2012年高中數(shù)學(xué)最新資料 3.2.1 對(duì)數(shù)及其運(yùn)算 新人教B版必修1

1、第三章 基本初等函數(shù)3.2.1對(duì)數(shù)及其運(yùn)算本節(jié)教材分析一 三維目標(biāo)1知識(shí)與能力目標(biāo)（1） 理解對(duì)數(shù)的概念、常用對(duì)數(shù)的概念。（2） 掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式。（3） 理解對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系。2 過(guò)程與方法目標(biāo)（1）在指數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)之上，利用類比聯(lián)想，互動(dòng)探究的方式來(lái)引出對(duì)數(shù)定義，加深對(duì)概念的理解。（2）鼓勵(lì)學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)查找知識(shí)背景，培養(yǎng)學(xué)生探求真理，刻苦鉆研的精神。（3）通過(guò)觀察、分析、類比發(fā)現(xiàn)新的知識(shí)，這有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)情感，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握。3 情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)（1）引導(dǎo)學(xué)生初步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)并進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)中規(guī)定的合理性。二 教學(xué)重

2、點(diǎn)（1）對(duì)數(shù)的定義（2對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。（3換底公式及其應(yīng)用。三 教學(xué)難點(diǎn)對(duì)數(shù)的概念，換底公式的靈活應(yīng)用。四 教學(xué)建議數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，數(shù)學(xué)的概念、性質(zhì)抽象嚴(yán)謹(jǐn)，因此在學(xué)習(xí)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生借鑒已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)觀察、分析、類比發(fā)現(xiàn)新的知識(shí)，這有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)情感，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握。鼓勵(lì)學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)查詢有關(guān)對(duì)數(shù)的相關(guān)信息。對(duì)數(shù)的應(yīng)用學(xué)生感到數(shù)學(xué)是有用的有趣的整合各學(xué)科知識(shí)為今后的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。對(duì)于對(duì)數(shù)的概念在講解過(guò)程中要注意與指數(shù)概念相對(duì)比，讓學(xué)生搞清楚對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系。對(duì)于對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，應(yīng)讓學(xué)生多做練習(xí)，加深印象。五 導(dǎo)入新課思路1.1.莊子：一尺之棰,日

3、取其半,萬(wàn)世不竭.（1）取4次,還有多長(zhǎng)？（2）取多少次,還有0.125尺？2.假設(shè)2002年我國(guó)國(guó)民生產(chǎn)總值為a億元,如果每年平均增長(zhǎng)8%,那么經(jīng)過(guò)多少年國(guó)民生產(chǎn)總值是2002年的2倍？抽象出：1.()4？()x0.125x=?2.(1+8%)x=2x=?都是已知底數(shù)和冪的值,求指數(shù).你能看得出來(lái)嗎？怎樣求呢？像上面的式子,已知底數(shù)和冪的值,求指數(shù),這就是我們這節(jié)課所要學(xué)習(xí)的對(duì)數(shù)引出對(duì)數(shù)的概念,教師板書(shū)課題:對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算(1).思路2.我們前面學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì),同時(shí)也會(huì)利用性質(zhì)解決問(wèn)題,但僅僅有指數(shù)函數(shù)還不夠,為了解決某些實(shí)際問(wèn)題,還要學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù),為此我們先學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)引出對(duì)數(shù)的概念,

4、教師板書(shū)課題:對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算(1).推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題(對(duì)于課本P572.1.2的例8)利用計(jì)算機(jī)作出函數(shù)y=13×1.01x的圖象.從圖象上看,哪一年的人口數(shù)要達(dá)到18億、20億、30億?如果不利用圖象該如何解決,說(shuō)出你的見(jiàn)解？即=1.01x,=1.01x,=1.01x,在這幾個(gè)式子中,x分別等于多少？你能否給出一個(gè)一般性的結(jié)論?活動(dòng)：學(xué)生討論并作圖,教師適時(shí)提示、點(diǎn)撥.對(duì)問(wèn)題,回憶計(jì)算機(jī)作函數(shù)圖象的方法,抓住關(guān)鍵點(diǎn).對(duì)問(wèn)題,圖象類似于人的照片,從照片上能看出人的特點(diǎn),當(dāng)然從函數(shù)圖象上就能看出函數(shù)的某些點(diǎn)的坐標(biāo).對(duì)問(wèn)題,定義一種新的運(yùn)算.對(duì)問(wèn)題,借助,類比到一般的情形.討論結(jié)

