北師大版高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)歸納及習(xí)題講座

1、北師大版高一數(shù)學(xué)（必修一）經(jīng)典習(xí)題集一、集合1設(shè)集合P=3，4，5，Q=4，5，6，7，定義PQ=（則PQ中元素的個(gè)數(shù)為 個(gè) 2設(shè)集合，則滿(mǎn)足的m的取值范圍是 3已知集合，則的非空真子集個(gè)數(shù)有 個(gè)4設(shè)集合，則集合且= 。5設(shè)集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。6函數(shù)的x、n都屬地集合且，若以所有的函數(shù)值為元素作為集合M，則M中元素的個(gè)數(shù)為 。7.（2009年上海卷理）已知集合，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 。8.（2009重慶卷文）若是小于9的正整數(shù)，是奇數(shù)，是3的倍數(shù)，則 9.（2009重慶卷理）若，則 10.（2009上海卷文） 已知集體A=x|x1,B=x|a,且AB=R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍 m

2、。11.（2009北京文）設(shè)A是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于，如果且，那么是A的一個(gè)“孤立元”，給定，由S的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 個(gè).12（2009天津卷文）設(shè)全集，若，則集合B= 。13已知集合A，B當(dāng)a2時(shí)，求AB； 求使BA的實(shí)數(shù)a的取值范圍14.,（1），求的值；（2），且，求的值；（3），求的值；15.,，且，求，的值.16已知下列集合： （1）； （2）； （3） (4) 問(wèn)：（）用列舉法表示上述各集合；（）對(duì)集合，如果使kZ,那么，所表示的集合分別是什么？并說(shuō)明與的關(guān)系17（1）設(shè)，求， （2）設(shè)集合 ，若求的取值范圍二、 求函數(shù)值域求函數(shù)的值域或最值

3、是高中數(shù)學(xué)基本問(wèn)題之一，也是考試的熱點(diǎn)和難點(diǎn)之一。遺憾的是教材中僅有少量求定義域的例題、習(xí)題，而求值域或最值的例題、習(xí)題則是少得屈指可數(shù)。原因可能是求函數(shù)的值域往往需要綜合用到眾多的知識(shí)內(nèi)容，技巧性強(qiáng)，有很高的難度，因此求函數(shù)的值域或最值的方法需要我們?cè)诤罄m(xù)的學(xué)習(xí)中逐步強(qiáng)化。本文談一些求函數(shù)值域的方法，僅作拋磚引玉吧。一、 基本知識(shí)1 定義：因變量y的取值范圍叫做函數(shù)的值域（或函數(shù)值的集合）。2 函數(shù)值域常見(jiàn)的求解思路： 劃歸為幾類(lèi)常見(jiàn)函數(shù)，利用這些函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解。 反解函數(shù)，將自變量x用函數(shù)y的代數(shù)式形式表示出來(lái)，利用定義域建立函數(shù)y的不等式，解不等式即可獲解。 可以從方程的角度理解函

4、數(shù)的值域，如果我們將函數(shù)看作是關(guān)于自變量的方程，在值域中任取一個(gè)值，對(duì)應(yīng)的自變量一定為方程在定義域中的一個(gè)解，即方程在定義域內(nèi)有解；另一方面，若取某值，方程在定義域內(nèi)有解，則一定為對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。從方程的角度講，函數(shù)的值域即為使關(guān)于的方程在定義域內(nèi)有解的得取值范圍。 特別地，若函數(shù)可看成關(guān)于的一元二次方程，則可通過(guò)一元二次方程在函數(shù)定義域內(nèi)有解的條件，利用判別式求出函數(shù)的值域。 可以用函數(shù)的單調(diào)性求值域。 其他。3 函數(shù)值域的求法在以上求解思路的引導(dǎo)下，又要注意以下的常見(jiàn)求法和技巧：觀察法；最值法；判別式法；反函數(shù)法；換元法；復(fù)合函數(shù)法；利用基本不等式法；利用函數(shù)的單調(diào)性；利用三角函數(shù)的有界性；

5、圖象法；配方法；構(gòu)造法。二、 舉例說(shuō)明 觀察法：由函數(shù)的定義域結(jié)合圖象，或直觀觀察，準(zhǔn)確判斷函數(shù)值域的方法。 例1：求函數(shù)的值域。 例2：求函數(shù)的值域。 最值法：對(duì)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，利用函數(shù)的最大值、最小值求函數(shù)的值域的方法。 例3：求函數(shù)，的值域。 例4：求函數(shù)的值域。 判別式法：通過(guò)二次方程的判別式求值域的方法。 例5：求函數(shù)的值域。 反函數(shù)法：利用求已知函數(shù)的反函數(shù)的定義域，從而得到原函數(shù)的值域的方法。 例6：求函數(shù)的值域。 例7：求函數(shù)，的值域。 換元法：通過(guò)對(duì)函數(shù)恒等變形，將函數(shù)化為易求值域的函數(shù)形式來(lái)求值域的方法。 例8：求函數(shù)的值域。 復(fù)合函數(shù)法：對(duì)函數(shù)，先求的值域充當(dāng)?shù)亩x

