第九章 矩陣特征值和特征向量

1、第九章第九章 矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量 /* Eigen-values and Eigen-vectors of matrix */ 待求解的問題待求解的問題：矩陣的：矩陣的特征值特征值 和和特征向量特征向量x 0，滿足滿足 :Ax= x or ( I-A)x =0Eigen-valueEigen-vector工程技術(shù)中的許多問題例如電磁振蕩、橋梁振動、機械振動等，都?xì)w結(jié)為求矩陣的特征值 和特征向量問題-代數(shù)計算中的重要課題。特征向量特征向量: 已知已知A的特征值的特征值 ，求齊次線性方程，求齊次線性方程組組 的非零解的非零解x, （ ,所以有非零解。）為所以有非零解。）為

2、A對應(yīng)于對應(yīng)于 的特征向量。的特征向量。 ()0IA x0IA 如何求解如何求解?11( )nnnIAcc 11( )0nnncc 12,n特征值特征值：已知：已知A=(aij)n n，求，求A的的特征多項式特征多項式的根的根有有n個零點（實或復(fù)，計重數(shù)）：個零點（實或復(fù)，計重數(shù)）：即求解代數(shù)方程即求解代數(shù)方程A的特征值從理論上講，可利用代數(shù)方程求根求出特征值，再從理論上講，可利用代數(shù)方程求根求出特征值，再利用線性方程組的解法，求出特征向量。利用線性方程組的解法，求出特征向量。 缺點：工作量大且特征向量對矩陣的依賴很高；缺點：工作量大且特征向量對矩陣的依賴很高；當(dāng)矩陣階數(shù)較高時，高次代數(shù)方程求

3、根的計算穩(wěn)定當(dāng)矩陣階數(shù)較高時，高次代數(shù)方程求根的計算穩(wěn)定性較差。性較差。另外，實際問題中的具體要求不同，有時只要求另外，實際問題中的具體要求不同，有時只要求A的絕對值最大的特征值（主特征值）及相應(yīng)的特征的絕對值最大的特征值（主特征值）及相應(yīng)的特征向量；有時又要求全部的特征值及特征向量。根據(jù)向量；有時又要求全部的特征值及特征向量。根據(jù)這兩種不同要求，求矩陣的特征值與特征向量的方這兩種不同要求，求矩陣的特征值與特征向量的方法也大致分為兩類：迭代法（冪法反冪法）、變換法也大致分為兩類：迭代法（冪法反冪法）、變換法。法。關(guān)于矩陣特征值及特征向量的一些結(jié)論：關(guān)于矩陣特征值及特征向量的一些結(jié)論： Th1.

4、 （i=1,n）為）為A的特征值，則有的特征值，則有 1. 2. det(A)= 11( )nniiiiiatr Ai1niiTh2、A B(相似相似)，即存在可逆陣，即存在可逆陣T，使，使B=T-1AT,則則 1. A與與B有相同的特征值。有相同的特征值。 2. 設(shè)設(shè)x是是B的關(guān)于的關(guān)于 的特征向量的特征向量, 則則Tx是是A的關(guān)于的關(guān)于 的特征向量。的特征向量。Th3、（、（Gershgorins定理定理,園盤定理）：園盤定理）：A=(aij),則則A的每個特征值必在下述某個園盤中：的每個特征值必在下述某個園盤中： 1, 1,niiijjj iaainA的每行元素確定一個圓盤，共的每行元素

5、確定一個圓盤，共n個。個。Th3 表明表明A的任一特征值必在這的任一特征值必在這n個圓盤中的某一個內(nèi)。個圓盤中的某一個內(nèi)。證明：設(shè)證明：設(shè) 為為A的任一特征值，的任一特征值，x 0為對應(yīng)特征向為對應(yīng)特征向 量，則有量，則有( I-A)x=0, 設(shè)設(shè)|xi|=max|xj|,顯然顯然xi 0, 第第i個方程：個方程：1,niiiijjjj iaxa xijij iiiijj iiaxaaxTh3 的證明過程表明的證明過程表明A的任一特征值必在其對應(yīng)的任一特征值必在其對應(yīng)特征向量模最大的分量的指標(biāo)所對應(yīng)的圓盤中。特征向量模最大的分量的指標(biāo)所對應(yīng)的圓盤中。 稱為稱為A對應(yīng)于向量對應(yīng)于向量x的的Ray

