2018中考專題復習軸對稱最值

1、半徑 r=1 ,貝 U PA+PB 的最小值是（)2015中考專題復習一一軸對稱之最值例題講解1 . （2013 ?蘇州）如圖，在平面直角坐標系中，Rt OAB 的頂點 A 在 x 軸的正半軸上.頂點 B 的坐標為（3，品，點 C 的坐標為（丄，0）,點 P 為斜邊 OB 上的一個動點，則 PA+PC 的最小值為（）2A.B.C.3+V192D .2 盯2 . （2011 ?本溪）如圖，正方形 ABCD 的邊長是 4, / DAC 的平分線交 DC 于點 E,若點 P、Q 分別是AD 和 AE 上的動點，貝 U DQ+PQ 的最小值（）A. 2B. 4C. 2 血D . 4 占3 . （201

2、3 ?宛城區(qū)一模）點 A, B 均在由邊長為 1 的相同小正方形組成的網格的格點上，建立平面直角坐 標系如圖所示，若 P 是 x 軸上使得|PA - PB|的值最大的點，Q 是 y 軸上使得 QA+QB 的值最小的點，則 OP+OQ=（ ）714A. 2B.4C.3D.54 .如圖，A 是半圓上的一個二等分點，B 是半圓上的一個六等分點， P 是直徑 MN 上的一個動點，OO5.如圖，在平面直角坐標系中，點A （- 2 , 4） , B （4 , 2），在 x 軸上取一點 P,使點 P 到點 A 和點 B的距離之和最小，則點P 的坐標是（）6 .如圖，MN 是 O O 的直徑，點 A 是半圓上

3、的三等分點，點 B 是劣弧 AN 的中點，點 P 是直徑 MN 上一動點.若 MN=2 .：,則 PA+PB 的最小值是（）A.2 近B.C. 1D.7 .如圖，正方形 ABCD 的面積為 16 , ABE 是等邊三角形，點 E 在正方形 ABCD 內，在對角線 BD 上 有一點 P,使 PC+PE 的和最小，則這個最小值為（）A.4B.23C.2 后D.2C.7D .73A.(-2 , 0)B.(4 , 0)C.(2 , 0)D .(0 , 0)8 . (2013 ?資陽)如圖，在 Rt ABC 中，/ C=90 / B=60 點 D 是 BC 邊上的點，CD=1，將 ABCC 落在 AB

4、邊上的點 E 處，若點 P 是直線 AD 上的動點，貝 U PEB 的周長的最小值沿直線 AD 翻折，使點9 . (2012 ?青島)已知:如圖，在Rt ABC 中，/ C=90 AC=6cm , BC=8cm , D、E 分別是 AC、AB的中點，連接 DE,點 P 從點 D 出發(fā)，沿DE 方向勻速運動，速度為 1cm/s ;同時，點 Q 從點 B 出發(fā),BA 方向勻速運動，速度為 2cm/s，當點P 停止運動時，點 Q 也停止運動.連接 PQ,設運動時間為 t(s)(0VtV4).解答下列問題:(1 )當 t 為何值時，PQ 丄 AB ?(2 )當點 Q 在 BE 之間運動時，設五邊形PQ

5、BCD 的面(3)在(2)的情況下，是否存在某一時刻t，使 PQ 分四邊形 BCDE 兩部分的面積之比為PQE: S五邊29 ?若存在，求出此時t 的值以及點形 PQBCD=1 :10 . （2013?南充）如圖，公路 AB 為東西走向，在點 A 北偏東 36.5 方向上，距離 5 千米處是村莊 M ;在點 A 北偏東 53.5 方向上，距離 10 千米處時村莊 N （參考數據；sin36.5 =0.6，cos36.5 0.8， tan36.5 0.75）.（1 ）求 M , N 兩村之間的距離；（2 ）要在公路 AB 旁修建一個土特產收購站P,使得 M , N 兩村到 P 的距離之和最短，求