6、域，從而求出的值域的方法。 例9：求函數(shù)的值域。 利用基本不等式求值域： 例10：求函數(shù)的值域。 例11：求函數(shù)的值域。 利用函數(shù)的單調(diào)性： 例12：求函數(shù)的值域。 提示：，都是增函數(shù)，故是減函數(shù)，因此當(dāng)時(shí)，又，。 例13：求函數(shù)的值域。 略解：易知定義域?yàn)椋谏暇鶠樵龊瘮?shù)，故利用三角函數(shù)的有解性： 例14：求函數(shù)的值域。 例15：求函數(shù)的值域。 圖象法：如果可能做出函數(shù)的圖象，可根據(jù)圖象直觀地得出函數(shù)的值域（求某些分段函數(shù)的值域常用此方法）。例16：求函數(shù)的值域。 求函數(shù)值域方法很多，常用的有以上這些，這些方法分別具有極強(qiáng)的針對(duì)性，每一種方法又不是萬(wàn)能的。要順利解答求函數(shù)值域的問(wèn)題，必須熟

7、練掌握各種技能技巧。配方法：當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時(shí),可以利用配方法求函數(shù)值域。例17：求函數(shù)的值域。點(diǎn)撥：將被開(kāi)方數(shù)配方成完全平方數(shù)，利用二次函數(shù)的最值求。解：由,可知函數(shù)的定義域?yàn)閤1，2。此時(shí),函數(shù)的值域是。構(gòu)造法：根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，賦予幾何圖形，數(shù)形結(jié)合。例18：求函數(shù)的值域。點(diǎn)撥：將原函數(shù)變形，構(gòu)造平面圖形，由幾何知識(shí)，確定出函數(shù)的值域。解：原函數(shù)變形為作一個(gè)長(zhǎng)為4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個(gè)單位正方形。設(shè)HK=,則EK=2,KF=2,AK=,KC= 。由三角形三邊關(guān)系知，AK+KCAC=5。當(dāng)A、K、C三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)。原函數(shù)的知域?yàn)閥|y5。三

8、、 函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性例1 如果函數(shù)在上是減函數(shù)，求a的取值范圍。例2 判斷函數(shù)（）在R上的單調(diào)性例3 已知函數(shù)，在R上是增函數(shù)，求證：在R上也是增函數(shù)。 例4 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 例5 判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性（1）（2）（3）（4）（5）例6 函數(shù)在上為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，求的解析式。 例7 設(shè)為奇函數(shù)，且在定義域上為減函數(shù)，求滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)a的取值范圍。例8 設(shè)是定義在上的增函數(shù)，且，求滿(mǎn)足不等式的的取值范圍。四、 指數(shù)函數(shù)例1 求函數(shù)y()的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間解：令yf(x)()，則函數(shù)f(x)可以看作函數(shù)y()t與函數(shù)tx22x的復(fù)合函數(shù)因?yàn)閥()t在(，)上是減函數(shù)，函數(shù)tx

9、22x(x1)21在(，1上是單調(diào)減函數(shù)，在1，)上單調(diào)增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)()的單調(diào)增區(qū)間是(，1；單調(diào)減區(qū)間是1，)注：(1)利用復(fù)合函數(shù)的方法確定函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵是弄清已知函數(shù)是由哪幾個(gè)基本函數(shù)的復(fù)合而成的(2)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定的結(jié)論：同增異減當(dāng)然這一結(jié)論解決填空題或選擇題時(shí)，直接使用，如果是解答題，必需使用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明(3)本題可進(jìn)一步研究：函數(shù)f(x)()的值域如何求？由上面的結(jié)論可知：tx22x(x1)211，所以0f(x)2，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)，f(x)2，因此，函數(shù)f(x)()的值域?yàn)?0，2注意：必須注意f(x)()0例2 判斷函數(shù)f(x)axax(a0，且a

10、1)的奇偶性，并證明之解 函數(shù)f(x)的定義域是R由于對(duì)定義域內(nèi)任意x，都有f(x)axaxf(x)，所以函數(shù)f(x)axax是偶函數(shù)解：(1)因?yàn)閷?duì)人任意xR，3x10，yx1O1yg(t)(t0)所以函數(shù)f(x)的定義域是R(2)因?yàn)閥f(x)1設(shè)t3x，則yg(t)1(t0)設(shè)0t1t2，則y1y20，所以函數(shù)yg(t)是(0，)上的增函數(shù)所以y11所以f(x)的值域是(1，)注意：可畫(huà)出函數(shù)yg(t)(t0)的圖象，由圖象得y1(安排此問(wèn)題是為了讓學(xué)生通過(guò)，1這兩個(gè)形式之間的轉(zhuǎn)化，為下面兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)做鋪墊) (3)提問(wèn)：計(jì)算f(x)應(yīng)該用，1哪一種形式計(jì)算更為方便呢？對(duì)于任意xR，都

