第2章靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體和電介質(zhì)(0)

1、導(dǎo)體靜電感應(yīng)interaction of electrostatic field with conductor2.1 靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體均勻?qū)w達(dá)到均勻?qū)w達(dá)到靜電平衡的條件靜電平衡的條件是：是：導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體內(nèi)0E 0baabldEU各種形狀導(dǎo)體的表面，全都是等勢(shì)面各種形狀導(dǎo)體的表面，全都是等勢(shì)面1.實(shí)心導(dǎo)體2.腔內(nèi)無(wú)電荷的空腔導(dǎo)體3.腔內(nèi)有電荷的空腔導(dǎo)體CU 外界不影響內(nèi)部外界不影響內(nèi)部 高壓設(shè)備都用金屬導(dǎo)體殼接地做保護(hù)高壓設(shè)備都用金屬導(dǎo)體殼接地做保護(hù) 在電子儀器、或傳輸微弱信號(hào)的導(dǎo)線中在電子儀器、或傳輸微弱信號(hào)的導(dǎo)線中都常用金屬殼或金屬網(wǎng)作靜電屏蔽。都常用金屬殼或金屬網(wǎng)作靜電屏蔽。應(yīng)應(yīng) 用用 高

2、壓帶電操作高壓帶電操作 孤立導(dǎo)體面電荷分布孤立導(dǎo)體面電荷分布表面曲率越大，面電荷密度越大。表面曲率越大，面電荷密度越大。尖端放電現(xiàn)象尖端放電現(xiàn)象應(yīng)用：應(yīng)用：高壓設(shè)備的電極高壓設(shè)備的電極高壓輸電線高壓輸電線避雷針避雷針不利的一面：不利的一面：浪費(fèi)電能浪費(fèi)電能避免方法：避免方法：金屬元件盡量做成球形，金屬元件盡量做成球形，并使導(dǎo)體表面盡可能的光滑并使導(dǎo)體表面盡可能的光滑0 0內(nèi)內(nèi)ECU iiSQsdE0 01 1 LldE0 0ii.Q常常量量原原則則1.1.靜電平衡靜電平衡的條件的條件2.2.基本性質(zhì)基本性質(zhì)方程方程3.3.電荷守恒電荷守恒定律定律高斯定理高斯定理場(chǎng)強(qiáng)環(huán)場(chǎng)強(qiáng)環(huán)路定理路定理五、有導(dǎo)

3、體存在時(shí)靜電場(chǎng)的計(jì)算五、有導(dǎo)體存在時(shí)靜電場(chǎng)的計(jì)算已知導(dǎo)體球殼已知導(dǎo)體球殼A帶電量為帶電量為Q ，導(dǎo)體球，導(dǎo)體球B帶電量為帶電量為q (1) 將將A接地后再斷開，電荷和電勢(shì)的分布；接地后再斷開，電荷和電勢(shì)的分布；解解04120RQUAQ0QA與地?cái)嚅_后與地?cái)嚅_后, qQA10044RqrqUBArR1R2B-q電荷守恒電荷守恒(2) 再將再將B接地，電荷和電勢(shì)的分布。接地，電荷和電勢(shì)的分布。A接地時(shí)，內(nèi)表面電荷為接地時(shí)，內(nèi)表面電荷為-q外表面電荷設(shè)為外表面電荷設(shè)為Q例例1求求(1)0AUqQQ外內(nèi)qqQ外20100444RqqRqrqUB021211RRrRrRqrRq204RqqUAB球球心處

4、的電勢(shì)球球心處的電勢(shì)QArR1R2B-q設(shè)設(shè)B上的電量為上的電量為q0內(nèi)EqQ內(nèi)根據(jù)孤立導(dǎo)體電荷守恒根據(jù)孤立導(dǎo)體電荷守恒(2)例例2、金屬板面積為、金屬板面積為S，帶電量為，帶電量為 q。近旁平行放置。近旁平行放置 第二塊不帶電大金屬板。第二塊不帶電大金屬板。1) 求電荷分布和電場(chǎng)分布；求電荷分布和電場(chǎng)分布；2) 把第二塊金屬板接地，情況如何？把第二塊金屬板接地，情況如何？解：解：1）依題意有下式：）依題意有下式：04321 sqpABC2143選取如圖高斯面，根據(jù)高斯定理有：選取如圖高斯面，根據(jù)高斯定理有：032 圖示圖示P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)是四個(gè)帶電面產(chǎn)生的，點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)是四個(gè)帶電面產(chǎn)生的，)(0222

5、204030201取正pEsqsqsqsq22224321 sqEsqEsqECBA000222 場(chǎng)強(qiáng)迭加43210EEEEEE2）右板接地）右板接地p高斯定理高斯定理P點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)為零點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)為零004321 sqsq000 CBAEsqEE ABC04 sq 21 0320321已知：金屬球已知：金屬球與金屬球殼同心放置與金屬球殼同心放置，球球的半徑為的半徑為 R R1、帶電為帶電為 q ；殼的半徑分殼的半徑分別為別為 R R2、R R3 帶電為帶電為 Q；求求:(1):(1)電量分布；（電量分布；（2 2）場(chǎng)強(qiáng)分布；）場(chǎng)強(qiáng)分布； （3)3)球球 和和 球殼球殼 的電勢(shì)的電勢(shì)ABqqQ2R