6、這個最短距離.11.（ 2013 ?日照）問題背景：如圖（a）,點 A、B 在直線 I 的同側，要在直線 I 上找一點 C,使 AC 與 BC 的距離之和最小，我們可以作 出點 B 關于 I的對稱點 B,連接 A B 與直線 I 交于點 C,則點 C 即為所求.如圖（b）,已知，OO 的直徑 CD 為 4，點 A 在OO 上，/ ACD=30 B 為弧 AD 的中點，P 為直徑 CD 上一動點，則 BP+AP 的最小值為 _ .（2 ）知識拓展：如圖（c），在 Rt ABC 中，AB=10 , / BAC=45 / BAC 的平分線交 BC 于點 D , E、F 分別是線段 AD 和 AB上的

7、動點，求 BE+EF 的最小值，并寫出解答過程.12 . （2010 ?天津）在平面直角坐標系中，矩形OACB 的頂點 0 在坐標原點，頂點 A、B 分別在 x 軸、y軸的正半軸上， 0A=3 , 0B=4 , D 為邊 0B 的中點.（1 ）若 E 為邊 0A 上的一個動點，當 CDE 的周長最小時，求點 E 的坐標;（2 ）若 E、F 為邊 0A 上的兩個動點，且 EF=2，當四邊形 CDEF 的周長最小時，求點 E、F 的坐標.（溫馨提示：可以作點 D 關于 x 軸的對稱點 D，連接 CD與 x 軸交于點 E,此時 CDE 的周長是最小的.這樣，你只需求出 0E 的長，就可以確定點 E

8、的坐標了 .）wI1A I I(1)實踐運用：(b)Cc)c13 . （2010 ?淮安）（1 ）觀察發(fā)現: 如（a）圖，若點 A, B 在直線 l 同側，在直線 I 上找一點 P,使 AP+BP 的值最小.做法如下：作點 B 關于直線 I 的對稱點 B，連接 AB，與直線 I 的交點就是所求的點 P .再如（b ）圖，在 等邊三角形ABC 中，AB=2，點 E 是 AB 的中點，AD 是高，在 AD 上找一點 P,使 BP+PE 的值最小.做法如下：作點 B 關于 AD 的對稱點，恰好與點 C 重合，連接 CE 交 AD 于一點，則這點就是所求的點 P, 故 BP+PE的最小值為 _ .（2

9、 ）實踐運用：如（c）圖，已知 O O 的直徑 CD 為 4 , / AOD 的度數為 60 點 B 是亦的中點，在直徑 CD 上找一點 P, 使 BP+AP的值最小，并求 BP+AP 的最小值.（3 ）拓展延伸：如（d ）圖，在四邊形 ABCD 的對角線 AC 上找一點 P,使/APB= / APD .保留作圖痕跡，不必寫出作法.14 . （2009 ?漳州）幾何模型:條件：如下圖，A、B 是直線 I 同旁的兩個定點.S 2問題：在直線 I 上確定一點 P,使 PA+PB 的值最小.方法：作點 A 關于直線 I 的對稱點 A,連接 AB 交 I 于點 P,貝 U PA+PB=A B 的值最小

10、（不必證明）模型應用:(1 )如圖 1，正方形 ABCD 的邊長為 2 , E 為 AB 的中點，P 是 AC 上一動點.連接 BD，由正方形對稱性可知，B 與 D 關于直線 AC 對稱.連接 ED 交 AC 于 P,則 PB+PE 的最小值是(2 )如圖 2 ,OO 的半徑為 2，點 A、B、C 在OO 上，OA 丄 OB , / AOC=60PA+PC 的最小值；(3 )如圖 3 , / AOB=45 P 是/ AOB 內一點，PO=10 , Q、R 分別是 OA、周長的最小值.,P 是 OB 上一動點，求OB 上的動點，求 PQR2013年12月1066077065的初中數學組卷參考答案