11、有f(x) f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)(4)提問(wèn)：計(jì)算f(x1)f(x2)應(yīng)該用 ，1哪一種形式計(jì)算更為方便呢？對(duì)于R上任意兩個(gè)值x1，x2，設(shè)x1x2，f(x1)f(x2)(1)(1)，因?yàn)閤1x2，y3x是單調(diào)增函數(shù)，所以33，所以330又因?yàn)?310，310，所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，所以f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)總結(jié)對(duì)于f(x)(a0，且a1)的單調(diào)性和奇偶性的研究，應(yīng)該具體問(wèn)題具體分析第五講 巧解y=f(ax+b)函數(shù)的解析式和定義域有很多同學(xué)在求復(fù)合函數(shù)的解析式和函數(shù)的定義域時(shí)，有時(shí)感覺(jué)步驟太多，不愿求，或很容易求錯(cuò)。現(xiàn)在介紹一種簡(jiǎn)便的方法供同學(xué)們

12、參考。一、 求復(fù)合函數(shù)的解析式1、 已知f(2x1)=3x2-4x+3,求f(x+3)的解析式一般的方法是先利用換元法求出f(x)的解析式，再利用f(x)的解析式求f(x+3)的解析式。解：設(shè)2x-1=t,則x=,所以f(t)=3()2-4·+3=,f(x+3)=巧解：令2x-1=t+3,則x=,所以f(t+3)=3()2-4·+3=所以f(x+3)= 2、 已知f()=5-3x,求f(x+1)的函數(shù)解析式解：設(shè)=t,所以x=(t>0),f(t)=5-3·=f(x+1)= (x>-1)練習(xí)：(1)已知：f(3x+8)=3x2+6x+9,求f(1-3x)

13、的函數(shù)解析式 （2）已知f()=9x+8,求f(3x-8)的函數(shù)解析式二、求函數(shù)的定義域1、已知函數(shù)y=f() 的定義域?yàn)椋?，13），求y=f(3x8)的定義域?qū)W生對(duì)這樣的題，關(guān)鍵在定義域的定義理解錯(cuò)誤，造成解題錯(cuò)誤，很多同學(xué)以為定義域指的是3x8的取值范圍，根據(jù)函數(shù)的定義域的概念：是使函數(shù)有意義的x的值范圍，所以這題正確解法如下：一般解法：解：依題意3<x<13，6<<31,所以6<3x-8<31,解得，所以函數(shù)f(3x-8)的定義域?yàn)閤|.巧解：令=3t8,因?yàn)?<x<13,3<<13,解得，所以函數(shù)f(3x-8)的定義域?yàn)閤|

14、練習(xí)：（1）已知y=f()的定義域?yàn)椋?，8），求y=f(8x3)的定義域。六、 指數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)1(2005廣東)函數(shù)的定義域是 2.（2007上海理）函數(shù)的定義域是 3.（2007全國(guó)文、理）函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=log3x(x>0)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)， 則f(x)= 4(2005江西理、文)若函數(shù)是奇函數(shù)，則a= 5.（2007重慶理）若函數(shù)f(x) = 的定義域?yàn)镽，則a的取值范圍為 6（2007江西理）設(shè)函數(shù)y4log2(x1)(x3)，則其反函數(shù)的定義域?yàn)?7（2004湖南文科）若直線y=2a與函數(shù)y=|ax-1|(a>0,且a1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a

15、的取值范圍是 8.（2001上海理科）設(shè)函數(shù)f(x)= ，則滿(mǎn)足f(x)= 的x值為_(kāi).七、 關(guān)于函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和周期性函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、周期性是函數(shù)的兩個(gè)基本性質(zhì)。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，研究一個(gè)函數(shù)，首看定義域、值域，然后就要研究對(duì)稱(chēng)性（中心對(duì)稱(chēng)、軸對(duì)稱(chēng)）、周期性，并且在高考中也經(jīng)?？疾旌瘮?shù)的對(duì)稱(chēng)性、周期性以及它們之間的聯(lián)系，2005年，廣東、福建兩省的高考題均出現(xiàn)大題和小題。下面我們就一些常見(jiàn)的性質(zhì)進(jìn)行研究。一、函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性1、函數(shù)滿(mǎn)足時(shí)，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)。證明：在函數(shù)上任取一點(diǎn)（x1，y1），則，點(diǎn)（x1，y1）關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（，y1），當(dāng)時(shí)，故點(diǎn)（，y1）也在函數(shù)圖象上。由于點(diǎn)（x1，y1）

16、是圖象上任意一點(diǎn)，因此，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)。（注：特別地，a=b=0時(shí)，該函數(shù)為偶函數(shù)。）2、函數(shù)滿(mǎn)足時(shí)，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（，）對(duì)稱(chēng)。證明：在函數(shù)上任取一點(diǎn)（x1，y1），則，點(diǎn)（x1，y1）關(guān)于點(diǎn) （，）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（，cy1），當(dāng)時(shí)， ，即點(diǎn)（，cy1）在函數(shù)的圖象上。由于點(diǎn)（x1，y1）為函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)可知，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（，）對(duì)稱(chēng)。（注：當(dāng)a=b=c=0時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)。）3、函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)。證明：在函數(shù)上任取一點(diǎn)（x1，y1），則，點(diǎn)（x1，y1）關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（，y1）。由于，故點(diǎn)（，y1）在函數(shù)上。由點(diǎn)（x1，y1）是函數(shù)圖象上任一點(diǎn)，因此與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)。