6、3R1R例例3 3q解解（1）電量均勻分布：球殼內(nèi)）電量均勻分布：球殼內(nèi)表面帶電表面帶電 -q ，外表面帶電，外表面帶電 Q+q（2 2）2 21 12 20 04 4RrRrqEA 3204BqQErRrErE = 0 （3) 3) 球的電勢(shì)球的電勢(shì)q1R3 32 21 10 04 41 1RQqRqRqU 球球3 30 04 4RQqU 殼殼1 10 01 14 4RqU2Rq2 20 02 24 4RqU qQ3R3 30 03 34 4RQqU q1R2RqqQ3R3 30 03 34 4RQqU rqU0 02 24 4 rqU0 01 14 4 球殼的電勢(shì)球殼的電勢(shì)r例例4 接地導(dǎo)

7、體球附近有一點(diǎn)電荷接地導(dǎo)體球附近有一點(diǎn)電荷q,如圖所示。如圖所示。求求:導(dǎo)體上感應(yīng)電荷的電量導(dǎo)體上感應(yīng)電荷的電量解解:接地接地 即即設(shè)設(shè):感應(yīng)電量為感應(yīng)電量為Q由導(dǎo)體是個(gè)等勢(shì)體由導(dǎo)體是個(gè)等勢(shì)體 知知O點(diǎn)的電勢(shì)為零點(diǎn)的電勢(shì)為零 由電勢(shì)由電勢(shì)疊加原理有關(guān)系式：疊加原理有關(guān)系式：04400lqRQqlRQ0UqRol 萬(wàn)有引力和靜電力都服從平方反比律，都存萬(wàn)有引力和靜電力都服從平方反比律，都存在高斯定理。有人幻想把引力場(chǎng)屏蔽起來(lái)，這能在高斯定理。有人幻想把引力場(chǎng)屏蔽起來(lái)，這能否做到？引力場(chǎng)和靜電場(chǎng)有什么重要差別？否做到？引力場(chǎng)和靜電場(chǎng)有什么重要差別？ 靜電的應(yīng)用靜電的應(yīng)用 帶電體所帶的靜電電荷的電量

8、都很小；帶電體所帶的靜電電荷的電量都很??； 靜電場(chǎng)所具有的能量也不大；靜電場(chǎng)所具有的能量也不大； 電壓可能很高。電壓可能很高。 范德格拉夫起電機(jī)范德格拉夫起電機(jī) 靜電除塵靜電除塵 靜電分離靜電分離 靜電織絨靜電織絨 靜電噴漆靜電噴漆 靜電消除器靜電消除器 靜電生物技術(shù)靜電生物技術(shù) 靜電的特點(diǎn)靜電的特點(diǎn) 靜電的應(yīng)用靜電的應(yīng)用2.2 電容和電容器法拉（ F ）1法拉（F）= 1庫(kù)侖（C）/1伏特（V）1微法（ F）=10 法拉（F）1皮法（ F）=10 微法（ F）若將地球看作半徑 R=6.37 10 m 的孤立導(dǎo)體球地球的電容 = 7.08 10 （F）（ F）BCDAqA+ + + + + +

9、 + +-qA- - - - - - - -用空腔用空腔B 將非孤立導(dǎo)體將非孤立導(dǎo)體 A 屏蔽屏蔽, 消除其他導(dǎo)體及消除其他導(dǎo)體及帶電體帶電體 ( C、D ) 對(duì)對(duì)A 的的影響。影響。A 帶電帶電qA , B 內(nèi)表面帶電內(nèi)表面帶電-qA , 腔內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)腔內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)E, A B 間電間電勢(shì)差勢(shì)差UAB= UA -UB CAB = qA /UAB1.電容器 電容設(shè) 當(dāng)電容器中兩導(dǎo)體A、B分別帶等值異號(hào)電量 和 時(shí)，按可調(diào)分類：按可調(diào)分類：可調(diào)電容器、微調(diào)電容器、可調(diào)電容器、微調(diào)電容器、 雙連電容器、固定電容器雙連電容器、固定電容器按介質(zhì)分類：按介質(zhì)分類：空氣電容器、云母電容器、陶瓷電容器、空氣電容器、云

10、母電容器、陶瓷電容器、 紙質(zhì)電容器、電解電容器紙質(zhì)電容器、電解電容器按體積分類：按體積分類：大型電容器、小型電容器、微型電容器大型電容器、小型電容器、微型電容器按形狀分類：按形狀分類：球形電容器、球形電容器、平行板平行板d球形球形21RR柱形柱形1R2R圓柱形電容器、圓柱形電容器、 平板電容器平板電容器2.電容器的分類高壓電容器高壓電容器(20kV, 521 F)聚丙烯電容器聚丙烯電容器陶瓷電容器陶瓷電容器(20000V 1000pF)滌綸電容滌綸電容(250V 0.47F)電解電容器電解電容器(160V 470 F) 儲(chǔ)存電能的元件；儲(chǔ)存電能的元件； 與其它元件可以組成振蕩器、時(shí)間延遲電路等

11、；與其它元件可以組成振蕩器、時(shí)間延遲電路等； 在電路中：通交流、隔直流；在電路中：通交流、隔直流； 真空器件中建立各種電場(chǎng)；真空器件中建立各種電場(chǎng)； 各種電子儀器。各種電子儀器。3.電容器的作用4.電容器的電容的計(jì)算E12()UU12qCUUq00022/AALLRSCd RddRB RA= d ,當(dāng)當(dāng)da 。例例4d2a單位長(zhǎng)度平行直導(dǎo)線間的電容。單位長(zhǎng)度平行直導(dǎo)線間的電容。解解求求設(shè)兩根導(dǎo)線單位長(zhǎng)度上的設(shè)兩根導(dǎo)線單位長(zhǎng)度上的帶電量分別為帶電量分別為l l，+ +l l - -l l 由高斯由高斯 定理，兩導(dǎo)線間任一點(diǎn)定理，兩導(dǎo)線間任一點(diǎn) P 的電場(chǎng)強(qiáng)度為的電場(chǎng)強(qiáng)度為O xP)(2200 x

