必修1新課導(dǎo)學(xué)案：2.1.1指數(shù)與指數(shù)冪

1、主備 商曉陽(yáng) 審核 張活富 授課人授課時(shí)間班級(jí)姓名小組2.1.1指數(shù)與指數(shù)幕的運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解并掌握根式的概念、分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的概念；2.掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化；3.掌握有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)；4.了解無(wú)理數(shù)指數(shù)幕的意義.*2【引入課題】折紙冋題：一張正方形的紙，每折1次，紙的厚度就變成原來(lái)的倍，折2次，紙的厚度就變成原來(lái)的倍，J折n次，紙的厚度就變成原來(lái)的倍；細(xì)胞分裂問(wèn)題：有一種細(xì)胞，每分鐘分裂一次，每次能把一個(gè)細(xì)胞分裂成兩個(gè)， 經(jīng)過(guò)30分鐘后，這個(gè)細(xì)胞可以分裂為個(gè)細(xì)胞；教材第48頁(yè)中的問(wèn)題2:生物體內(nèi) 碳14含量P與死亡年數(shù)t之間的關(guān)系：1tP （?）5730；當(dāng)生物死亡了5730

2、,5730 2,5730 3,個(gè)5730年后，它體內(nèi)碳14的含量P11213分別為（一）,（一）2,（）3,，我們知道，這些數(shù)是正整數(shù)指數(shù)幕，它們的值分別2 2 2為，當(dāng)生物死亡了6000年，10000年，10000年后，它體內(nèi)的碳14含量分別為6000 10000 10000（1）5730（丄）5730（1）5730八2，八2，問(wèn)題1：這三個(gè)數(shù)又是什么含義呢？問(wèn)題2：如何計(jì)算：2 V2這就是我們將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容一一指數(shù)與指數(shù)幕的運(yùn)算上【學(xué)習(xí)過(guò)程】在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)幕，下面我們將把指數(shù)的取值范圍從整數(shù)推廣到實(shí)數(shù)。在學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)指數(shù)幕之前，我們先學(xué)習(xí)根式的相關(guān)知識(shí)。一、新知探究根式的概念閱

3、讀教材第49頁(yè)根式的內(nèi)容，然后冋答下列問(wèn)題探究任務(wù)1（教師“復(fù)備”欄或?qū)W生筆記欄）什么是平方根？什么是立方根？一個(gè)數(shù)的平方根有幾個(gè)，立方根呢？若x2a,則x叫做a的_,一個(gè)正實(shí)數(shù)的平方根有 _ 個(gè),它們互為_(kāi)數(shù),如:(2)2_，_是4的平方根,負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根；同理,若x3a,則x叫做a的_,一個(gè)數(shù)的立方根只有_,如：3_，_就是8的立方根；(2)3_，-8的立方根為_(kāi)；類(lèi)比平方根、立方根的定義，若x4a，則x叫a的_.若x5a，則x叫a的_.類(lèi)比以上定義，我們得到根式概念如果xna,那么x叫做a的，其中n1,且nN.你能根據(jù)n次方根的意義求出下列數(shù)的n次方根嗎？4的平方根；8的立方根；16的4

4、次方根；32的5次方根；-32的5次方根；0的7次方根；探究任務(wù)2:任何一個(gè)實(shí)數(shù)a的偶次方根是否存在呢？奇次方根呢？根據(jù)上題結(jié)果，你能得出什么樣的結(jié)論呢？ 結(jié)論：_ 、,若 a 為正數(shù),則 a 的 n 次方根是一個(gè)數(shù)，記作當(dāng)n為奇數(shù)- -若 a 為負(fù)數(shù),則 a 的 n 次方根是一個(gè)數(shù)，記作_.當(dāng)n為偶數(shù)若 a 為正數(shù)，則 a 的 n 次方根有_個(gè),它們互為 _,正的 n 次方根記作負(fù)的 n 次方根記作若 a 為負(fù)數(shù)，則 a 的 n 次方根_ ,即負(fù)數(shù)沒(méi)有 _ .規(guī)定：0的n次方根為 _，記作空0=_ .注意：式子%a叫做_ ，這里n叫做_,a叫做_.an叫做_ ，這里n叫做_ ,a叫做_ 。探

5、究任務(wù)3:(1)分組討論教材第50頁(yè)的探究問(wèn)題，得出什么結(jié)論?(2)比較區(qū)別nan與(na)n.-結(jié)論：對(duì)于n.an，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，先奇次乘方，再開(kāi)方(同次)，結(jié)果為被開(kāi)方數(shù)，即nan=；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，先偶次乘方，再開(kāi)方(同次)，結(jié)果為被開(kāi)嘗試練習(xí)一求出下列各式的值：7( 2)7；4( 9)2；3(3a 3)3(a1)；嘗試練習(xí)二求出下列各式的值：(1,2)2；4(3a 3)4；.3 2 2；二、回顧與討論方數(shù)的絕對(duì)值，即n na=|a|=a, a 0,a, a 0.n，an定有意義，即a R；對(duì)于(n.a)n，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，一定有意義，即a R；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，若a 0，則式子無(wú)意義，所以，a

