高中數(shù)學(xué)必修五知識點大全

1、WORD格式知識點串講專業(yè)資料整理WORD格式必修五專業(yè)資料整理WORD格式1 /21專業(yè)資料整理WORD格式第一章：解三角形1 1 1 正弦定理1、正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即abcsinAsinBsin C一般地，三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。2、ABC中，A600，a3 ,求abcsin A sinB sin C證明出abcabcAsin BsinCsinA sin BsinCsin解：設(shè)abck( ko)sinBsin Csin A那么有 ak sin A ， b k sinB ， ck sin C從而Aabcsin C= k si

2、nAk sinBk sinC = ksinsinBsinAsinBsin C又a302k，所以abc=2sin Asin60Bsin A sinsin C評述：在ABC中，等式abcabc0sin AsinBsin Csin Asink kB sin C恒成立。3、ABC中，sinA:sinB:sinC 1:2:3，求 a: b : c答案： 1： 2： 31.1.2余弦定理1、余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即a2b2c22bc cos Ab2a2c22cosBacc 2a2b22ab cos C從余弦定理，又可得到以下推論：b2

3、c2a 2cosA2bca2c2b2cosB2acb2a2c2cosC2ba專業(yè)資料整理WORD格式2 /21專業(yè)資料整理WORD格式2、在ABC中，a23 ， c62， B600，求b及A解： b2 a 2 c22accosB= (23)2(62) 22 23 (62) cos 450=12( 62)243(31)= 8 b 2 2.求 A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一： cos Ab2 c2 a2(2 2)2(62 )2(2 3)21,2bc222 (62)2 A 600.解法二： sina230b sinB22sin45 ,A又 622.41.43.8,2 3 2 1.8

4、3.6, a c ，即 00A 900, A 600.評述：解法二應(yīng)注意確定A 的取值X圍。3、在ABC中，假設(shè)a2b2c2bc ，求角A答案：A=120011 3 解三角形的進(jìn)一步討論1、在ABC中，a,b, A，討論三角形解的情況分析：先由 sin Bb sin AB；可進(jìn)一步求出a那么 C1800 ( A B) 從而casinCA1當(dāng) A 為鈍角或直角時，必須ab 才能有且只有一解；否那么無解。2當(dāng) A 為銳角時，如果 a b，那么只有一解；如果 ab ，那么可以分下面三種情況來討論：專業(yè)資料整理WORD格式3 /21專業(yè)資料整理WORD格式（ 1假設(shè)a bsinA，那么有兩解；（ 2假

5、設(shè)a bsinA，那么只有一解；（ 3假設(shè)a bsinA，那么無解。以上解答過程詳見課本第910 頁評述：注意在三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當(dāng)A 為銳角且bsin A ab 時，有兩解；其它情況時那么只有一解或無解。2、 1在ABC中，a80 ，b100， A 450，試判斷此三角形的解的情況。 2在ABC中，假設(shè)a1， c1 ，C400，那么符合題意的b的值有_個。2 3在ABC中，axcm， b2cm，B 450，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x 的取值X圍。答案： 1有兩解； 2 0； 32x2 2 3、在 ABC中，a7 ，b5 ，c3 ，判斷ABC的類型。解： 7

6、252 32，即a2b2c2， ABC是鈍角三角形。4、 1在ABC中，sinA:sinB:sinC 1:2:3，判斷ABC的類型。 2ABC滿足條件acosA bcosB，判斷ABC的類型。答案： 1ABC是鈍角三角形；2ABC是等腰或直角三角形5、在ABC中，A600，b1，面積為3 ，求a bc的值2sin A sin Bsin CabcabcsinAsinBsin C sinAsinBsin C解：由 S1 bc sin A3得 c2，22那么2b2c22cosA=3，即 a3，abc從而abca2AsinBsin CsinAsin專業(yè)資料整理WORD格式4 /21專業(yè)資料整理WORD