12、dxEll兩導(dǎo)線間的電勢(shì)差為兩導(dǎo)線間的電勢(shì)差為dBAUEladarEdA Badarxdxd)11(20laad ln0ladln0l單位長(zhǎng)度導(dǎo)線間的電容為單位長(zhǎng)度導(dǎo)線間的電容為0lnCdUallladln0d2a+ +l l - -l lO xPA B0lndUal三三、電容器的串聯(lián)與并聯(lián)、電容器的串聯(lián)與并聯(lián)串聯(lián)串聯(lián)C1 C2+Q -Q +Q -Q UA UB U C1CQUUBA2CQUUCB2111CCQUUCA UA UCCCQUUCA+Q -Q 21111CCCniiCC11+等效電容等效電容并聯(lián)并聯(lián)C+Q1 -Q 1 C1 C2+Q2 -Q2 UA UB BAUUQC11BAUUC

13、Q11BAUUCQ22+BAUUCCQQ2121 UA UB BAUUQCBAUUCQQ21CCCniiCC四、電容器的儲(chǔ)能四、電容器的儲(chǔ)能一、電介質(zhì)對(duì)電容的影響一、電介質(zhì)對(duì)電容的影響l 電介質(zhì)：絕緣體電介質(zhì)：絕緣體 (電阻率超過(guò)電阻率超過(guò)10108 8 W Wm)l 實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)+ +Q - -Q+ + + + + + + + + + + + + + +- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -介質(zhì)中電場(chǎng)減弱介質(zhì)中電場(chǎng)減弱2.3 電介質(zhì)電介質(zhì)現(xiàn)象：現(xiàn)象：插入電介質(zhì)后，電容插入電介質(zhì)后，電容器極板間的電勢(shì)差器極板間的電勢(shì)差 減小了減小了UQCU電容增大了

14、電容增大了極板間距不變極板間距不變有極分子與無(wú)極分子有極分子與無(wú)極分子二、電介質(zhì)的極化二、電介質(zhì)的極化 無(wú)極分子無(wú)極分子（Nonpolar moleculeNonpolar molecule）分子的正電荷中心與負(fù)電荷中心重合分子的正電荷中心與負(fù)電荷中心重合在無(wú)外場(chǎng)作用下整個(gè)分子在無(wú)外場(chǎng)作用下整個(gè)分子無(wú)電矩?zé)o電矩例如，例如，H H2 2 N N2 2 O O2 2 有極分子有極分子（Polar moleculePolar molecule）分子的正電荷中心與負(fù)電荷中心分子的正電荷中心與負(fù)電荷中心不重合。不重合。在無(wú)外場(chǎng)作用下存在在無(wú)外場(chǎng)作用下存在固固有電矩。有電矩。例如，例如，H H2 2O H

15、cl CO SOO Hcl CO SO2 2 pql分子負(fù)電荷負(fù)電荷中心中心正電荷中心正電荷中心+H+HOl無(wú)極分子無(wú)極分子 只有位移極化，感生電矩的方向沿外場(chǎng)方向只有位移極化，感生電矩的方向沿外場(chǎng)方向無(wú)外場(chǎng)下，所具有的電偶極矩稱為無(wú)外場(chǎng)下，所具有的電偶極矩稱為固有電偶極矩固有電偶極矩。在外電場(chǎng)中產(chǎn)生在外電場(chǎng)中產(chǎn)生感生電偶極矩感生電偶極矩（約是前者的10-5)有極分子：有極分子：位移極化和取向極化均有位移極化和取向極化均有l(wèi)0E0E0分子p二、電介質(zhì)的極化二、電介質(zhì)的極化,P,qE三、極化的描繪三、極化的描繪pPV 分 子P1. 極化強(qiáng)度矢量極化強(qiáng)度矢量 ：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)電偶極矩的矢量和：?jiǎn)挝惑w積

16、內(nèi)電偶極矩的矢量和 2. 極化電荷極化電荷從原來(lái)處處電中性變成出現(xiàn)了宏觀的極化電荷從原來(lái)處處電中性變成出現(xiàn)了宏觀的極化電荷）、 ( q0EEE3. 退極化場(chǎng)：極化電荷產(chǎn)生的場(chǎng)退極化場(chǎng)：極化電荷產(chǎn)生的場(chǎng)退極化場(chǎng)退極化場(chǎng) 附加場(chǎng)附加場(chǎng) ：在電介質(zhì)在電介質(zhì)內(nèi)部?jī)?nèi)部：附加場(chǎng)與外電場(chǎng)方向相反，削弱：附加場(chǎng)與外電場(chǎng)方向相反，削弱在電介質(zhì)在電介質(zhì)外部外部：一些地方加強(qiáng)，一些地方減弱：一些地方加強(qiáng)，一些地方減弱EE與與 的關(guān)系的關(guān)系n 以以位移極化位移極化為模型討論為模型討論 pql分子Pnpnql 分子Vl dS nq V假設(shè)假設(shè)l, ,q, nPqdS因極化而穿過(guò)因極化而穿過(guò) 的電荷總量的電荷總量nql

