計(jì)算流體力學(xué)中有限差分法有限體積法和有限元法的區(qū)別

1、有限元法，有限差分法和有限體積法的區(qū)別 1. FDM1.1 概念有限差分方法(FDM)是計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運(yùn)用。該方法將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)代替連續(xù)的求解域。有限差分法以Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)等方法，把控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值的差商代替進(jìn)行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。該方法是一種直接將微分問(wèn)題變?yōu)榇鷶?shù)問(wèn)題的近似數(shù)值解法，數(shù)學(xué)概念直觀，表達(dá)簡(jiǎn)單，是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法。1.2 差分格式 （1）從格式的精度來(lái)劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。（2）從差分的空間形式來(lái)考慮，可分為中心格式和逆風(fēng)格式。（3）考慮時(shí)間

2、因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見(jiàn)的差分格式，主要是上述幾種形式的組合，不同的組合構(gòu)成不同的差分格式。差分方法主要適用于有結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，網(wǎng)格的步長(zhǎng)一般根據(jù)實(shí)際地形的情況和柯朗穩(wěn)定條件來(lái)決定。1.3 構(gòu)造差分的方法 構(gòu)造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)方法。其基本的差分表達(dá)式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計(jì)算精度，后兩種格式為二階計(jì)算精度。通過(guò)對(duì)時(shí)間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計(jì)算格式。2. FEM2.1 概述有限元方法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解

3、思想是把計(jì)算域劃分為有限個(gè)互不重疊的單元，在每個(gè)單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將微分方程中的變量改寫(xiě)成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。2.2 原理有限元方法最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)，后來(lái)隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展慢慢用于流體力學(xué)、土力學(xué)的數(shù)值模擬。在有限元方法中，把計(jì)算域離散剖分為有限個(gè)互不重疊且相互連接的單元，在每個(gè)單元內(nèi)選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線形組合來(lái)逼近單元中的真解，整個(gè)計(jì)算域上總體的基函數(shù)可以看為由每個(gè)單元基函數(shù)組成的，則整個(gè)計(jì)算域內(nèi)的解可以看作是由

4、所有單元上的近似解構(gòu)成。在河道數(shù)值模擬中，常見(jiàn)的有限元計(jì)算方法是由變分法和加權(quán)余量法發(fā)展而來(lái)的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。根據(jù)所采用的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)的不同，有限元方法也分為多種計(jì)算格式。（1）從權(quán)函數(shù)的選擇來(lái)說(shuō)，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法；（2）從計(jì)算單元網(wǎng)格的形狀來(lái)劃分，有三角形網(wǎng)格、四邊形網(wǎng)格和多邊形網(wǎng)格；（3）從插值函數(shù)的精度來(lái)劃分，又分為線性插值函數(shù)和高次插值函數(shù)等。不同的組合同樣構(gòu)成不同的有限元計(jì)算格式。對(duì)于權(quán)函數(shù)，伽遼金(Galerkin)法是將權(quán)函數(shù)取為逼近函數(shù)中的基函數(shù)；最小二乘法是令權(quán)函數(shù)等于余量本身，而內(nèi)積的極小值則為對(duì)代求系數(shù)的平方誤差最??；在配置法中，

5、先在計(jì)算域內(nèi)選取N個(gè)配置點(diǎn)。令近似解在選定的N個(gè)配置點(diǎn)上嚴(yán)格滿足微分方程，即在配置點(diǎn)上令方程余量為0。插值函數(shù)一般由不同次冪的多項(xiàng)式組成，但也有采用三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)組成的乘積表示，但最常用的多項(xiàng)式插值函數(shù)。有限元插值函數(shù)分為兩大類，一類只要求插值多項(xiàng)式本身在插值點(diǎn)取已知值，稱為拉格朗日(Lagrange)多項(xiàng)式插值；另一種不僅要求插值多項(xiàng)式本身，還要求它的導(dǎo)數(shù)值在插值點(diǎn)取已知值，稱為哈密特(Hermite)多項(xiàng)式插值。單元坐標(biāo)有笛卡爾直角坐標(biāo)系和無(wú)因次自然坐標(biāo)，有對(duì)稱和不對(duì)稱等。常采用的無(wú)因次坐標(biāo)是一種局部坐標(biāo)系，它的定義取決于單元的幾何形狀，一維看作長(zhǎng)度比，二維看作面積比，三維看作體積比。