6、leigh商商。 Def1. Ann 實對稱陣實對稱陣，0 xRn,( ),Ax xR xx xTh4. Ann 實對稱陣，其特征值依次排序為實對稱陣，其特征值依次排序為 , 對應(yīng)特征向量對應(yīng)特征向量 組組成規(guī)范正交系，即成規(guī)范正交系，即 ，則，則 12n12,nx xx,ijijx x1. 0 xRn, 1,nAx xx x2.10,max,nx RAx xx x 3.0,min,nnx RAx xx x Proof.1. 0 xRn, forms an orthogonal basis of Rn , so it is possible to write x as where not al

7、l could be zero. Thus we have 12,nx xx1niiixxin2121nniinii,Ax xx x1111,nniijjijnniijjijAxxxx2121niiinii21121niinii1=2. From 1 we know so we only need to prove there exists an x 0 such that 1,Ax xx x1,0, ,nAx xxRx x Taking x=x1, we get111 1111111,Ax xx xx xx x3. Proof is similar to 2.1 冪法與反冪法冪法與反冪法（按

8、模最大與最小特征值的求法）（按模最大與最小特征值的求法） F冪法冪法：求模最大的特征值求模最大的特征值主特征值及相應(yīng)特征主特征值及相應(yīng)特征 向量向量的的迭代法迭代法。 用用A的乘冪構(gòu)造迭代序列，因此稱為冪法。的乘冪構(gòu)造迭代序列，因此稱為冪法。 條件：條件：A Rn n具有具有線性初等因子線性初等因子 A有有n個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量。 優(yōu)點：簡單，適合稀疏矩陣。優(yōu)點：簡單，適合稀疏矩陣。 缺點：有時收斂速度很慢。缺點：有時收斂速度很慢。Algorithm 1. suppose A has eigen-values (This implies is a single real r

9、oot of the characteristic polynomial; else )，and n independent eigen-vectors . 123n11112,nx xxTake an initial vector 0nvRstart the iteration system 102110,()kkkvAvvAvvAvA vConvergence analysis of Algorithm 1.01 1221,0nnvxxx10112212 1222 nnnnnvAvAxAxAxxxx 1 11222211 12211 kkkknnnkkknnnvxxxxxx .11,1,i

10、in10,2 kikin 1 11,kkvx k 1x101 1x1 is an eigen-vector of A, and is also an eigen-vector corresponding to of A. The same is 11 1kkxv 111121011 12211kkkknknnvAvxxx11 1kkvx 1111 11kkkvxvk Eigen-vector1,1,11,2,211,kkkkknk nvvvvvv1,1,11, 0 ,kikik ik ik ivvvkvv Eigen value 1Th5. A Rn n有有n個線性無關(guān)特征向量個線性無關(guān)特征向

11、量 主特征值主特征值 1滿足滿足則則做迭代做迭代有有 12,nx xx123n001 12210,0nnnvRvxxx 10kkkvAvA v1 11,kkvx k 1,1, kik ivkv Principal eigen value 1summary10kkkvAvA v1,1,11, 0 ,kikik ik ik ivvvvviteration system1 11,kkvx k eigen-vector corresponding to 11. 收斂速度：主要由來收斂速度：主要由來 確定，確定，r 越小，越小，收收斂越快。斂越快。 時收斂可能很慢。時收斂可能很慢。2. 若有若有 ，說明

12、，說明 1 0， 以及以及 都不能作為近似都不能作為近似特征向量，需要重新取初始向量再迭代。特征向量，需要重新取初始向量再迭代。3. 用冪法進(jìn)行計算時，若用冪法進(jìn)行計算時，若 在計算機中會產(chǎn)生在計算機中會產(chǎn)生“溢出溢出”或或 “機器零機器零”的情的情況（超過計算機字長所能表示的精度）況（超過計算機字長所能表示的精度） note21r1r 11 10kkvx 1 1x11 1kkxv 11 ( or 1),1,1,if 0,(0)k ikik ivvv Algorithm 2(improvement of A.1). 00011011221221, , ( ), (), ()kkkkkvuvvv

13、Auumax vvvAuumax vvvAuumax vConvergence analysis of A.2.00001100110202002212200202, , ( )()(), ()()max()() =vuvAvvvAuAvumax vmax AvA vA vmax AvvvAuuA vmax Avmax vmax AvA v20002200000100()() maxmax, max()max()kkkkkkmax AvA vmax AvA vA vA vA vvuAvA vMax(x)取出向量取出向量x中模最大的分量中模最大的分量2011 122111kknkkkniiinn