17、dS P dS SP dS Sq穿出 面Sq 內(nèi)電荷守恒定律電荷守恒定律cos nqldS在均勻介質(zhì)表面取一面元在均勻介質(zhì)表面取一面元dSdS，面元上的極化電荷為，面元上的極化電荷為dqP ndS eP n EPe0e是否和場(chǎng)強(qiáng)的大小有關(guān)是否和場(chǎng)強(qiáng)的大小有關(guān) 否否線性介質(zhì)線性介質(zhì)是是非線性介質(zhì)非線性介質(zhì)e是否隨空間坐標(biāo)變化是否隨空間坐標(biāo)變化 否否均勻介質(zhì)均勻介質(zhì)是是非均勻介質(zhì)非均勻介質(zhì)eC, ,ex y ze是否隨空間方位變化是否隨空間方位變化 否否各向同性介質(zhì)各向同性介質(zhì)是是各向異性介質(zhì)各向異性介質(zhì)e為標(biāo)量e為張量電電極極化化率率 與與 的關(guān)系的關(guān)系極化規(guī)律極化規(guī)律P E+PoAxne 例例

18、 半徑半徑R 的介質(zhì)球被均勻極化，極化強(qiáng)度為的介質(zhì)球被均勻極化，極化強(qiáng)度為 。求：求：1) 1) 介質(zhì)球表面上的極化面電荷的分布；介質(zhì)球表面上的極化面電荷的分布；2) 2) 極化面極化面電荷在球心處激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度。電荷在球心處激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度。P解：解：1) 球面上任一點(diǎn)球面上任一點(diǎn) cosPnP 取球心為原點(diǎn)，取與取球心為原點(diǎn)，取與 平行平行的直徑為球心軸線，由于軸的直徑為球心軸線，由于軸對(duì)稱性，表面上任意點(diǎn)對(duì)稱性，表面上任意點(diǎn) 的極的極化電荷面密度化電荷面密度 只和角只和角 有關(guān)有關(guān) ( 是是 點(diǎn)點(diǎn) 矢量和外法線矢量和外法線 間的夾角間的夾角) PAAPneP+dEdx2) 在球面上取環(huán)帶在

19、球面上取環(huán)帶d d2sindqRR cosPnP 30dcosd4q RER 00203dcossin2dPPEE 22sincosdPR2/3220)(41xRqxE20sincosd2P 四 有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理 電位移電位移在有電介質(zhì)存在的電場(chǎng)中，高斯定理仍成立，在有電介質(zhì)存在的電場(chǎng)中，高斯定理仍成立，但要同時(shí)考慮自由電荷和束縛電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)但要同時(shí)考慮自由電荷和束縛電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)總電場(chǎng)總電場(chǎng)極化電荷極化電荷自由電荷自由電荷上式中由于極化電荷一般也是未知的，用其求解電上式中由于極化電荷一般也是未知的，用其求解電場(chǎng)問(wèn)題很困難，為便于求解，引入電位移矢量，使場(chǎng)問(wèn)題很困難，

20、為便于求解，引入電位移矢量，使右端只包含自由電荷。右端只包含自由電荷。001SSE dSqq內(nèi)0 000SdSEPSq0DEP0SdSDSqe0P=Ee01DE0Ee1+相對(duì)介電常量相對(duì)介電常量(相對(duì)電容率相對(duì)電容率)電位移矢量電位移矢量001SSE dSqq內(nèi)有電介質(zhì)時(shí)有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理的高斯定理 SSP dSq 內(nèi)+ 線線E電場(chǎng)線起于電場(chǎng)線起于正電荷正電荷、止于、止于負(fù)電負(fù)電荷，荷，包括自由電荷和極化電荷包括自由電荷和極化電荷+線線D電位移線起于正的電位移線起于正的自由電自由電荷，荷，止于負(fù)的止于負(fù)的自由電荷自由電荷+線線P電極化強(qiáng)度矢量線起于負(fù)的電極化強(qiáng)度矢量線起于負(fù)的極化電荷極化電荷

21、，止，止于正的于正的極化電荷。極化電荷。只在電介質(zhì)內(nèi)部出現(xiàn)只在電介質(zhì)內(nèi)部出現(xiàn)有電介質(zhì)存在時(shí)的高斯定理的應(yīng)用有電介質(zhì)存在時(shí)的高斯定理的應(yīng)用：求出電場(chǎng)求出電場(chǎng)求出電極化強(qiáng)度求出電極化強(qiáng)度求出束縛電荷求出束縛電荷0SdSDSq通過(guò)電介質(zhì)中任一閉合曲面的電位移通通過(guò)電介質(zhì)中任一閉合曲面的電位移通量等于該面包圍的自由電荷的代數(shù)和。量等于該面包圍的自由電荷的代數(shù)和。 分析自由電荷分布的對(duì)稱性，選擇適當(dāng)?shù)母叻治鲎杂呻姾煞植嫉膶?duì)稱性，選擇適當(dāng)?shù)母咚姑媲蟪鲭娢灰剖噶?。斯面求出電位移矢量?D=Ee0P=Ee= P n例題例題1 1 一半徑為一半徑為R R的金屬球，帶有電荷的金屬球，帶有電荷q0, ,浸埋在均勻浸

