《實(shí)變函數(shù)及泛函分析基礎(chǔ)》試卷及答案

1、(第 1 頁(yè)，共 18 頁(yè))試卷:得分一、單項(xiàng)選擇題 (3 分X5=15 分)1、1、下列各式正確的是(QQQQ(A)limA - 宀;n：4k nQQQQ(C) limAn=QHAk；1 k HQQQQ(B)lim代八一宀；nn二心oO oo(D)UmAnAk；n k t2、設(shè) P 為 Cantor 集，則下列各式不成立的是(A)P =c (B)mP=0(C)P=P(D) P=P3、下列說(shuō)法不正確的是(A)凡外側(cè)度為零的集合都可測(cè)(B)可測(cè)集的任何子集都可測(cè)(C)開(kāi)集和閉集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可測(cè)4、設(shè) fn(x) / 是E上的 a.e.有限的可測(cè)函數(shù)列,則下面不成立的是(A)若 f

2、n(X) f(X),則 fn(X)r f(X)(B)SUp：fn(X)f是可測(cè)函數(shù)n(C)inf fn(x)是可測(cè)函數(shù)；(D)若 fn(x)= f(x),則f(x)可測(cè)5、設(shè) f(x)是a,b上有界變差函數(shù)，則下面不成立的是(A)f(x)在a,b上有界(B)f(x)在a,b上幾乎處處存在導(dǎo)數(shù)b(C) f(x)在a,b上 L 可積(D).f(x)dx二f (b) - f (a)a1、(CSAJCSB)C(A-(A-B) =_o2、設(shè)E是 10,1】上有理點(diǎn)全體，貝U E=_ ,E=_ ,E=_.得分填空題(3 分X5=15 分)(第 2 頁(yè)，共 18 頁(yè))3、設(shè)E是Rn中點(diǎn)集，如果對(duì)任一點(diǎn)集T都

3、有,則稱E是L可測(cè)的4、f(x)可測(cè)的_ 件是它可以表成一列簡(jiǎn)單函數(shù)的極限函數(shù).(填“充分”,“必要”,“充要”)5、設(shè)f (x)為a,b I 上的有限函數(shù)，如果對(duì)于 la,b的一切分劃，使_卩稱f(x)為l. a,b1上的有界變差函數(shù)。三、下列命題是否成立？若成立，則證明之；若不成立，則舉反例說(shuō)明.(5 分X4=20 分)1 設(shè)E R1，若 E 是稠密集，則CE是無(wú)處稠密集2、若mE = 0,則E一定是可數(shù)集.3、若|f(x)|是可測(cè)函數(shù)，則f (x)必是可測(cè)函數(shù)。4. 設(shè)f (x)在可測(cè)集E上可積分，若E, f (x) 0,則Ef(x) 0（第 3 頁(yè)，共 18 頁(yè)）1、（8分）設(shè)f J

4、為無(wú)理數(shù)1,x 為有理數(shù)可積，若可積，求出積分值。得分四、解答題（8 分X2=16 分）2、（8分）求limn *0cosxdx，則f（x）在1.0,11上是否R-可積，是否L-1、（6 分）證明 0,11 上的全體無(wú)理數(shù)作成的集其勢(shì)為 c.2、（ 6 分）設(shè)f（x）是上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，則對(duì)于任意常數(shù)a,E二x | f （x） _a是閉集。3、（ 6 分）在 l.a,b 1 上的任一有界變差函數(shù)f （x）都可以表示為兩個(gè)增函數(shù)之差（第 4 頁(yè)，共 18 頁(yè)）得分五、證明題（6 分X4+10=34 分）(第 5 頁(yè)，共 18 頁(yè))4、(6 分)設(shè)mE：二，f (x)在E上可積,e.二 E(| f

