Newton迭代法求解非線性方程

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上Newton迭代法求解非線性方程一、 Newton迭代法概述 構(gòu)造迭代函數(shù)的一條重要途徑是用近似方程來代替原方程去求根。因此，如果能將非線性方程fx=0用線性方程去代替，那么，求近似根問題就很容易解決，而且十分方便。牛頓(Newton)法就是一種將非線性方程線化的一種方法。 設(shè)是方程fx=0的一個(gè)近似根，把如果在處作一階Taylor展開，即： (1-1)于是我們得到如下近似方程： (1-2)設(shè)，則方程的解為： x=xk+f(xk)f(xk) (1-3)取作為原方程(1.1)的新近似根，即令： , k=0,1,2, (1-4)上式稱為牛頓迭代格式。用牛頓迭代格式求方程的

2、根的方法就稱為牛頓迭代法，簡(jiǎn)稱牛頓法。 牛頓法具有明顯的幾何意義。方程： (1-5)是曲線上點(diǎn)處的切線方程。迭代格式(1-4)就是用切線式(1-5)的零點(diǎn)來代替曲線的零點(diǎn)。正因?yàn)槿绱?，牛頓法也稱為切線法。 牛頓迭代法對(duì)單根至少是二階局部收斂的，而對(duì)于重根是一階局部收斂的。一般來說，牛頓法對(duì)初值的要求較高，初值足夠靠近時(shí)才能保證收斂。若要保證初值在較大范圍內(nèi)收斂，則需對(duì)加一些條件。如果所加的條件不滿足，而導(dǎo)致牛頓法不收斂時(shí)，則需對(duì)牛頓法作一些改時(shí)，即可以采用下面的迭代格式：, (1-6)上式中，稱為下山因子。因此，用這種方法求方程的根，也稱為牛頓下山法。牛頓法對(duì)單根收斂速度快，但每迭代一次，除需

3、計(jì)算之外，還要計(jì)算的值。如果比較復(fù)雜，計(jì)算的工作量就可能比較大。為了避免計(jì)算導(dǎo)數(shù)值，我們可用差商來代替導(dǎo)數(shù)。通常用如下幾種方法：1. 割線法如果用 代替，則得到割線法的迭代格式為： (1-7)2. 擬牛頓法如果用代替，則得到擬牛頓法的迭代格式為： (1-8)3. Steffenson法如果用代替，則得到擬牛頓法的迭代格式為： (1-9)二、 算法分析1. 割線法割線法的迭代公式為：,k=0,1,2,割線法是超線性收斂，其程序流程圖為：2. 擬牛頓法牛頓擬迭代法迭代公式為：(1) 對(duì)單根條件下，牛頓擬迭代法平方收斂，牛頓擬迭代法程序框圖如下所示：(2) 對(duì)重根條件下，此時(shí)迭代公式修改為：,m為根

4、的重?cái)?shù)此時(shí)，牛頓迭代法至少平方收斂。3. Steffenson法Steffenson迭代法程序流程圖與牛頓擬迭代法類似。三、 牛頓法的程序 給定初值，用牛頓法格式，求解非線性方程。*function p1,err,k,y = newton(f1041,df1041,p0,delta,max1)% f1041是非線性函數(shù)。% df1041是f1041的微商。% p0是初始值。% delta是給定允許誤差。% max1是迭代的最大次數(shù)。% p1是牛頓法求得的方程的近似解。% err是p0的誤差估計(jì)。% k是迭代次數(shù)。% y = f(p1)p0, feval('f1041',p0)f

5、or k = 1:max1 p1 = p0 - feval('f1041', p0)/feval('df1041', p0); err = abs(p1-p0); p0 = p1; p1, err, k, y = feval('f1041', p1) if (err < delta) | (y = 0), break, end p1, err, k, y = feval('f1041', p1)end*四、程序?qū)嵗c計(jì)算結(jié)果例 用上述程序求方程的一個(gè)近似解，給定初值為1.2，誤差界為。解：先用m文件先定義二個(gè)名為f1041.

6、m和df1041.m的函數(shù)文件。 function y = f1041(x) y = x3 3*x + 2; function y=df1041(x)y=3*x2-3;建立一個(gè)主程序prog1041.m clearnewton('f1041','df1041',1.2, 10(-6), 18)然后在MATLAB命令窗口運(yùn)行上述主程序，即： >> prog1041計(jì)算結(jié)果如下：專心-專注-專業(yè)p0 = 1.2000ans = 0.1280p1 = 1.1030err = 0.0970k = 1y = 0.0329p1 = 1.1030err = 0.0

7、970k = 1y = 0.0329p1 = 1.0524err = 0.0507k = 2y = 0.0084p1 = 1.0524err = 0.0507k = 2y = 0.0084p1 = 1.0264err = 0.0260k = 3y = 0.0021p1 = 1.0264err = 0.0260k = 3y = 0.0021p1 = 1.0133err = 0.0131k = 4y = 5.2963e-004p1 = 1.0133err = 0.0131k = 4y = 5.2963e-004p1 = 1.0066err = 0.0066k = 5y = 1.3270e-004p

8、1 = 1.0066err = 0.0066k = 5y = 1.3270e-004p1 = 1.0033err = 0.0033k = 6y = 3.3211e-005p1 = 1.0033err = 0.0033k = 6y = 3.3211e-005p1 = 1.0017err = 0.0017k = 7y = 8.3074e-006p1 = 1.0017err = 0.0017k = 7y = 8.3074e-006p1 = 1.0008err = 8.3157e-004k = 8y = 2.0774e-006p1 = 1.0008err = 8.3157e-004k = 8y = 2

9、.0774e-006p1 = 1.0004err = 4.1596e-004k = 9y = 5.1943e-007p1 = 1.0004err = 4.1596e-004k = 9y = 5.1943e-007p1 = 1.0002err = 2.0802e-004k = 10y = 1.2987e-007p1 = 1.0002err = 2.0802e-004k = 10y = 1.2987e-007p1 = 1.0001err = 1.0402e-004k = 11y = 3.2468e-008p1 = 1.0001err = 1.0402e-004k = 11y = 3.2468e-0

10、08p1 = 1.0001err = 5.2014e-005k = 12y = 8.1170e-009p1 = 1.0001err = 5.2014e-005k = 12y = 8.1170e-009p1 = 1.0000err = 2.6008e-005k = 13y = 2.0293e-009p1 = 1.0000err = 2.6008e-005k = 13y = 2.0293e-009p1 = 1.0000err = 1.3004e-005k = 14y = 5.0732e-010p1 = 1.0000err = 1.3004e-005k = 14y = 5.0732e-010p1 = 1.0000err = 6.5020e-006k = 15y = 1.2683e-010p1 = 1.0000err = 6.5020e-006k = 15y = 1.2683e-010p1 = 1.0000err = 3.2510e-006k = 16y = 3.1708e-011p1 = 1.0000err = 3.2510e-006k = 16y = 3.1708e-011p1 = 1.0000err = 1.625