22、埋在均勻“無(wú)限大無(wú)限大”電介質(zhì)（電容率為電介質(zhì)（電容率為），求球外任一點(diǎn)），求球外任一點(diǎn)P的的場(chǎng)強(qiáng)及極化電荷分布。場(chǎng)強(qiáng)及極化電荷分布。Rq0rS 解解: : 過(guò)過(guò)P點(diǎn)作一半徑為點(diǎn)作一半徑為r并與金并與金屬球同心的閉合球面屬球同心的閉合球面S(高高斯面斯面)204 rqDrerqD204204SD dSDrq rerqD2040DE因因002004rqEDEer Rq0rS 帶電金屬球周圍充滿均勻帶電金屬球周圍充滿均勻無(wú)限大電介質(zhì)后，其場(chǎng)強(qiáng)無(wú)限大電介質(zhì)后，其場(chǎng)強(qiáng)減弱到真空時(shí)的減弱到真空時(shí)的1/倍倍0204rqEerRq0rS 0eP=E01=E0214rq=erP n 0214qR rne 00

23、01qqqR1R2R0Q2解解iiSqSD0dDr24例例2 2 半徑為半徑為R0 ，帶電量為，帶電量為Q 的導(dǎo)體球置于各向同性的均勻電介的導(dǎo)體球置于各向同性的均勻電介質(zhì)中，如圖所示，兩電介質(zhì)的相對(duì)電容率分別為質(zhì)中，如圖所示，兩電介質(zhì)的相對(duì)電容率分別為 1和和 2，外層半徑分別為外層半徑分別為R1和和R2 。求求 (1) 電電場(chǎng)的分布；場(chǎng)的分布；(2) 緊貼導(dǎo)體球表面處的極化緊貼導(dǎo)體球表面處的極化電荷；電荷；(3) 兩電介質(zhì)交界面處的極化兩電介質(zhì)交界面處的極化電荷。電荷。(1)電場(chǎng)的分布電場(chǎng)的分布00() 0()QrRrR020()4 0 ()QrRDrrRr1R1R2R0Q2r1020()4

24、 0 ()QrRDrrR由由0ED01E)(0Rr 22014QEr )(10RrR32024QEr )(21RrR2044rQE2()rR4 3 2 1 R1R2R0Q2101E)(0Rr 22014QEr )(10RrR32024QEr )(21RrR2044rQE2()rR4 3 2 1 (2) 緊貼導(dǎo)體球表面處的極化電荷緊貼導(dǎo)體球表面處的極化電荷rQ201d()SESQQ)(14022QQEr11(1)QQ rR1R2R0Q2101E)(0Rr 22014QEr )(10RrR32024QEr )(21RrR2044rQE2()rR4 3 2 1 rQ(3) 兩電介質(zhì)交界面處的極化電荷

25、兩電介質(zhì)交界面處的極化電荷 (Q- -Q)Q- -Qr301d()SESQQQQ)(14032QQEr21(1)QQ 2111()QQQ11(1)QQ 解：解：由高斯定理，可得內(nèi)外層介質(zhì)由高斯定理，可得內(nèi)外層介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)分布。設(shè)電荷線密度為中的場(chǎng)強(qiáng)分布。設(shè)電荷線密度為l l。11010 (),2ERrrrl 220 2Erl R1R2r0 1 2橫截面圖橫截面圖0210 ()rrRrl 212 擊穿時(shí)擊穿時(shí)210 0mMEErl 10 0Mr El 220 0 2mErl 由其中由其中 r0E1m, ,當(dāng)電壓升高時(shí)，當(dāng)電壓升高時(shí)，1101 2mERl 每層介質(zhì)中每層介質(zhì)中r 最小處場(chǎng)強(qiáng)最大最小

26、處場(chǎng)強(qiáng)最大,101 2Rl 此時(shí)此時(shí)10 0 rl 外層介質(zhì)先被擊穿外層介質(zhì)先被擊穿這時(shí)兩導(dǎo)體圓筒間電勢(shì)差為：這時(shí)兩導(dǎo)體圓筒間電勢(shì)差為： 2001dd2112RrrRrErEU02101100 lnln2rRRrll 10 0Mr El 0122012ln2rRRErUm 注意到注意到:擊穿時(shí)兩導(dǎo)體圓筒間電勢(shì)差為：擊穿時(shí)兩導(dǎo)體圓筒間電勢(shì)差為：2021 011 00 lnln()22rRRrll 02101010dd2rRRrrrrrll 例例4. 一半徑為一半徑為R、相對(duì)介電常數(shù)為、相對(duì)介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)的均勻介質(zhì)球中心放有點(diǎn)電荷球中心放有點(diǎn)電荷Q，球外是空氣。，球外是空氣。（1）計(jì)算球內(nèi)外

27、的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)）計(jì)算球內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)U的分布的分布;（2）球心處的極化電荷及球面上極化電荷面密度。球心處的極化電荷及球面上極化電荷面密度。 r例例3 常用的圓柱形電容器，是由半徑為常用的圓柱形電容器，是由半徑為 的長(zhǎng)直圓柱導(dǎo)體和的長(zhǎng)直圓柱導(dǎo)體和同軸的半徑為同軸的半徑為 的薄導(dǎo)體圓筒組成，并在直導(dǎo)體與導(dǎo)體圓筒的薄導(dǎo)體圓筒組成，并在直導(dǎo)體與導(dǎo)體圓筒之間充以相對(duì)電容率為之間充以相對(duì)電容率為 的電介質(zhì)的電介質(zhì).設(shè)直導(dǎo)體和圓筒單位長(zhǎng)度設(shè)直導(dǎo)體和圓筒單位長(zhǎng)度上的電荷分別為上的電荷分別為 和和 .求（求（1）電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度、電位移和極化強(qiáng)度；（）電介）電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度、電位移和極化強(qiáng)度；（）電