17、二、周期性1、一般地，對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有，那么函數(shù)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。2、對(duì)于非零常數(shù)A，若函數(shù)滿(mǎn)足，則函數(shù)必有一個(gè)周期為2A。證明：函數(shù)的一個(gè)周期為2A。3、對(duì)于非零常數(shù)A，函數(shù)滿(mǎn)足，則函數(shù)的一個(gè)周期為2A。證明：略。4、對(duì)于非零常數(shù)A，函數(shù)滿(mǎn)足，則函數(shù)的一個(gè)周期為2A。證明：略。三、對(duì)稱(chēng)性和周期性之間的聯(lián)系1、函數(shù)有兩根對(duì)稱(chēng)軸x=a，x=b時(shí)，那么該函數(shù)必是周期函數(shù)，且對(duì)稱(chēng)軸之間距離的兩倍必是函數(shù)的一個(gè)周期。已知：函數(shù)滿(mǎn)足，（ab），求證：函數(shù)是周期函數(shù)。證明：得得函數(shù)是周期函數(shù)，且是一個(gè)周期。2、函數(shù)滿(mǎn)足和（a

18、b）時(shí)，函數(shù)是周期函數(shù)。（函數(shù)圖象有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心（a，）、（b，）時(shí)，函數(shù)是周期函數(shù)，且對(duì)稱(chēng)中心距離的兩倍，是函數(shù)的一個(gè)周期。）證明：由 得 得 函數(shù)是以2b2a為周期的函數(shù)。3、函數(shù)有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心（a，c）和一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸）（ab）時(shí)，該函數(shù)也是周期函數(shù)，且一個(gè)周期是。證明：略。四、知識(shí)運(yùn)用2005高考中，福建、廣東兩省的試卷都出現(xiàn)了對(duì)這方面的知識(shí)的考查，并且福建卷的12題是一個(gè)錯(cuò)題?，F(xiàn)一并錄陳如下，供大家參考。1、（2005·福建理）是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且，則方程在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是（ ）A2B3C4D5解：是R上的奇函數(shù)，則，由得， x=1，2，3，4

19、，5時(shí)，這是答案中的五個(gè)解。但是 又 知 而 知 也成立，可知：在（0，6）內(nèi)的解的個(gè)數(shù)的最小值為7。2、（2005·廣東 19）設(shè)函數(shù)在（，）上滿(mǎn)足，且在閉區(qū)間0，7上，只有。試判斷函數(shù)的奇偶性；試求方程在閉區(qū)間2005，2005上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論。解：由，得函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，。由前面的知識(shí)可知函數(shù)的一個(gè)周期為T(mén)=10。因?yàn)楹瘮?shù)在0，7上只有可知 ，又 而 且，則，因此，函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)。由，可得故函數(shù)在0，10和10，0上均有兩個(gè)解，滿(mǎn)足；從而可知函數(shù)在0，2005上有402個(gè)解，在2005，0上有400個(gè)解。所以，函數(shù)在2005，2005上共有802個(gè)解。

20、八、 函數(shù)問(wèn)題中的易錯(cuò)點(diǎn) 函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題主要是指將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，就是“數(shù)學(xué)建?！保墙鉀Q數(shù)學(xué)應(yīng)用題的重要方法.在建模時(shí)常會(huì)因出現(xiàn)“忽視從實(shí)際出發(fā)”、“理解不全面”、“與事實(shí)不符”和“時(shí)間間隔計(jì)算出錯(cuò)”四種解題誤區(qū)，下面就函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題中的這四個(gè)誤區(qū)進(jìn)行舉行分析：一、忽視從實(shí)際出發(fā)確定函數(shù)的定義域致錯(cuò)例1、某工廠擬建一座平面圖（如圖）為矩形且面積為200平方米的三級(jí)污水處理池，由于地形限制，長(zhǎng)、寬都不能超過(guò)16米，如果池外壁建造單價(jià)為每米400元，中間兩條隔壁建造單價(jià)為每米248元，池底建造單價(jià)為每平方米80元（池壁的厚度忽略不計(jì)，且池?zé)o蓋）（1）、寫(xiě)出總造價(jià)（元）與污水處理池長(zhǎng)（米）