14、iA vxxxx 211 1221100211 1221111max()maxmax( )kkknnnkkkkkknnnkxxxA vuA vxxxxx 對應(yīng)對應(yīng) 1的特征向量的特征向量x1的規(guī)范化向量的規(guī)范化向量 211 12211011101211 12211211 122111211 12maxmaxmaxmaxmaxkkknnnkkkkkknnnkkknnnkkxxxAvvA vxxxxxxvx 1121111 11111 1maxmaxkknnnkkkxxxx Th6. A Rn n有有n個線性無關(guān)特征向量個線性無關(guān)特征向量 主特征值主特征值 1滿足滿足 則則做迭代做迭代有有 12,

15、nx xx123n0001 12210,0nnnvRuvxxx 001maxkkkkkuvvAuvuv111, maxmax,kkxukxvk 2平面旋轉(zhuǎn)矩平面旋轉(zhuǎn)矩陣陣雅可比法的基本思想雅可比法的基本思想:設(shè)法用一系列簡單的正角陣設(shè)法用一系列簡單的正角陣Rk , 逐步地將逐步地將 A 化為近化為近似對角陣似對角陣(非對角元近似化為非對角元近似化為0)。即選擇。即選擇Rk , 令令 0112, , 1,2, s.t. diag(,), TkkkkknAAAR ARkAk A的全部特征值的全部特征值問題的關(guān)鍵問題的關(guān)鍵：如何構(gòu)造正交陣：如何構(gòu)造正交陣Rk ？ 平面旋轉(zhuǎn)變換平面旋轉(zhuǎn)變換雅可比算法雅

16、可比算法:設(shè)設(shè)Ak-1 (k1, A0 =A)未對角化，即非對角元中有較大的元素，未對角化，即非對角元中有較大的元素，設(shè)非對角元中按模最大的元素是設(shè)非對角元中按模最大的元素是11cossin1,1sincos11kRp qpq行行(1)(1)(),kkpqqpaapq不妨設(shè)引入平面旋轉(zhuǎn)矩陣引入平面旋轉(zhuǎn)矩陣?yán)美肦k(p,q)對對Ak-1作旋轉(zhuǎn)變換，使作旋轉(zhuǎn)變換，使 中的非對角元中的非對角元1 TkkkkAR AR( )( )0kkpqqpaa,4 4 (1)(1)(1)22kpqkkppqqatgaa 應(yīng)滿足應(yīng)滿足常將常將 限制在限制在( -1)( -1)( -1) 0, 4 -4kkppq

17、qkpqif aaif aelse，對對Jacobi算法有幾點說明：算法有幾點說明： 1. 構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣時只需計算構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣時只需計算sin ,cos ,為了防止為了防止舍入誤差擴(kuò)大，舍入誤差擴(kuò)大，sin ,cos 按下面公式計算：按下面公式計算： ( -1)( -1)( -1) sgn4kkkppqqpqif aaa， 否則，否則，(1)2(1)(1)2222tan1tan21tantan2tan101tan1kpqkkppqqaaaCCCC (1)(1)(1)2222( -1)( -1)( -In case of tan too great, we choose21 0sgn( )tan

18、1tan 11 011cos1sincos kkppqqkpqkkkpqppqqaaCaCCtCCCCCCCttifaaa(1)1)(1)(1)1, 2kpqkkppqqawetaket as tCaa 2. 由于由于Ak 是對稱陣，因此只要計算上三角（或下三角）是對稱陣，因此只要計算上三角（或下三角）元素即可，既節(jié)省計算量，有能保證元素即可，既節(jié)省計算量，有能保證Ak 嚴(yán)格對稱。嚴(yán)格對稱。 3. 1 TkkkkAR AR的計算過程如下：的計算過程如下：( )( )( -1)( -1)( )( )( -1)( -1)( )( -1)2( -1)( -1)2( )( -1)2( -1)( -1)