5、果：如圖2-2-1-1.圖2-2-1-1在所作的圖象上,取點(diǎn)P,測(cè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),移動(dòng)點(diǎn)P,使其縱坐標(biāo)分別接近18,20,30,觀察這時(shí)的橫坐標(biāo),大約分別為32.72,43.29,84.04,這就是說(shuō),如果保持年增長(zhǎng)率為1個(gè)百分點(diǎn),那么大約經(jīng)過(guò)33年,43年,84年,我國(guó)人口分別約為18億,20億,30億.=1.01x,=1.01x,=1.01x,在這幾個(gè)式子中,要求x分別等于多少,目前我們沒(méi)學(xué)這種運(yùn)算,可以定義一種新運(yùn)算,即若=1.01x,則x稱作以1.01為底的的對(duì)數(shù).其他的可類似得到,這種運(yùn)算叫做對(duì)數(shù)運(yùn)算.一般性的結(jié)論就是對(duì)數(shù)的定義:一般地,如果a(a>0,a1)的x次冪等于N,就是

6、ax=N,那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)(logarithm),記作x=logaN,其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).有了對(duì)數(shù)的定義,前面問(wèn)題的x就可表示了:x=log1.01,x=log1.01,x=log1.01.由此得到對(duì)數(shù)和指數(shù)冪之間的關(guān)系:aNb指數(shù)式ab=N底數(shù)冪指數(shù)對(duì)數(shù)式logaN=b對(duì)數(shù)的底數(shù)真數(shù)對(duì)數(shù)例如：42=162=log416;102=1002=log10100;4=2=log42;10-2=0.01-2=log100.01提出問(wèn)題為什么在對(duì)數(shù)定義中規(guī)定a>0,a1?根據(jù)對(duì)數(shù)定義求loga1和logaa(a>0,a1)的值.負(fù)數(shù)與零有沒(méi)有對(duì)數(shù)?=N與logaab

7、=b(a>0,a1)是否成立?討論結(jié)果：這是因?yàn)槿鬭0,則N為某些值時(shí),b不存在,如log（2）;若a=0,N不為0時(shí),b不存在,如log03,N為0時(shí),b可為任意正數(shù),是不唯一的,即log00有無(wú)數(shù)個(gè)值;若a=1,N不為1時(shí),b不存在,如log12,N為1時(shí),b可為任意數(shù),是不唯一的,即log11有無(wú)數(shù)個(gè)值.綜之,就規(guī)定了a0且a1.loga1=0,logaa=1.因?yàn)閷?duì)任意a>0且a1,都有a0=1,所以loga1=0.同樣易知：logaa=1.即1的對(duì)數(shù)等于0,底的對(duì)數(shù)等于1.因?yàn)榈讛?shù)a0且a1,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知,對(duì)任意的bR,ab0恒成立,即只有正數(shù)才有對(duì)數(shù),零和負(fù)數(shù)沒(méi)

8、有對(duì)數(shù).因?yàn)閍b=N,所以b=logaN,ab=a=N,即a=N.因?yàn)閍b=ab,所以logaab=b.故兩個(gè)式子都成立.(a=N叫對(duì)數(shù)恒等式) 思考我們對(duì)對(duì)數(shù)的概念和一些特殊的式子已經(jīng)有了一定的了解,但還有兩類特殊的對(duì)數(shù)對(duì)科學(xué)研究和了解自然起了巨大的作用,你們知道是哪兩類嗎?活動(dòng)：同學(xué)們閱讀課本P68的內(nèi)容,教師引導(dǎo),板書(shū).解答：常用對(duì)數(shù)：我們通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù).為了簡(jiǎn)便,N的常用對(duì)數(shù)log10N簡(jiǎn)記作lgN.例如：log105簡(jiǎn)記作lg5;log103.5簡(jiǎn)記作lg3.5.自然對(duì)數(shù)：在科學(xué)技術(shù)中常常使用以無(wú)理數(shù)e=2.718 28為底的對(duì)數(shù),以e為底的對(duì)數(shù)叫自然對(duì)數(shù),為了簡(jiǎn)

9、便,N的自然對(duì)數(shù)logeN簡(jiǎn)記作lnN.例如：loge3簡(jiǎn)記作ln3;loge10簡(jiǎn)記作ln10.應(yīng)用示例思路1例1將下列指數(shù)式寫(xiě)成對(duì)數(shù)式,對(duì)數(shù)式寫(xiě)成指數(shù)式：（1）54=625;（2）2-6=;（3）()m=5.73;(4)log16=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.活動(dòng)：學(xué)生閱讀題目,獨(dú)立解題,把自己解題的過(guò)程展示在屏幕上,教師評(píng)價(jià)學(xué)生,強(qiáng)調(diào)注意的問(wèn)題.對(duì)（1）根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系,4在指數(shù)位置上,4是以5為底625的對(duì)數(shù).對(duì)（2）根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系,-6在指數(shù)位置上,-6是以2為底的對(duì)數(shù).對(duì)（3）根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系,m在指數(shù)位置上,m是以為底5.