11、與試題解析選擇題（共 7 小題）1 . （2013 ?蘇州）如圖，在平面直角坐標系中，Rt OAB 的頂點 A 在 x 軸的正半軸上.頂點 B 的坐標為（3，品，點 C 的坐標為（丄，0）,點 P 為斜邊 OB 上的一個動點，則 PA+PC 的最小值為（2作 A 關于 OB 的對稱點 D ,連接 CD 交 OB 于 P,連接 AP，過 D 作 DN 丄 OA 于 N ,則此時 PA+PC的值最小，求出 AM，求出 AD，求出 DN、CN，根據勾股定理求出 CD，即可得出答案.解：作 A 關于 OB 的對稱點 D，連接 CD 交 OB 于 P,連接 AP，過 D 作 DN 丄 OA 于 N ,則

12、此時 PA+PC 的值最小,/ DP=PA , PA+PC=PD+PC=CD , AB= 亦,OA=3 , / B=60 由勾股定理得： OB=2 換,B0CAB b2C.考點：軸對稱-最短路線問題；坐標與圖形性質.專題： 壓軸題.分析:解答:質的應用，關鍵是求出 P 點的位置，題目比較好，難度適中.2 . （2011 ?本溪）如圖，正方形 ABCD 的邊長是 4, / DAC 的平分線交 DC 于點 E,若點 P、Q 分別是AD 和 AE 上的動點，貝 U DQ+PQ 的最小值（）A.2B. 4C. 2 血D . 4 近考點： 軸對稱-最短路線問題；正方形的性質.專題： 壓軸題；探究型.分析

13、： 過 D 作 AE 的垂線交 AE 于 F,交 AC 于 D 再過 D 作 D P 丄 AD，由角平分線的性質可得出 D 是D 關于 AE 的對稱點，進而可知 D P即為 DQ+PQ 的最小值.解答：解：作 D 關于 AE 的對稱點 D 再過 D 作 DP丄 AD 于 P/ DD 丄 AE,/ AFD= / AFD/ AF=AF , / DAE= / CAE, DAFD AF , D 是 D 關于 AE 的對稱點，AD =AD=4 , D P即為 DQ+PQ 的最小值，四邊形 ABCD 是正方形， / DAD =45 AP =P D :在 Rt AP D 中,3 . (2013 ?宛城區(qū)一模

14、)點 A, B 均在由邊長為 1 的相同小正方形組成的網格的格點上，建立平面直角坐 標系如圖所示，若 P 是 x 軸上使得|PA - PB|的值最大的點，Q 是 y 軸上使得 QA+QB 的值最小的點，則 OP+OQ=()714A- 2B. 4C忖D . 5考點： 軸對稱-最短路線問題；坐標與圖形性質.分析：連接 AB 并延長交 x 軸于點 P,作 A 點關于 y 軸的對稱點 A 連接 A B 交 y 軸于點 Q，求出點 Q 與 y 軸的交點坐標即可得出結論.解答： 解：連接 AB 并延長交 x 軸于點 P,由三角形的三邊關系可知，點P 即為 x 軸上使得|PA - PB|的值最大的點, 點

15、B 是正方形的中點，點 P 即為 AB 延長線上的點，此時 P (3, 0)即 OP=3 ;作 A 點關于 y 軸的對稱點 A 連接 A B 交 y 軸于點 Q，則 A B 即為 QA+QB 的最小值, A (- 1 , 2), B (2 , 1),設過 AB的直線為：y=kx+b ，則,l=2k+b解得，匚, Q ( 0,-),即 OQ= ,33 OP+OQ=3+ 邑衛(wèi).3 3故選：C.ArJQJ%*%Op點評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，根據題意得出P、Q 兩點的坐標是解答此題的關鍵.4 .如圖，A 是半圓上的一個二等分點，B 是半圓上的一個六等分點， P 是直徑 MN 上的一個動點

