動(dòng)態(tài)圖。根據(jù)程序 運(yùn)行的結(jié)果，可比較出菱形桌較圓形桌雖然桌面面積有所下降，但折疊桌高度增加，此折疊 桌設(shè)計(jì)更適用于較高人群使用。同時(shí)，由于菱行曲線較圓形曲線設(shè)計(jì)更為簡(jiǎn)單，誤差更小。 所以加工方便。( MATLAB 見附錄程序五)(3) 動(dòng)態(tài)圖：五、模型分析通過觀察此模型求出的參數(shù)對(duì)比實(shí)際木桌的尺寸進(jìn)行比較， 基本滿足實(shí)際木桌的數(shù)值， 說 明此模型求出的結(jié)果是符合要求，具有較高的可行性、可信度?？梢哉J(rèn)為在參數(shù)的求解過程 中，空間模型建立過程到問題的求解，誤差在一定范圍內(nèi)；可以認(rèn)為此模型，算法程

24、序設(shè)計(jì) 使用符合題目的要求。通過與實(shí)際承諾書對(duì)比比較，具有較大的參考價(jià)值。六、模型的評(píng)價(jià)模型的優(yōu)點(diǎn)： ?(1)將實(shí)物桌子的桌腿和桌面轉(zhuǎn)化為點(diǎn)、線、面的問題，簡(jiǎn)化了問題的復(fù)雜性，降低了 計(jì)算難度。?(2)模型利用了計(jì)算機(jī)的能力和人的空間分析能力，使得模型的可實(shí)際參考價(jià)值增大。 ?(3)模型采用了多種數(shù)學(xué)方法，減小了數(shù)字處理的誤差，提高了結(jié)果的可行度。 模型的缺點(diǎn)：?(1)沒有考慮桌腿和桌面的厚度。?(2)沒有考慮人工的感干預(yù)時(shí)的誤差影響。 ?(3)沒有考慮到實(shí)際桌子的生產(chǎn)情況，使得數(shù)據(jù)可用度降低。七、模型的改進(jìn)與推廣基于所建立的模型， 我們求出的一系列參數(shù)，在實(shí)際參考價(jià)值來看還是有較大的誤差，

25、此 模型通過對(duì)問題剖析，結(jié)合生活實(shí)際，綜合木桌子的實(shí)際數(shù)字，建立空間坐標(biāo)系，將復(fù)雜的 問題變成空間幾何問題，再將桌面和桌椅的厚度忽略不計(jì)，使得我們所建立的模型難度降低， 可以快速的求出參數(shù)。整個(gè)求解過程中，模型的假設(shè)信息作為求解問題的前提被使用，在問題求解后， 對(duì)結(jié)果得 出的整個(gè)過程進(jìn)行分析，結(jié)合實(shí)際木桌的尺寸，可以考慮在木桌的預(yù)處理時(shí)對(duì)所求模板進(jìn)行有效的空間切割，從而使的更方便與參數(shù)的求解和減少模型求解過程的誤差。模型的改進(jìn)， 在上述過程中，對(duì)桌椅的厚度甲乙考慮使得模型求出參數(shù)更加真實(shí)。?通過本文提出的方法模型，可以有效的處理該類產(chǎn)品的實(shí)際生產(chǎn)過程中的尺寸計(jì)算問 題，這樣就可以減少實(shí)際新產(chǎn)品

26、生產(chǎn)前期的產(chǎn)品設(shè)計(jì)費(fèi)用，以及產(chǎn)品的廢品率，對(duì)生產(chǎn)此類 工藝的廠家，及藝術(shù)家都有一定的參考價(jià)值。八、參考文獻(xiàn)1 姜啟源等，數(shù)學(xué)模型 M ，高等教育出版社， 20092 卓金武等，MATLA 在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用M,北京航空航天大學(xué)出版社，20113 吳贛昌，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)M，中國(guó)人民大學(xué)出版社，20064 陳燁.用于連續(xù)函數(shù)優(yōu)化的蟻群算法 J. 四川大學(xué)學(xué)報(bào) (工程科學(xué)版),2004,36(6)謝中華，MATLA 統(tǒng)計(jì)分析與應(yīng)用：40 個(gè)案列分析，北京航空航天大學(xué)出版社，2010附錄程序一：?jiǎn)栴}一求桌腿長(zhǎng)度、卡槽長(zhǎng)度以及折疊桌整個(gè)折疊過程中的動(dòng)態(tài)圖程序：clearL=120;D=50;d=2.5