28、介質(zhì)內(nèi)、外表面的極化電荷面密度；（）此圓柱形電容器的電質(zhì)內(nèi)、外表面的極化電荷面密度；（）此圓柱形電容器的電容容l1R2Rrl1R2RllllSDSld解（解（1）lrlDl2rD2l0r0r2rDEerl )(21RrRrr0r1(1)2rPEerl （）（）r1r112rreeRl r2r212rreeRl2rDerl1rR2rRrr1(1)2Rl rr2(1)2Rl真空?qǐng)A柱形電真空?qǐng)A柱形電容器電容容器電容（）（）rEr02l)(21RrR21r02ddRRrrrEUl120ln2RRrl12r0ln2RRlUQC 0r C12r0ln2RRlC單位長(zhǎng)度電容單位長(zhǎng)度電容解：解：（1 1）設(shè)場(chǎng)

29、強(qiáng)分別為）設(shè)場(chǎng)強(qiáng)分別為E1 和和E2 ，電位移分別為，電位移分別為D1 和和D2 ，E1和和E2 與板極面垂直，都屬均勻場(chǎng)。先在兩層電介質(zhì)交界與板極面垂直，都屬均勻場(chǎng)。先在兩層電介質(zhì)交界面處作一高斯閉合面面處作一高斯閉合面S1，在此高斯面內(nèi)的自由電荷為零。，在此高斯面內(nèi)的自由電荷為零。由電介質(zhì)時(shí)的高斯定理得由電介質(zhì)時(shí)的高斯定理得例題例題4 4 平行板電容器兩板極的面積為平行板電容器兩板極的面積為S S，如圖所示，兩板極之間充有兩層電介質(zhì)，如圖所示，兩板極之間充有兩層電介質(zhì)，電容率分別為電容率分別為1 和和2 ，厚度分別為，厚度分別為d1 和和d2 ，電容器兩板極上自由電荷面密度為，電容器兩板極

30、上自由電荷面密度為。求（。求（1 1）各層電介質(zhì)的電位移和場(chǎng)強(qiáng)，）各層電介質(zhì)的電位移和場(chǎng)強(qiáng)，（2 2）兩層介質(zhì)表面的極化電荷面密度（）兩層介質(zhì)表面的極化電荷面密度（3 3）電容器的電容電容器的電容. . + + E E1 1E E2 2D D1 1D D2 2S S1 1d d1 1d d2 2A AB B 1 1E E2 2 2 2所以所以21DD 0d211SDSDS SD11012202,DEDE 所以所以1221EE 可見在這兩層電介質(zhì)中場(chǎng)強(qiáng)并不相等，而是和可見在這兩層電介質(zhì)中場(chǎng)強(qiáng)并不相等，而是和電容率（或相對(duì)電容率）成反比。電容率（或相對(duì)電容率）成反比。 + + E E1 1E E2

31、 2D D1 1D D2 2S S1 1d d1 1d d2 2A AB B 1 1E E2 2 2 2 + + E E1 1E E2 2D D1 1D D2 2S S1 1d d1 1d d2 2A AB B 1 1E E2 2 2 2S2 為了求出電介質(zhì)中電位移和場(chǎng)強(qiáng)的大為了求出電介質(zhì)中電位移和場(chǎng)強(qiáng)的大小，我們可另作一個(gè)高斯閉合面小，我們可另作一個(gè)高斯閉合面S2 ，如圖，如圖中左邊虛線所示，這一閉合面內(nèi)的自由電中左邊虛線所示，這一閉合面內(nèi)的自由電荷等于正極板上的電荷，按有電介質(zhì)時(shí)的荷等于正極板上的電荷，按有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理，得高斯定理，得11SD dSD SS再利用再利用11012202

32、,DEDE 可求得可求得110E 220E 方向都是由左指向右方向都是由左指向右12DD + + E E1 1E E2 2D D1 1D D2 2d d1 1d d2 2A AB B 1 1E E2 2 2 2S2（2 2）兩層介質(zhì)表面的極化電荷面密度兩層介質(zhì)表面的極化電荷面密度101EEE 11000 即：即：1111 所以所以2211 1122ABUE dE d121020ABqSCddU q=S是每一極板上的電荷，這個(gè)電容器的電容為是每一極板上的電荷，這個(gè)電容器的電容為正、負(fù)兩極板正、負(fù)兩極板A、B間的電勢(shì)差為間的電勢(shì)差為121020,EE （3 3）電容器的電容）電容器的電容12121

33、0201020ddddqS ,d , C平行板電容器被電源充電后平行板電容器被電源充電后, ,在不斷開電源的情況下在不斷開電源的情況下(1) (1) 將電容器的極板間距拉大。將電容器的極板間距拉大。(2) (2) 將均勻介質(zhì)充入兩極板之間。將均勻介質(zhì)充入兩極板之間。(3) (3) 將一導(dǎo)體平板平行地插入兩極板之間。將一導(dǎo)體平板平行地插入兩極板之間。試定性地討論兩板上的電荷、電容、極板之間電壓、場(chǎng)試定性地討論兩板上的電荷、電容、極板之間電壓、場(chǎng)強(qiáng)和儲(chǔ)存能量的變化。強(qiáng)和儲(chǔ)存能量的變化。, C,d , CUQ,d UE QUW21, CUQ,d0EUE QUW21, CUQ,d UE QUW21,

