小波分析碩士試題及答案

1、一、名詞解釋。（每題5分共30分）1、 線性空間與線性子空間答：線性空間是一個(gè)在標(biāo)量域上的非空矢量集合；設(shè)是數(shù)域上的線性空間的一個(gè)非空子集合，且對(duì)已有的線性運(yùn)算滿足以下條件：（1）如果，則；（2）如果，則，則稱是的一個(gè)線性子空間或子空間。2、 標(biāo)準(zhǔn)正交基答：若向量空間的基是正交向量組，則稱其為向量空間的正交基，若正交向量組的每個(gè)向量都是單位向量，則稱其為向量空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基。在無(wú)限維希爾伯特空間中，正交基不再是哈默爾基，也即是說(shuō)不是每個(gè)元素都可以寫(xiě)成有限個(gè)基中元素的線性組合。因此在無(wú)限維空間中，正交基應(yīng)該被更嚴(yán)格地定義為由線性無(wú)關(guān)而且兩兩正交的元素組成、張成的空間是原空間的一個(gè)稠密子空間（而不

2、是整個(gè)空間）的集合。3、 雙正交基雙正交小波基是框架的一種形式，框架的概念是標(biāo)準(zhǔn)正交基的推廣，尺度函數(shù)和小波函數(shù)分別滿足以下雙尺度方程:由雙正交條件可得。4、 尺度函數(shù)與小波函數(shù)尺度函數(shù)：小波函數(shù)：5、 Mallat算法答： 1989年，Mallat在小波變換多分辨率分析理論與圖像處理的應(yīng)用研究中受到塔式算法的啟發(fā)，提出了信號(hào)的塔式多分辨率分析與重構(gòu)的快速算法稱為馬拉特（Mallat）算法。Mallat分解算法：，Mallat重構(gòu)算法： 6、 雙尺度方程 答：雙尺度方程，本質(zhì)就是將的基函數(shù)表示成的基函數(shù)的線性和。因?yàn)?，所以和都可以用空間的一個(gè)基線性表示： ，即為雙尺度方程。1、 簡(jiǎn)述小波的定義

3、及其主要性質(zhì)。（10分）答：小波(Wavelet)這一術(shù)語(yǔ)，顧名思義，“小波”就是小的波形。所謂“小”是指它 具有衰減性；而稱之為“波”則是指它的波動(dòng)性，其振幅正負(fù)相間的震蕩形式。與傅里葉 變換相比，小波變換是時(shí)間(空間)頻率的局部化分析，它通過(guò)伸縮平移運(yùn) 算對(duì)信號(hào)(函數(shù))逐步進(jìn)行多尺度細(xì)化，最終達(dá)到高頻處時(shí)間細(xì)分，低頻處頻率細(xì)分，能自動(dòng)適應(yīng)時(shí)頻信號(hào)分析的要求，從而可聚焦到信號(hào)的任意細(xì)節(jié)，解決了傅里葉變換的困難問(wèn)題，成為繼傅里葉變換以來(lái)在科學(xué)方法上的重大突破。小波性能除了正交性以外還有光滑性、緊支性、衰減性、對(duì)稱性以及消失矩和時(shí)頻窗面積。2、 闡述Fourier變換和小波變換的各自的特點(diǎn)，并比

4、較它們之間的優(yōu)缺點(diǎn)。（10分）答：1）傅里葉變換能夠?qū)⑿盘?hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)到頻域，從物理意義上講，傅立葉變換的實(shí)質(zhì)是把這個(gè)波形分解成不同頻率的正弦波的疊加和，反映了整個(gè)信號(hào)的時(shí)間頻譜特性，較好地揭示了平穩(wěn)信號(hào)的特征，適合平穩(wěn)信號(hào)分析。 傅里葉變換缺點(diǎn)：1）只適合分析平穩(wěn)信號(hào)，不能分析非平穩(wěn)信號(hào)。2）根據(jù)測(cè)不準(zhǔn)原理，傅里葉變換不可能同時(shí)對(duì)f(t)和F(W)同時(shí)有很高的分辨率。3)求傅立葉系數(shù)需要所考慮的時(shí)間域上所有信息，不能反映局部信息的特征，局部性差。 2）小波變換是一種窗口大小固定，但形狀可以改變，時(shí)窗和頻窗都可以改變的時(shí)頻局域化分析方法，對(duì)函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行多尺度細(xì)化分析，達(dá)到高頻處時(shí)間細(xì)分，低頻處頻