7、格式1.2 解三角形應(yīng)用舉例1、兩燈塔A、 B 與海洋觀察站C 的距離都等于a km, 燈塔 A 在觀察站C 的北偏東30 ，燈塔 B 在觀察站 C 南偏東 60 ，那么 A、 B 之間的距離為多少？解略： 2 a km2、 某人在 M汽車站的北偏西20的方向上的 A 處，觀察到點C處有一輛汽車沿公路向M站行駛。公路的走向是 M站的北偏東40。開場時，汽車到 A 的距離為 31 千米，汽車前進(jìn)20 千米后，到 A的距離縮短了 10 千米。問汽車還需行駛多遠(yuǎn)，才能到達(dá)M汽車站？解：由題設(shè)，畫出示意圖，設(shè)汽車前進(jìn)20 千米后到達(dá) B 處。在ABC中， AC=31， BC=20， AB=21，由余弦

8、定理得cosC= AC 2BC 2AB 2=23,2ACBC31那么 sin 2 C =1- cos2C=432,312sinC = 123 ,31所以 sinMAC = sin 120-C = sin120 cosC - cos120 sinC = 35 362在 MAC中，由正弦定理得MC = AC sin MAC = 3135 3 =35sinAMC3622從而有 MB= MC-BC=15答：汽車還需要行駛15 千米才能到達(dá)M汽車站。專業(yè)資料整理WORD格式5 /21專業(yè)資料整理WORD格式3、 S= 1 absinC，A,S=1 acsinB， S= 1 bcsin2224、在 ABC

9、中，求證：1 a2b2sin2A sin 2 B ; 2a2 + b2 + c2 =2 bccosA+cacosB+abcosC c 2sin2 C證明： 1根據(jù)正弦定理，可設(shè)a =b =c = ksin Asin Bsin C顯然 k0，所以左邊= a 2c 2b2k 2 sin2 A k 2 sin 2 Bk 2 sin2 C2 2= sin A sin B =右邊 sin 2 C（ 2根據(jù)余弦定理的推論，b 2c2a 2c 2a 2b2a 2b 2c 2右邊 =2(bc2bc+ca2ca+ab2ab)=(b2 +c 2 - a 2 )+(c2 +a2-b2)+(a2+b2-c2)=a 2

10、+b2+c2=左邊變式練習(xí) 1：在ABC中，B=30,b=6,c=63 ,求a及ABC的面積 S提示：解有關(guān)兩邊和其中一邊對角的問題，注重分情況討論解的個數(shù)。答案： a=6,S=93 ;a=12,S=1835、如圖，在四邊形ABCD中，ADB=BCD=75，ACB=BDC=45， DC=3 ，求：1AB的長 2四邊形 ABCD的面積專業(yè)資料整理WORD格式6 /21專業(yè)資料整理WORD格式略解 1因為BCD=75，ACB=45，所以ACD=30，又因為BDC=45，所以DAC=180- 75+ 45+ 30=30，所以AD=DC=3在BCD中，CBD=180- 75+ 45=60，所以BD =

11、DC，BD =3 sin 75=62sin 75sin 60sin 602在 ABD中， AB2 =AD2 + BD 2 -2AD BD cos75= 5,所以得AB=53 S ABD=1AD BDsin75= 32 324同理， SBCD= 334所以四邊形 ABCD 的面積 S= 63 34第二章：數(shù)列21 數(shù)列的概念與簡單表示法1、概括數(shù)列的概念：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項。辯析數(shù)列的概念：“ 1，2，3， 4， 5與“ 5， 4，3， 2， 1是同一個數(shù)列嗎？與“1，3， 2，4， 5呢？給出首項與第n 項的定義及數(shù)列的記法：an2、數(shù)列的分類

12、: 有窮數(shù)列與無窮數(shù)列；遞增數(shù)列與遞減數(shù)列，常數(shù)列。3、數(shù)列的表示方法：項公式列表和圖象等方法表示數(shù)列4、= 2 an-1 + 1 n N ，n1 ，式稱為遞推公式。遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法。專業(yè)資料整理WORD格式7 /21專業(yè)資料整理WORD格式2 2 等差數(shù)列1、數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第2 項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d 表示。2、個數(shù) a， A， b 組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，這時，A 叫做 a 與 b 的等差中項。3、等差數(shù)列中，假設(shè)m+n=p+q 那么amanapaq4、