16、,DVsIMZ 2考點： 軸對稱-最短路線問題；勾股定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關系.分析： 本題是要在 MN 上找一點 P,使 PA+PB 的值最小，設 A 是 A 關于 MN 的對稱點，連接 AB，與MN 的交點即為點 P.此時 PA+PB=A B 是最小值，可證 OA B 是等腰二角形，從而得出結果.解答：解：作點 A 關于 MN 的對稱點 A ，連接 A B，交 MN 于點 P,連接 OAAA .作 OQ 丄 AB , 點 A 與 A 關于 MN 對稱，點 A 是半圓上的一個二等分點，/ A ON= / AON=90 PA=PA B 是半圓上的一個六等分點，/ BON=30 / A

17、 OB= / A ON+ / BON=120又 OA=OA =1 , / A =30 A Q=OA cos30 丄業(yè),2A.PA+PB=PA +PB=AB=V5.故選：C.點評：此題考查了軸對稱-最短路線問題，正確確定P 點的位置是解題的關鍵，確定點P 的位置這類題在課本中有原題，因此加強課本題目的訓練至關重要.5.如圖，在平面直角坐標系中，點A (- 2 , 4) , B (4 , 2)，在 x 軸上取一點 P,使點 P 到點 A 和點 B的距離之和最小，則點P 的坐標是(A.(-2 , 0)B.(4 , 0)C.(2 , 0)D.(0 , 0)軸對稱-最短路線問題；坐標與圖形性質.作 A

18、關于 x 軸的對稱點 C,連接 AC 交 x 軸于 D，連接 BC 交交 x 軸于 P,連接 AP，此時點 P 到 點 A 和點 B 的距離之和最小，求出 C (的坐標，設直線 CB 的解析式是 y=kx+b ，把 C、B 的坐標 代入求出解析式是 y=x - 2，把 y=0 代入求出 x 即可.解：作 A 關于 x 軸的對稱點 C,連接 AC 交 x 軸于 D，連接 BC 交交 x 軸于 P,連接 AP，則此時 AP+PB 最小, 即此時點 P 到點 A 和點 B 的距離之和最小,A (- 2, 4),二 C (- 2, - 4),設直線 CB 的解析式是把 C、B 的坐標代入得:解得：k=

19、1 , b= - 2 , y=x - 2,把 y=0 代入得：0=x - 2 ,x=2 ,即 P 的坐標是(2, 0 ),y=kx+b ,2 二 4k+b“ -4=-2k+b，VX故選 c.點評：本題考查了軸對稱-最短路線問題，一次函數的解析式，坐標與圖形性質等知識點，關鍵是能畫出P 的位置，題目比較典型，是一道比較好的題目6 .如圖，MN 是OO 的直徑，點 A 是半圓上的三等分點，點 B 是劣弧 AN 的中點，點 P 是直徑 MN 上一動點.若 MN=2 .：,則 PA+PB 的最小值是（）考點： 軸對稱-最短路線問題；勾股定理；圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理.分析： 本題是要在 MN

20、上找一點 P,使 PA+PB 的值最小，設 A 是 A 關于 MN 的對稱點，連接 AB，與MN 的交點即為點 P.此時 PA+PB-A B 是最小值，可證 OA B 是等腰直角三角形，從而得出結果.解答： 解：作點 A 關于 MN 的對稱點 A ，連接 A B，交 MN 于點 P,連接 OAOA , OB , PA, AA點 A 與 A 關于 MN 對稱，點 A 是半圓上的一個三等分點，A.2 近B.C.1D.2/ A ON- / AON-60 PA-PA7 .如圖，正方形 ABCD 的面積為 16 , ABE 是等邊三角形，點 E 在正方形 ABCD 內，在對角線 BD 上有一點 P,使