6、在二維有限元中，三角形單元應(yīng)用的最早，近來(lái)四邊形等參元的應(yīng)用也越來(lái)越廣。對(duì)于二維三角形和四邊形電源單元，常采用的插值函數(shù)為有Lagrange插值直角坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)及二階或更高階插值函數(shù)、面積坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)、二階或更高階插值函數(shù)等。2.3 基本原理與解題步驟對(duì)于有限元方法，其基本思路和解題步驟可歸納為：(1)建立積分方程，根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理，建立與微分方程初邊值問(wèn)題等價(jià)的積分表達(dá)式，這是有限元法的出發(fā)點(diǎn)。(2)區(qū)域單元剖分，根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實(shí)際問(wèn)題的物理特點(diǎn)，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元?jiǎng)澐质遣捎糜邢拊椒ǖ那捌跍?zhǔn)備工作，這部分工作量

7、比較大，除了給計(jì)算單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)和確定相互之間的關(guān)系之外，還要表示節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，同時(shí)還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點(diǎn)序號(hào)和相應(yīng)的邊界值。(3)確定單元基函數(shù)，根據(jù)單元中節(jié)點(diǎn)數(shù)目及對(duì)近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的，由于各單元具有規(guī)則的幾何形狀，在選取基函數(shù)時(shí)可遵循一定的法則。(4)單元分析：將各個(gè)單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達(dá)式進(jìn)行逼近；再將近似函數(shù)代入積分方程，并對(duì)單元區(qū)域進(jìn)行積分，可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)點(diǎn)的參數(shù)值)的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程。(5)總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區(qū)

8、域中所有單元有限元方程按一定法則進(jìn)行累加，形成總體有限元方程。(6)邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)邊界條件(狄里克雷邊界條件)、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對(duì)于自然邊界條件，一般在積分表達(dá)式中可自動(dòng)得到滿足。對(duì)于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對(duì)總體有限元方程進(jìn)行修正滿足。(7)解有限元方程：根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值計(jì)算方法求解，可求得各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值。3. 有限體積法有限體積法（FiniteVolumeMethod）又稱為控制體積法。其基本思路是：將計(jì)算區(qū)域劃分為一系列不重復(fù)的控

9、制體積，并使每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)周圍有一個(gè)控制體積；將待解的微分方程對(duì)每一個(gè)控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數(shù)是網(wǎng)格點(diǎn)上的因變量的數(shù)值。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的變化規(guī)律，即假設(shè)值的分段的分布的分布剖面。從積分區(qū)域的選取方法看來(lái)，有限體積法屬于加權(quán)剩余法中的子區(qū)域法；從未知解的近似方法看來(lái)，有限體積法屬于采用局部近似的離散方法。簡(jiǎn)言之，子區(qū)域法屬于有限體積發(fā)的基本方法。有限體積法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義，就是因變量在有限大小的控制體積中的守恒原理，如同微分方程表示因變量在無(wú)限小的控制體積中的守恒原理一樣。限體積法得出的離散方程，要求

10、因變量的積分守恒對(duì)任意一組控制體積都得到滿足，對(duì)整個(gè)計(jì)算區(qū)域，自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優(yōu)點(diǎn)。有一些離散方法，例如有限差分法，僅當(dāng)網(wǎng)格極其細(xì)密時(shí)，離散方程才滿足積分守恒；而有限體積法即使在粗網(wǎng)格情況下，也顯示出準(zhǔn)確的積分守恒。就離散方法而言，有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的變化規(guī)律（既插值函數(shù)），并將其作為近似解。有限差分法只考慮網(wǎng)格點(diǎn)上的數(shù)值而不考慮值在網(wǎng)格點(diǎn)之間如何變化。有限體積法只尋求的結(jié)點(diǎn)值，這與有限差分法相類似；但有限體積法在尋求控制體積的積分時(shí)，必須假定值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的分布，這又與有限單元法相類似。在有限體積法中，插值函