19、2cossin ,sincoscossin2sin sinsin2cos kkkkippiipiqkkkkiqqiipiqkkkkpppppqqqkkkkqqpppqqqaaaaip qaaaaaaaaaaaa ( )( )( )( -1) 0 , , , kkpqqpkkijijaaaai jp q 4. Ak 中經(jīng)旋轉(zhuǎn)變換化為零的元素，可能在中經(jīng)旋轉(zhuǎn)變換化為零的元素，可能在Ak+1中又成為中又成為非零元素，因此不能期望通過有限次旋轉(zhuǎn)變換將原矩陣非零元素，因此不能期望通過有限次旋轉(zhuǎn)變換將原矩陣A對角化，但可證對角化，但可證 12 diag(,), knAk ( )( )( )12111( )

20、( )( )21222( )( )( )( )1200, kkknkkknkkkkkknnnnnnaaaaaaEDaaaa證明證明Jacobi法的收斂性法的收斂性222222(1)(1)11(1)(1)22222(1)(1)11222221112202, 2,max1221( -1)2 1( -1)kkkkpqkkpqFFFFkkpqijijkkkpqpqkFFkkkkFFFFkFkEEaDDaaaEnnaaEnnEEEEnnn nEn nE2120 , 2diag(,), Fknas knAk 由前面推論知由前面推論知 5. 實際計算時，當(dāng)實際計算時，當(dāng)k充分大或者當(dāng)充分大或者當(dāng) 時迭代終止

21、，時迭代終止，( )( ) or maxkkijijijijaa( ),1,2,kiiiainA的全部近似特征值的全部近似特征值 6. 特征向量的計算：設(shè)經(jīng)過特征向量的計算：設(shè)經(jīng)過m次旋轉(zhuǎn)變換迭代結(jié)束，則次旋轉(zhuǎn)變換迭代結(jié)束，則-111-1112-1 , , ,(, ,) TTTmmmmnmmTTTmmmmmmTmmmAR RR A RRRlet PRRRP orthogonalPA PdiaAAgPP 說明說明Pm的第的第j列就是列就是 j的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量的近似值。的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量的近似值。實際計算時，并不是保留實際計算時，并不是保留 到最后到最后才形成才形成Pm，而是逐步形成的。，而是逐

22、步形成的。令令 (1,2,)TkRkm0-1, , 1,2,TkkkPI PP Rkm每一步的計算公式為每一步的計算公式為( )( -1)( -1)( )( -1)( -1)( )( -1)cossinsincos, , 1,2, kkkipipiqkkkiqipiqkkijijppppppppjp qin 7. 對經(jīng)典對經(jīng)典Jacobi法的改進(jìn)法的改進(jìn)-避免每次在非對角元中選避免每次在非對角元中選主元素花費太多時間：主元素花費太多時間：循環(huán)雅可比法和雅可比過關(guān)法循環(huán)雅可比法和雅可比過關(guān)法。雅可比過關(guān)法雅可比過關(guān)法：1. 設(shè)閾值設(shè)閾值T0(一般取為一般取為 )，在，在A的非對角的非對角 元中按

23、行（或列）掃描（只需掃描上（或下）三角元元中按行（或列）掃描（只需掃描上（或下）三角元素），即按如下順序與閾值素），即按如下順序與閾值T0作比作比 較：較： 若若 |aij|j+1時，時，bij=0,則稱則稱B為上為上Hessenberg陣陣(或準(zhǔn)上三角陣或準(zhǔn)上三角陣)，即，即1112121222 -1,nnn nnnbbbbbbBbbi=j+1i j+1理論基礎(chǔ)：理論基礎(chǔ)：A是是n階實矩陣，存在階實矩陣，存在正交陣正交陣P，s.t.11121222,ssTssAAAAAP APA,1,2,iiA is是是1階或階或2階方陣。若階方陣。若Aii 是是1階的，階的，則它是則它是A的一個實特征值；

24、若的一個實特征值；若Aii 是是2階的，則它的兩階的，則它的兩個特征值是個特征值是A的一對共軛復(fù)特征值。的一對共軛復(fù)特征值。 定理說明：定理說明：用正交陣相似變換可將一般實矩陣約化為上用正交陣相似變換可將一般實矩陣約化為上Hessenberg陣，將實對稱陣約化為對稱三對角陣。陣，將實對稱陣約化為對稱三對角陣。正交相似變換不改變特征值和特征向量，因此求原矩陣正交相似變換不改變特征值和特征向量，因此求原矩陣的特征值問題就轉(zhuǎn)化為求上的特征值問題就轉(zhuǎn)化為求上Hessenberg陣或?qū)ΨQ三對角陣或?qū)ΨQ三對角陣的特征值問題。陣的特征值問題。問題的關(guān)鍵問題的關(guān)鍵：如何將一般實矩陣正交約化為上：如何將一般實矩