13、通項公式：以a1為首項，d為公差的等差數(shù)列 an 的通項公式為：an a1 (n 1) d5、迭加法和迭代法推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式：迭加法： an 是等差數(shù)列，所以anan 1d,an 1an2d ,an 2an3d ,a2a1d ,兩邊分別相加得an a1(n1)d ,所以ana1( n1)d迭代法： an 是等差數(shù)列，那么有anan 1dan 2ddan 22dan 3d2dan 33da1(n 1)d所以ana1(n1)d專業(yè)資料整理WORD格式8 /21專業(yè)資料整理WORD格式6、求等差數(shù)列8，5， 2，的第20 項 . -401 是不是等差數(shù)列-5 ， -9 ， -13 ，的項？如果

14、是，是第幾項？解：由 a1=8，d=5-8=-3，n=20，得 a208( 21 1)( 3)49由 a1=-5，d=-9-5=-4，得這個數(shù)列的通項公式為an54(n1)4n1, 由題意知，此題是要答復(fù)是否存在正整數(shù)n, 使得 -401=-4n-1成立。解這個關(guān)于n 的方程，得n=100，即 -401 是這個數(shù)列的第100 項。7、某市出租車的計價標(biāo)準(zhǔn)為1.2 元 /km ，起步價為10 元，即最初的4km不含 4 千米計費10 元。如果某人乘坐該市的出租車去往14km 處的目的地， 且一路暢通， 等候時間為0，需要支付多少車費？解：根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4km 時，每增加1

15、km，乘客需要支付1.2 元 . 所以，我們可以建立一個等差數(shù)列 an 來計算車費.令 a1=11.2，表示4km處的車費，公差d=1.2 。那么當(dāng)出租車行至14km處時， n=11，此時需要支付車費 a1111.2(11 1)1.223.2(元 )答：需要支付車費23.2 元。2 2 等差數(shù)列的前n 項和1、倒序相加法求和我們用兩種方法表示Sn： 1Sna1( a1d ) (a12d ) .a1(n 1)d , Snan(and )( an2d ). an( n1)d, 由 +，得2Sn a1an+ a1an+ a1an+.+ a1ann個n(a1an )由此得到等差數(shù)列 an 的前n項和的

16、公式Snn(a1an )2專業(yè)資料整理WORD格式9 /21專業(yè)資料整理WORD格式 2Sna1a2a3.an=a(ad )(a2d ). a( n1)d 1111=na1 d2d .( n1)d=na112 . ( n 1)d=na1n( n1) d22、一個等差數(shù)列 an前 10 項的和是310，前 20 項的和是1220. 由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前 n 項和的公式嗎？解：由題意知S10310，S201220，Snna1將它們代入公式n n1 d，210a145d，310得到20a1190d1220解這個關(guān)于 a1與d的方程組，得到a1=4，d=6，所以 Sn 4n6 3n2nn

17、n 12a1an另解：S10103102得a1a1062；S20a1a202012202所以a1a20122；- ，得10d60 ，所以d6代入得：a14Sna1n3n2n所以有n n 1d21 n ，求這個數(shù)列的通項公式3、數(shù)列 an的前 n 項為Snn2. 這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果2是，它的首項與公差分別是什么？專業(yè)資料整理WORD格式10/21專業(yè)資料整理WORD格式解：根據(jù)Sna1 a2.an 1an與Saa2.a n 1 n 11n1可知，當(dāng) n 1 時，anSnSn 1n21n211n1 n 1 2n222當(dāng) n=1 時，a1S112113也滿足式 .221所以數(shù)列 an 的通項

18、公式為an2n.2由此可知，數(shù)列 an 是一個首項為3，公差為 2 的等差數(shù)列。2這個例題還給出了等差數(shù)列通項公式的一個求法. 前 n 項和S，可求出通項na1nan1SnSn 1 n 14、如果一個數(shù)列前n 項和公式是常數(shù)項為0，且關(guān)于 n 的二次型函數(shù)，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列.5、 等差數(shù)列，2，4，.的前 n 項和為Sn，求使得 Sn最大的序號n的值.5 4377245解：由題意知，等差數(shù)列的公差為， ， ，.，所以5 47377Snn 2 5 n 1527=75n5n25152112514 n25614于是，當(dāng) n 取與15最接近的整數(shù)即7或 8時，S取最大值 .2n6 、已 知數(shù)