27、;hL=L/2;R=D/2; %木板長(zhǎng)；寬；腿木條寬；半長(zhǎng)；圓桌面半徑y(tǒng)e=-R+d/2:d:R-d/2; %折疊點(diǎn)的 y 坐標(biāo),20 個(gè) xe=sqrt(RA2-ye.A2);%折疊點(diǎn)的 x 坐標(biāo),20 個(gè)legL=hL-xe %桌腿長(zhǎng)度， 20 個(gè) hH=legL(1)/2; %最長(zhǎng)腿半長(zhǎng) ddeg=2; %角度增量Tx=xe-xe;xe-xe;Tx=Tx(:);Tz=zeros(size(Tx);Ty=ye-d/2fliplr(ye)+d/2;ye+d/2fliplr(ye)-d/2; 現(xiàn)矩陣的左右翻轉(zhuǎn)Ty=Ty(:);legx=hL*ones(size(xe);hL*ones(size

28、(xe);xe;xe;legy=ye-d/2;ye+d/2;ye+d/2;ye-d/2; legz=zeros(size(legx);zhoux=hL-legL(1)/2;hL-legL(1)/2; zhouy=-RR;zhouz=0;0; %鋼筋軸數(shù)據(jù)yb=linspace(ye(1),ye(end),50); xb=sqrt(RA2-yb.A2);Bx=hL*ones(size(xb);By=yb;Bz=zeros(size(xb); %腿尖曲線數(shù)據(jù) figure(1),clf; %畫底圖，清除以前的圖片 hold on%桌面數(shù)據(jù)%桌面在 y 軸上的數(shù)據(jù)， fliplr 函數(shù)實(shí)%桌腿數(shù)據(jù)h

29、1=patch(Tx,Ty,Tz, facecolor ,111,h2=patch(legx,legy,legz, facecolorh3=patch(-legx,legy,legz, facecoloredgecolor ,000); %pause(0.1);drawnow;end caocha ng=sqrt(xe-xe(1).A2+hH42-2*hH.*(xe-xe(1).*cos(alldeg)-(legL-hH)程序二：選取不同的角度，折疊圖的過程狀態(tài)clearL=120;D=50;d=2.5;hL=L/2;R=D/2; %木板長(zhǎng)；寬；腿木條寬；半長(zhǎng)；圓桌面半徑 deg=75ye=-

30、R+d/2:d:R-d/2; %折疊點(diǎn)的 y 坐標(biāo) ,20 個(gè)xe=sqrt(RA2-ye.A2);%折疊點(diǎn)的 x 坐標(biāo),20 個(gè)legL=hL-xe %桌腿長(zhǎng)度， 20 個(gè)hH=legL(1)/2; %最長(zhǎng)腿半長(zhǎng)ddeg=2;%角度增量Tx=xe-xe;xe-xe;Tx=Tx(:);Tz=zeros(size(Tx);Ty=ye-d/2fliplr(ye)+d/2;ye+d/2fliplr(ye)-d/2;現(xiàn)矩陣的左右翻轉(zhuǎn)Ty=Ty(:);legx=hL*ones(size(xe);hL*ones(size(xe);xe;xe;legy=ye-d/2;ye+d/2;ye+d/2;ye-d/2

