《線性代數(shù)》練習(xí)題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上線性代數(shù)與解析幾何練習(xí)題行列式部分一填空題：1 若排列是偶排列，則2 已知是五階行列式中的一項(xiàng)，且?guī)д?hào)，其中（則3 設(shè)是n階可逆陣，且，則，（為常數(shù)）4 已知 用表示D的元素的代數(shù)余子式，則，行列式 5 設(shè)有四階矩陣 ，其中均為4維列向量，且已知行列式，則行列式6設(shè) 則7設(shè) 上述方程的解8設(shè)A是階方陣，且A的行列式，而是A的伴隨矩陣，則9若齊次線性方程組 只有零解，則應(yīng)滿足條件。二計(jì)算題：1 已知5階行列式 求和，其中是元素的代數(shù)余子式。解：2 計(jì)算行列式。解：3 設(shè)是階方陣，且，求。解：4 設(shè)是階實(shí)對(duì)稱矩陣，若，求。解：相似于對(duì)角陣，而r(A) = k , 所以。

2、對(duì)于矩陣 A+3I , 有一個(gè)，以及一個(gè)，5 計(jì)算解：矩陣部分一 填空題：1 設(shè)三階方陣A，B滿足，且，則。2 設(shè)，其中，則矩陣A的秩= 1 .3 設(shè)A是的矩陣，且A的秩為2，而，則（）4 已知a=1 , 2 , 3 , b= , 設(shè)A=，則（）5 設(shè)矩陣 則逆矩陣6 設(shè)，B為三階非零矩陣，且AB=O ，則7 設(shè)四階方陣A的秩為2，則其伴隨矩陣的秩為 0 。8 設(shè)A，B 均為階矩陣，則9 設(shè)A是三階方陣，是A的伴隨矩陣，則（）。10設(shè)A ，C分別為階和階的可逆矩陣，則分塊矩陣的逆矩陣11 設(shè)階方陣A滿足方程，則A的逆矩陣（）12 設(shè) ，而為正整數(shù)，則 13 設(shè)A ，B是階矩陣，且AB=A+B

3、，則（）二 選擇題：1設(shè)階矩陣A ，B ，C滿足關(guān)系式 ABC=E ，其中E 是階單位矩陣，則必有（ D ） （A）ACB=E （B）CBA=E （C）BAC=E （D）BCA=E2設(shè)A是階方陣，是A的伴隨矩陣，又為常數(shù)，且，則必有=（ B ） 3設(shè)A是階可逆矩陣，是A的伴隨矩陣，則有（ A ）4設(shè)則必有（ C ） 5設(shè)A ，B均為階方陣，則必有（ D ）（A） （B）（C） （D）6.設(shè)維向量,矩陣,其中為階單位矩陣,則( C )(A) 0 (B) I (C) I (D)7.設(shè)A是階可逆矩陣，是A的伴隨矩陣,則( C )(A) (B) (C) (D)8.設(shè)階矩陣 ,若矩陣A的秩為,則必為(

4、B )(A) 1 (B) (C) 1 (D)9.設(shè)均為階可逆矩陣,則等于( C )(A) (B) (C) (D)三 計(jì)算題：1 已知，求 （是自然數(shù)）解：由歸納法，2 已知AP=PB ，其中 ， 求：及 。解： 3已知階方陣 求A中所有元素的代數(shù)余子式之和。解：3 已知矩陣滿足：，其中，求矩陣。解： 5設(shè)矩陣，滿足 其中 是A的伴隨矩陣，求矩陣B 。解：6 已知，且，其中為三階單位矩陣，求矩陣。解：7 設(shè)階方陣，求。解：故時(shí)，；時(shí)， r(A)=n-1; 當(dāng)a1且a1-n時(shí), r(A)=n四 證明題：1 設(shè)A是階非零方陣，是A的伴隨矩陣，是A的轉(zhuǎn)置矩陣，當(dāng)時(shí)，證明。 證明：另證（反證法）：與題設(shè)

5、矛盾。2 設(shè)是階方陣，若，證明： （其中是A的伴隨矩陣）證明：3 設(shè) ，為的代數(shù)余子式，且 ，求證：證明：4 用矩陣秩和向量組秩的關(guān)系證明 證明：設(shè)，即的列皆由的列線性表示，故類似可證的行皆由的行線行表示，所以。5 設(shè)為矩陣，為矩陣，若，證明證明：所以，即為齊次線性方程組的解，因此可由的基礎(chǔ)解系線性表示，所以，即。6 設(shè)A是階方陣，是A的伴隨矩陣，證明： 秩 證明：(1) 可逆，而可逆， （2）， 又A至少有一個(gè)n-1階子式不為零，從而 （3）的所有n-1階子式全為零。故，從而?？臻g向量與線性方程組部分一 填空題：1. 設(shè)則2. 點(diǎn)在平面上的投影點(diǎn)是（ 將其代入可得）4 過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn)且與平面垂直

6、的平面方程是5 平面上的直線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為6 曲線在平面上的投影曲線為7 已知向量組，則該向量組的秩.7設(shè)階矩陣的各行元素之和均為零，且的秩為，則線性方程組的通解為8已知向量組的秩為2，則.9若線性方程組 有解，則常數(shù)應(yīng)、滿足條件。（）10若向量組（）可由向量組（）線性表示，則秩（）秩（）。 二選擇題1設(shè)直線，平面，則（ B ）（A）與平行 （B）與垂直 （C）在 上 （D）與斜交2已知是非齊次線性方程的兩個(gè)不同的解，是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，為任意常數(shù)，則方程組的通解必是（ B ） 3. 使 ， 都是線性方程組的解，只要系數(shù)為（ A ） 4已知向量組線性無(wú)關(guān)，則向量組