5、 - n)，則liim n me* =0 .5、( 10 分)設(shè)f(x)是E上 a.e.有限的函數(shù)，若對(duì)任意0,存在閉子集 F. E ,使f(x)在 F.上連續(xù)，且 m(E-FJ，證明：f(x)是E上的可測(cè)函數(shù)。(魯津定理的逆定理)(第6頁(yè)，共 18 頁(yè))試卷一答案:試卷一(參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn))一、 1. C 2 D 3. B 4. A 5. D二、 1. 一2、0,11;一 ;0,1 3、m*T=m*(T - E)m*(T - CE)fn14、充要 5、v| f(xj -f(Xi|成一有界數(shù)集。x x運(yùn)E例如：設(shè)E是 l.a,b 1 上的不可測(cè)集，f(x)二:-x,la,N - E;則I f

6、(x)|是 a,bl 上的可測(cè)函數(shù)，但f(x)不是a,bl 上的可測(cè)函數(shù). .5 分4 .錯(cuò)誤. 2 分mE =0 時(shí)，對(duì) E 上任意的實(shí)函數(shù)f(x)都有.f(x)dx = 05 分E四、1.f (x)在 1.0,11 上不是 R-可積的，因?yàn)閒(x)僅在x=1處連續(xù)，即不連續(xù)點(diǎn)為正測(cè)度集.3 分因?yàn)閒 (x)是有界可測(cè)函數(shù)，f (x)在 1.0,11 上是L -可積的6 分2J三、 1.錯(cuò)誤.2 分例如： 設(shè)E是10,1 上有理點(diǎn)全體，貝 UE（第 7 頁(yè)，共 18 頁(yè)）因?yàn)閒 (x)與x2a.e.相等，進(jìn)一步，(x)dx= J0 x2dx8 分(第8頁(yè)，共 18 頁(yè))2.解：設(shè)fn(x)n

7、(xn)ecosx，貝U易知當(dāng) n時(shí)，fn(x)r 0n.2 分I又因lntlnt/_2ntnt00, (t_3),所以當(dāng)n_3,x_0時(shí)，It 丿t2In(x+ n) n +x ln(x+ n) n+x In 3 ln34八(1 x).4 八nn x n n 33從而使得| fn(x) |_ (l x)e.6 分3但是不等式右邊的函數(shù)，在0：上是L可積的，故有QQQQ1 叩 fn(x)dx = Iimfn(x)dx=0. 8 分五、1.設(shè)E二0,1, A二E - Q,B = E (E - Q).B 是無(wú)限集，.可數(shù)子集 M B-A 是可數(shù)集，.A M : M .B =M (B M ), E

8、= A B = A M (B M ), 且(A_. M廠(B M)M - (B M)*,E : B, B = c. 6 分2.-x E；則存在 E 中的互異點(diǎn)列xn,使 limxn=x.2 分n/.:XnE,. f(xn) a. .3 分f(x)在 x 點(diǎn)連續(xù)，f(x) =lim f(xn)-a n咨x E.5 分E 是閉集 .6 分3.對(duì)名=1，為）0,使對(duì)任意互不相交的有限個(gè)（a,b）u（a,b）nn當(dāng)(b a)時(shí)，有f(b)i f(aj F0，則 F0是E的聚點(diǎn)(D)內(nèi)點(diǎn)必是聚點(diǎn)3. 下列斷言()是正確的。(A)任意個(gè)開(kāi)集的交是開(kāi)集；(B)任意個(gè)閉集的交是閉集；(C)任意個(gè)閉集的并是閉集

9、；(D)以上都不對(duì)；4. 下列斷言中()是錯(cuò)誤的。(A)零測(cè)集是可測(cè)集；(B)可數(shù)個(gè)零測(cè)集的并是零測(cè)集；(第 9 頁(yè)，共 18 頁(yè))試卷二:專業(yè)_ 級(jí)_ 生名_ 學(xué)號(hào)得分一.單項(xiàng)選擇題(3 分X5=15 分)（第11頁(yè)，共 18 頁(yè)）（C）任意個(gè)零測(cè)集的并是零測(cè)集；（D）零測(cè)集的任意子集是可測(cè)集;5.若 f（x）是可測(cè)函數(shù)，則下列斷言（ ）是正確的(A)f (x)在a,b1L-可積二| f (x) |在a,b 1L -可積；(B)f(x)在 la, bR-可積二 | f (x) |在 l.a,b 】R -可積(C)f (x)在 l.a,blL -可積=| f (x)| 在 la,blR-可積；