21、的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域.（2）求污水處理池的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，污水處理池的總造價(jià)最低？并求出最低總造價(jià).錯(cuò)解：（1）污水處理池的長(zhǎng)為米，則寬為米，總造價(jià)=（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即最低造價(jià)為44800元.錯(cuò)因分析：上述解法中的思路是正確的，第（1）問(wèn)列的式子也正確，但是定義域是不嚴(yán)格的，應(yīng)由已知條件進(jìn)一步縮小范圍：.第（2）問(wèn)中應(yīng)用不等式解最值時(shí)忽視等號(hào)成立的條件為，但在定義域內(nèi)取不到18，所以應(yīng)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分析求解.正解：（1），則定義域?yàn)椋?）長(zhǎng)和寬分別為16米，米時(shí)，總造價(jià)最低且為45000元. 二、由于對(duì)實(shí)際問(wèn)題理解不全面而致錯(cuò)例2、在一個(gè)交通擁擠及事故易發(fā)路段，為了確保交通安

22、全，交通部門(mén)規(guī)定，在此路段內(nèi)的車(chē)速（單位：）的平方和車(chē)身長(zhǎng)（單位：）的乘積與車(chē)距成正比，且最小車(chē)距不得少于半個(gè)車(chē)身長(zhǎng).假定車(chē)身長(zhǎng)為（單位：），且當(dāng)車(chē)速為時(shí)，車(chē)距恰為車(chē)身長(zhǎng)，問(wèn)交通繁忙時(shí)應(yīng)規(guī)定怎樣的車(chē)速，才能在此路段的車(chē)流量最大？錯(cuò)解：，將代入得，又將代入得，由題意得，將，綜上所知：取最大值.錯(cuò)因分析：上述解法中的結(jié)果雖然正確，但解題過(guò)程中是錯(cuò)誤的，即雖然車(chē)速要求不低于，所以在求解過(guò)程中應(yīng)分此兩種情況分類(lèi)求解，得到分段函數(shù).正解：依題意，得，則，顯然，當(dāng)時(shí)，是的增函數(shù)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，綜上所述，當(dāng)時(shí)車(chē)流量Q取到最大值.三、結(jié)果與事實(shí)不符而致錯(cuò)例3、WAP手機(jī)上網(wǎng)每月使用量在500分鐘以下（

23、包括500分鐘），按30元計(jì)費(fèi)；超過(guò)500分鐘的部分按0.15/分鐘計(jì)費(fèi)。假如上網(wǎng)時(shí)間過(guò)短（小于60分鐘的），使用量在1分鐘以下不計(jì)費(fèi)，在1分鐘以上（包括1分鐘）按0.5元/分鐘計(jì)費(fèi)。WAP手機(jī)上網(wǎng)不收通話(huà)費(fèi)和漫游費(fèi)。（1）寫(xiě)出上網(wǎng)時(shí)間x分鐘與所付費(fèi)用y元之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）12月小王WAP上網(wǎng)使用量為20小時(shí)，要付多少錢(qián)？（3）小王10月份付了90元的WAP上網(wǎng)費(fèi)，那么他上網(wǎng)的時(shí)間是多少？錯(cuò)解：1）設(shè)上網(wǎng)時(shí)間為分鐘，由已知條件所付費(fèi)用關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為（2）當(dāng)分鐘，應(yīng)付元，（3）90元已超過(guò)30元，所以上網(wǎng)時(shí)間超過(guò)500分鐘，由解析式可得上網(wǎng)時(shí)間為600分鐘。錯(cuò)解分析：此題錯(cuò)解主要是對(duì)“

24、超過(guò)500分鐘的部分按0.15/分鐘計(jì)費(fèi)”中的“超過(guò)部分”理解出錯(cuò)，產(chǎn)生了與事實(shí)相違的結(jié)論，如第（2）小題上了1200分鐘的網(wǎng)，要180元，是30元包月用500分鐘的6倍，而時(shí)間上才2倍多，與事實(shí)不符；又如第（3）小題，用了90元，幾乎是30元的3倍，而可上網(wǎng)時(shí)間才多了100分鐘，與事實(shí)不符.正解：（1）設(shè)上網(wǎng)時(shí)間為分鐘，由已知條件所付費(fèi)用關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為（2）當(dāng)分鐘，應(yīng)付元，（3）90元已超過(guò)30元，所以上網(wǎng)時(shí)間超過(guò)500分鐘，由解析式可得上網(wǎng)時(shí)間為900分鐘。四、時(shí)間間隔計(jì)算出錯(cuò)例4、某工廠轉(zhuǎn)換機(jī)制，在兩年內(nèi)生產(chǎn)值的月增長(zhǎng)率都是，則這兩年內(nèi)第二年某月的產(chǎn)值比第一年相應(yīng)月產(chǎn)值的增長(zhǎng)率是多少

25、？錯(cuò)解：設(shè)第一年某月的產(chǎn)值為，則第二年相應(yīng)月的產(chǎn)值是，依題意所求增長(zhǎng)率是.錯(cuò)解分析：對(duì)于增長(zhǎng)率問(wèn)題，主要是應(yīng)用公式，對(duì)于往往指基數(shù)所在時(shí)間后跨過(guò)時(shí)間的間隔數(shù).正解：不妨設(shè)第一年2月份的產(chǎn)值為，則3月份的產(chǎn)值為，4月份的產(chǎn)值為，依次類(lèi)推，到第二年2月份是第一年2月份后的第12個(gè)月，即一個(gè)時(shí)間間隔是一個(gè)月，這里跨過(guò)了12個(gè)月，故第二年2月份產(chǎn)值是，又由增長(zhǎng)率的概念知，這兩年內(nèi)的第二年某月的產(chǎn)值比第一年相應(yīng)月的增長(zhǎng)率為：.函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題解題時(shí)要掌握好函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題解題的一般步驟，注意避免進(jìn)入以上兩個(gè)誤區(qū).具體的解題步驟一般有“審題”、“建?！薄ⅰ扒竽！薄ⅰ斑€原”四步，審題：弄清題意，分清條件結(jié)論，理順數(shù)