25、陣正交約化為上Hessenberg陣，將實對稱陣約化為對稱三對角陣？陣，將實對稱陣約化為對稱三對角陣？初等反射陣初等反射陣Def122,1Tnwwwww21121221222121 22221 22-2221 2nTnnnnww ww ww www wHIwww ww ww初等反射陣初等反射陣性質(zhì)性質(zhì):221. -2-2;2. -2-2-44;3. TTTTTTTTTTHIwwIwwHH HHIwwIwwIwww w w wIHI對稱、正交、對稱、正交、對合對合初等反射陣的初等反射陣的幾何意義幾何意義Swv=x+yyx-yv=x-y: 0, 0TTSw xSx w x, , , ,-22;-2

26、2-nTTTTvRvxy xS ySykwHxIwwxxww xxHyIwwykwww kwkwyHvx y v是是v關(guān)于平面關(guān)于平面S的鏡面反射。的鏡面反射。初等反射陣將初等反射陣將 Rn 中任意向量關(guān)于以中任意向量關(guān)于以w為法向量且過原點的超為法向量且過原點的超平面做鏡面反射平面做鏡面反射。初等反射陣的作用：對向量作變換初等反射陣的作用：對向量作變換Proposition22,nxyRxyHHxy則 初等反射陣 ，使。證明：令222212()TTxywwxyxyHIxyxy初等反射陣。2222)(2)(2yxxyxxyxxxyxyxyxxHxTTTT)( 2)(22xyxxyyxyyxxx

27、yxyxyxTTTTTTTT2222yxyyxxHx)(Corollary1211222120,2,/2nTTxRxxeuuHIIuuHxeuuxeu 初等反射陣使。1Proof: Taking , we get the result from the proposition immediately.ye111222222222121212211 ( ,) ,(, )111()(2)2221(22)()2TTnnnnxxxu xexxxuxxxxxxxxx 說 明 ： 的 取 法 ：設(shè) 11112sgn( )xxxxx若 與 異號，則的有效數(shù)字可能損失，所以取 與 同號，即取。結(jié)論結(jié)論推論說明

28、：通過初等反射陣即可將任何非零向量推論說明：通過初等反射陣即可將任何非零向量約化成只有一個非約化成只有一個非0 0元素的向量。元素的向量。 nxxxx2112111sgn()()TxxxuxeHIuu 10 0Hxe注意：計算注意：計算 時可能上溢或下時可能上溢或下溢，為防止溢出，將溢，為防止溢出，將x 規(guī)范化，規(guī)范化，1221121sgn( )sgn( )()niixxxx,max1inixxxxx21122,(),TTuuHIu uIHH xH xH xe 用正交相似變換用正交相似變換(初等反射陣初等反射陣)約化矩陣為約化矩陣為Hessenberg陣陣11121(1)2122211121(

29、1)(1)212212nnnnnnaaaaaaaAAAAAaaa0(1)2111121111 .0,:AHH Ae （ ）設(shè)否 則 這 一 步 不 需 約 化 。選 擇 初 等 反 射 陣， 使1221211211121(1)1211 11111 1sgn()()()niiTaaauAeHIuu (n-1) (n-1)維維1 (1)1(1) 11111121111111110 0101000101010000nnTTTnRHRRHHR RRIH HIHH 令正交、對稱、對合令(1)111212111(1)(1)1211221(2)(2)(2)1112132 12 12 (2)(2)(2)222

30、3(2) 1(2) (2)0TnnnnaA HAR ARH AH A HAAAAA111)2(11aA次正交化，即有進(jìn)行了（設(shè)對)1.20kAB(2)( )( )( )111211,11(2)( )1222T( )( )( )k 1111,1( )( )( )1,1,11,( )( )( ),1( )( )11121(1)1kkkkknkkkkkkkkkkkk kknkkkkkkkknkkkn kn knnkkkkkaaaaaaaARA RaaaaaaaaaAAA( )3()( )( )2223() 1() ()0kkn kkkn kn kn kAA( )220kA設(shè)，221() 1kkkkn