21、PC+PE 的和最小，則這個最小值為（）考點：軸對稱-最短路線問題；等邊三角形的性質；正方形的性質.專題：計算題.分析：根據正方形的性質，推出C、A 關于 BD 對稱，推出 CP=AP，推出 EP+CP=AE，根據等邊三角形性質推出 AE=AB=EP+CP ，根據正方形面積公式求出AB 即可.，/正方形 ABCD , AC 丄 BD , OA=OC , C、A 關于 BD 對稱,即 C 關于 BD 的對稱點是 A , 連接 AE 交 BD 于 P, 則此時 EP+CP 的值最小,/ C、A 關于 BD 對稱, CP=AP , EP+CP=AE , 等邊三角形 ABE, EP+CP=AE=AB

22、, 正方形 ABCD 的面積為 16 , AB=4 , EP+CP=4 ,本題考查了正方形的性質，軸對稱-最短問題，等邊三角形的性質等知識點的應用，解此題的關鍵是確定 P 的位置和求出 EP+CP 的最小值是 AE，題目比較典型，但有一定的難度，主要培養(yǎng)學生 分析問題和解決問題的能力.填空題（共 1 小題）8 （2013 ?資陽）如圖，在 Rt ABC 中，/ C=90 / B=60 點 D 是 BC 邊上的點，CD=1，將 ABC沿直線 AD 翻折，使點 C 落在 AB 邊上的點 E 處，若點 P 是直線 AD 上的動點，貝 U PEB 的周長的最小值是 1+ 二考點：軸對稱-最短路線問題；

23、含 30 度角的直角三角形；翻折變換（折疊問題）解答:E點評:專題：壓軸題.分析：連接 CE,交 AD 于 M，根據折疊和等腰三角形性質得出當 P 和 D 重合時，PE+BP 的值最小，即可此時 BPE 的周長最小，最小值是 BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE，先求出 BC 和 BE 長，代入求出即可.解答:解：連接 CE，交 AD 于 M ,沿 AD 折疊 C 和 E 重合，/ ACD= / AED=90 AC=AE , / CAD= / EAD , AD 垂直平分 CE,即 C 和 E 關于 AD 對稱，CD=DE=1 ,當 P 和 D 重合時，PE+BP 的值最小，即此時BP

24、E 的周長最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE,/ DEA=90 / DEB=90 / B=60 DE=1 , BE= , BD= 2 ,3y即 BC=1+ 評 i , PEB 的周長的最小值是 BC+BE=1+舟蔬+寺方=1+ 亦,故答案為：1+.點評： 本題考查了折疊性質，等腰三角形性質，軸對稱-最短路線問題，勾股定理，含30 度角的直角三角形性質的應用，關鍵是求出P 點的位置，題目比較好，難度適中.三解答題(共 6 小題)9 . (2012?青島)已知：如圖，在 Rt ABC 中，/ C=90 AC=6cm , BC=8cm , D、E 分別是 AC、AB的中點，

25、連接 DE,點 P 從點 D 出發(fā)，沿 DE 方向勻速運動，速度為 1cm/s ;同時，點 Q 從點 B 出發(fā)，沿BA 方向勻速運動，速度為 2cm/s，當點 P 停止運動時，點 Q 也停止運動.連接 PQ，設運動時間為 t(s) (0VtV4).解答下列問題：(1 )當 t 為何值時，PQ 丄 AB ?(2 )當點 Q 在 BE 之間運動時，設五邊形 PQBCD 的面積為 y(cm2),求 y 與 t 之間的函數關系式；(3 )在(2)的情況下，是否存在某一時刻t，使 PQ 分四邊形 BCDE 兩部分的面積之比為SAPQE: S五邊形 PQBCD=1 : 29 ?若存在，求出此時 t 的值以

