三垂線定理及其逆定理

1、三垂線定理及其逆定理知識點：1. 三垂線定理；三垂線定理的逆定理；2. 綜合應(yīng)用；教學(xué)過程：1. 三垂線定理：平面內(nèi)一條直線，如果和這個平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直，那么這條直線就和這條斜線垂直；已知：PA,PO分別是平面的垂線和斜線，AO是PO在平面的射影，a,aAO<求證：aPO；pp證明：(1)線射垂直(平面問題)線斜垂直(空間問題)說明:(2) 證明線線垂直的方法：定義法；線線垂直判定定理；三垂線定理；(3) 三垂線定理描述的是P0斜線)、A0射影)、a(直線)之間的垂直關(guān)系。(4) 直線a與P0可以相交，也可以異面。(5) 三垂線定理的實質(zhì)是平面的一條斜線和平面內(nèi)的一條直線

2、垂直的判定定理例1.已知P是平面ABC外一點，PAABC,ACBC求證：PCBC。C例2.已知PA正方形ABCD所在平面，0為對角線BD的中點求證：POBD,PCBD例4.在正方體ACi中，求證：ACBDi,ACBCi;例4.在正方體ACi中，求證：ACBDi,ACBCi;Cin“2寫出三垂線定理的逆命題，并證明它的正確性;命題：已知：求證：證明：說明:例2.在空間四邊形ABCD中，設(shè)ABCD,ACBD求證：(1)ADBC;P(2) 點A在底面BCE上的射影是BCD的垂心；例3.求證：如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這點在平面內(nèi)的射影在這個角的平分線上已知：求證：P說明：可以

3、作為定理來用。例5已知：RtABC中，A-,AB3,AC4,PA是面ABC的斜線，PABPAc23求PA與面ABC所成的角的大?。划?dāng)PA的長度等于多少的時候，點P在平面ABC內(nèi)的射影恰好落在邊BC上;B作業(yè)：1.正方體ABCDAiBiCiDi,E,F分別是AA,AB上的點,ECiEF.求證：EFEBi。C2. 已知：PA平面PBC,PBPC,M是BC的中點。求證：BCAM;填空并證明：(1) 在四面體ABCD中,對棱互相垂直，則A在底面BCD上的射影是底面BCD的心。(2) 在四面體ABCD中,ABAC、AD互相垂直，貝UA在底面BCD上的射影是底面BCD勺心(3) 在四面體ABC沖，AB=AC=AJD則A在底面BCD上的射影是底面BCD的心(4) 在四面體ABC沖，頂點A到BCCDDB的距離相等，則A在底面BCD上的射影是底面BCD的心。3. 正方體ABCDAiBiCiDi中棱長a，點P在AC上,Q在BC上,A吐BQ=a，(1) 求直線PQ與平面ABCD所成角的正切值；(2) 求證：PQLAD在正方體ABCDAiBiCiDi中，設(shè)E是棱AAi上的點，且AiE:EAi:2，F(xiàn)是棱AB上的點,CiEF。求AF：FB24. 點P是ABC所在平面外一點，且PAL平面ABC若0和Q分別是ABC和PAP