31、 kHH Ae （ ）選擇初等反射陣，使122( )( )1,1( )1,( )2211sgn()()nkkkkki ki kkkkkkkkkkTkkkkaaauAeHIu u ()()( )( )( )1112131( )( )2223( )( )( )111213( )1230,000k kkknknkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkIRHAAAHAR A RH AH AHAAAHeH AH令重復(fù)這一過程直到 122112211(2)122(3)233(1)1HnnnnnnnARR R AR RRaxxxxaxxaxessenberga上陣結(jié)論結(jié)論122221122,10,12,

32、0Hn nniinnARH HHRinHRR R AR RRCessenberg則 初等反射陣也是初等反射陣，使上陣122,( )( )TnTiiPR RRP PI PP APCAC令 正交設(shè)x是c 的對應(yīng)于的特征向量，則有 ()()TCxP APxxA PxPx說明說明 P x 是是 A 對應(yīng)于對應(yīng)于 的特征向量。的特征向量。A的特征值和特征向量的特征值和特征向量若若A是實對稱陣，則是實對稱陣，則C也是實對稱陣也是實對稱陣(CT=PTATP=PTAP=C),故故C為對稱三對角陣，即為對稱三對角陣，即關(guān)于實對稱陣關(guān)于實對稱陣1112211nnncbbcbCbbc4 QR方法方法是一種變換方法，

33、計算一般中小型矩陣全部特征值的是一種變換方法，計算一般中小型矩陣全部特征值的最有效方法之一。最有效方法之一。主要用于計算：主要用于計算：1.1.上上Hessenberg陣的全部特征值陣的全部特征值; ; 2.2.對稱三對角矩陣的全部特征值。對稱三對角矩陣的全部特征值。對于一般矩陣或?qū)ΨQ陣，先用對于一般矩陣或?qū)ΨQ陣，先用Householder方法將其方法將其約化為上約化為上Hessenberg陣或?qū)ΨQ三對角陣，再用陣或?qū)ΨQ三對角陣，再用QR法法計算全部特征值。計算全部特征值。優(yōu)點：算法穩(wěn)定，收斂快。優(yōu)點：算法穩(wěn)定，收斂快。 矩陣的矩陣的QR分解分解12(,) ,0Tijnijijxx xxxxx

34、 xP不全為 ，則可選旋轉(zhuǎn)陣使Lemma1 （旋轉(zhuǎn)對向量的作用）（旋轉(zhuǎn)對向量的作用）2212( ,) , , 0,111111TijniijjijPxx xxxxxxxxcsPsc其中i行j行i列j列證：證：P左乘左乘x只對的第只對的第i,j個元素有影響，其它元素不變。個元素有影響，其它元素不變。 22, 0iijijjijxcxsxxxxsxcx （旋轉(zhuǎn)對矩陣的作用）（旋轉(zhuǎn)對矩陣的作用）A A非奇異，則存在旋轉(zhuǎn)陣非奇異，則存在旋轉(zhuǎn)陣P1, , P2, , , Pn, ,s.t.1112122212213nnnnnrrrrrP PP PARr為上三角陣，且對角線元素為上三角陣，且對角線元素 0

35、1,2,iirin，,Theorem2證明：證明：A=A1非奇異，非奇異，A1的第一列一定存在的第一列一定存在ai1 0, 1. 若若ai1 0, 由引理由引理1，存在旋轉(zhuǎn)陣，存在旋轉(zhuǎn)陣 , s.t. 21311,nPPP(2)(2)(2)(2)(2)(2)1112122211,1312111122nnnnnnnraaaaP PP P APAAaa2. 同理，同理， 若若 ,由引理由引理1, 存在旋轉(zhuǎn)陣存在旋轉(zhuǎn)陣 , s.t.32422,nPPP(2)20ia(2)(2)(2)(3)(3)(3)(3)(3)(3)111213122232n2423222 1133333AAnnnnnnraaaraaPP PPPAaaaa3. 重復(fù)上述過程，得到重復(fù)上述過程，得到 , s.t.121,nP PP1112122211nnnnnrrrrrPPARr111111, TTTnTTTnAP PP RQAQRP PP由定理知，令正交陣，則 矩陣的矩陣的QR分解分解(,ORAAQRAQRR矩陣的分解） 非奇異可分解為正交陣 與上三角陣 之乘積，即且當(dāng) 的對角元素都為正時分解唯一。Theorem3下三下三角角正交陣正交陣上三角陣上三角陣證證( (僅證唯一性，反正僅證唯一性，反正) )：設(shè)：設(shè)1111,AQRQ RR RQ Q，為 非 奇 異 上 角 陣 ，且 對 角 元 素 都