6、 0，式子才有意義，此時(shí)，先開(kāi)n次方根,再乘n次方，結(jié)果為被開(kāi)方數(shù)，即(na)n_例題與練習(xí) 自學(xué)教材第50頁(yè)例1，然后完成下面的嘗試練習(xí)：思考：在什么條件下：an與(na)n相等？回顧：整數(shù)指數(shù) 的運(yùn)算性 質(zhì)(1)整數(shù)指數(shù)幕的含義：an_(n N )，即_ 個(gè)a的相乘。(2)設(shè)口小Z,則aman；(am)n；(ab)n-(3)ap；（p為正整數(shù)，且a 0）三、 新知探究分?jǐn)?shù)指數(shù)幕10 12實(shí)例引入：詛10(a2)5a2a弓,4；a12*a3)4a3a探究任務(wù)4:從以上兩個(gè)例子你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論?當(dāng)根式的被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù) _ 時(shí)，根式可以表示為_(kāi)的形式，被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)根指數(shù)即a的形式；探

7、究任務(wù)5:3a2, b,4c5如何表示？ _（1）規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕意義：man（a 0, m, n N , n 1）于是，當(dāng)a 0,m, n N，且 n 1，根式都可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式。練習(xí)與鞏固用根式的形式表示下列各式（a0）:132（1）a2；（2）a4；（3）a3實(shí)例引入：221 1,(3)21丄，（5)31122=4(3)25)39(125mc m04 (a a探究任務(wù)6:a0anam0,m, nN*,n1)an3254a3(a0)（2）規(guī)定： 正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕意義:am n*(a 0,m,n N,n1)。(3)規(guī)定：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒(méi)有意義。例題與

8、練習(xí)(1)課本第54頁(yè)的練習(xí)一第1題的后兩小題.(2)利用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義解答課本第51頁(yè)的例2.特別指出：學(xué)習(xí)了了分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到 了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)于有理數(shù)指數(shù)幕同樣適用.(4) 有理指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)：對(duì)于任意的有理數(shù)r,s,均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：(1)raarr sa(a0, r,sQ)；(2)(ar)srsa(a0, r,sQ)；(3)(ab)rr ra a(a0,b 0,r Q)回到前面的問(wèn)題， 則有1232 22123對(duì)于本節(jié)開(kāi)頭的問(wèn)題1,考古學(xué)家正是利用有理數(shù)指數(shù)幕的知識(shí)，計(jì)算出生物死亡6000年，10000年，100000年后

9、體內(nèi)碳14含量P的值。例如一6000 -1 - 1當(dāng)t=6000時(shí)，P=()5730573嵇(_)60000.484(精確到0.001),即生物死亡2 26000年后，其體內(nèi)碳14的含量約為原來(lái)的48.4%。例題與練習(xí)根據(jù)有理指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，自己動(dòng)手做做課本第51頁(yè)的例3、第52頁(yè)的例4.小結(jié)：分?jǐn)?shù)指數(shù)四則運(yùn)算的基本法則：首先是對(duì)其系數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，然后是對(duì)同底數(shù)幕進(jìn)行四則運(yùn)算，并且要注意符號(hào)。例題與練習(xí)自己動(dòng)手做做課本第52頁(yè)的例5.小結(jié)：i(2)已知a23，求下列各式的值利用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕進(jìn)行根式運(yùn)算時(shí)，其順序是先把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)幕或把分母的指數(shù)化成負(fù)指數(shù)，再根據(jù)同底數(shù)幕相乘的法則運(yùn)算。鞏

10、固練習(xí)課本第54頁(yè)練習(xí)第3題（2）、（4）。四、新知探究無(wú)理數(shù)指數(shù)幕我們已經(jīng)將指數(shù)的取值范圍從整數(shù)推廣到了有理數(shù)，想一想，當(dāng)指數(shù)是無(wú)理數(shù)時(shí)，比如5，它又表示什么含義呢？閱讀教材第53頁(yè)的表格，思考這個(gè)問(wèn)題。無(wú)理數(shù)指數(shù)幕的含義：一般地，無(wú)理數(shù)指數(shù)幕a （a 0,是無(wú)理數(shù)）是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).嘗試練習(xí) 課本第53頁(yè)的思考題。特別指出：有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)幕. 例題計(jì)算52（1）25五、提升練習(xí)i2 2a a-1i22a a六、歸納小結(jié)本節(jié)主要學(xué)習(xí)了：1、根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的概念；2、根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕之間的互化以及指數(shù)幕的運(yùn)算.在進(jìn)行指數(shù)幕的運(yùn)算時(shí)，一般地，化指數(shù)為正指數(shù)，化根式為