7、（ C ）線性無(wú)關(guān) 5設(shè)是矩陣，是非齊次線性方程組所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組，則下列結(jié)論正確的是（ D ）若僅有零解，則有唯一解若有非零解，則有無(wú)窮多個(gè)解若有無(wú)窮多個(gè)解，則僅有零解若有無(wú)窮多個(gè)解，則有非零解6設(shè)有向量組，則該向量組的極大線性無(wú)關(guān)組是（ B ） 7非齊次線性方程組中未知量個(gè)數(shù)為，方程個(gè)數(shù)為，系數(shù)矩陣的秩為，則（ A ）時(shí)，方程組有解 時(shí)，方程組有唯一解時(shí)，方程組有唯一解 時(shí)，方程組有無(wú)窮多解 8若向量組線性無(wú)關(guān)；線性相關(guān)，則（ C ）必可由線性表示 必不可由線性表示 必可由線性表示 必不可由線性表示 9設(shè)向量可由向量組線性表示，但不能由向量組：線性表示，記向量組：，則（ B ）不能由

8、線性表示，也不能由線性表示不能由線性表示，但可由線性表示可由線性表示，也可由線性表示可由線性表示，但不能由線性表示三計(jì)算題1 求點(diǎn)向直線所作的垂線方程。解：，得出2 求異面直線與的距離。解：3 已知方程組 的解空間的維數(shù)為2，求方程組的通解。解：4 設(shè) ，求一個(gè)秩為2的3階矩陣使 。解：5 設(shè)三元非齊次方程組的系數(shù)矩陣的秩為2，且它的三個(gè)解向量滿足求的通解。解：6 取何值時(shí)，線性方程組 有唯一解，無(wú)解或有無(wú)窮多解？當(dāng)方程組有無(wú)窮多解時(shí)求其通解。解： ，方程組有唯一解，方程組無(wú)解，方程組有無(wú)窮多解 7 已知及，問(wèn)：（1）為何值時(shí)，不能由線性表示。（2）為何值時(shí)，有的唯一線性表示？并寫出該表示式。

9、解：，不能線性表示，四證明題1 已知，證明：向量共面。證明：等式兩邊點(diǎn)乘向量 c , 得到，所以向量 a , b , c共面。2 證明：三個(gè)平面經(jīng)過(guò)同一條直線的充要條件是。證明：三平面經(jīng)過(guò)同一條直線 有非零解，3 已知，其中，三條直線，證明三條直線相交與一點(diǎn)的充要條件為線性無(wú)關(guān)，線性相關(guān)。證明：三條直線交于一點(diǎn)有唯一解其中4已知向量組（）；（）；（）如果各向量組的秩分別為（）（）=，（）=。證明：向量組的秩為。證明：因?yàn)?r (I) = r (II) = 3 ，所以由于線性無(wú)關(guān)，得，所以 r (III) = 44 設(shè)向量組是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，向量不是方程組的解，即。試證明：向量組線

10、性無(wú)關(guān)。證明：設(shè)兩邊左乘A ，利用 從而有 線性無(wú)關(guān) 相似矩陣及二次型部分一 填空題1）為3階矩陣，若有特征值 ，則2）設(shè)為階矩陣，為的伴隨矩陣，為階單位陣，若有特征值，則必有特征值；的特征值。3） 為階矩陣的元素全為1，則的個(gè)特征值是n , 0 , 0 , ，0。4） 二次型是正定的，則的取值范圍是 。5）n階矩陣具有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量是與對(duì)角陣相似的 充要 條件。6）n階矩陣具有n個(gè)不同的特征值是與對(duì)角陣相似的 充分 條件。7）設(shè)為3階矩陣，已知均不可逆，則一定相似于矩陣。8）已知相似，則。二選擇題1設(shè)是非奇異矩陣的一個(gè)特征值，則矩陣有一特征值等于（ B ）（） （） （） （）2若是

11、矩陣的對(duì)應(yīng)的特征向量，則矩陣對(duì)應(yīng)的特征向量（ A ）（） （） （） （）3設(shè)是的實(shí)矩陣，則方程組只有零解是正定矩陣的（ C ）條件。（）充分 （）必要 （）充要 （）既非充分也非必要三計(jì)算題1 已知是的特征向量，其中，求及所對(duì)應(yīng)的特征值。解: ，解出 k = 1或 k = -22 設(shè)是階方陣，2 ，4 ，6 ，2n 是的個(gè)特征值，是階單位陣，求。解: 3 已知三階實(shí)對(duì)稱矩陣的三個(gè)特征值為 1，1，-2，且是對(duì)應(yīng)的特征向量，求矩陣。解: 設(shè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是，由，得，解此線性方程組，求出基礎(chǔ)解系4 已知三階矩陣相似于對(duì)角陣，試求。解: 同理 所以5 已知二次型的秩為2 ，（1） 求參數(shù)及二次型對(duì)應(yīng)矩陣的特征值。（2） 寫出標(biāo)準(zhǔn)形及所用的正交變換矩陣。解:(1), 標(biāo)準(zhǔn)形為, 正交變換矩陣為6 設(shè)4階方陣滿足條件，求方陣的伴隨矩陣的一個(gè)特征值。解: 是矩陣A的