26、量關(guān)系；建模：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；求模：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；還原：將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題的意義.變式練習(xí)題1、已知A、B兩地相距150千米，某人開(kāi)汽車(chē)以60千米/小時(shí)的速度從A到達(dá)B地，在B地停留1小時(shí)后再以50千米/小時(shí)的速度返回A地，把汽車(chē)離開(kāi)A地的距離表示為時(shí)間的函數(shù)，表達(dá)式為 解析：由A到B共用時(shí)，停留1小時(shí)距離不變，由B返回時(shí)距離逐漸減小，2、某種產(chǎn)品每件80元可售出30件，如果每件定價(jià)120元，則每天可售出20件，如果售出件數(shù)是定價(jià)的一次函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)解析式為 解析：設(shè)售出件數(shù)為件，定價(jià)為元，則有或，設(shè)一次函數(shù)為，則有，因

27、此一次函數(shù)為.另因，則，又，因此可得，即有，.3、某人騎車(chē)沿直線旅行，先前進(jìn)了a千米，休息了一段時(shí)間，又原路返回b千米(0<b<a)，再前進(jìn)c千米，則此人離起點(diǎn)的距離y與時(shí)間x的關(guān)系示意圖是( ) 解析：觀察排除法.因“前進(jìn)了a千米后休息了一段時(shí)間”， 排除A；接著“又原路返回b千米(0<b<a)，”再排除B，D，應(yīng)選C4、開(kāi)始時(shí)水桶甲中有升水，水通過(guò)水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，分鐘后剩余的水符合指數(shù)衰減曲線（是正常數(shù)），假設(shè)經(jīng)過(guò)分鐘時(shí)水桶甲和水桶乙的水量相等，那么經(jīng)過(guò)多少分鐘時(shí)水桶甲的水剩余2升？解析：由題意，當(dāng)時(shí)，即，故，設(shè)經(jīng)過(guò)分鐘時(shí)水桶甲的水剩余2升，則，答：經(jīng)

28、過(guò)6分鐘時(shí)水桶甲的水剩余2升習(xí)題答案一、集合1、12 2、或或3、126 4、1,3 5、0,1 6、147.a1 解析：因?yàn)锳B=R，畫(huà)數(shù)軸可知，實(shí)數(shù)a必須在點(diǎn)1上或在1的左邊，所以，有a1。8 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解法：1，則所以，所以9.（0，3）解析：因?yàn)樗?0. a1 解析：因?yàn)锳B=R，畫(huà)數(shù)軸可知，實(shí)數(shù)a必須在點(diǎn)1上或在1的左邊，所以，有a1。11.6 解析：本題主要考查閱讀與理解、信息遷移以及學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力,考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 屬于創(chuàng)新題型. 什么是“孤立元”？依題意可知，必須是沒(méi)有與相鄰的元素，因而無(wú)“孤立元”是指在集合中有與相鄰的元素.故

29、所求的集合可分為如下兩類(lèi)：因此，符合題意的集合是：共6個(gè).12.2，4，6，8 解析：13 解：（1）當(dāng)a2時(shí)，A（2，7），B（4，5） AB（4，5）（2） B（2a，a21），當(dāng)a時(shí)，A（3a1，2） 要使BA，必須，此時(shí)a1； 當(dāng)a時(shí)，A，使BA的a不存在； 當(dāng)a時(shí)，A（2，3a1）要使BA，必須，此時(shí)1a3 綜上可知，使BA的實(shí)數(shù)a的取值范圍為1，31 14（1）因?yàn)椋藭r(shí)當(dāng)且僅當(dāng)，又因?yàn)?，由韋達(dá)定理可得和同時(shí)成立，即；（2）由于，因?yàn)椋?，故只可?，所以，也即或，由（1）可得；（3）因?yàn)椋藭r(shí)只可能2，有，也即或，由（1）可得15. ，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，即 ；時(shí)，；當(dāng)時(shí),C中方程無(wú)