19、列an, 是等差數(shù)列，Sn是其前n項 和，且S6， S12-S6， S18-S12成等差數(shù)列，設(shè)k N , Sk ,S2 k Sk , S3 kS2 k成等差數(shù)列嗎？生：分析題意，解決問題.解：設(shè)an , 首項是 a1，公差為d那么： S6a1a2a3a4a5a6專業(yè)資料整理WORD格式11/21專業(yè)資料整理WORD格式S12S6 a7a8a9a10a11a12(a16d )( a26d )( a36d)(a46d )(a56d )( a66d)(a1a2a3a4a5a6 )36dS636dS18S12a13a14a15a16a17a18(a76d )( a86d )( a96d)(a106d

20、)(a116d)(a126d)(a7a8a9a10a11a12 )36dS12S636dS6 ,S12S6 , S18S12為等差數(shù)列同理可得 Sk , S2kSk , S3k S2k成等差數(shù)列.7、求集合m m7n,nN * ,且 m100的元素個數(shù)，并求這些元素的和。解由 m=100，得n10027147滿足此不等式的正整數(shù)n 共有 14 個，所以集合 m中的元素共有 14 個，從小到大可列為：7， 7 2， 7 3， 7 4， 7 14即： 7， 14， 21， 28， 98這個數(shù)列是等差數(shù)列，記為an , 其中a17, a149814(798)S142735解由 m=100，得n100

21、14 277滿足此不等式的正整數(shù)n 共有 14 個，所以集合m中的元素共有14 個，從小到大可列為：7， 7 2， 7 3， 7 4， 7 14即： 7， 14， 21， 28， 98這個數(shù)列是等差數(shù)列，記為an ,其中 a1 7,a1498 S1414(7 98)7352答：集合 m中共有 14 個元素，它們和等于735專業(yè)資料整理WORD格式12/21專業(yè)資料整理WORD格式2. 3 等比數(shù)列1、等比數(shù)列的定義：一般地，假設(shè)一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù) ,這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫等比數(shù)列的公比， 用字母 q 表示 q 0，an即：an 1 =q q 0

22、2、既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列3、等比數(shù)列的通項公式1:ana1qn1(a1 , q均不為 0)qn m (am， q等比數(shù)列的通項公式 2:anam0)4、假設(shè) an為等比數(shù)列，mn pq (m, n, q, p N) ，那么 am ana p aq由等比數(shù)列通項公式得： ama1q m 1, ana1 qn 1，apa1qp 1 ,aqa1 q q 1，故 am an22qp q 2 ，a1 q m n 2且 ap aqa1 m n p q ，amana p aq5、三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為27，它們的平方和為 91，求這三個數(shù)。解：由題意可以設(shè)這三個數(shù)分別為a , a,

23、aq ，得：qa a aq27a3qa2 ( 12a22221 q2 ) 91q2aa q91q 9q482q29 0 ，即得 q29 或q21 ，1 ，9 q3 或 q31，3，9或9，3，1或9，3，1故該三數(shù)為： 1，3，9 或說明：三數(shù)成等比數(shù)列，一般情況下設(shè)該三數(shù)為a , a, aq q6、數(shù)列an為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前n 項和為80，且前 n 項中數(shù)值最大的項為54，它的前 2n 項和為6560，求首項a1和公比q。解：假設(shè) q1 ，那么應(yīng)有S2n2Sn，與題意不符合，故q 1 。依題意有：專業(yè)資料整理WORD格式13/21專業(yè)資料整理WORD格式a1 1qn80(1)1

24、 qa1 1 q2n1q6560(2)(2) 得1q2nn 82 即q2n82qn81 0(1) 1 q得 qn81或 qn1 舍去，qn81。由 qn81知q1， 數(shù)列an的前 n 項中an最大，得an54。將 qn81代入1得 a1q1 3，由 aa qn 154得 a qn54q，即 81a1 54q4，n11聯(lián)立 3 4解方程組得a12q。32.4 等比數(shù)列的前n 項和1、等比數(shù)列的前 n 項和公式：一般地，設(shè)等比數(shù)列a1, a2a3 , an它的前 n 項和是Sn a1a2a3anSna1a2 a3an由 ana1q n1Sna1a1 q a1 q 2a1qn 2a1q n 1得qS