31、; legz=zeros(size(legx);zhoux=hL-legL(1)/2;hL-legL(1)/2; zhouy=-RR;zhouz=0;0; %鋼筋軸數(shù)據(jù)yb=linspace(ye(1),ye(end),50); xb=sqrt(RA2-yb.A2);h4=plot3(zhoux,zhouy,zhouz, c );h5=plot3(-zhoux,zhouy,zhouz, c ); %畫鋼筋軸h6=plot3(Bx,By,Bz, k );h7=plot3(-Bx,By,Bz, k ); %腿尖曲線hold off ;view(3);axis equal ;axis(-hLhL-R

32、R02*hH);axis off ;for deg=0:ddeg:75 %最長(zhǎng)桌腿相對(duì)桌面折疊角度zz=-hH*sind(deg);xz=xe(1)+hH*cosd(deg);%鋼筋軸 ,z 坐標(biāo)和 x 坐標(biāo)alldeg=atan2(-zz*ones(size(xe),xz-xe);%每個(gè)條腿折疊角度 ,20 個(gè)allx=legL.*cos(alldeg)+xe;%每條腿末端 x 坐標(biāo)， 20 個(gè)allz=-legL.*sin(alldeg);%每條腿末端 z 坐標(biāo)，20 個(gè)alldeg2=atan2(-zz*ones(size(xb),xz-xb);Bx=(hL-xb).*cos(allde

33、g2)+xb;Bz=-(hL-xb).*sin(alldeg2);%腿尖曲線 x 數(shù)據(jù)minz=min(Bz); %最低腿 z 坐標(biāo)，桌子當(dāng)前高度legx=allx;allx;xe;xe;%桌腿數(shù)據(jù)set(h1,set(h2,set(h4,set(h5,set(h6,ZDataXDataXDataXDataXData,-minz*ones(size(Tz);,legx, ZData ,legz);set(h3,XData ,-legx, ,xz;xz, ZData ,zz;zz-minz);,-xz;xz, ZData ,zz;zz-minz);,Bx, ZData ,Bz-minz);set

34、(h7, XData ,-Bx,ZData ,legz);ZData ,Bz-minz);%桌面數(shù)據(jù)%桌面在 y 軸上的數(shù)據(jù)， fliplr%桌腿數(shù)據(jù)函數(shù)實(shí)Bx=hL*ones(size(xb);By=yb;Bz=zeros(size(xb); %腿尖曲線數(shù)據(jù) figure(1),clf; %畫底圖，清除以前的圖片hold on h1=patch(Tx,Ty,Tz, facecolor ,111, edgecolor ,000); %畫桌面 h2=patch(legx,legy,legz,facecolor ,111, edgecolor ,000); %畫桌腿 h3=patch(-legx,

35、legy,legz, facecolor ,111,edgecolor ,000); %畫桌腿 h4=plot3(zhoux,zhouy,zhouz, c );h5=plot3(-zhoux,zhouy,zhouz, c ); %畫鋼筋軸 h6=plot3(Bx,By,Bz, k ); h7=plot3(-Bx,By,Bz, k ); %腿尖曲線 hold off ;view(3);axis equal ;axis(-hLhL-RR02*hH);axis off ;zz=-hH*sind(deg);xz=xe(1)+hH*cosd(deg); %鋼筋軸 ,z 坐標(biāo)和 x 坐標(biāo)alldeg=at

36、an2(-zz*ones(size(xe),xz-xe); %每個(gè)條腿折疊角度 ,20 個(gè) allx=legL.*cos(alldeg)+xe; %每條腿末端 x 坐標(biāo)， 20 個(gè)allz=-legL.*sin(alldeg);%每條腿末端 z 坐標(biāo)，20 個(gè)alldeg2=atan2(-zz*ones(size(xb),xz-xb);Bx=(hL-xb).*cos(alldeg2)+xb;Bz=-(hL-xb).*sin(alldeg2);%腿尖曲線 x 數(shù)據(jù)minz=min(Bz); %最低腿 z 坐標(biāo)，桌子當(dāng)前高度 legx=allx;allx;xe;xe;%桌腿數(shù)據(jù)legz=allz;