10、73的對(duì)數(shù).對(duì)(4)根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系,16在真數(shù)位置上,16是的-4次冪.對(duì)(5)根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系,0.01在真數(shù)位置上,0.01是10的-2次冪.對(duì)(6)根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系,10在真數(shù)位置上,10是e的2.303次冪.解：（1）log5625=4;（2）log2=-6;（3）log5.73=m;（4）()-4=16;(5)10-2=0.01;(6)e2.303=10. 思考指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化應(yīng)注意哪些問(wèn)題?活動(dòng)：學(xué)生考慮指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化的依據(jù),回想對(duì)數(shù)概念的引出過(guò)程,理清對(duì)數(shù)與指數(shù)冪的關(guān)系,特別是位置的對(duì)照.解答：若是指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式,關(guān)鍵要看清指數(shù)是幾,再寫(xiě)成對(duì)數(shù)

11、式.若是對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式,則要看清真數(shù)是幾,再寫(xiě)成冪的形式.最關(guān)鍵的是搞清N與b在指數(shù)式與對(duì)數(shù)式中的位置,千萬(wàn)不可大意,其中對(duì)數(shù)的定義是指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化的依據(jù).變式訓(xùn)練課本P64練習(xí) 1、2.例2求下列各式中x的值:（1）log64x=;（2）logx8=6;（3）lg100=x;（4）-lne2=x.活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立解題,教師同時(shí)展示學(xué)生的作題情況,要求學(xué)生說(shuō)明解答的依據(jù),利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為指數(shù)式求解.解：（1）因?yàn)閘og64x=-,所以x=64=(2)=2-4=.（2）因?yàn)閘ogx8=6,所以x6=8=23=()6.因?yàn)閤>0,因此x=.（3）因?yàn)閘g100=x,所以1

12、0x=100=102.因此x=2.（4）因?yàn)?lne2=x,所以lne2=-x,e-x=e2.因此x=-2.點(diǎn)評(píng)：本題要注意方根的運(yùn)算,同時(shí)也可借助對(duì)數(shù)恒等式來(lái)解.變式訓(xùn)練求下列各式中的x：log4x=;logx27=;log5（log10x）=1.解：由log4x=,得x=4=2;由logx27=,得x=27,所以x=27=81;由log5（log10x）=1,得log10x=5,即x=105.點(diǎn)評(píng)：在解決對(duì)數(shù)式的求值問(wèn)題時(shí),若不能一下子看出結(jié)果,根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系,首先將其轉(zhuǎn)化為指數(shù)式,進(jìn)一步根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)算出結(jié)果.思路2例1以下四個(gè)命題中,屬于真命題的是（ ）（1）若log5

13、x=3,則x=15 （2）若log25x=,則x=5 （3）若logx=0,則x= （4）若log5x=3,則x=A.（2）（3） B.（1）（3） C.（2）（4） D.（3）（4）活動(dòng)：學(xué)生觀察,教師引導(dǎo)學(xué)生考慮對(duì)數(shù)的定義.對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式,根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)算出結(jié)果.對(duì)于（1）因?yàn)閘og5x=3,所以x=53=125,錯(cuò)誤;對(duì)于（2）因?yàn)閘og25x=,所以x=25=5,正確;對(duì)于（3）因?yàn)閘ogx=0,所以x0=,無(wú)解,錯(cuò)誤;對(duì)于（4）因?yàn)閘og5x=3,所以x=5-3=,正確.總之（2）（4）正確.答案：C點(diǎn)評(píng)：對(duì)數(shù)的定義是對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù).例2對(duì)于a0,a1,下列結(jié)論

14、正確的是（ ）（1）若M=N,則logaM=logaN （2）若logaM=logaN,則M=N （3）若logaM2=logaN2,則M=N （4）若M=N,則logaM2=logaN2A.（1）（3） B.（2）（4） C.（2） D.（1）（2）（4）活動(dòng)：學(xué)生思考,討論,交流,回答,教師及時(shí)評(píng)價(jià).回想對(duì)數(shù)的有關(guān)規(guī)定.對(duì)（1）若M=N,當(dāng)M為0或負(fù)數(shù)時(shí)logaMlogaN,因此錯(cuò)誤;對(duì)（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的定義,若logaM=logaN,則M=N,正確;對(duì)（3）若logaM2=logaN2,則M=±N,因此錯(cuò)誤;對(duì)（4）若M=N=0時(shí),則logaM2與logaN2都不存在,因此錯(cuò)誤.