11、數(shù)只用于計(jì)算控制體積的積分，得出離散方程之后，便可忘掉插值函數(shù)；如果需要的話，可以對(duì)微分方程中不同的項(xiàng)采取不同的插值函數(shù)。4. 比較分析有限差分法（FDM）:直觀，理論成熟，精度可眩但是不規(guī)則區(qū)域處理繁瑣，雖然網(wǎng)格生成可以使FDM應(yīng)用于不規(guī)則區(qū)域，但是對(duì)區(qū)域的連續(xù)性等要求較嚴(yán)。使用FDM的好處在于易于編程，易于并行。有限元方法（FEM）:適合處理復(fù)雜區(qū)域，精度可眩缺憾在于內(nèi)存和計(jì)算量巨大。并行不如FDM和FVM直觀。不過(guò)FEM的并行是當(dāng)前和將來(lái)應(yīng)用的一個(gè)不錯(cuò)的方向。有限容積法:適于流體計(jì)算，可以應(yīng)用于不規(guī)則網(wǎng)格，適于并行。但是精度基本上只能是二階了。FVM的優(yōu)勢(shì)正逐漸顯現(xiàn)出來(lái)，F(xiàn)VM在應(yīng)力應(yīng)變

12、，高頻電磁場(chǎng)方面的特殊的優(yōu)點(diǎn)正在被人重視。比較一下：有限容積法和有限差分法：一個(gè)區(qū)別就是有限容積法的截差是不定的（跟取的相鄰點(diǎn)有關(guān)，積分方法離散方程），而有限差分就可以直接知道截差（微分方法離散方程）。有限容積法和有限差分法最本質(zhì)的區(qū)別是，前者是根據(jù)積分方程推導(dǎo)出來(lái)的（即對(duì)每個(gè)控制體積分），后者直接根據(jù)微分方程推導(dǎo)出來(lái)，所以前者的精度不但取決于積分時(shí)的精度，還取決與對(duì)導(dǎo)數(shù)處理的精度，一般有限容積法總體的精度為二階，因?yàn)榉e分的精度限制，當(dāng)然有限容積法對(duì)于守恒型方程導(dǎo)出的離散方程可以保持守恒型；而后者直接由微分方程導(dǎo)出，不涉及積分過(guò)程，各種導(dǎo)數(shù)的微分借助Taylor展開(kāi)，直接寫(xiě)出離散方程，當(dāng)然不一

13、定有守恒性，精度也和有限容積法不一樣，一般有限差分法可以使精度更高一些。當(dāng)然二者有聯(lián)系，有時(shí)導(dǎo)出的形式一樣，但是概念上是不一樣的。至于有限容積法和有限元相比，有限元在復(fù)雜區(qū)域的適應(yīng)性對(duì)有限容積是毫無(wú)優(yōu)勢(shì)可言的，至于有限容積的守恒性，物理概念明顯的這些特點(diǎn)，有限元是沒(méi)有的。目前有限容積在精度方面與有限元法有些差距。有限元方法比有限差分優(yōu)越的方面主要在能適應(yīng)不規(guī)則區(qū)域，但是這只是指的是傳統(tǒng)意義上的有限差分，現(xiàn)在發(fā)展的一些有限差分已經(jīng)能適應(yīng)不規(guī)則區(qū)域。對(duì)于橢圓型方程，如果區(qū)域規(guī)則，傳統(tǒng)有限差分和有限元都能解，在求解效率，這里主要指編程負(fù)責(zé)度和收斂快慢、內(nèi)存需要，肯定有限差分有優(yōu)勢(shì)。（1）有限差分法（