26、及點 E 到 PQ 的距離 h ;若不存在，請說明理由.考點： 相似二角形的判疋與性質；一兀一次方程的應用；勾股疋理；二角形中位線疋理.專題： 代數幾何綜合題；壓軸題；動點型.分析：(1)如圖所示，當 PQ 丄 AB 時， PQE 是直角三角形.解決問題的要點是將 PQE 的三邊長PE、QE、PQ 用時間 t 表示，這需要利用相似三角形(PQEACB )比例線段關系(或三角函數)；(2)本問關鍵是利用等式 五邊形 PQBCD 的面積=四邊形 DCBE 的面積-PQE 的面積”，如圖 所示為求PQE 的面積，需要求出 QE 邊上的高，因此過 P 點作 QE 邊上的高，利用相似關系( PMEABC

27、)求出高的表達式，從而問題解決；(3 )本|問要點是根據題意，列出一兀一次方程并求解. 假設存在時刻 t，使 S PQE :S五邊形 PQBCD=1 :29，則此時SAPQE-奇 S梯形 DCBE，由此可列出一兀一次方程，解方程即求得時刻t ;點 E 到 PQ的距離 h 利用PQE 的面積公式得到.解答： 解: (1)如圖，在 Rt ABC 中，AC=6 , BC=8二AB= 護+呂？=./ D、E 分別是 AC、AB 的中點.AD=DC=3 , AE=EB=5 , DE / BC 且DE=2BC=42AAB BC由題意得：PE=4 - t, QE=2t - 5 , 即10 s ， 解得 t=

28、里;14(2)如圖，過點 P 作 PM 丄 AB 于 M ,PIT由厶 PME ACB，得竺占，AC AB. PM 二 4 一 t,得 PM=(4 -1).6_1051133 o 3SAPQE=EQ?PM=土 (5 - 2t) ?衛(wèi)(4 - t) =t2-1+6 ,Q22 5510S梯形 DCBE=g X(4+8) X3=18, y=18 -(t2-昱 t+6 )=-510(3)假設存在時刻 t，使PQE: S五邊形 PQBCD=1: 29 ,則此時SAPQE= jS 梯形 DCBE, 3+2 391J=t2-k+6=X8,51030即 2t2- 13t+18=0,q解得 ti=2，t2= 2

29、 (舍去).當 t=2 時,PM=_ X(4-2)MEX(4-2)=；,5555EQ=5-2 2=1,MQ=ME+EQ=：+1=，55“PQ= m ,=:I/ PQ 丄AB ,/ PQB= / C=90又/ DE /BCAED= / BPQE sACBPEQE丄 PQ?h=二,25 h= ?-= (或 )5 V20S 205V205點評：本題是動點型綜合題，解題關鍵是掌握動點運動過程中的圖形形狀、圖形面積的表示方法所考查 的知識點涉及到勾股定理、相似三角形的判定與性質、三角形中位線定理、解方程（包括一元一次方程和一元二次方程）等，有一定的難度注意題中求時刻t 的方法：最終都是轉化為一元一次方程

30、或一元二次方程求解.10 . （2013?南充）如圖，公路 AB 為東西走向，在點 A 北偏東 36.5 方向上，距離 5 千米處是村莊 M ;在點 A 北偏東 53.5 方向上，距離 10 千米處時村莊 N （參考數據；sin36.5 =0.6 , cos36.5 0.8 ,tan36.5 0.75 ).(1 )求 M , N 兩村之間的距離；(2 )要在公路 AB 旁修建一個土特產收購站 P,使得 M , N 兩村到 P 的距離之和最短，求這個最短距離.考點：解直角三角形的應用-方向角問題；軸對稱-最短路線問題.專題：應用題；壓軸題.分析： (1)過點 M 作 CD / AB, NE 丄