5、率細(xì)分，能自動(dòng)適應(yīng)時(shí)頻信號(hào)分析的要求，具有多分辨率，從而可聚焦到信號(hào)的任意細(xì)節(jié)，適合非平穩(wěn)信號(hào)分析。 小波變換缺點(diǎn)：小波變換是非平穩(wěn)信號(hào)處理的有力工具，雖然小波變換有多種小波基函數(shù)可以供選擇，但一旦小波基函數(shù)選定后，其特性就固定，各個(gè)尺度上的小波函數(shù)通過(guò)尺度和平移變換獲得，由于信號(hào)每分解一次，逼近信號(hào)和細(xì)節(jié)的長(zhǎng)度減小一半。在不同尺度上得到的逼近信號(hào)特征之間存在差異，小波變換時(shí)采用以個(gè)基函數(shù)導(dǎo)出的小波函數(shù)難以在不同尺度上準(zhǔn)確地逼近局部信號(hào)特征，因此降噪預(yù)處理時(shí)的重構(gòu)信號(hào)會(huì)丟失原有的時(shí)域特征。3、 闡述多分辨分析的思想并給出MALLAT算法的表達(dá)式。（10分）答：Meyer于1986年創(chuàng)造性地構(gòu)造

6、出具有一定衰減性的光滑函數(shù)，其二進(jìn)制伸縮與平移構(gòu)成的規(guī)范正交基，才使小波得到真正的發(fā)展。1988年S.Mallat在構(gòu)造正交小波基時(shí)提出了多分辨分析的概念，從空間的概念上形象地說(shuō)明了小波的多分辨率特性， 將此之前的所有正交小波基的 構(gòu)造法統(tǒng)一起來(lái)，給出了正交小波的構(gòu)造方法以及正交小波變化的快速算法，即Mallat算法。Mallat算法在小波分析中的地位相當(dāng)于快速傅立葉變換算法在經(jīng)典傅立葉分析中的地位。多分辨分析只是對(duì)低頻部分進(jìn)行進(jìn)一步分解，而高頻部分則不予以考慮。分解的關(guān)系為 。這里只是以一個(gè)層分解進(jìn)行說(shuō)明，如果要進(jìn)行進(jìn)一步的分解，則可以把低頻部分分解成低頻部分和高頻部分，以下再分解以此類(lèi)推。

7、多分解分析的最終目的是力求構(gòu)造一個(gè)在頻率上高度逼近空間的正交小波基，這些頻率分辨率不同的正交小波基相當(dāng)于帶寬各異的帶通濾波器。多分辨分析只對(duì)低頻空間進(jìn)行進(jìn)一步的分解，使頻率的分辨率變得越來(lái)越高。Mallat分解算法：通過(guò)下面的公式可以很快計(jì)算出尺度系數(shù)和小波系數(shù)，因此，只要確定空間的初始序列，就可以算出任意空間的所有尺度系數(shù)和小波系數(shù)。公式(1)和(2)稱為離散小波變換的分解公式。Mallat重構(gòu)算法： 4、 簡(jiǎn)述小波理論的發(fā)展，并結(jié)合你所研究的領(lǐng)域，對(duì)小波理論在該領(lǐng)域的應(yīng)用及發(fā)展進(jìn)行綜述（此部分10分）。用某種語(yǔ)言編程實(shí)現(xiàn)數(shù)字水印嵌入、圖像壓縮或圖像分割（此部分30分，要求文字?jǐn)⑹?，程序貼在

8、答案后面）。(共40分）（此題是重點(diǎn)，要求不能重復(fù)，否則根據(jù)情節(jié)扣10-20分）答：（1）1807年，傅里葉提出傅里葉分析 ，1822年發(fā)表“熱傳導(dǎo)解析理論”論文；1910年 Haar 提出最簡(jiǎn)單的小波；1980，年Morlet 首先提出平移伸縮的小波公式，用于地質(zhì)勘探；1985年，Meyer和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮； 1988年，Mallat 提出的多分辨分析理論； Meyer在1989年引入了小波包的概念?；跇訔l函數(shù)的單正交小波基由崔錦泰和王建忠在1990年構(gòu)造出來(lái)。1992年Cohen, Daubechhies等人構(gòu)造出了緊支撐雙正交小波

9、基近年來(lái)，一種簡(jiǎn)明有效的構(gòu)造小波基的方法-提升方案得到很大的發(fā)展和重視，利用提升方案構(gòu)造的小波被認(rèn)為是第二代小波。小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用：小波分析已經(jīng)成為一種新工具和新方法，且取得了很多成功的應(yīng)用。如：信號(hào)的分解和重構(gòu)，信號(hào)的消噪，信號(hào)的奇異性檢測(cè)與分析。小波分析在圖像處理，圖像特征提取，圖像識(shí)別等方面的應(yīng)用最為成功。北京大學(xué)，清華大學(xué)聯(lián)合研制的“基于小波分析的指紋處理系統(tǒng)”，特別是北郵推出的“基于微機(jī)并行處理的職位識(shí)別系統(tǒng)“更是把小波在指紋方面的應(yīng)用推向高潮，其理論指標(biāo)已超過(guò)美國(guó)FBI的結(jié)果。消噪是信號(hào)處理中經(jīng)典的問(wèn)題，傳統(tǒng)的消噪方法多采用平均或線性方法，如Wiener濾波。隨小波理論的