25、na1q a1q 2a1 q3a1 qn 1a1qn專業(yè)資料整理WORD格式14/21專業(yè)資料整理WORD格式(1 q)Sna1a1q na1(1 q n )a1an q論同上當(dāng) qSn1 qSnq1時，或1當(dāng) q=1 時，Snna11,1,1,，求使得Sn大于 100 的最小的 n 的值 .2、等比數(shù)列9 3答案：使得Sn大于 100 的最小的 n 的值為 7.3、設(shè)數(shù)列 an的前 n 項和為Sn3na 當(dāng)常數(shù)a滿足什么條件時， an 才是等比數(shù)列？答案： a14、等比數(shù)列an中,S420, S81640,求S12 .15、某商店采用分期付款元的方式促銷一款價格每臺為6000 電的腦 .商規(guī)

26、店定，購置時先支付貨款的3 ，剩余局部在三年內(nèi)按每月底等額還款的方式支付欠款，且結(jié)算欠款的利息.欠款的月利率為0.5%到第一個月底，貨主在第一次還款之前，他欠商店多少元？22解 (1)因為購置電腦時 ,貨主欠商店3的貨款 ,即 60003 =4000( 元 ),又按月利率 0.5% 到第一個月底的欠款數(shù)應(yīng)為 4000(1+0.5%)=4020( 元 ).即到第一個月底 ,欠款余額為4020 元 .(2) 設(shè)第 i 個月底還款后的欠款數(shù)為y i,那么有y 1 =4000(1+0.5%)- ay 2 =y 1 (1+0.5%)- a=4000(1+0.5%) 2 - a (1+0.5%)- ay

27、3 =y 2 (1+0.5%)- ay 3 =y 2 (1+0.5%)- a=4000(1+0.5%) 3 - a (1+0.5%) 2 - a (1+0.5%)- a專業(yè)資料整理WORD格式15/21專業(yè)資料整理WORD格式y(tǒng) i =y i 1 (1+0.5%)-a =4000(1+0.5%)i- a (1+0.5%)i1i2- a ,- a (1+0.5%)-整理得ia (1 0.5%) i1, 36)y i =4000(1+0.5%)0.5%.( i =1,2,-(3)因為 y 36 =0,所以36a (10.5%) 3614000(1+0.5%)-0.5%=0即每月還款數(shù)4000(10

28、.5%) 360.5%121.69a =(10.5%)361(元 )所以每月的款額為121.69 元 .第三章不等式3.1 不等式與不等關(guān)系1、不等式的根本性質(zhì)： 1ab, bcac 2aba cbc 3ab, c0acbc 4ab, c0acbc2、a b0, c0, 求證cc 。ab證明：以為 ab 0，所以 ab0,10 。ab專業(yè)資料整理WORD格式16/21專業(yè)資料整理WORD格式于是1111ab，即aababb由 c0 ，得ccab3.2一元二次不等式及其解法1、一元二次不等式的定義象 x25 x0 這樣，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2 的不等式，稱為一元二次不等式2、

29、設(shè)一元二次方程ax2bxc0 ( a0) 的兩根為x1、 x2且 x1x2，b 24ac ，那么不等式的解的各種情況如下表：000二次函數(shù)2yaxbxc(a0) 的圖象一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根b無實根ax2bx c 0x1 , x2 ( x1 x2 )x1 x22aax2bx c0x x x1或 x x2x xbR(a0)的解集2aax2bx c0x x1x x 2(a0)的解集3、一個汽車制造廠引進(jìn)了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量x輛與創(chuàng)造的價值 y元之間有如下的關(guān)系：y2x2220x假設(shè)這家工廠希望在一個星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6000 元以上，那么它在一個星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)多少輛摩托車？解：設(shè)在一個星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)x 輛摩托車，根據(jù)題意，我們得到2x2220 x 6000移項整理，得x2110 x30000專業(yè)資料整理WORD格式17/21專業(yè)資料整理WORD格式因為 1000 ，所以方程 x2110x30000有兩個實數(shù)根x1 50, x2 60 由二次函數(shù)的