14、Finite Difference Method，簡(jiǎn)稱FDM）是數(shù)值方法中最經(jīng)典的方法。它是將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)代替連續(xù)的求解域，然后將偏微分方程（控制方程）的導(dǎo)數(shù)用差商代替，推導(dǎo)出含有離散點(diǎn)上有限個(gè)未知數(shù)的差分方程組。求差分方程組（代數(shù)方程組）的解，就是微分方程定解問(wèn)題的數(shù)值近似解，這是一種直接將微分問(wèn)題變?yōu)榇鷶?shù)問(wèn)題的近似數(shù)值解法。這種方法發(fā)展較早，比較成熟，較多用于求解雙曲型和拋物型問(wèn)題（發(fā)展型問(wèn)題）。用它求解邊界條件復(fù)雜，尤其是橢圓型問(wèn)題不如有限元法或有限體積法方便。 （2）有限元法（Finite Element Method，簡(jiǎn)稱FEM）與有限差分法都是廣泛應(yīng)用的流

15、體力學(xué)數(shù)值計(jì)算方法。有限元法是將一個(gè)連續(xù)的求解域任意分成適當(dāng)形狀的許多微小單元，并于各小單元分片構(gòu)造插值函數(shù)，然后根據(jù)極值原理（變分或加權(quán)余量法），將問(wèn)題的控制方程轉(zhuǎn)化為所有單元上的有限元方程，把總體的極值作為個(gè)單元極值之和，即將局部單元總體合成，形成嵌入了指定邊界條件的代數(shù)方程組，求解該方程組就得到各節(jié)點(diǎn)上待求的函數(shù)值。有限元法的基礎(chǔ)是極值原理和劃分插值，它吸收了有限差分法中離散處理的內(nèi)核，又采用了變分計(jì)算中選擇逼近函數(shù)并對(duì)區(qū)域積分的合理方法，是這兩類方法相互結(jié)合，取長(zhǎng)補(bǔ)短發(fā)展的結(jié)果。它具有廣泛的適應(yīng)性，特別適用于幾何及物理?xiàng)l件比較復(fù)雜的問(wèn)題，而且便于程序的標(biāo)準(zhǔn)化。對(duì)橢圓型問(wèn)題（平衡態(tài)問(wèn)題）

16、有更好的適應(yīng)性。有限元法因求解速度較有限差分法和有限體積法滿，因此，在商用CFD軟件中應(yīng)用并不普遍，目前的商用CFD軟件中，F(xiàn)IDAP采用的是有限元法。而有限元法目前在固體力學(xué)分析中占絕對(duì)比例，幾乎所有的固體力學(xué)分析軟件都是采用有限元法。（3）有限體積法（Finite Volume Method，簡(jiǎn)稱FVM）是近年發(fā)展非常迅速的一種離散化方法，其特點(diǎn)是計(jì)算效率高。目前在CFD領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。其基本思路是：將計(jì)算區(qū)域劃分為網(wǎng)格，并使每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)周圍有一個(gè)互不重復(fù)的控制體積；將待解的微分方程（控制方程）對(duì)每一個(gè)控制體積分，從而得到一組離散方程。其中的未知數(shù)是網(wǎng)格點(diǎn)上的因變量，為了求出控制體的積

17、分，必須假定因變量值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的變化規(guī)律。從積分區(qū)域的選取方法看來(lái)，有限體積法屬于加權(quán)余量法中的子域法，從未知解的近似方法看來(lái)，有限體積法屬于采用局部近似的離散方法。簡(jiǎn)言之，子域法加離散，就是有限體積法的基本方法。簡(jiǎn)短而言，有限元法，將物理量存儲(chǔ)在真實(shí)的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上，將單元看成由周邊節(jié)點(diǎn)及型函數(shù)構(gòu)成的統(tǒng)一體；有限體積法往往是將物理量存儲(chǔ)在網(wǎng)格單元的中心點(diǎn)上，而將單元看成圍繞中心點(diǎn)的控制體積，或者在真實(shí)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上定義和存儲(chǔ)物理量，而在節(jié)點(diǎn)周圍構(gòu)造控制題。1 有限差分方法(FDM)是計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運(yùn)用。該方法將 求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)代替連續(xù)的求解域。有