10、日趨完善，利用小波進(jìn)行信號(hào)消噪及重構(gòu)得到了廣泛的應(yīng)用。（2）利用Matlab實(shí)現(xiàn)數(shù)字水印嵌入源程序如下:function loop(Cwx, Cx) %定義循環(huán)函數(shù)k=0;while k<=size(Cx,2)/size(Cwx,2)-1 Cx(1+size(Cx,2)/4+k*size(Cwx,2)/4:size(Cx,2)/4+. (k+1)*size(Cwx,2)/4)=Cg(1+size(Cx,2)/4+. k*size(Cwx,2)/4:size(Cx,2)/4+(k+1)*size(Cwx,2)/4+. x*Cwx(1+size(Cwx,2)/4:size(Cwx,2)/2)

11、; Cx(1+size(Cx,2)/2+k*size(Cwx,2)/4:size(Cx,2)/2+. (k+1)*size(Cwx,2)/4)=Cx(1+size(Cx,2)/2+. k*size(Cwx,2)/4:size(Cx,2)/2+(k+1)*size(Cwx,2)/4+. g*Cwx(1+size(Cwx,2)/2:3*size(Cwx,2)/4); Cx(1+3*size(Cx,2)/4+k*size(Cwx,2)/4:3*size(Cx,2)/4+. (k+1)*size(Cwx,2)/4)=Cx(1+3*size(Cx,2)/4+. k*size(Cwx,2)/4:3*siz

12、e(Cx,2)/4+(k+1)*size(Cwx,2)/4+. x*Cwx(1+3*size(Cwx,2)/4:size(Cwx,2); k=k+1;end;clc;start_time=cputime; %記錄開(kāi)始時(shí)間figure(1);subplot(1,3,1);input=imread('C:UsersalwDesktop1.jpg'); %讀出原始圖像imshow(input);title('原始圖像'); subplot(1,3,2);water=imread('C:UsersalwDesktop2.jpg'); %讀出水印圖像ims

13、how(water,);title('水印');input=double(input);water=double(water);inputr=input(:,:,1);waterr=water(:,:,1);inputg=input(:,:,2);waterg=water(:,:,2);inputb=double(input(:,:,3);waterb=double(water(:,:,3);r=0.06;Cwr,Swr=wavedec2(waterr,1,'haar'); %水印R的分解Cr,Sr=wavedec2(inputr,2,'haar'

14、;); %圖像R的分解Cr(1:size(Cwr,2)/16)=. %水印的嵌入Cr(1:size(Cwr,2)/16)+r*Cwr(1:size(Cwr,2)/16); function loop(Cwr, Cr) %調(diào)用loop循環(huán)函數(shù)Cr(1:size(Cwr,2)/4)=Cr(1:size(Cwr,2)/4)+r*Cwr(1:size(Cwr,2)/4);g=0.03;Cwg,Swg=wavedec2(waterg,1,'haar'); %水印G的分解Cg,Sg=wavedec2(inputg,2,'haar'); %圖像G的分解Cg(1:size(Cw

15、g,2)/16)=. %水印的嵌入Cg(1:size(Cwg,2)/16)+g*Cwg(1:size(Cwg,2)/16);function loop(Cwg, Cg) %調(diào)用loop循環(huán)函數(shù)Cg(1:size(Cwg,2)/4)=Cg(1:size(Cwg,2)/4)+g*Cwg(1:size(Cwg,2)/4);b=0.12;Cwb,Swb=wavedec2(waterb,1,'haar'); %水印B的分解Cb,Sb=wavedec2(inputb,2,'haar'); %圖像B的分解Cb(1:size(Cwb,2)/16)=. %水印的嵌入Cb(1:si

16、ze(Cwb,2)/16)+b*Cwb(1:size(Cwb,2)/16);function loop(Cwb, Cb) %調(diào)用loop循環(huán)函數(shù)Cb(1:size(Cwb,2)/4)=Cb(1:size(Cwb,2)/4)+b*Cwb(1:size(Cwb,2)/4); %圖像的重構(gòu)inputr=waverec2(Cr,Sr,'haar');inputg=waverec2(Cg,Sg,'haar');inputb=waverec2(Cb,Sb,'haar'); %三色的疊加temp=size(inputr); pic=zeros(temp(1),temp(2),3);for i=1:temp(1); for j=1:temp(2); pic(i,j,1)=inputr(i,j); pic(i,j,2)=inputg(i,j); pic(i,j,3)=inputb(i,j); end;end;output