30、根，即;當(dāng)時(shí)，若，有即；若，有即；檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，不滿(mǎn)足，故舍去若時(shí)，無(wú)解由上述得：或；16. () ；（）對(duì)集合，如果使kZ,那么、所表示的集合都是奇數(shù)集；所表示的集合都是偶數(shù)集；17（1）畫(huà)數(shù)軸可知，因?yàn)?，所?（2）要使，則有，即二、函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性 例1 解：對(duì)稱(chēng)軸，由得例2解：設(shè)、且則 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，和中必有之一不為0（ ） 當(dāng)時(shí)，在上面討論結(jié)合（1）和（2）有 函數(shù)在R上是減函數(shù)例3 證：任取，且則因?yàn)樵赗上是增函數(shù) 所以 又 在R上是增函數(shù) 在R上是增函數(shù)結(jié)論：同增異減：與增減性相同（反），函數(shù)是增（減）函數(shù)。例4 解：首先確定義域： 在和兩個(gè)區(qū)間上分別討論任取、且則要確定此式的正負(fù)

31、只要確定的正負(fù)即可這樣，又需判斷大于1還是小于1，由于的任意性?？紤]到要將分為與（1）當(dāng)時(shí)， 為減函數(shù)（2）當(dāng), 時(shí)， 為增函數(shù)同理（3）當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)（4）當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)例5 注：對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有成立，則稱(chēng)為偶函數(shù)。 對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有成立，則稱(chēng)為奇函數(shù)。解：（1）函數(shù)與定義域?yàn)镽 為奇函數(shù)（2）函數(shù)的定義域?yàn)镽又 為偶函數(shù)（3）函數(shù)的定義域?yàn)?為非奇非偶函數(shù)（4）函數(shù)的定義域?yàn)椋藭r(shí) 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)（5）由得，知定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng) 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)例6 解：設(shè)則 又 在R上為奇函數(shù) 當(dāng)時(shí)， 例7 解：由為奇函數(shù)知： 由是減函數(shù)知： 解得例8 解： 又

32、化為 解得六、指數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)1 2 3 4 5 6 7 8 3 高一數(shù)學(xué)必修一總復(fù)習(xí)北師大版【本講教育信息】一、教學(xué)內(nèi)容：必修一總復(fù)習(xí)本講的主要內(nèi)容1、集合及其基本運(yùn)算2、函數(shù)的概念及其基本性質(zhì)3、二次函數(shù)與冪、指、對(duì)數(shù)函數(shù)4、函數(shù)的應(yīng)用二、學(xué)習(xí)目標(biāo)1、了解集合語(yǔ)言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言的重要組成部分，可以簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)對(duì)象和結(jié)構(gòu)；學(xué)會(huì)運(yùn)用集合等數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)世界和運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、進(jìn)行交流的能力；2、加深對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解；加強(qiáng)對(duì)變量數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，認(rèn)識(shí)到函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型；并能結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，感受運(yùn)用函數(shù)概念建立模型的過(guò)程與方法，了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)是三

33、類(lèi)不同的函數(shù)增長(zhǎng)模型；通過(guò)收集函數(shù)的應(yīng)用實(shí)例，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用。三、知識(shí)要點(diǎn)1、集合的概念與基本運(yùn)算一組對(duì)象的全體形成一個(gè)集合；常用大寫(xiě)拉丁字母來(lái)標(biāo)記，如集合M，集合A集合中的元素有三大特征，即無(wú)序性、確定性和互異性，這是判斷集合形成和區(qū)分集合的重要依據(jù)；集合的表示：窮舉法、描述法和圖示法集合的運(yùn)算：指的是子、交、并、補(bǔ)四種運(yùn)算，其結(jié)果仍然是一個(gè)集合；以下題型的結(jié)果要用集合表述：求定義域、求值域、求不等式的解集、求方程（組）的解集以及集合運(yùn)算的結(jié)果等。2、函數(shù)的概念與基本性質(zhì)函數(shù)概念的三種表述：運(yùn)動(dòng)的觀念，集合的觀念，映射的觀念；函數(shù)的兩大要素：定義域和對(duì)應(yīng)法則；函數(shù)的三種表示方法：解析

34、法，列表法和圖像法；函數(shù)的兩大重要性質(zhì)：奇偶性和單調(diào)性；對(duì)分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的認(rèn)識(shí)。3、二次函數(shù)與冪、指、對(duì)數(shù)函數(shù)二次函數(shù)學(xué)習(xí)中的幾個(gè)要點(diǎn)：二次函數(shù)解析式的三種形式；二次函數(shù)的圖像的開(kāi)口方向、位置、零點(diǎn)及最值與系數(shù)的關(guān)系；含參數(shù)的二次函數(shù)的研究（參數(shù)分別在函數(shù)式中和定義區(qū)間中）；三個(gè)二次的關(guān)系；冪函數(shù)學(xué)習(xí)中的要點(diǎn)：冪函數(shù)的定義；冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)；在同一坐標(biāo)系中不同指數(shù)的冪函數(shù)的圖像的位置關(guān)系；指數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)中的要點(diǎn)：指數(shù)式的運(yùn)算；指數(shù)函數(shù)的定義；指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)；在同一坐標(biāo)系中不同底的指數(shù)函數(shù)圖像的位置關(guān)系；對(duì)數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)中的要點(diǎn)：對(duì)數(shù)式的運(yùn)算；對(duì)數(shù)函數(shù)的定義；對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)；在同一坐