18、限差分法以Taylor級(jí) 數(shù)展開(kāi)等方法，把控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值的差商代替進(jìn)行離散，從而 建立以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。該方法是一種直接將微分問(wèn)題變?yōu)榇鷶?shù) 問(wèn)題的近似數(shù)值解法，數(shù)學(xué)概念直觀，表達(dá)簡(jiǎn)單，是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法。對(duì)于有限差分格式，從格式的精度來(lái)劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分 的空間形式來(lái)考慮，可分為中心格式和逆風(fēng)格式?？紤]時(shí)間因子的影響，差分格式還可 以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見(jiàn)的差分格式，主要是上述幾種形式 的組合，不同的組合構(gòu)成不同的差分格式。差分方法主要適用于有結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，網(wǎng)格的步 長(zhǎng)一般根據(jù)實(shí)際地形的情況和柯朗

19、穩(wěn)定條件來(lái)決定。 構(gòu)造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)方法。其基本的差分表達(dá) 式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等， 其中前兩種格式為一階計(jì)算精度，后兩種格式為二階計(jì)算精度。通過(guò)對(duì)時(shí)間和空間這幾 種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計(jì)算格式。2 有限元方法(FEM)的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計(jì)算域劃分為有限個(gè) 互不重疊的單元，在每個(gè)單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將微分 方程中的變量改寫(xiě)成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式 ，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方

20、程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù) 形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。 在有限元方法中，把計(jì)算域離散剖分為有限個(gè)互不重疊且相互連接的單元，在每個(gè)單 元內(nèi)選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線形組合來(lái)逼近單元中的真解，整個(gè)計(jì)算域上總體的 基函數(shù)可以看為由每個(gè)單元基函數(shù)組成的，則整個(gè)計(jì)算域內(nèi)的解可以看作是由所有單元 上的近似解構(gòu)成。根據(jù)所采用的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)的不同 ，有限元方法也分為多種計(jì)算格式。從權(quán)函數(shù)的選擇來(lái)說(shuō)，有配置法、矩量法、最小二 乘法和伽遼金法，從計(jì)算單元網(wǎng)格的形狀來(lái)劃分，有三角形網(wǎng)格、四邊形網(wǎng)格和多邊形 網(wǎng)格，從插值函數(shù)的精度來(lái)劃分，又分為線性插值函數(shù)和高次插值函數(shù)等。不同的組合 同樣構(gòu)成不

21、同的有限元計(jì)算格式。對(duì)于權(quán)函數(shù)，伽遼金(Galerkin)法是將權(quán)函數(shù)取為逼近函數(shù)中的基函數(shù) ；最小二 乘法是令權(quán)函數(shù)等于余量本身，而內(nèi)積的極小值則為對(duì)代求系數(shù)的平方誤差最小；在配 置法中，先在計(jì)算域 內(nèi)選取N個(gè)配置點(diǎn) 。令近似解在選定的N個(gè)配置點(diǎn)上嚴(yán)格滿足微分 方程，即在配置點(diǎn)上令方程余量為0。 插值函數(shù)一般由不同次冪的多項(xiàng)式組成，但也有采用三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)組成的乘 積表示，但最常用的多項(xiàng)式插值函數(shù)。有限元插值函數(shù)分為兩大類，一類只要求插值多 項(xiàng)式本身在插值點(diǎn)取已知值，稱為拉格朗日(Lagrange)多項(xiàng)式插值；另一種不僅要求插 值多項(xiàng)式本身，還要求它的導(dǎo)數(shù)值在插值點(diǎn)取已知值，稱為哈密特(

22、Hermite)多項(xiàng)式插值 。單元坐標(biāo)有笛卡爾直角坐標(biāo)系和無(wú)因次自然坐標(biāo)，有對(duì)稱和不對(duì)稱等。常采用的無(wú)因 次坐標(biāo)是一種局部坐標(biāo)系，它的定義取決于單元的幾何形狀，一維看作長(zhǎng)度比，二維看 作面積比，三維看作體積比。在二維有限元中，三角形單元應(yīng)用的最早，近來(lái)四邊形等 參元的應(yīng)用也越來(lái)越廣。對(duì)于二維三角形和四邊形電源單元，常采用的插值函數(shù)為有La grange插值直角坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)及二階或更高階插值函數(shù)、面積坐標(biāo)系中的線 性插值函數(shù)、二階或更高階插值函數(shù)等。對(duì)于有限元方法，其基本思路和解題步驟可歸納為 (1)建立積分方程，根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理，建立與微分方程 初邊值問(wèn)題等價(jià)