10、(D)f(x)在 a：R-廣義可積=f(x)在 a,+ ： L-可積111、_ 設(shè)代=,2 , n= 1,2,，則血代=_ 。nnn_）pco2、_設(shè) P 為 Cantor 集，貝 U P = , mP =, P =。3、 設(shè) 是一列可測(cè)集，則 mQsJ_ mSr丿 y4、魯津定理：_5、設(shè)F（x）為 la,b】上的有限函數(shù)，如果_則稱F（x）為 la,b】上的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)。得分得分二.填空題（3 分X5=15 分）（第12頁(yè)，共 18 頁(yè)）三.下列命題是否成立？若成立，則證明之；若不 成立，則說(shuō)明原因或舉出反例.（5 分X4=20 分）1、由于0,1- 0,1，故不存在使 0,1 和01 1

11、 之間 1T 對(duì)應(yīng)的映射。（第13頁(yè)，共 18 頁(yè)）2、可數(shù)個(gè)零測(cè)度集之和集仍為零測(cè)度集3、a.e 收斂的函數(shù)列必依測(cè)度收斂。4、連續(xù)函數(shù)一定是有界變差函數(shù)1、設(shè) f（x）才 x，x xjj 理:數(shù)，則f（x）在 10,1 上是否 R-可積，是否 L-可積, 1,x 為有理數(shù)得分四.解答題（8 分X2=16 分）（第14頁(yè)，共 18 頁(yè)）若可積，求出積分值。1.（6 分）1、設(shè) f（x）是（：，=）上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，則對(duì)任意常數(shù)2、求極限limnx2n01nx2sin3nxdx.得分五.證明題（6 分x3+8 2=34 分）（第15頁(yè)，共 18 頁(yè)）E =x | f (x) c是一開(kāi)集.2.

12、(6 分)設(shè)；0,開(kāi)集 G 二 E,使 m*(G-E)：；,則 E 是可測(cè)集3.(6 分)在 la,b 1 上的任一有界變差函數(shù)f(x)都可以表示為兩個(gè)增函數(shù)之差4. ( 8 分)設(shè)函數(shù)列 fn(x)(n =1,2/ )在有界集E上“基本上” 一致收斂于f (x)，證明：fn(x)a.e 收斂于f (x)。5. (8 分)設(shè)f(x)在 E=a,b 1 上可積，則對(duì)任何；0，必存在E上的連續(xù)函b數(shù)(x)，使 | f (x)(x) |dx：；.La(第16頁(yè)，共 18 頁(yè))試卷二(參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn))一、 1，C 2,C 3, B4, C5, A二、 1， 0,22，c ； 0 ; 一3， 1,當(dāng)

13、X E。但當(dāng) 0 =) . 2 分又|fn(x). 4 分1+n x但是不等式右邊的函數(shù)，在 0,亠上是L可積的.6 分odCO)fn(x)dx 二 o lim fn(x)dx =0五、1.-x E, f (x) cf (x)在 x 點(diǎn)連續(xù)，.對(duì)；二f(x)-c 0, U(x,當(dāng)U(x,、J時(shí),有 f (y) - f (x)| ；：. 3 分.- f (x) c：f (y) - f (x)：f (x) -c. f ( y) c,. yE.5 分因此U(x)E,從而E為開(kāi)集. .6 分2. 對(duì)任何正整數(shù) n , 由條件存在開(kāi)集 3 二 E,使*1m (Gn-Ep . 1分nQQ令G二Gn，則G是可測(cè)集.3 分n吐1又因 m (G-E)豈m (Gn-E)對(duì)一切正整數(shù) n 成立，因而 m (G-日二 0,即nM二G-E是一 零 測(cè) 度 集， 所 以 也 可測(cè). 5 分由E =G -(G _E)知，E可測(cè)。.6 分x11因?yàn)閒 (x)與 x a.e.相等,進(jìn)一步，斤訂f (x)dx = J0 xdx = .8 分2 設(shè)fn(x)n；2sin3nxdx, 貝 U 易 知 當(dāng)時(shí)故有 lim .1 分(