34、CQ可變，可變，U不變！不變！平行板電容器被電源充電后平行板電容器被電源充電后, ,在斷開電源的情況下在斷開電源的情況下 (1) (1) 將電容器的極板間距拉大。將電容器的極板間距拉大。(2) (2) 將均勻介質(zhì)充入兩極板之間。將均勻介質(zhì)充入兩極板之間。 (3) (3) 將一導(dǎo)體平板平行地插入兩極板之間。將一導(dǎo)體平板平行地插入兩極板之間。, d, EdU,0EE QUW21, C 試定性地討論兩板上的電荷、電容、極板之間電壓、場(chǎng)強(qiáng)試定性地討論兩板上的電荷、電容、極板之間電壓、場(chǎng)強(qiáng)和儲(chǔ)存能量的變化。和儲(chǔ)存能量的變化。, EdU0,EE QUW21, d, EdU,0EE QUW21, CQ不變，

35、不變，U可變！可變！, C例例7 一無(wú)限大各向同性均勻介質(zhì)平板厚度為一無(wú)限大各向同性均勻介質(zhì)平板厚度為d相對(duì)介電常數(shù)為相對(duì)介電常數(shù)為 r ，內(nèi)部均勻分布體電荷密度內(nèi)部均勻分布體電荷密度為為 0的自由電荷。的自由電荷。求：介質(zhì)板內(nèi)、外的求：介質(zhì)板內(nèi)、外的D E P解：解：D EP 面對(duì)稱面對(duì)稱 平板平板r0dx0取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖0 x0E處處以以 x = 0 處的面為對(duì)稱面處的面為對(duì)稱面過(guò)場(chǎng)點(diǎn)（坐標(biāo)為過(guò)場(chǎng)點(diǎn)（坐標(biāo)為x）作橫截面為）作橫截面為正方形的柱形高斯面正方形的柱形高斯面 S，設(shè)底面設(shè)底面積為積為S0 0Sxxd200022SxDSDx0 xd2dSDS0002Dd02xr0dx0

36、x0SEDr 0 00 xrPxrr10 xd2Dx0 xd2Dd02EDd00020P均勻場(chǎng)均勻場(chǎng)1. 帶電為帶電為Q的導(dǎo)體薄球殼（可看成球面）的導(dǎo)體薄球殼（可看成球面）, 半徑為半徑為R，殼內(nèi)中心處有點(diǎn)電荷殼內(nèi)中心處有點(diǎn)電荷q，已知球殼電勢(shì)為，已知球殼電勢(shì)為Ua，則殼內(nèi)，則殼內(nèi)任一點(diǎn)任一點(diǎn)P 的電勢(shì)為的電勢(shì)為rqUUaP04 對(duì)不對(duì)？對(duì)不對(duì)？【解解】根據(jù)電勢(shì)疊加原理根據(jù)電勢(shì)疊加原理0044PqQUrRqQRPrP點(diǎn)的電勢(shì)為點(diǎn)的電勢(shì)為第二章第二章 習(xí)題課習(xí)題課qQRPr0044PqQUrR0044aQqURR球殼球殼的電勢(shì)為的電勢(shì)為0044PaqqUUrR04PaqUUr0044aqQURR

37、為什么不對(duì)？為什么不對(duì)？原來(lái)原來(lái)Ua并不是并不是Q單獨(dú)存在時(shí)的電勢(shì)。單獨(dú)存在時(shí)的電勢(shì)。0044aqQURR?Q 04aQURq電勢(shì)疊加：電勢(shì)疊加：00000004444444PaaqQUrRURqqrRqqUrR（結(jié)果一樣）（結(jié)果一樣）方法二：方法二：方法三：方法三：RPPrRUE dlE dlE dl204RarqdrUr0044aqqUrR0044PaqqUUrR（結(jié)果相同）（結(jié)果相同）2. 2. 無(wú)限大均勻帶電平面的電場(chǎng)中平行放一無(wú)限大金屬平板，無(wú)限大均勻帶電平面的電場(chǎng)中平行放一無(wú)限大金屬平板， 0210 EEEE內(nèi)內(nèi)設(shè)金屬板兩面感應(yīng)電荷面密度分別為設(shè)金屬板兩面感應(yīng)電荷面密度分別為 1

38、和和 2 。由電荷守恒由電荷守恒: : 021 0222 020100 (1) (2) 聯(lián)立聯(lián)立 (1) 和和 (2) 可得可得: : 解解: : 0 1 1 2 2導(dǎo)體內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)由三個(gè)帶電平面產(chǎn)生并且導(dǎo)體內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)由三個(gè)帶電平面產(chǎn)生并且 = = 0 ： 2 , 2 0201 內(nèi)內(nèi)E 0 求：金屬板兩面的感應(yīng)電荷面密度求：金屬板兩面的感應(yīng)電荷面密度 。已知：帶電平面的電荷面密度為已知：帶電平面的電荷面密度為 0 。已知：金屬球已知：金屬球與金屬球殼同心放置與金屬球殼同心放置，球球的半徑為的半徑為 R R1、帶電為帶電為 q ；殼的半徑分殼的半徑分別為別為 R R2、R R3 帶電為帶電為 Q；求求:(

