一次函數(shù)經典例題

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上類型一：正比例函數(shù)與一次函數(shù)定義1、當m為何值時，函數(shù)y=-（m-2）x+（m-4）是一次函數(shù)？思路點撥：某函數(shù)是一次函數(shù)，除應符合y=kx+b外，還要注意條件k0解：函數(shù)y=-（m-2）x+（m-4）是一次函數(shù)， m=-2.當m=-2時，函數(shù)y=-（m-2）x+（m-4）是一次函數(shù)舉一反三：【變式1】如果函數(shù)是正比例函數(shù)，那么（ ）.Am=2或m=0 Bm=2 Cm=0 Dm=1【答案】：考慮到x的指數(shù)為1，正比例系數(shù)k0，即|m-1|=1；m-20，求得m=0，選C【變式2】已知y-3與x成正比例，且x=2時，y=7.（1）寫出y與x之間的函數(shù)關系式；（2）當x=

2、4時，求y的值；（3）當y=4時，求x的值解析：（1）由于y-3與x成正比例，所以設y-3=kx把 x=2，y=7代入y-3=kx中，得7-32k， k2 y與x之間的函數(shù)關系式為y-3=2x，即y=2x+3 （2）當x=4時，y=2×4+3=11 （3）當y4時，4=2x+3，x=.類型二：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式2、求圖象經過點（2，-1），且與直線y=2x+1平行的一次函數(shù)的表達式思路點撥：圖象與y=2x+1平行的函數(shù)的表達式的一次項系數(shù)為2，則可設此表達式為y=2x+b，再將點（2，-1）代入，求出b即可解析：由題意可設所求函數(shù)表達式為y=2x+b，圖象經過點（ 2，-1），

3、-l=2×2+b b=-5，所求一次函數(shù)的表達式為 y=2x-5.總結升華：求函數(shù)的解析式常用的方法是待定系數(shù)法，具體怎樣求出其中的待定系數(shù)的值，要根據(jù)具體的題設條件求出。舉一反三：【 變式1】已知彈簧的長度y（cm）在一定的彈性限度內是所掛重物的質量x（kg）的一次函數(shù)，現(xiàn)已測得不掛重物時，彈簧的長度為6cm，掛4kg的重物時，彈簧的長度是7.2cm，求這個一次函數(shù)的表達式分析:題中并沒給出一次函數(shù)的表達式，因此應先設一次函數(shù)的表達式y(tǒng)=kx+b，再由已知條件可知，當x=0時，y=6；當x=4時，y=7.2求出k，b即可解：設這個一次函數(shù)的表達式為y=kx+b由題意可知，當 x=0

4、時，y=6；當x=4時，y=7.2.把它們代入y=kx+b中得這個一次函數(shù)的表達式為y=0.3x+6【變式2】已知直線y=2x+1（1）求已知直線與y軸交點M的坐標；（2）若直線y=kx+b與已知直線關于y軸對稱，求k，b的值解析：直線 y=kx+b與y=2x+l關于y軸對稱，兩直線上的點關于 y軸對稱又直線 y2x+1與x軸、y軸的交點分別為A（-，0），B（0，1）,A（-，0），B（0，1）關于y軸的對稱點為A（，0），B（0，1）直線 y=kx+b必經過點A（，0），B（0，1）把 A（，0），B（0，1）代入y=kx+b中得k-2，b1所以（1）點M（0，1）（2）k=-2,b=1【

5、變式3】判斷三點A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一條直線上分析：由于兩點確定一條直線，故選取其中兩點，求經過這兩點的函數(shù)表達式，再把第三個點的坐標代入表達式中，若成立，說明第三點在此直線上；若不成立，說明不在此直線上解：設過A，B兩點的直線的表達式為y=kx+b由題意可知，過A，B兩點的直線的表達式為y=x-2當 x=4時，y=4-2=2點 C（4，2）在直線y=x-2上三點 A（3，1）， B（0，-2），C（4，2）在同一條直線上類型三：函數(shù)圖象的應用3、圖中的圖象（折線ABCDE）描述了一汽車在某一直線上的行駛過程中，汽車離出發(fā)地的距離s(km)和行駛時間t(h)之間的

6、函數(shù)關系，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：(1)汽車共行駛了_ km；(2)汽車在行駛途中停留了_ h；(3)汽車在整個行駛過程中的平均速度為_ km/h；(4)汽車自出發(fā)后3h至4.5h之間行駛的方向是_.思路點撥：讀懂圖象所表達的信息，弄懂并熟悉圖象語言.圖中給出的信息反映了行駛過程中時間和汽車位置的變化過程，橫軸代表行駛時間，縱軸代表汽車的位置.圖象上的最高點就是汽車離出發(fā)點最遠的距離. 汽車來回一次，共行駛了120×2=240(千米)，整個過程用時4.5小時，平均速度為240÷4.5= (千米/時)，行駛途中1.5時2時之間汽車沒有行駛.解析：(1)240； (2

7、)0.5； (3) ； (4)從目的地返回出發(fā)點.總結升華：這類題是課本例題的變式，來源于生活，貼近實際，是中考中常見題型，應注意行駛路程與兩地之間的距離之間的區(qū)別.本題圖象上點的縱坐標表示的是汽車離出發(fā)地的距離，橫坐標表示汽車的行駛時間.舉一反三：【變式1】圖中，射線l甲、l乙分別表示甲、乙兩運動員在自行車比賽中所走的路程s與時間t的函數(shù)關系，求它們行進的速度關系。 解析：比較相同時間內，路程s的大小.在橫軸的正方向上任取一點,過該點作縱軸的平行線,比較該平行線與兩直線的交點的縱坐標的大小.所以.甲比乙快【變式2】（2011四川內江）小高從家騎自行車去學校上學，先走上坡路到達點A，再走下坡路