23、的積分表達(dá)式，這是有限元法的出發(fā)點(diǎn)。 (2)區(qū)域單元剖分，根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實(shí)際問(wèn)題的物理特點(diǎn)，將區(qū)域剖分為若干 相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元?jiǎng)澐质遣捎糜邢拊椒ǖ那捌跍?zhǔn)備工作，這部分工 作量比較大，除了給計(jì)算單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)和確定相互之間的關(guān)系之外，還要表示節(jié) 點(diǎn)的位置坐標(biāo)，同時(shí)還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點(diǎn)序號(hào)和相應(yīng)的邊界值。 (3)確定單元基函數(shù)，根據(jù)單元中節(jié)點(diǎn)數(shù)目及對(duì)近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條 件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的，由于各單元 具有規(guī)則的幾何形狀，在選取基函數(shù)時(shí)可遵循一定的法則。 (4)單元分析：將各個(gè)單元中的求解函數(shù)用

24、單元基函數(shù)的線性組合表達(dá)式進(jìn)行逼近；再將 近似函數(shù)代入積分方程，并對(duì)單元區(qū)域進(jìn)行積分，可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)點(diǎn) 的參數(shù)值)的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程。 (5)總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進(jìn) 行累加，形成總體有限元方程。 (6)邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)邊界條件(狄里克雷邊界條件 )、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對(duì)于自然邊界條件， 一般在積分表達(dá)式中可自動(dòng)得到滿足。對(duì)于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件，需按一定法 則對(duì)總體有限元方程進(jìn)行修正滿足。 (7)解有限元方程：根據(jù)邊界條件修正的總體

25、有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉 方程組，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值計(jì)算方法求解，可求得各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值3 有限體積法（Finite Volume Method）又稱為控制體積法。其基本思路是：將計(jì)算區(qū)域 劃分為一系列不重復(fù)的控制體積，并使每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)周圍有一個(gè)控制體積；將待解的微分 方程對(duì)每一個(gè)控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數(shù)是網(wǎng)格點(diǎn)上的因變量 的數(shù)值。為了求出控制體積的積分，必須假定 值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的變化規(guī)律，即假設(shè) 值 的分段的分布的分布剖面。從積分區(qū)域的選取方法看來(lái)，有限體積法屬于加權(quán)剩余法中 的子區(qū)域法；從未知解的近似方法看來(lái)，有限體積法屬于采用局部近似的離散方法。簡(jiǎn) 言之，子區(qū)

26、域法屬于有限體積發(fā)的基本方法。 有限體積法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義，就 是因變量 在有限大小的控制體積中的守恒原理，如同微分方程表示因變量在無(wú)限小的控 制體積中的守恒原理一樣。 限體積法得出的離散方程，要求因變量的積分守恒對(duì)任意一組控制體積都得到滿足， 對(duì)整個(gè)計(jì)算區(qū)域，自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優(yōu)點(diǎn)。有一些離散方法， 例如有限差分法，僅當(dāng)網(wǎng)格極其細(xì)密時(shí)，離散方程才滿足積分守恒；而有限體積法即使 在粗網(wǎng)格情況下，也顯示出準(zhǔn)確的積分守恒。 就離散方法而言，有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必 須假定 值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的變化規(guī)律

27、（既插值函數(shù)），并將其作為近似解。有限差分法只 考慮網(wǎng)格點(diǎn)上 的數(shù)值而不考慮 值在網(wǎng)格點(diǎn)之間如何變化。有限體積法只尋求 的結(jié)點(diǎn)值 ，這與有限差分法相類似；但有限體積法在尋求控制體積的積分時(shí)，必須假定 值在網(wǎng)格 點(diǎn)之間的分布，這又與有限單元法相類似。在有限體積法中，插值函數(shù)只用于計(jì)算控制 體積的積分，得出離散方程之后，便可忘掉插值函數(shù)；如果需要的話，可以對(duì)微分方程 中不同的項(xiàng)采取不同的插值函數(shù)。4 多重網(wǎng)格方法通過(guò)在疏密不同的網(wǎng)格層上進(jìn)行迭代,以平滑不同頻率的誤差分量.具有收斂速度快,精度高等優(yōu)點(diǎn).多重網(wǎng)格法基本原理微分方程的誤差分量可以分為兩大類，一類是頻率變化較緩慢的低頻分量；另一類是頻率高