31、AB,在 Rt ACM 中求出 CM , AC，在 Rt ANE 中求出 NE ,AE，繼而得出 MD , ND 的長度，在 Rt MND 中利用勾股定理可得出 MN 的長度.(2)作點 N 關于 AB 的對稱點 G,連接 MG 交 AB 于點 P,點 P 即為站點，求出 MG 的長度即可.解答：解：(1 )過點 M 作 CD / AB , NE 丄 AB ,如圖:在 Rt ACM 中，/ CAM=36.5 AM=5km / sin36.5 也=0.6 ,5CM=3,AC=一 dMkm ,在 Rt ANE 中，/ NAE=90 - 53.5 36.5 AN=10km w/ sin36.5 =0

32、.6 ,10 NE=6 , AE= J 職 2 -NE8km , MD=CD - CM=AE - CM=5km , ND=NE - DE=NE - AC=2km ,在 Rt MND 中，MN=吐km .（2）作點 N 關于 AB 的對稱點 G,連接 MG 交 AB 于點 P,點 P 即為站點，此時 PM+PN=PM+PG=MG,在 Rt MDG 中，MG= 也。匹小丟=5km .答：最短距離為 5 祈 km .點評：本題考查了解直角三角形的知識，解答本題的關鍵是構造直角三角形，利用三角函數值求解相關線段的長度，難度較大.11.（ 2013 ?日照）問題背景:如圖（a）,點 A、B 在直線 I

33、的同側，要在直線 I 上找一點 C,使 AC 與 BC 的距離之和最小，我們可以作出點 B 關于 I 的對稱點 B,連接 A B 與直線 I 交于點 C,則點 C 即為所求.如圖（b）,已知，OO 的直徑 CD 為 4，點 A 在OO 上，/ ACD=30 B 為弧 AD 的中點，P 為直徑 CD 上一動點，則 BP+AP 的最小值為 2：_.（2 ）知識拓展：如圖（c），在 Rt ABC 中，AB=10 , / BAC=45 / BAC 的平分線交 BC 于點 D , E、F 分別是線段 AD和 AB 上的動點，求 BE+EF 的最小值，并寫出解答過程.(b)Cc)（1）實踐運用:考點： 軸

34、對稱-最短路線問題.分析：(1)找點 A或點 B關于CD 的對稱點，再連接其中一點的對稱點和另一點，和MN 的交點 P 就 是所求作的位置根據題意先求出 / CAE，再根據勾股定理求出 AE，即可得出 PA+PB 的最小值；(2)首先在斜邊 AC 上截取 AB =AB，連結 BB ，再過點 B 作 B F 丄 AB，垂足為 F，交 AD 于 E, 連結 BE,則線段 B F 的長即為所求.解答：解: (1 )作點 B 關于 CD 的對稱點 E,連接 AE 交 CD 于點 P 此時 PA+PB 最小，且等于 AE.作直徑 AC,連接 C E.根據垂徑定理得弧 BD=弧 DE./ ACD=30 /

35、 AOD=60 / DOE=30 :丄AOE=90 / C AE=45 又 AC 為圓的直徑，AEC=90 / C = / C AE=45 C E-AE-勺2AC =2 血,2即 AP+BP 的最小值是 2 伍.故答案為：22 ；(2)如圖，在斜邊 AC 上截取 AB -AB，連結 BB ./ AD 平分 / BAC ,點 B 與點 B 關于直線 AD 對稱.過點 B 作 B F 丄 AB，垂足為 F,交 AD 于 E,連結 BE,位置是解題關鍵.12 . (2010 ?天津)在平面直角坐標系中，矩形OACB 的頂點 0 在坐標原點，頂點 A、B 分別在 x 軸、y軸的正半軸上，T 八0A=3

36、 , 0B=4 ,D 為邊 0B 的中點.BCBCDX/、 * :D /*0/A1X0AXDfJf1(1 )若 E 為邊 0A 上的一個動點，當 CDE 的周長最小時，求點 E 的坐標；(2 )若 E、F 為邊 0A 上的兩個動點，且 EF=2，當四邊形 CDEF 的周長最小時，求點 E、F 的坐標.(溫馨提示：可以作點 D 關于 x 軸的對稱點 D，連接 CD與 x 軸交于點 E,此時 CDE 的周長是最小的.這樣，你只需求出 0E 的長，就可以確定點 E 的坐標了 .)考點：軸對稱-最短路線問題；平行四邊形的判定與性質；相似三角形的判定與性質.專題：幾何綜合題；壓軸題.由于 C、D 是定點