8、到達點B，最后走平路到達學校，所用的時間與路程的關系如圖所示。放學后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分別保持和去上學時一致，那么他從學校到家需要的時間是( )A.14分鐘 B.17分鐘 C.18分鐘 D.20分鐘【答案】:D 分析：由圖象可知，上坡速度為80米/分；下坡速度為200米/分；走平路速度為100米/分。原路返回，走平路需要8分鐘，上坡路需要10分鐘，下坡路需要2分鐘，一共20分鐘?！咀兪?】某種洗衣機在洗滌衣服時,經歷了進水、清洗、排水、脫水四個連續(xù)的過程，其中進水、清洗、排水時洗衣機中的水量y（升）與時間x（分鐘）之間的關系如圖所示： 根據(jù)圖象解答下列問題：（1

9、）洗衣機的進水時間是多少分鐘？清洗時洗衣機中的水量是多少升？（2）已知洗衣機的排水速度為每分鐘19升. 求排水時y與x之間的關系式； 如果排水時間為 2分鐘，求排水結束時洗衣機中剩下的水量.分析：依題意解讀圖象可知：從04分鐘在進水，415分鐘在清洗，此時，洗衣機內有水40升，15分鐘后開始放水.解：（1）洗衣機的進水時間是4分鐘；清洗時洗衣機中的水量是40升；（2）排水時y與x之間的關系式為：y=40-19(x-15) 即y=-19x+325 如果排水時間為2分鐘，則x-15=2即x=17，此時，y=40-19×2=2. 所以，排水結束時洗衣機中剩下的水量為2升.類型四：一次函數(shù)的

10、性質4、己知一次函數(shù)y=kx十b的圖象交x軸于點A（一6，0），交y軸于點B，且AOB的面積為12，y隨x的增大而增大，求k，b的值思路點撥：設函數(shù)的圖象與y軸交于點B（0，b），則OB=,由AOB 的面積，可求出b，又由點A在直線上，可求出k并由函數(shù)的性質確定k的取值解析：直線y=kx十b與y軸交于點B（0，b），點A在直線上，則，由，即，解得代入，可得，由于y隨x的增大而增大，則k0,取則總結升華：該題考查的是待定系數(shù)法和函數(shù)值，仔細觀察所畫圖象，找出隱含條件。舉一反三：【變式1】已知關于x的一次函數(shù)（1）m為何值時，函數(shù)的圖象經過原點?（2）m為何值時，函數(shù)的圖象經過點（0，2）?（3）

11、m為何值時，函數(shù)的圖象和直線y=x平行?（4）m為何值時，y隨x的增大而減?。拷馕觯海?）由題意，m需滿足， 故 m=3時，函數(shù)的圖象經過原點；（2）由題意得：m需滿足， 故 時，函數(shù)的圖象經過點（0，2）；（3）由題意，m需滿足， 故 m=4時，函數(shù)的圖象平行于直線y=x；（4）當3m0時，即m3時，y隨x的增大而減小【變式2】 若直線（）不經過第一象限，則k、b的取值范圍是_，_【答案】：(k<0；b0)；分析：直線不經過第一象限，有可能是經過二、四象限或經過二、三、四象限，注意不要漏掉經過原點的情況?！咀兪?】直線l1：與直線l2：在同一坐標系中的大致位置是（ ） A BC D【答

12、案】：C；分析：對于A，從l1看 k0，b0，從l2看b0，k0，所以k，b的取值自相矛盾，排除掉A。對于B，從l1看 k0，b0，從l2看b0，k0，所以k，b的取值自相矛盾，排除掉B。D答案同樣是矛盾的，只有C答案才符合要求。【變式4】函數(shù)在直角坐標系中的圖象可能是（ ）【答案】：B；分析：不論k為正還是為負，都大于0，圖象應該交于x軸上方。故選B類型五：一次函數(shù)綜合5、已知：如圖，平面直角坐標系中，A（ 1，0），B（0，1），C（-1，0），過點C的直線繞C旋轉，交y軸于點D，交線段AB于點E。（1）求OAB的度數(shù)及直線AB的解析式；（2）若OCD與BDE的面積相等，求直線CE的解析式

13、；若y軸上的一點P滿足APE=45°，請直接 寫出點P的坐標。思路點撥：（1）由A，B兩點的坐標知，AOB為等腰直角三角形，所以OAB=45°（2）OCD與BDE的面積相等，等價于ACE與AOB面積相等，故可求E點坐標，從而得到CE的解析式；因為E為AB中點，故P為（0,0）時，APE=45°.解析：（1）A（1，0），B（0，1）， OA=OB=1，AOB為等腰直角三角形 OAB=45° 設直線AB的解析式為：y=kx+b,將A（ 1，0），B（0，1）代入， 解得k=-1，b=1 直線AB的解析式為：y=-x+1 （2） 即 ，將其代入y=-x+1，

14、得E點坐標（） 設直線CE為y=kx+b，將點C（-1，0），點E（）代入 ，解得k=b= 直線CE的解析式： 點E為等腰直角三角形斜邊的中點 當點P（0,0）時，APE=45°.總結升華：考慮面積相等這個條件時，直接算比較困難，往往采取補全成一個容易計算的面積來解決問題。舉一反三：【變式1】在長方形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，點P沿邊按ABCD的方向向點D運動（但不與A，D兩點重合）。求APD的面積y()與點P所行的路程x（cm）之間的函數(shù)關系式及自變量的取值范圍?！敬鸢浮浚寒擯點在AB上運動時，當P點在BC上運動時，當P點在CD上運動是，【變式2】如圖，直線與x軸y軸分別交于點E、F，點E的坐標為（-8，0）