28、，擺動(dòng)快的高頻分量。一般的迭代方法可以迅速地將擺動(dòng)誤差衰減，但對(duì)那些低頻分量，迭代法的效果不是很顯著。高頻分量和低頻分量是相對(duì)的，與網(wǎng)格尺度有關(guān)，在細(xì)網(wǎng)格上被視為低頻的分量，在粗網(wǎng)格上可能為高頻分量。多重網(wǎng)格方法作為一種快速計(jì)算方法，迭代求解由偏微分方程組離散以后組成的代數(shù)方程組，其基本原理在于一定的網(wǎng)格最容易消除波長(zhǎng)與網(wǎng)格步長(zhǎng)相對(duì)應(yīng)的誤差分量。該方法采用不同尺度的網(wǎng)格，不同疏密的網(wǎng)格消除不同波長(zhǎng)的誤差分量，首先在細(xì)網(wǎng)格上采用迭代法，當(dāng)收斂速度變緩慢時(shí)暗示誤差已經(jīng)光滑，則轉(zhuǎn)移到較粗的網(wǎng)格上消除與該層網(wǎng)格上相對(duì)應(yīng)的較易消除的那些誤差分量，這樣逐層進(jìn)行下去直到消除各種誤差分量，再逐層返回到細(xì)網(wǎng)格上

29、。目前兩層網(wǎng)格方法從理論上已證明是收斂的，并且其收斂速度與網(wǎng)格尺度無(wú)關(guān)哈克?#跡?988。 多重網(wǎng)格法是迭代法與粗網(wǎng)格修正的組合，經(jīng)過(guò)證明迭代法可迅速地將那些高頻分量去掉，粗網(wǎng)格修正則可以幫助消除那些光滑了的低頻分量，而對(duì)那些高頻分量基本不起作用?？蒲兄袊?guó)SciE 在多重網(wǎng)格計(jì)算中，需要一些媒介把細(xì)網(wǎng)格上的信息傳遞到粗網(wǎng)格上去，同時(shí)還需要一些媒介把粗網(wǎng)格上的信息傳遞到細(xì)網(wǎng)格上去。限制算子Iih(i-1)h是把細(xì)網(wǎng)格i-1層上的殘余限制到粗網(wǎng)格i層上的算子，最簡(jiǎn)單的算子是平凡單射，另外還有特殊加權(quán)限制；插值算子Iih(i-1)h是把粗網(wǎng)格i層上的結(jié)果插值到細(xì)網(wǎng)格i-1層上的算子，一般采用線性插值

30、或完全加權(quán)限制算子。5 近似求解的誤差估計(jì)辦法共有三大類:單元余量法,通量投射法及外推法.單元余量法廣泛地用于以FEM離散的誤差估計(jì)之中,它主要是估計(jì)精確算子的余量,而不是整套控制方程的全局誤差.這樣就必須假定周圍的單元誤差并不相互耦合,誤差計(jì)算采用逐節(jié)點(diǎn)算法進(jìn)行.單元余量法的各種不同做法主要來(lái)自對(duì)單元誤差方程的邊界條件的不同處理辦法.基于此,該方法能夠有效處理局部的殘余量,并能成功地用于網(wǎng)格優(yōu)化程序.通量投射法的基本原理來(lái)自一個(gè)很簡(jiǎn)單的事實(shí):精確求解偏微分方程不可能有不連續(xù)的微分,而近似求解卻可以存在微分的不連續(xù),這樣產(chǎn)生的誤差即來(lái)自微分本身,即誤差為系統(tǒng)的光滑求解與不光滑求解之差.該方法與單元余量法一樣,對(duì)節(jié)點(diǎn)誤差采用能量范數(shù),故也能成功地用于網(wǎng)格優(yōu)化程序.單元余量法及通量投射法都局限于局部的誤差計(jì)算(采用能量范數(shù)),誤差方程的全局特性