37、allz;zeros(size(allz);zeros(size(allz)-minz;pause(0.1);drawnow;caocha ng=sqrt(xe-xe(1).A2+hH42-2*hH.*(xe-xe(1).*cos(alldeg)-(legL-hH)程序三：?jiǎn)栴}一求桌腳邊緣線的程序i=0:9;y=1.25:2.5:23.75h=50;b=25-2.5*i;r=25;a=sqrt(r*r-b.*b);c=60-a k=sqrt(c(1,1)-sqrt(c(1,1)./2).*(c(1,1)./2)-(h./2).*(h./2)-c).*(c(1,1)-sqrt(c(1,1)./2

38、).*(c(1,1)./2)-(h./2).*(h./2)-c)+(h./2).*(h./2)-(c-c(1,1)./2);e1=66;x=c(1,1).*cos(e1)-(60-c-c.*(60-c-c(1,1)./2.*cos(e1)./(c+k)z=c(1,1)*sin(e1)-c.*(c(1,1).*sin(e1)./(c(1,1)+2*k)plot3 (x,y,z)程序四、問題二求桌高 70cm 桌面直徑 80cm 的情形，最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)的matlab 程序set(h1,set(h2,set(h4,set(h5,set(h6,ZDataXDataXDataXDataXData,-m

39、inz*ones(size(Tz);,legx, ZData ,legz);set(h3,XData ,-legx, ,xz;xz, ZData ,zz;zz-minz);,-xz;xz, ZData ,zz;zz-minz);,Bx, ZData ,Bz-minz);set(h7, XData ,-Bx,ZData ,legz);ZData ,Bz-minz);function f=fun1(x);f=x(1)function g,ceq=mycon(x)g=x(1)A2/4+x(5) A2+x(2)A2-x(1).*x(5)-1600;x*x(6)-80;x(5).A2+x(7).A2-x

40、(3).A2-2*x*x(5)-2*x.*x+2*x(5).*x(7)+x(4)A2.*x(6)A2+X(3).A2.*X(6).A2+2*X(3 ).*x(7)-2*x(3).*x(7)-2*x(3).*x(4).*x(6).A2-x(8).A2;x(1)/4.*x(1).A2+x(2).A2+x(4). A2-x(1).*x(4)-80*x(2).A2;x(4).A2-x(4).A2.*x(6).A2+x(3).A2-x(3).A2.*x(6).A2-x(3).*x(4)+2*x(3).*x(4).*x(6).A2-x(8).A2;70*x(4)-70*x(3)-x(4).*x(9);-x

41、(5).A2+x(7).A2+ x(9).A2;x0=1,1,1,1,1,1,1,1,1,1;A=;b=;Aeq=;beq=;vlb=;vub=;x,fval=fmincon( fun1 ,x(0),A,b,Aeq,beq,vlb,vub, mycon ) 程序五、問題三動(dòng)態(tài)圖程序clearL=120;D=50;d=2.5;hL=L/2;R=D/2; %木板長(zhǎng)，寬；腿木條寬；半長(zhǎng)；圓桌面半徑deg=75ye=-R+d/2:d:R-d/2;x1=0+d/2:d:R-d/2x2=23.75-(d/2:d:R)+d/2x3=x1;x2x4=x3 xe1=x4(:)xe=xe1%折疊點(diǎn)的y坐標(biāo)， x坐標(biāo)， 各20個(gè)； legL=hL-xe %腿長(zhǎng)度， 20 個(gè)； hH=legL(1)/2;ddeg=2; %最長(zhǎng)腿半長(zhǎng)；角度增量 Tx=xe-xe;xe-xe;Tx=Tx(:);Tz=zeros(size(Tx);Ty=ye-d/2fliplr(ye)+d/2;ye+d/2fliplr(ye)-d/2; 現(xiàn)矩陣的左右翻轉(zhuǎn)Ty=Ty(:);legx=hL*ones(size(xe);hL*ones(size(xe);xe;xe;%桌腿數(shù)據(jù)legy=ye-d/2;ye+d/2;ye+d/