37、，則 CD 是定值，如果CDE 的周長最小，即 DE+CE 有最小值.為此,CG=2，當點 E 在線段 DG 上時，四邊形 CDEF 的周長最小.解: (1 )如圖，作點 D 關于 x 軸的對稱點 D，連接 CD與 x 軸交于點 E,連接 DE .若在邊 0A 上任取點 E與點 E 不重合，連接 CE、DE、DE由 DE+CE=DE+CE CD=DE+CE=DE+CE ,可知CDE 的周長最小.在矩形 OACB 中，0A=3 , 0B=4 , D 為 OB 的中點,/ 0E / BC , Rt DO Rt DBC,有丁 F點 E 的坐標為(1 , 0);(2)如圖，作點 D 關于 x 軸的對稱

38、點 D，在 CB 邊上截取 CG=2，連接 DG 與 x 軸交于點 E,在EA 上截取 EF=2 ,分析：(1)作點D 關于 x 軸的對稱點 D，當點 E 在線段CD 上時，CDE 的周長最小;(2)由于 DC、EF 的長為定值，如果四邊形CDEF 的周長最小，即 DE+FC 有最小值.為此，作關于 x 軸的對稱點 D，在 CB 邊上截取解答: BC=3 , DO=DO=2,DB=6 ,題轉化為求線段問題，其說明最短的依據是三角形兩邊之和大于第三邊.13 . （2010 ?淮安）（1）觀察發(fā)現:如（a）圖，若點 A, B 在直線 I 同側，在直線 I 上找一點 P,使 AP+BP 的值最小.做

39、法如下：作點 B 關于直線 I 的對稱點 B，連接 AB，與直線 I 的交點就是所求的點P .再如(b )圖，在 等邊三角形 ABC 中，AB=2，點 E 是 AB 的中點，AD 是高，在 AD 上找一點 P,使 BP+PE 的值最小.做法如下：作點 B 關于 AD 的對稱點，恰好與點 C 重合，連接 CE 交 AD 于一點，則這點就是所求的點P,故 BP+PE 的最小值為_ 二_.(2 )實踐運用：如(c)圖，已知OO 的直徑 CD 為 4 , / AOD 的度數為 60 點 B 是盒的中點，在直徑 CD 上找一點 P,使 BP+AP 的值最小，并求 BP+AP 的最小值.(3 )拓展延伸：

40、如(d )圖，在四邊形 ABCD 的對角線 AC 上找一點 P,使/APB= / APD .保留作圖痕跡，不必寫出作法.考點：軸對稱-最短路線問題.分析：(1 )首先由等邊三角形的性質知，CE 丄 AB,在直角 BCE 中，/ BEC=90 BC=2 , BE=1，由勾股定理可求出 CE 的長度，從而得出結果；(2)要在直徑 CD 上找一點 P,使 PA+PB 的值最小，設 A 是 A 關于 CD 的對稱點，連接 AB, 與 CD 的交點即為點 P .此時 PA+PB=A B 是最小值，可證OA B 是等腰直角三角形，從而得出 結果.(3) 畫點 B 關于 AC 的對稱點 B ，延長 DB 交 AC 于點 P.則點 P 即為所求.解答：解：(1 ) BP+PE 的最小值 =-一.= ：. = _；何(c)D人(2)作點 A 關于 CD 的對稱點 A,連接 AB，交CD 于點 P,連接 OA AA ； OB .點 A 與 A 關于 CD 對稱，/ AOD 的度數為 60 / AOD= / AOD=60 PA=PA點 B 是盒的中點，/ BO