15、綜上,（2）正確.答案：C點(diǎn)評(píng)：0和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù),一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè).例3計(jì)算：(1)log927;(2)log81;(3)log(2-3);(4)log625.活動(dòng)：教師引導(dǎo),學(xué)生回憶,教師提問(wèn),學(xué)生回答,積極交流,學(xué)生展示自己的解題過(guò)程,教師及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生.利用對(duì)數(shù)的定義或?qū)?shù)恒等式來(lái)解.求式子的值,首先設(shè)成對(duì)數(shù)式,再轉(zhuǎn)化成指數(shù)式或指數(shù)方程求解.另外利用對(duì)數(shù)恒等式可直接求解,所以有兩種解法.解法一：(1)設(shè)x=log927,則9x=27,32x=33,所以x=;(2)設(shè)x=log81,則()x=81,3=34,所以x=16;(3)令x=log(2-)=log(2+)-1,所以(2+)x=

16、(2+)-1,x=-1;(4)令x=log625,所以()x=625,5x=54,x=3.解法二：(1)log927=log933=log99=;(2)log81=log()16=16;(3)log(2-)=log(2+)-1=-1;(4)log625=log()3=3.點(diǎn)評(píng)：首先將其轉(zhuǎn)化為指數(shù)式,進(jìn)一步根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)算出結(jié)果,對(duì)數(shù)的定義是轉(zhuǎn)化和對(duì)數(shù)恒等式的依據(jù).變式訓(xùn)練課本P64練習(xí) 3、4.知能訓(xùn)練1.把下列各題的指數(shù)式寫(xiě)成對(duì)數(shù)式:(1)4216;（2）30=1;（3）4x2;（4）2x0.5;(5)54=625;(6)3-2=;(7)()-2=16.解：(1)2log416;(2)

17、0log31;(3)log4;(4)log20.5;(5)4=log5625;(6)-2=log3;(7)-2=log16.2.把下列各題的對(duì)數(shù)式寫(xiě)成指數(shù)式:(1)log527;(2)log87;(3)log43;(4)log7;(5)log216=4;(6)log27=-3;(7)log=6;(8)logx64=-6;(9)log2128=7;(10)log327=a.解：(1)5x27;(2)8x;(3)4x3;(4)7x;(5)24=16;(6)()-3=27;(7)()6=x;(8)x-6=64;(9)27=128;(10)3a=27.3.求下列各式中x的值:(1)log8x=;(2)

18、logx27=;(3)log2（log5x）=1;(4)log3（lgx）=0.解：(1)因?yàn)閘og8x=,所以x=8=(23)=2-2=;(2)因?yàn)閘ogx27=,所以x=27=33,即x=(33)=34=81;(3)因?yàn)閘og2（log5x）=1,所以log5x=2,x=52=25;(4)因?yàn)閘og3（lgx）=0,所以lgx=1,即x=101=10.4.(1)求log84的值;(2)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值.解：(1)設(shè)log84=x,根據(jù)對(duì)數(shù)的定義有8x=4,即23x=22,所以x=,即log84=;(2)因?yàn)閘oga2=m,loga3=n,根據(jù)對(duì)數(shù)的定義有am=2,an=3,所以a2m+n=(am)2·an=(2)2·3=4×3=12.點(diǎn)評(píng)：此題不僅是簡(jiǎn)單的指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化,還涉及到常見(jiàn)的冪的運(yùn)算法則的應(yīng)用.拓展提升請(qǐng)你閱讀課本75頁(yè)的有關(guān)閱讀部分的內(nèi)容,搜集有關(guān)對(duì)數(shù)發(fā)展的材料,以及有關(guān)數(shù)學(xué)家關(guān)于對(duì)數(shù)的材料,通過(guò)網(wǎng)絡(luò)查尋關(guān)于對(duì)數(shù)換底公式的材料,為下一步學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).課堂小結(jié)(1)對(duì)數(shù)引入的必要性；(2)對(duì)數(shù)的定義；(3)幾種特殊數(shù)的對(duì)數(shù)；(4)負(fù)數(shù)與零沒(méi)有對(duì)數(shù)；(5)對(duì)數(shù)恒等式；(6)兩種特殊的對(duì)數(shù).作業(yè)課本P74習(xí)題2.2A組 1、2.【補(bǔ)充作業(yè)】1