39、1):(1)電量分布；（電量分布；（2 2）場(chǎng)強(qiáng)分布；）場(chǎng)強(qiáng)分布； （3)3)球球 和和 球殼球殼 的電勢(shì)的電勢(shì)ABqqQ2R3R1R3 3q解解（1）電量均勻分布：球殼內(nèi)）電量均勻分布：球殼內(nèi)表面帶電表面帶電 -q ，外表面帶電，外表面帶電 Q+q（2 2）2 21 12 20 04 4RrRrqEA 3204BqQErRrErE = 0 （3) 3) 球的電勢(shì)球的電勢(shì)q1R3 32 21 10 04 41 1RQqRqRqU 球球3 30 04 4RQqU 殼殼1 10 01 14 4RqU2Rq2 20 02 24 4RqU qQ3R3 30 03 34 4RQqU q1R2RqqQ3R

40、3 30 03 34 4RQqU rqU0 02 24 4 rqU0 01 14 4 球殼的電勢(shì)球殼的電勢(shì)r4.4.一絕緣導(dǎo)體球不帶電，距球心一絕緣導(dǎo)體球不帶電，距球心 r r 處放一點(diǎn)電荷處放一點(diǎn)電荷+q+q，金屬球半徑金屬球半徑R R, ,求求:(1):(1)金屬球上感應(yīng)電荷在球心處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度及金屬球上感應(yīng)電荷在球心處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度及 此時(shí)導(dǎo)體球的電勢(shì)。此時(shí)導(dǎo)體球的電勢(shì)。 (2)(2)若將金屬球接地，球上的凈電荷為何？若將金屬球接地，球上的凈電荷為何？o解：解：(1) (1) 如圖如圖+q+qrqEE0qEE20 4qrqEEer q-導(dǎo)體上感應(yīng)電荷都在導(dǎo)體上感應(yīng)電荷都在球表面，距球心

41、球表面，距球心R: :000444ioqqqUrRr電荷守恒電荷守恒qis 0o+q+qrqEq-E04400rqRqqrRq 接地接地 即即0U 設(shè)設(shè): :感應(yīng)電量為感應(yīng)電量為O點(diǎn)的電勢(shì)為點(diǎn)的電勢(shì)為0 0 則則q(2) (2) 若將金屬球接地，球上的凈電荷為何？若將金屬球接地，球上的凈電荷為何？o+qrq-5. 今有兩個(gè)電容值均為今有兩個(gè)電容值均為C的電容器，其帶的電容器，其帶電量分別為電量分別為Q和和2Q，求兩電容器在并聯(lián)前，求兩電容器在并聯(lián)前后總能量的變化？后總能量的變化？CC+Q+2Q-2Q-Q前前C+3Q-3QC后后【解解】 并聯(lián)前并聯(lián)前222025222QQQWCCC并聯(lián)后并聯(lián)后電

42、容為電容為2C, 帶電量為帶電量為3QC+Q-QC+2Q-2Q后后221319224QQWCC2220159244QQQWWWCCC為什么能量減少了？能量到哪里去了？為什么能量減少了？能量到哪里去了？問(wèn)題是：并聯(lián)以后兩個(gè)電容器上的問(wèn)題是：并聯(lián)以后兩個(gè)電容器上的電量還是原來(lái)的分布嗎？電量還是原來(lái)的分布嗎？設(shè)設(shè)C+q1-q1C+q2-q2C+q1-q1C+q2-q2求求 q q1 1, ,q q2 2:123(1)qqQ12(2)qqCC由（由（2 2）得）得1232qqQ由（由（1 1）得）得12qqC+1.5Q-1.5QC+1.5Q-1.5Q原來(lái)是在電量的流動(dòng)原來(lái)是在電量的流動(dòng)過(guò)程中，電場(chǎng)的能

43、量過(guò)程中，電場(chǎng)的能量損失掉了一些。損失掉了一些。 6. 電路如圖，電容電路如圖，電容C1上帶電上帶電Q1，電容，電容C2不帶電，不帶電，閉合開關(guān)閉合開關(guān)，求電容，求電容C1和和C2各帶電量多少，并討各帶電量多少，并討論閉合前后的能量變化。論閉合前后的能量變化。 121QQQ解：解：2211CQCQ1212112111;QCCCQQCCCQ)(2;22121121CCQCQ比較等效電容的比較等效電容的QW、u7. 將兩電容器串聯(lián)、并聯(lián)，分別充電到將兩電容器串聯(lián)、并聯(lián)，分別充電到u2、u21C2Cu1C2CCUQ 221CUW 21CCC 并并2121CCCCC 串串u)CC(Q212 uCCCC

44、Q21211 uCCCC2121 221221u)CC(W 221211221)u()CC(CCW 142212121 )CC(CCWW212214CC)CC( u2u21C2C例例3、一個(gè)帶電金屬球、一個(gè)帶電金屬球半徑半徑R1，帶電量，帶電量q1 ，放在另一個(gè)帶電球殼內(nèi)，放在另一個(gè)帶電球殼內(nèi)，其內(nèi)外半徑分別為其內(nèi)外半徑分別為R2、R3，球殼帶電量為，球殼帶電量為 q 。試求此系統(tǒng)的電荷、。試求此系統(tǒng)的電荷、電場(chǎng)分布以及球與球殼間的電勢(shì)差。電場(chǎng)分布以及球與球殼間的電勢(shì)差。1R3R2R3q2q1q23qqq 由電荷守恒可得由電荷守恒可得021 qq由高斯定律可得由高斯定律可得由電荷分布和高斯定律及對(duì)稱性可得由電荷分布和高斯定律及對(duì)稱性可得解：設(shè)球殼內(nèi)外表面電量：解：設(shè)球殼內(nèi)外表面電量：q2,q32121 4RrRrqEo 高斯面高斯面r)11(441212121RRqdrrqUoRRoAB 321 4R