35、標(biāo)系中不同底的對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的位置關(guān)系；對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的關(guān)系。4、函數(shù)的應(yīng)用：函數(shù)的應(yīng)用主要包括兩種類(lèi)型，其一是函數(shù)與方程思想在解題中的綜合應(yīng)用；其二是函數(shù)模型在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，常見(jiàn)的有效益最大化和成本最低問(wèn)題。四、考點(diǎn)解析與典型例題考點(diǎn)一 對(duì)集合概念的考查例1. 試寫(xiě)出如圖陰影部分所表示的集合解：各陰影部分的表示方法均不唯一。 （AB）CC（AC）CB（BC）CA C（ABC）（ABC）A（BC）考點(diǎn)二 對(duì)集合運(yùn)算的考查例2. 試寫(xiě)出下列集合運(yùn)算的結(jié)果解：考點(diǎn)三 對(duì)函數(shù)概念的考查例3. 求形如的函數(shù)值域時(shí)，可以先將該函數(shù)式變形為一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，然后再令判別式即可求

36、出該函數(shù)的值域。試說(shuō)明為什么會(huì)有？答：由于函數(shù)是建立在兩個(gè)非空數(shù)集上的映射，故對(duì)由其變形得到的關(guān)于x的一元二次方程而言，其解集非空，故有?？键c(diǎn)四 求函數(shù)的定義域例4. 求函數(shù)的定義域。解： 故該函數(shù)的定義域?yàn)椋?。考點(diǎn)五 求函數(shù)的值域例5. 求函數(shù)的值域。解：令代入函數(shù)解析式可得：，故可求得其值域?yàn)榭键c(diǎn)六 對(duì)函數(shù)的兩個(gè)重要性質(zhì)的考查例6. 奇函數(shù)滿(mǎn)足：；當(dāng)，試解不等式解：由奇函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性：；例7 試判斷函數(shù)的單調(diào)性。解：設(shè)，則函數(shù)可視為這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，且知外函數(shù)是減函數(shù)。又因?yàn)椋汗手寒?dāng)x1時(shí)為增函數(shù)；當(dāng)x1時(shí)為減函數(shù)。考點(diǎn)七 函數(shù)的作圖例8. 如何由函數(shù)yf（x1）2的圖像得到函數(shù)yf（

37、x1）2的圖像？解：yf（x1）2可變形為（y4）f（x2）12，則知可將函數(shù)yf（x1）2的圖像向左平移2個(gè)單位、再向上平移4個(gè)單位即可得到y(tǒng)f（x1）2的圖像?？键c(diǎn)八 含參的二次函數(shù)的研究一般地，含參的二次函數(shù)有三種情形，其一是函數(shù)式中含參，其二是定義區(qū)間含參；這兩種情形的基本做法都是將函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸與定義區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行討論；其三是涉及含參的二次方程的根的分布問(wèn)題，一般可結(jié)合圖像研究。例9. 已知函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：若m0，則，顯然滿(mǎn)足條件；若m0，有兩種情形：原點(diǎn)的兩側(cè)各有一個(gè)交點(diǎn)，則都在原點(diǎn)的右側(cè)，則：例10. 函數(shù)在閉區(qū)間t，t1（

38、tR）上的最小值記為g（t）。（I）試寫(xiě)出g（t）的函數(shù)表達(dá)式；（II）求出g（t）的最小值。解：（II）g（t）min8?？键c(diǎn)九 函數(shù)與方程思想的考查例11 （2007年廣東卷）已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間1，1上有零點(diǎn)，求的取值范圍。解：函數(shù)在區(qū)間1，1上有零點(diǎn)，即方程在1，1上有解。當(dāng)0時(shí)，不符合題意，所以0。方程在1，1上有解 考點(diǎn)十 函數(shù)應(yīng)用題例12. 某地現(xiàn)有耕地10 000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%。如果人口年增長(zhǎng)率為1%，那么耕地平均每年至多減少多少公頃（精確到1公頃）？解：設(shè)耕地平均每年至多減少x公頃，并設(shè)該地區(qū)現(xiàn)有人口為P人，糧食單產(chǎn)為M噸/公頃。依題意得人均糧食占有量：故平均每年至多只能減少4.1公頃。4、 數(shù)學(xué)思想方法本模塊主要涉及集合及函數(shù)的基本概念與性質(zhì)，以及幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)如二次函數(shù)與冪、指、對(duì)數(shù)函數(shù)。主要數(shù)學(xué)思想方法有：1、函數(shù)與方程的思想：在本模塊學(xué)習(xí)過(guò)程中，要充分認(rèn)識(shí)函數(shù)與方程內(nèi)在的聯(lián)系，善于借助這種聯(lián)系，將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，或?qū)⒎匠虇?wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行處理。如將方程的根的分布問(wèn)題與函數(shù)的零點(diǎn)的分布問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。2、數(shù)形結(jié)合的思想：這既是重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種重要的數(shù)學(xué)方法。學(xué)習(xí)中一要注意利用函數(shù)圖像研究函數(shù)性質(zhì)，二要注